Tema 2 Probabilidad. 1. Conceptos básicos. 2. Probabilidad. 3. Probabilidad condicionada. 4. Independencia de sucesos

Transcripción

1 Tema 2 robabldad. oceptos báscos 2. robabldad 3. robabldad codcoada 4. depedeca de sucesos 5. Teorema de la probabldad total 6. Teorema de ayes 7. sgacó de probabldades 8. álss combatoro

2 . oceptos báscos. Feómeos aleatoros feómeo oexpermeto se dce aleatoro s puede dar lugar avaros resultados, s que pueda ser posble aucar co certeza cuál de éstos va a ser observado e la realzacó del expermeto. Feómeos o hechos Determstas leatoros Las msmas codcoes produce guales resultados Las msmas codcoes produce dferetes resultados Motvos: Las leyes que rge el expermeto o so be coocdas yo puede formularse matemátcamete. La aturaleza del expermeto (uegos de azar). Los factores que fluye e el expermeto so muy umerosos ydfícles de medr. 2

3 La exsteca de feómeos aleatoros hace mprescdble el uso de ua fucó que asge veles de certdumbre acada uo de los deselaces del feómeo, yahí es dode aparece la probabldad. La cocrecó umérca del feómeo medate la asgacó de valores co u certo crtero, da orge ala varable aleatora..2 Espaco muestral Dado u expermeto aleatoro, el couto cuyos elemetos so los posbles resultados dferetes del msmo, recbe el ombre de espaco muestral asocado al expermeto aleatoro. Se deota por Ω. Eemplos: E el lazameto de u dado: Ω {,2,3,4,5,6} E el lazameto de ua moeda: Ω {,X} 3

4 Depededo del úmero de resultados posbles de u expermeto aleatoro, se puede establecer los sguetes tpos de espacos muestrales:. Espacos muestrales ftos: So aquellos que tee u úmero fto de elemetos. 2. Espacos muestrales ftos umerables: So aquellos e los que Ω tee u úmero fto de elemetos y puede poerse e correspodeca buívoca co los úmeros aturales. 3. Espacos muestrales ftos o umerables: So aquellos e los que Ω tee u úmero fto de elemetos y o puede poerse e correspodeca co los úmeros aturales. 4

5 .3 Sucesos Se deoma suceso a todo subcouto del espaco muestral, es decr es Ω u sucesos x xx. sucesoocurre selexpermeto aleatoro geera uo de los resultados que lo costtuye. álgebra de sucesos es el couto formado por todos los sucesos asocados au expermeto aleatoro. Se deota por: Operacoes co sucesos E el couto de álgebra de sucesos,, se defe: ó de sucesos. Dadosdos sucesos y, sedefela uó de,aotro suceso que sedeota por, que y, represetada por { es u suceso} ocurre sempre que ocurra o sempre que ocurra. 5

6 terseccó de sucesos. Dados dos sucesos y, sedefe la terseccó de y, represetada por,a otro suceso que se deota por D, que ocurre sempre que ocurra y smultáeamete. D Se utlzará la expresó probabldad couta de y para represetar la probabldad de la terseccó de y. Suceso complemetaro. Dado u suceso, se defe el complemetaro de, que se represetará por c, a otro suceso que ocurre semprequeoocurre. Suceso mposble. Dados el suceso, y su complemetaro c, uto co la operacó de terseccó, se defe u suceso que o ocurre uca; selellamasucesomposbleysedeotapor φ. c φ 6

7 Suceso seguro. El suceso complemetaro de este suceso mposble es el suceso seguro, que es precsamete el espaco muestral. c φ Ω Sucesos compatbles omutuamete excluyetes. Dados dos sucesos y, se dce que estos sucesos so compatbles s su terseccó es el suceso mposble. φ y compatbles Suceso cotedo e otro. Dados dos sucesos y, se dce que está cotedo e s sempre que ocurre ocurre. Se represeta por Dado cualquer suceso, sempre ocurre φ Ω 7

