Regresón Bnomal Negatva Resumen El procedmento Regresón Bnomal Negatva está dseñado para ajustar un modelo de regresón en el cual la varable dependente Y consste de conteos. El modelo de regresón ajustado relacona Y con una o más varables predctoras X, que pueden ser cuanttatvas o categórcas. El procedmento ajusta un modelo usando máxma verosmltud o mínmos cuadrados ponderados. La seleccón de varables por pasos es una opcón. Se realzan pruebas de razón de verosmltud para probar la sgnfcanca de los coefcentes del modelo. El modelo ajustado puede grafcarse y generarse predccones a partr del msmo. Se dentfcan y grafcan resduos atípcos. Este procedmento es smlar al procedmento Regresón Posson, excepto se permte que la varanza condconal de Y sea mayor que la meda. Así que es útl para conteos que están sobredspersos comparados con los de un proceso Posson. StatFolo de Ejemplo: Negbn reg.sgp Datos de Ejemplo El archvo crabs.sf6 contene un conjunto de datos de un estudo de cangrejos herradura, presentado por Agrest (2002). Los datos conssten de nformacón sobre n = 173 cangrejos herradura hembra. A contnuacón se muestra una parte de los datos: Satelltes Wdth 8 28.3 0 22.5 9 26 0 24.8 4 26 0 23.8 0 26.5 0 24.7 0 23.7 0 25.6 Se desea relaconar el número de Satelltes (satéltes - cangrejos machos que resden cerca) con el Wdth (ancho) del caparazón de los cangrejos hembra. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 1
Ingreso de Datos La caja de dálogo del ngreso de datos solcta nformacón sobre las varables de entrada: Varable Dependente: varable numérca que contene los n valores de la varable dependente y. Y debe consstr de conteos enteros no negatvos. (Tamaños de Muestra): tamaño de muestra opconal t correspondente a cada cuenta. S no se especfca, todos los t se gualan a 1. Factores Cuanttatvos: columnas numércas que contenen los valores de cualesquera factores cuanttatvos a ser ncludos en el modelo. Factores Categórcos: columnas numércas o no numércas que contenen los nveles de cualesquera factores a ser ncludos en el modelo. Seleccón: seleccón de un subgrupo de datos. Modelo Estadístco El modelo estadístco asumdo para los datos es que los valores de la varable dependente Y sguen una dstrbucón bnomal negatva de la forma p ( Y ) Γ( Y + α ) α Y Γ( + 1) Γ( α ) α + μ = α 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 2 Y μ, μ > 0, α 0 (1) 1 α + μ
donde la meda μ es el producto de λ, la tasa a la cual ocurren los eventos, y el perodo de muestreo t de acuerdo con E(Y) = μ = λ t (2) La varanza de Y está dada por Var(Y) = μ + α μ 2 (3) S α = 0, dstrbucón bnomal negatva se reduce a la dstrbucón Posson. Se supone además que la tasa se relacona con las varables predctoras a través de una funcón de enlace log-lneal de la forma ( λ ) = β + β X + β X +... + β X 1 1 2 k k log 0 2 (4) Resumen del Análss El Resumen del Análss presenta una tabla que muestra el modelo estmado y las pruebas de sgnfcanca para los coefcentes del modelo. A contnuacón se muestra una salda típca: Regresón Bnomal Negatva - Satelltes Varable dependente: Satelltes Factores: Wdth Modelo Estmado de Regresón (Máxma Verosmltud) Error Razón de Momos Parámetro Estmado Estandar Estmada CONSTANTE -4.75395 0.267509 Wdth 0.22032 0.00940901 1.24648 Alpha 0.566406 Análss de Desvacón Fuente Desvacón Gl Valor-P Modelo 24.0164 1 0.0000 Resduo 275.024 171 0.0000 Total (corr.) 299.04 172 Porcentaje de desvacón explcado por el modelo = 8.03116 Porcentaje ajustado = 6.69355 Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P Wdth 24.0164 1 0.0000 Alpha 195.893 1 0.0000 Análss de Resduos Estmacón n 173 CME 165.698 MAE 3.27878 MAPE ME -1.3307 MPE Valdacón 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 3
