Probabldad PROBABILIDAD 1. Expermetos aleatoros... 2 2. Espaco muestral asocado a u expermeto aleatoro. 3 3. Sucesos... 3 4. El álgebra de Boole de los sucesos... 4 5. Frecuecas. Propedades... 6 6. Defcó axomátca de probabldades. Propedades.. 7 7. Probabldad codcoada... 10 8. Sucesos depedetes... 12 9. Teorema de la probabldad total... 14 10. Teorema de Bayes... 15 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 1
1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS Probabldad U expermeto aleatoro es aquel que realzado e las msmas codcoes o causas, puede dar lugar a dferetes resultados o efectos coocdos de atemao. So ejemplos de expermetos aleatoros: EJEMPLO 1.1: Se laza u dado y se observa el úmero o la fgura que aparece e la cara superor. EJEMPLO 1.2: Se laza ua moeda cuatro veces y se observa el úmero de caras obtedas. EJEMPLO 1.3: E u proceso de produccó se cueta el úmero de artículos defectuosos que se produce e u día. EJEMPLO 1.4: De ua ura que cotee bolas blacas y egras, se extrae ua bola y se aota su color. Qué tee e comú estos expermetos?: - Cada expermeto puede repetrse defdamete bajo codcoes esecalmete alterables. - Auque e geeral o podemos predecr cuál será el resultado de cada repetcó, s es posble descrbr el cojuto de todos los resultados posbles. - Cuado el expermeto se repte u úmero grade de veces aparece certas regulardades e los resultados. Al descrbr u expermeto aleatoro, es esecal especfcar qué aspecto del resultado os teresa observar, o, dcho de otro modo, cuál es uestro crtero para cosderar dos resultados como dferetes. Esta especfcacó se logra medate el espaco muestral. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 2
Probabldad 2. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXPERIMENTO ALEATORIO A cada expermeto asocamos u cojuto E, que deomaremos espaco muestral, formado por todos los resultados posbles del expermeto. Así e el caso del lazameto de u dado se puede tomar como espaco muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E el caso del lazameto de dos moedas: E = { cc, cx, xc, xx} 3. SUCESOS Suceso elemetal es cada uo de los resultados posbles de ua expereca. Ejemplo: "Obteer u cco al arrojar u dado". El cojuto de todos los sucesos elemetales costtuye el espaco muestral. Suceso compuesto es el cojuto de varos sucesos elemetales. Por ejemplo "Obteer par". Podemos, pues, defr u suceso de u expermeto aleatoro como u subcojuto del espaco muestral. Suceso mposble es aquel que o se puede realzar uca y se le deota. Ejemplo: "Obteer u sete al lazar u dado". Suceso seguro es aquel que se verfca sempre, que es precsamete el espaco muestral E. Los sucesos asocados a u expermeto aleatoro costtuye u álgebra. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 3