8 Dfereca de sucesos. Dados dos sucesos y, se defe la dfereca de los sucesos y, yse represeta por,elsucesoquese deotapor G, queocurra yoocurra Se observa que: es u cou- outo exhaustvo de sucesos. to exhaustvo de sucesos s: outo completo de sucesos. es u couto completo de sucesos s es exhaustvo ylos sucesos so compatbles dos a dos: Ω y u couto completo de sucesos també se le deoma partcó del espaco muestral. Evdetemete el couto de sucesos elemetales es ua clase completa de sucesos yla partcó más fa del espaco muestral. 8 G c {, 2,, } K Ω {,,, 2 } K φ s

9 Sucesos elemetales. Dado u suceso puede ocurrr que éste pueda ser descompuesto e sucesos más smples, de tal forma que la uó de éstos sea precsamete el suceso cosderado; a estos sucesos se les llama sucesos compuestos. S embargo, exste otros sucesos que o puede ser descompuestos e sucesos más smples; estos sucesos recbe el ombre de sucesos elemetales (ω, ω 2,, ω ). 9

10 0 ropedades de la uó yla terseccó de sucesos socatva: omutatva: Dstrbutva: Elemeto eutro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω para la terseccó la uó para φ φ

11 El operador complemetaro verfca: Leyes de Morga: ( ) Ω c c c c φ ( ) ( ) c c c c c c

12 .4 s-lgebra de sucesos Se dce que u couto de sucesos de u expermeto aleatoro co espaco muestral Ω es ua σ-álgebra de sucesos o u espaco de sucesos s cumple: Ω c { } N ucoutodesucesosdela σ-álgebra,selellamará sstemacompleto de sucesos sso compatbles dos ados, es decr, yla uó de todos ellos es el suceso seguro,. l par (Ω,) se le llamará espaco probablzable ysobre él se puede defr ua probabldad. φ para todo {,, 2, } K Ω 2

13 2. robabldad De forma tutva puede cosderarse la probabldad como la medda de la certdumbre de que ocurra u suceso al realzar el expermeto aleatoro e estudo. 2. Defcoes del cocepto de probabldad Defcó clásca, debda alaplace: La probabldad de u suceso es el cocete etre el úmero de casos favorables al suceso yel úmero de casos posbles. ( ) casos favorables casos posbles Los coveetes de defr así la probabldad so: No es válda cuado los sucesos elemetales o so equprobables. veces o es posble cotar los casos. 3

14 Defcó frecuetsta, debda aeroull: la probabldad de u suceso es el valor límte de ua frecueca relatva al repetr depedetemete la expermetacó. S se repte u expermeto muchas veces, se matee costate la proporcó de veces que se obtee cada uo de los posbles resultados. esta proporcó costate asocada acada uo de los posbles resultados es alo que se deoma probabldad de ocurreca de dcho resultado. Los coveetes de defr así la probabldad so los sguetes: Desde el puto de vsta del aálss o puede terpretarse el límte ateror por la mposbldad de far el úmero de repetcoes. E alguas ocasoes o es posble realzar ua expermetacó defda. Las codcoes bao las cuales se realza la expermetacó puede varar alo largo del tempo y,co ellas, las frecuecas relatvas. 4

15 Defcó axomátca de probabldad (Kolmogorov) Dado u expermeto aleatoro co espaco muestral Ω y ua σ-álgebra de sucesos de Ω, se defe fucó de probabldad asocada a dcho expermeto aleatoro a ua aplcacó de e R,,que cumple los sguetes tres axomas: : R. La probabldad de u suceso es sempre mayor ogual acero. ( ) 0 2. La probabldad del suceso seguro es gual ala udad. ( Ω) 3. La probabldad de la uó de sucesos compatbles dos ados es gual a la suma de las probabldades de cada uo de ellos. { } φ, ( ) El gra coveete de esta defcó es que o da u método para el cálculo de probabldades, por lo que e la práctca hay que basarse e las defcoes clásca yfrecuetsta. 5

16 Se llama espaco de probabldad a la tera (Ω,, ) formada por el espaco muestral (Ω), el álgebra de sucesos () y la aplcacó () verfcado los aterores axomas. 2.2 ropedades a partr de los axomas. La probabldad del suceso c esgual auo meos la probabldad de. 2. ara cualquer suceso se verfca: ( c ) ( ) 3. La probabldad del suceso mposble es cero. ( ) 0 ( φ ) 0 4. S u suceso está cotedo e otro,, etoces ( ) ( ) 6