La salda ncluye: STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Resumen de los Datos: un resumen de los datos que fueron ngresados. Modelo Estmado de Regresón: estmacones de los coefcentes del modelo de regresón, con errores estándar y las razones de momos estmadas. Las razones de momos se calculan a partr de los coefcentes del modelo βˆ por medo de razón de momos = ( βˆ ) j j exp (5) La razón de momos representa el ncremento porcentual en el momo de los eventos por undad de ncremento en X. Análss de Desvacón: descomposcón de la desvacón de los datos en un componente explcado (Modelo) y un componente no explcado (Resduo). La Desvacón compara la funcón de verosmltud de un modelo con el valor más grande que puede alcanzar la funcón de verosmltud, de tal forma que un modelo perfecto tendría una desvacón gual a 0. Hay tres renglones en la tabla: 1. Total (corr.) la desvacón de un modelo que contene úncamente un térmno constante, δ(β 0 ). 2. Resduo la desvacón que queda después de haber ajustado el modelo. 3. Modelo la reduccón en la desvacón debda a las varables predctoras, δ(β 1,β 2,,β k β 0 ), gual a la dferenca entre los otros dos componentes. El Valor de P para el Modelo prueba s el añadr las varables predctoras reduce sgnfcatvamente la desvacón comparada con un modelo que contene sólo un térmno constante. Un Valor de P pequeño (menor de 0.05 s se trabaja con un nvel de sgnfcanca del 5%) ndca que el modelo ha reducdo sgnfcatvamente la desvacón y es así útl para predecr a Y. El Valor de P para el térmno Resduo prueba s hay una falta de ajuste sgnfcatva,.e., s puede haber un modelo mejor. Un Valor de P pequeño ndca que una desvacón sgnfcatva queda aún en los resduos, así que puede haber un mejor modelo. Porcentaje de Desvacón el porcentaje de desvacón explcada por el modelo, calculada por medo de ( β1, β 2,..., β k β 0 ) δ ( β ) 2 δ R = (6) 0 Es smlar a una estadístca R cuadrada en regresón múltple, en que va de 0% a 100%. Tambén se calcula una desvacón ajustada con R ( β1, β 2,..., β k β 0 ) δ ( β ) 2 δ 2 adj 0 p = (7) 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 4
donde p es gual al número de coefcentes en el modelo ajustado, ncluyendo al térmno constante. Es semejante a la estadístca R-cuadrada ajustada en que compensa el número de varables en el modelo. Pruebas de Razón de Verosmltud una prueba de sgnfcanca para cada efecto en el modelo ajustado, y para el parámetro bnomal negatvo α. Las pruebas para los efectos comparan la funcón de verosmltud del modelo completo con la del modelo en el cual sólo el efecto ndcado ha sdo removdo. Valores de P pequeños ndcan que el modelo ha mejorado sgnfcatvamente por el efecto correspondente. La prueba para α compara el modelo ajustado contra un modelo de regresón Posson, correspondente a α = 0. Un Valor de P pequeño para esa prueba ndca que los datos están sgnfcatvamente sobredspersos (la varanza es mayor que la meda). Análss de Resduos s un subgrupo de flas en la hoja de datos han sdo excludas del análss usando el campo Selecconar en la caja de dálogo de ngreso de datos, el modelo ajustado se usa para hacer predccones de los valores de Y para estas flas. Esta tabla muestra estadístcas sobre los errores de predccón, defndos por e = μˆ (8) y Se ncluyen el cuadrado medo del error (CME), el error absoluto medo (EAM), el error porcentual absoluto medo (EPAM), el error medo (EM), y el error porcentual medo (EPM). Estas estadístcas de valdacón pueden ser comparadas con las estadístcas del modelo ajustado para determnar qué tan ben el modelo predce las observacones fuera de los datos usados para ajustarlo. El modelo ajustado para los datos del ejemplo es ( 4.75395 0.22032Wdth) ˆ λ = exp + (9) La regresón explca un poco más del 8% de la desvacón de un modelo con sólo una constante. El Valor de P para Wdth es muy pequeño, ndcando que es un predctor sgnfcatvo de Satelltes. La meda y varanza de Satelltes están dadas por: ( 4.75395 0. Wdth) E( Satelltes) = ˆ μ = exp + 22032 (10) ( 1 0.566406 ˆ μ ) Var ( Satelltes) = ˆ μ + (11) Además, el Valor de P para Alpha es muy pequeño, ndcando que hay sobredspersón sgnfcatva, así que un modelo Posson no sería apropado para estos datos. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 5
Opcones de Análss Modelo: orden del modelo a ser ajustado. Los modelos de prmer orden ncluyen solo efectos prncpales. Los modelos de segundo orden ncluyen efectos cuadrátcos para los factores cuanttatvos e nteraccones de dos factores entre todas las varables. Inclur Constante: S no se marca esta opcón, el térmno constante β 0 será omtdo del modelo. Ajustar: especfca s todas las varables ndependentes especfcadas en caja de dálogo del ngreso de datos deben ser ncludas en el modelo fnal, o s se debe aplcar una seleccón por pasos de las varables. La seleccón por pasos ntenta encontrar un modelo parsmonoso que contenga sólo varables sgnfcatvas estadístcamente. Un ajuste por Pasos haca Adelante comenza sn varables en el modelo. Un ajuste por Pasos haca Atrás comenza con todas las varables en el modelo. P-para-Introducr - En un ajuste por pasos, las varables entrarán al modelo en un paso dado s sus valores de P son menores o guales al valor especfcado de P-para-Introducr. P-para-Elmnar - En un ajuste por pasos, las varables serán removdas del modelo en un paso dado s sus valores de P son mayores que el valor especfcado de P-para-Elmnar. Pasos Max: máxmo número de pasos permtdos cuando se lleva a cabo un ajuste por pasos. Mostrar: s se muestran los resultados en cada paso cuando se lleva a cabo un ajuste por pasos. Exclur: Presone este botón para exclur efectos del modelo. Se mostrará una caja de dálogo: 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 6
Haga doble clc sobre un efecto para moverlo del campo Inclur al campo Exclur o para regresarlo. Gráfca del Modelo Ajustado El Gráfca del Modelo Ajustado muestra la tasa meda estmada ˆ λ ( X ) versus cualquer varable predctora, mantenendo constantes las otras varables. 15 Gráfca del Modelo Ajustado con ntervalos de confanza del 95.0% 12 Satelltes 9 6 3 0 21 24 27 30 33 36 Wdth Se ncluyen en el gráfco los límtes de confanza para λ(x). El número medo estmado de satéltes (Satelltes) aumenta de un bajo número de aproxmadamente 1 en anchos (Wdth) pequeños a más de una docena en anchos grandes. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 7
Opcones de Ventana STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Factor: seleccona el factor a grafcar en el eje horzontal. Bajo y Alto: especfca el rango de valores para el factor selecconado. Mantener: valores en los que se mantendrán fjos los factores no selecconados. Nvel de Confanza: porcentaje usado para los límtes de confanza. Poner en 0 para omtr los límtes. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 8
Observados Versus Predchos El gráfco Observados versus Predchos muestra los valores observados de Y en el eje vertcal y los valores medos predchos μˆ en el eje horzontal. 15 Gráfca de Satelltes 12 observado 9 6 3 0 0 3 6 9 12 15 predcho S el modelo ajusta ben, los puntos deben estar esparcdos aleatoramente alrededor de la línea dagonal. Predccones El modelo de regresón ajustado puede usarse para predecr el resultado de nuevas muestras cuyas varables predctoras son dadas. Por ejemplo, suponga que se desea una predccón para un cangrejo con Wdth = 30.3. Se puede agregar una nueva fla a la hoja de datos con 30.3 en la columna Wdth, pero la entrada para Satelltes se dejaría en blanco. La ventana de Predccones mostraría entonces: Predccones para Satelltes Observado Ajustado LC Inferor 95.0% LC Superor 95.0% Fla para Predccón para Predccón 174 6.83284 6.44308 7.24619 La tabla muestra el valor ajustado μˆ, junto con ntervalos de confanza aproxmados del 95%. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 9