Probabldad 4. EL ALGEBRA DE BOOLE DE LOS SUCESOS Supogamos que os ecotramos ate u expermeto al cual se le asoca ua famla de cojutos A, B, C,... etc., de tal forma que fjado uo de ellos el suceso o cojuto A al realzar ua prueba del expermeto podemos decr, s se ha verfcado o o dcho suceso al observar el resultado de la prueba. Ejemplo: E el expermeto aleatoro de lazar dos moedas se realza la sguete preguta: " Es el úmero de caras meor o gual que uo?" Como vemos, esta preguta tee respuesta y el suceso que respode "s" a la preguta es: A = {cx, xc, cc} B (A B). Defcoes: - Dremos que el suceso A mplca el suceso B s sempre que se verfca A se verfca - S dos sucesos so tales que A B y B A, etoces dremos que so guales A=B. Se dce que u suceso A es cotraro a otro cuado se verfca s o se verfca A. Ejemplo: A = {2} = {múltplo de 2} => El suceso cotraro es A = {1, 3, 5} A Dados dos sucesos A y B se llama uó de dos sucesos A B al suceso que se verfca cuado se verfca A o se verfca B. A B={x tales que x A ó x B}. Propedad A A E. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4
Probabldad Ejemplo: A = {2, 4}; B = {1, 2} => A B = {1, 2, 4} Se llama terseccó de sucesos AB al suceso que se verfca s se verfca A y B. A B ={ x tales que xay x B}. Propedad A A Ejemplo: A = {2, 4} B = {1, 2} => A B = {2} - Dos sucesos so compatbles, s o puede verfcarse jutos, A B = Ejemplo: A ={2, 4} B = {1, 6} => A B = Propedades de la uó e terseccó de sucesos: UNION INTERSECCIÓN Comutatva A B = B A A B = B A Asocatva A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Idempotete A A=A A A = A Smplfcacó A (B A) = A A (B A) = A Dstrbutva A (B C) = (A B)(A C) A(B C) = (A B) (A C) el. eutro A = A A E = A el.complemet. A A = E A A = El cojuto formado por todos los subcojutos del espaco muestral (P(E)) co la uó y la terseccó, por verfcar estas propedades tee estructura de algebra de Boole, a ésta se la llama: "Álgebra de Boole de los sucesos". Defcó: Sea B ua famla de subcojutos de u espaco muestral, se dce que B es u - álgebra s se verfca: 1) A1, A2,..., A,.. B etoces A B; 2) S A B etoces A B 1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5
Probabldad Defcó: Decmos que ua fucó :B R es completamete adtva s cumple: 1) ( ) 0 2) A ( A ) sedo A Aj 1 1 Defcó: Decmos que :B R es ua medda s es completamete adtva y o egatva (es decr, ( A ) 0). Defcó: Llamaremos espaco medble a la tera costtuda por el cojuto E, la -álgebra y la medda. (E, B, ). Leyes de De Morga AB A B. El suceso complemetaro de la uó de sucesos, es el suceso terseccó de los complemetaros. AB A B. El suceso complemetaro de la terseccó de sucesos, es el suceso uó de los complemetaros. Se os platea el problema de cuatfcar o medr la posbldad de ocurreca de u suceso. Para ello vamos a cosderar las propedades de las frecuecas relatvas de u suceso e la realzacó de u expermeto aleatoro. 5. FRECUENCIAS. PROPIEDADES Dado u suceso A, la frecueca absoluta del suceso A e ua sere de repetcoes smlares del expermeto se la represeta por A. La frecueca relatva del suceso A es la frecueca absoluta dvdda por el úmero de veces que se realza el expermeto, se la represeta por f A. f A A Propedades: 1) Para cualquer suceso A, resulta: 0fA 1, ya que será sempre cocete de dos úmeros postvos e el que el umerador es sempre meor o gual que el deomador. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6