17 7 5. Sea y dos sucesos cualesquera de, etoces S se tee tres sucesos, y. E geeral, la probabldad de la uó de sucesos vee dada por: 6. dtvdad fta: S {, 2,, } es u couto de sucesos compatbles dos ados, etoces: ( ) ( ) ( ) < L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) { }

18 3. robabldad codcoada La probabldad de u determado suceso e u expermeto aleatoro puede verse modfcada s se posee formacó ates de la realzacó del expermeto. ara modelar este tpo de stuacoes e las que se parte de ua formacó apror, se defe el cocepto de probabldad codcoada. La formacó adcoal permte reducr el espaco muestral, lo que modfca las probabldades de los sucesos. Dadou espacoprobablístco (Ω,, ) ydos sucesos ( ) > 0 deota por,a la fucó que a cada suceso le asoca u úmero real: alogamete, s se defe la probabldad codcoada de respecto a: y tal que,se defe la fucó de probabldad codcoada al suceso, y se ( ) ( ) > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8

19 Esta fucó es ua fucó de probabldad, es decr,cumple los tres axomas de la defcó de fucó de probabldad. La probabldad codcoada es muy mportate e la práctca, ya que e muchas stuacoes, pequeñas modfcacoes e la formacó básca produce cambos sustacales e las probabldades codcoadas. tlzado coutamete ambos resultados se obtee que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Regla del producto ode la multplcacó Sea, 2,, sucesos tales que > 0.Etoces, ( ) ( ) ( ) L

20 4. depedeca de sucesos Desde u puto de vsta tutvo, se dce que dos sucesos so depedetes cuado la ocurreca de uo de ellos o dce ada uevo sobre la ocurreca del otro. Dados dos sucesos,,se dce que so depedetes s: ( ) ( ) ( ) Expresó que se toma como defcó de depedeca. demás, ( ) ( ) ( ) ( s > 0) lteratvamete, ( ) ( ) ( ) ( s > 0) Es decr, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20

21 2 ara tres sucesos,la defcó aalítca es que sea depedetes dos a dos y luego los tres utos, es decr, que se cumpla las sguetes relacoes: Geeralzado a u úmero fto de sucesos se dce mutuamete depedetes s:,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, 2, K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k,, M

22 Observacoes: La depedeca de sucesos puede supoerse e alguas stuacoes y deducrse del cotexto del problema pero, e geeral, debe comprobarse expermetalmete. No debe cofudrse sucesos depedetes co sucesos compatbles, ya que estos últmos so los más depedetes que exste, pues el coocmeto de uo proporcoa la máxma formacó sobre la ocurreca del otro. S y so depedetes, també lo so y c, c y, y c y c. 22

23 5. Teorema de la probabldad total Sea, 2,, usstema completo de sucesos, co y sea u suceso cualquera. Etoces: ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 (, K ), Es decr,s el suceso puede ocurrr por algua de las causas,la probabldad de que ocurra es la suma de las probabldades de las causas por la probabldad del suceso codcoado por la causa

24 Se cosdera u expermeto que se realza e dos etapas.: ( ) ( ), ( ),, 2 K E la prmera se supoe que los posbles sucesos, costtuye u sstema completo, de tal forma que so coocdas las probabldades apror, x xxxxxxx. E la seguda etapa el resultado posble,, tee probabldad descoocda que depede de lo que ocurra e la prmera etapa. S se cooce las provabldades codcoadas verfca que: ( ), 2,, K para u certo suceso ycada,se ( ) ( ) ( ) 24

25 6. Teorema de ayes Se puede platear la probabldad de que se haya dado u determado suceso sabedo que como resultado fal del expermeto se ha obtedo otro determado suceso. El teorema de ayes també permte recosderar probabldades codcoadas utlzado la formacó de que se dspoe. També permte saber cómo debe austarse las estmacoes de la probabldad, dada la formacó adcoal. Se cosdera, bao las msmas codcoes del teorema de la probabldad total, que se está teresado e coocer la probabldad de que, ocurrdo el suceso, la causa que lo haya producdo sea la.expresado aalítcamete: ( ) El teorema de ayes establece que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), K, 25