Opcones de Ventana STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Mostrar: muestra Todos los Valores (predccones para todas las flas en la hoja de datos), o Sólo Pronóstcos (predccones para las flas con valores faltantes para Y). Nvel de Confanza: porcentaje usado para los ntervalos de confanza. Intervalos de Confanza La ventana Intervalos de Confanza muestra el error de estmacón potencal asocado con cada coefcente en el modelo, así como para las razones de tasas. Intervalos de confanza del 95.0% para los estmados de los coefcentes Error Parámetro Estmado Estándar Límte Inferor Límte Superor CONSTANTE -4.75395 0.267509-5.27826-4.22965 Wdth 0.22032 0.00940901 0.201879 0.238761 Intervalos de confanza del 95.0% para la razón de tasas Parámetro Estmado Límte Inferor Límte Superor Wdth 1.24648 1.2237 1.26968 Opcones de Ventana Nvel de Confanza: nvel porcentual para los ntervalos de confanza. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 10
Matrz de Correlacón La Matrz de Correlacón muestra estmacones de la correlacón entre los coefcentes estmados. Matrz de correlacón para los coefcentes estmados CONSTANTE Wdth CONSTANTE 1.0000-0.9961 Wdth -0.9961 1.0000 Esta tabla puede ser útl para determnar que tan ben se han separado unos de otros los efectos de las varables ndependentes. Resduos Atípcos Una vez que el modelo ha sdo ajustado, es útl estudar los resduos para determnar s exste algún valor atípco que debera ser removdo de los datos. La ventana Resduos Atípcos lsta todas las observacones que tenen resduos grandes atípcos. Resduos Atípcos para Satelltes Y Resduo Resduo de Fla Y Predcha Resduo Pearson Desvacón 3 9.0 2.64948 6.35052 2.47 1.68 15 14.0 2.64948 11.3505 4.41 2.55 34 8.0 2.48003 5.51997 2.26 1.57 56 15.0 4.39778 10.6022 2.71 1.80 121 6.0 1.63176 4.36824 2.47 1.67 131 6.0 1.90386 4.09614 2.06 1.46 134 10.0 2.53527 7.46473 3.00 1.94 146 8.0 2.12558 5.87442 2.71 1.80 149 10.0 1.70527 8.29473 4.53 2.58 La tabla muestra: Fla el número de fla en la hoja de datos. Y el valor observado de Y. Y Predcha el valor ajustado μˆ. Resduo la dferenca entre los valores observado y predco, defndo por e = μˆ (12) y Resduo de Pearson un resduo estandarzado en el cual cada resduo es dvdo entre una estmacón de su error estándar: e = (13) ˆ μ ( 1+ ˆ α ˆ μ ) r 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 11
Resduo de Desvacón un resduo que mde la contrbucón de cada observacón a la desvacón de los resduos: ( y + ˆ α ) ln[ ( y + ˆ α )/( ˆ μ + ˆ α )] y d = sgn( r ) 2 y ln (14) ˆ μ La suma de los resduos de desvacón cuadrados es gual a la desvacón en el renglón de Resduos en la tabla del análss de desvacón. La tabla ncluye todas las flas para las cuales el valor absoluto del resdual de Pearson es mayor que 2.0. El presente ejemplo muestra 9 resduos que exceden 2.5, 2 de los cuales exceden 3.0. Gráfcas de Resduos Al gual que con todos los modelos estadístcos, es una buena práctca examnar los resduos. El procedmento Regresón Bnomal Negatva ncluye varos tpos de gráfcas de resduos, dependendo de las Opcones de Ventana. Gráfco de Dspersón versus Valor Predcho Este gráfco es útl para examnar resduos muy grandes. 5.1 Gráfca de Resduos Resduos de desvacón 3.1 1.1-0.9-2.9-4.9 0 3 6 9 12 15 predcho Satelltes Autocorrelacones entre Resduos Este gráfco calcula la autocorrelacón entre resduos como una funcón del número de flas entre ellos en la hoja de datos. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 12