Probabldad 2) Para el suceso seguro E: f E = 1 3) Para el suceso mposble : f 0 4) S dos sucesos A y B so compatbles, tedremos: sea A la frecueca absoluta de A, B la frecueca absoluta de B y sea A B la frecueca absoluta del suceso A B, por ser compatbles A B = A + B, luego: por cosguete f A B f A f s AB B f f f AB A B A B AB A B Cuado el úmero de pruebas aumeta, las frecuecas tede a establzarse e las proxmdades de u certo valor. 6. DEFINICIÓN AXIOMATICA DE PROBABILIDAD. PROPIEDADES. Sea u expermeto aleatoro y B la -álgebra de sucesos asocados a él. A cada suceso A B le asgamos u úmero P(A) deomado probabldad de A que satsface los axomas sguetes: Axoma 1. P(A) 0 Axoma 2. P(E) = 1, sedo E el espaco muestral Axoma 3. P(A U B) = P(A) + P(B) co A B = Cosderaremos la probabldad como el úmero al cual tede la frecueca relatva de u suceso A al repetrse la expereca defdamete. A fa P(A) 0,1 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7
Probabldad Este úmero se correspode co el cocete del cardal de elemetos del suceso A y el cardal del espaco muestral. REGLA DE LAPLACE La probabldad de u suceso es el úmero que se obtee al dvdr el úmero de casos favorables al suceso por el úmero de casos posbles card(a) P(A) card(e) Hemos de advertr que esta defcó, solamete es válda cuado todos los sucesos posbles so equprobables, es decr, que tega la msma probabldad de ocurreca y el espaco muestral sea fto. Obsérvese que los axomas so cosecueca drecta de las propedades de las frecuecas. Por todo lo vsto, teemos costrudo u espaco medble (E, B, ) cuya medda es la probabldad = P(A). Cosecueca de los axomas so las propedades. Propedades: 1) P( A )=1-P(A) E efecto: A A=E y AA P( A A)=P(A)+P( A )=P(E)=1 P( A )=1-P(A) 2) P( )=0 Por la propedad ateror P( )=1-P(E)=1-1=0 3) S A B, etoces P(A) P(B) S A B se tee que B=A (B A) sedo A (BA) P(B)=P(A (B A) )=P(A)+P( B A) y como P( B A) 0 P(B) P(A) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8
Probabldad 4) S A y B so compatbles, etoces: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) La demostracó la lustraremos co la ayuda del dagrama adjuto: Observado la fgura escrbremos A, B, y A B como uó de sucesos compatbles. A B A ( AB) ( AB) B( BA) ( AB) A B = ( AB) ( AB) ( A B) por el axoma 3 teemos: P(A) = P( AB) P( A B) y P( B) PB ( A) PA ( B) de dode, y por tato, PA ( B) PA ( ) PA ( B) y P( BA) PB ( ) PA ( B) P(A B)=P( AB) P( AB) P( A B) =P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB)= =P(A)+P(B)-P(A B) 5) P ABC P A P B P C P AB P AC P BC P(AB C) EJEMPL0 6: E ua habtacó hay 18 persoas de las que 9 so hombres, co cco fumadores etre ellos y el úmero de mujeres fumadoras es 6. Se elge al azar ua persoa. Calcular: a) Probabldad de elegr ua mujer o fumadora. b) Probabldad de elegr ua mujer o u o fumador. c) Supogamos que se elge al azar dos persoas de la habtacó, cuál es la probabldad de elegr a u hombre y a ua mujer? Solucó: La stuacó es la sguete: 5 hombres fumadores Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 9
Probabldad 4 hombres o fumadores 6 mujeres fumadoras 3 mujeres o fumadoras Cosderamos los sucesos: A = {la persoa elegda es mujer} y B = {la persoa elegda es o fumadora} a) P(AB) = 3 /18 b) P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) = 9 7 3 13 18 18 18 18 Puesto que P(A)=9/18, ya que so 9 las mujeres y P(B) = 7/18 por ser 7 el úmero de o fumadores. c) Al tomar 2 persoas del total de 18 obteemos u total de 18 posbles por 17 restates dvdo por dos, ya que o mporta el orde, se trata de combacoes de 