26 Se teta calcular ua probabldad atatura,pues se pretede expresar lo que ocurre ates,, e fucó de lo que ocurre después,. De todas formas, lo ateror tee setdo porque e alguas ocasoes se cooce el resultado fal de u expermeto, pero se descooce alguos de los pasos termedos, e los que se está teresado. asos para calcular la probabldad por medo del teorema de ayes.. Se defe los sucesos de los subcoutos, dado el problema. 2. Se calcula las probabldades de estos sucesos. 3. Se calcula los complemetaros de las probabldades. 4. Se aplca el teorema de ayes para calcular la probabldad que es la solucó del problema. 26

27 7. sgacó de probabldades socadas au expermeto aleatoro exste ftas fucoes que verfca los axomas de la defcó axomátca de la probabldad y,por tato, susceptbles de ser la fucó de probabldad asocada al expermeto, sedo u grave problema e la práctca el asgar ua úca fucó de probabldad, lo cual puede hacerse por dferetes métodos: Método de las frecuecas: E muchos problemas puede comprobarse empírcamete que la frecueca relatva de u suceso se establza e toro a u úmero fo al aumetar el úmero de realzacoes del expermeto, lo que lleva adefr la probabldad del suceso como dcho úmero, esto es, como el límte de las frecuecas. Método clásco: or la propa aturaleza de alguos expermetos aleatoros es posble ecotrar relacoes que permte determar las probabldades de los sucesos elemetales. E muchas stuacoes, e los espacos muestrales ftos se da el caso de la equprobabldad, esto es, la smetría de los sucesos elemetales permte deducr que todos tee la msma probabldad y, por tato, se puede calcular la probabldad del suceso como el cocete etreelúmerode casosfavorables equesucede yelúmerode casos posbles que se puede dar.esta regla se cooce como defcó clásca oley de Laplace. 27

28 Método subetvo: E el que ua determada persoa asga de forma subetva probabldades acada uo de los posbles resultados de u proceso segú su propo uco sobre la verosmltud de cada resultado. Esta evaluacó subetva puede estar basada e experecas prevas, lo que llevaría a utlzar la metodología frecuetsta, ytambé puede basarse e la terpretacó clásca de la probabldad s se cosdera que los resultados so gualmete verosímles. or tato co este método se comba la utlzacó de los dos métodos aterores ycrteros persoales, sedo el más utlzado e la práctca. 28

29 8. álss combatoro rcpo fudametal del coteo: S se dspoe de k sucesos tales que el prmero puede ocurrr de formas dferetes, el segudo de 2 formas dferetes yasí sucesvamete, etoces el úmero de formas e que los sucesos puede ocurrr e la secueca dcada es 2 k. ombacoes Varacoes ermutacoes o repetcó S repetcó 29

30 8. ombacoes de m elemetos tomados de e Es el couto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m, co la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s, ysólo s, está formadas por elemetos dsttos, es decr, o se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. Se represeta por: m, m m!! ( m )! Dode m! represeta el úmero m factoral, y que es: ( m ) m m! 2 3 L y aálogamete para!. 30

31 8.2 Varacoes de m elemetos tomados de e Es el couto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m, co la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s, ysólo s, está formadas por elemetos dsttos os los elemetos está dspuestos e orde dstto detro de la dsposcó, es decr,se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. Se represeta por: V m ( ) L ( m ), m m + 8.3ermutacoes de m elemetos So u casopartculardelas varacoes yso varacoes de m elemetos tomados de m e m. Se represeta por: ( )! Vm, m m m L m m 3

32 8.4 Varacoes co repetcó de m elemetos tomados de e Es el couto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m, e los que evetualmete puede aparecer elemetos repetdos yco la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s tee dsttos elemetos oestá stuados e dsttos lugares, es decr,se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. Se represeta por: V m m 8.5 ermutacoes co repetcó Es el couto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar co los m elemetos, e los que e cada dsposcó cada elemeto puede aparecer, 2,, K m veces yesto e u orde determado, co L + m y, 2, K, m 0 Se represeta por: R!!! L 2 m! 32

33 8.6 ombacoes co repetcó de m elemetos tomados de e Es el couto de todas las dsposcoes dsttas que se puede formar tomado elemetos etre los m, e los que evetualmete puede aparecer elemetos repetdos yco la codcó de que dos dsposcoes será dsttas s tee dsttos elemetos, es decr,o se tee e cueta el orde de los elemetos e la dsposcó. Se represeta por: R m m + ( m + )!! ( m )! 33