Autocorrelacones Resduales para Satelltes 1 0.6 autocorrelacón 0.2-0.2-0.6-1 0 2 4 6 8 10 12 retraso Esto sólo es relevante s los datos se colectaron secuencalmente. Cualquer barra extendéndose más allá de los límtes de probabldad ndcaría dependenca sgnfcatva entre resduos separados por el retraso ndcado. Opcones de Ventana Gráfco: el tpo de resduos a grafcar: 1. Resduos los valores observados menos los ajustados. 2. Resduos Pearson los resduos dvddos entre sus errores estándar estmados. 3. Resduos de Desvacón resduos escalados de tal forma que la suma de sus cuadrados es gual a la desvacón de los resduos. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 13
Tpo: el tpo del gráfco a crear. Se usa un Dagrama de Dspersón para probar curvatura. Se emplea una Gráfca de Probabldad Normal para determnar s los resduos del modelo provenen de una dstrbucón normal (no se espera normaldad en este procedmento). Se usa una Funcón de Autocorrelacón para probar dependenca entre resduos consecutvos. Grafcar Versus: para un Dagrama de Dspersón, la cantdad a grafcar en el eje horzontal. Número de Retrasos: para una Funcón de Autocorrelacón, el máxmo número de retrasos. Para grupos pequeños de datos, el número de retrasos grafcados puede ser menor que este valor. Nvel de Confanza: para una Funcón de Autocorrelacón, el nvel usado para crear los límtes de probabldad. Puntos Influyentes Cuando se ajusta un modelo de regresón, no todas las observacones tenen la msma nfluenca en la estmacón de los parámetros del modelo ajustado. Aquellos con valores atípcos de las varables ndependentes tenden a tener mayor nfluenca que los otros. La ventana Puntos Influyentes presenta cualquer observacón que tenga gran nfluenca en el modelo ajustado: Puntos Influyentes para Satelltes Fla Leverage 115 0.113515 141 0.393344 142 0.0362742 147 0.0966221 Leverage promedo de un solo punto = 0.0115607 La tabla muestra todos los puntos con punto leverage alto. El punto leverage es una estadístca que mde cuán dstante está una observacón de la meda de las n observacones en el espaco de las varables ndependentes. Entre más grande el punto leverage, mayor el mpacto del punto en los valore ajustados ŷ. Los puntos son colocados en la lsta s su leverage es mayor de tres veces el de un punto promedo La observacón con el punto leverage más alto en los datos de ejemplo es la de la fla #141. Es más de 30 veces el leverage promedo, lo que sgnfca que tene una mayor nfluenca en el ajuste. 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 14
Salvar Resultados Se pueden salvar los sguentes resultados en la hoja de datos: STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 1. Valores Predchos los valores ajustados λˆ t correspondentes a cada fla de la hoja de datos. 2. Límtes Inferores los límtes nferores de confanza para λˆ t. 3. Límtes Superores los límtes superores de confanza para λˆ t. 4. Resduos los resduos ordnaros. 5. Resduos Pearson los resduos estandarzados de Pearson. 6. Resduos de Desvacón los resduos de desvacón. 7. Leverages los puntos leverage para cada fla. Cálculos Sea μ = la meda estmada para los valores de las varables predctoras en la fla. Funcón de Verosmltud L Γ( y + α ) ( y + 1) Γ( α ) α n = α Γ + 1 = 1 α μ α μ + μ y para μ > 0, α 0 (15) Desvacón n ˆ y 1 y + α δ ( β α) = y ln ( y + α ) ln (16) = 1 ˆ μ ˆ μ + α Punto Leverage h { X ( X WX ) X } w = dag (17) p h = (18) n 2006 by StatPont, Inc. Regresón Bnomal Negatva - 15