18 elemetos tomados de 2 e 2, y se escrbe 18 1817 153. Ahora podemos escoger 9 hombres y 9 2 2 99 9 mujeres, luego p 153 17 7 PROBABILIDAD CONDICIONADA Sea A y B dos sucesos asocados a u expermeto aleatoro. Represetamos por P(B/A) la probabldad de que ocurra B supuesto que haya ocurrdo A. Hablaremos de probabldad de B codcoada por A y se defe: PA ( B) PB ( / A) PA ( ) sedo P( A) 0 Debe observarse que P(B) y P(B/A) opera sobre espacos muestrales dferetes. Por ello, cosderamos u expermeto aleatoro, que realzamos veces, dados dos sucesos Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 10
Probabldad determados A y B, sea A B el úmero de veces que ha ocurrdo los dos sucesos, queremos determar la frecueca relatva del suceso B teedo e cueta úcamete las veces que ocurró el suceso A, esta frecueca relatva que la podamos llamar frecueca relatva de B codcoada a la ocurreca del suceso A, vedrá dada por f f BA / AB A / f / f AB A BA / A B que dvdedo por : es decr, la frecueca relatva de B codcoada a A es el cocete etre la frecueca relatva del suceso terseccó y la frecueca relatva del suceso A. Expresó que da lugar a la defcó de probabldad codcoada. A Ahora be, teemos que aseguraros de que P(B/A) es efectvamete ua probabldad, para lo cual debe satsfacer los axomas. E efecto: Axoma 1 P(B/A) 0 Como P(AB) 0 y P(A)>0 => P(B/A) será o egatvo. Axoma 2 P(E/A)=1 Ya que, P(E/A) = P ( E A ) PA ( ) 1 PA ( ) PA ( ) Axoma 3 S B y C so compatbles, P(( BC) / A) P(B/A)+P(C/A) P(( BC) A) P(( BC) / A) PA ( ) como ( BC) A ( BA) ( C A) sedo ( BA) ( CA) ( BC) A A teemos que P(( BC) A) P(( BA) ( CA)) P( BA) P( C A) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 11
Probabldad PB ( A) PC ( A) PB ( A) PC ( A) resultado P(( BC) / A) =P(B/A)+P(C/A) PA ( ) PA ( ) PA ( ) EJEMPLO 7: Cosderemos el expermeto aleatoro de lazar u dado el suceso A = {resultado mpar} y B = {resultado mayor que 4}. Se pde P(B/A). Solucó: A = {resultado mpar} = {1, 3, 5} => P(A) = 3/6 B = {resultado mayor que 4} = {5, 6} => P(B)= 2/6 AB = {resultado mpar y mayor que 4} = {5} => P(AB) = 1/6 Susttuyedo: P(A B) P(B/ A) = 1/6 1/3 P(A) 3/6 De la defcó de probabldad codcoada, se tee: PA ( B) PB ( / A) => P(AB) = P(A) P(B/A) PA ( ) y aálogamete PA ( B) PA ( / B) => P(AB) = P(B) P(A/B) PB ( ) Se obtee, P(AB) = P(A) P(B/A) = P(A) P(B/A) expresó que se cooce co el ombre de teorema de la probabldad compuesta. Geeralzado, PA ( 1A2... A) PA ( 1) PA ( 2 / A1) PA ( 3 / A1A2)... PA ( / A1... A 1) 8. SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos so depedetes cuado la ocurreca de uo o depede de la ocurreca del otro. Así, s lazamos dos dados, el resultado que pueda obteerse e cada uo de ellos es depedete del otro. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 12
Probabldad S B es depedete de A la P(B/A) = P(B) y por tato P(A B)=P(A) P(B) PA ( B) PAPB ( ) ( ) PA ( / B) PA ( ) PB ( ) PB ( ) y se tee que A es depedete de B. Geeralzado, s A 1,..., A so depedetes, etoces: PA ( A... A ) PA ( ) PA ( )... PA ( ) 1 2 1 2 EJEMPLO 8.1: Se laza smultáeamete cco moedas. Hallar la probabldad de obteer al meos ua cara. Solucó: P(obteer ua cara al lazar ua moeda) = ½ P(o obteer ua cara al lazar ua moeda) = ½ P(o obteer gua cara al lazar cco moedas) = P(o obteer ua cara al lazar ua moeda)... 5).. P(o obteer ua cara al lazar ua moeda) = (½) 5 =1/32 Es coveete pasar al suceso cotraro, P(al meos ua cara) = 1 - P(o obteer gua cara) = 1 - (1/32) = 31/32 EJEMPLO 8.2: Sea A y B dos sucesos asocados a u expermeto aleatoro. Supógase que P(A) = 0.4, P(AB) = 0,7, y P(B) = p. a) Para qué valor de p so A y B compatbles? a) Para qué valor de p so A y B depedetes? Solucó: a) P(AB) = P(A) +P(B) para sucesos compatbles, susttuyedo P(AB) = P(A) + P(B) = 0,4 + p = 0,7 => p = 0,3 b) P(AB) = P(A) P(B) para sucesos depedetes. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = 0,4 + p - 0,4 p = 0,7 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 13
=> 0,3 = 0,6 p etoces p = 0,5 Probabldad 9 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Decmos que u cojuto de sucesos B 1, B 2,, B forma u sstema completo o partcó del espaco muestral E cuado cumple: 1. So compatbles dos a dos, B Bj s j. 2. La uó de todos ellos forma u suceso seguro ( B E). 1 S A es otro suceso cualquera, se cumple que: PA ( ) PA ( / B) PB ( ) 1 Demostracó: A = AE = A(B 1 B 2... B ) = (AB 1 )(AB 2 )...(A B ) se cumple que AB so compatbles por serlo B ( AB ) ( AB ) A( B B ) j j por tato, aplcado la fórmula de la probabldad codcoada, PA ( ) PA ( B) PA ( B )... PA ( B ) PA ( B ) PA ( / B) PB ( ) 1 2 1 1 EJEMPLO 9: Se tee dos uras: la ura úmero 1 tee tres bolas blacas y dos egras; la ura úmero 2 tee ua bola blaca y tres egras. Se elge ua ura al azar, y se extrae ua bola, cuál es la probabldad de que sea blaca? Solucó: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 14
Probabldad Ura úmero 1: {3 Blacas, 2 Negras} ; Ura úmero 2: {1 Blaca, 3 Negras} Sea los sguetes sucesos: B 1 = {elegr la ura úmero 1} B 2 = {elegr la ura úmero 2} A = {extraer bola blaca} teemos, P(B 1 ) = P(B 2 ) = ½ por seleccoar la ura al azar. P(A/ B 1 ) = 3/5 por estar stuados e la prmera ura. P(A/ B 2 ) = ¼ por estar stuados e la seguda ura. por cosguete, 31 11 3 1 17 P(A) = P(A/ B 1 ) P(B 1 ) + P(A/ B 2 ) P(B 2 ) = 52 42 10 8 40 10 TEOREMA DE BAYES B Sea el espaco muestral E y los sucesos B, B,..., compatbles dos a dos, B s j, tales que B 1 B 2... B E. S A es otro suceso cualquera, se cumple j 1 2 B que: PB ( / A) PA ( / B) PB ( ) 1 PA ( / B) PB ( ) Demostracó: obteemos, Por el teorema ateror P( A) PA ( / B) PB ( ) 1 y como P( AB) PA ( / B) PB ( ) PA ( B ) PB ( / A) PA ( ) PA ( / B) PB ( ) 1 PA ( / B) PB ( ) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 15
Probabldad EJEMPLO 10: E el ejemplo ateror supogamos que, realzado el expermeto, la bola extraída resulta ser blaca, cuál es la probabldad de que la ura de la cual se ha extraído la bola sea la ura úmero 1? Solucó: P(B / A) 1 31 3 P(A/B)P(B) 52 10 12 P(A / B 31 11 17 1)P(B 1) P(A / B 2)P(B 2) 17 52 42 40 1 1 Obsérvese como el teorema de la probabldad total os determa la probabldad a pror, s embargo el teorema de Bayes os dca la probabldad a posteror, es decr, ua vez realzado el expermeto. http://asgaturas.topografa.upm.es/matematcas/vdeos/teoremas_probabldad.wmv http://asgaturas.topografa.upm.es/matematcas/vdeos/teoremas_probabldad.mp4 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 16