SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 -
Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo. Definimos l ángulo omo l porión de plno omprendid entre dos semirrets que tienen el mismo origen. Ese punto, origen de ms semirrets, es el vértie del ángulo; ls dos semirrets son los ldos del ángulo. Cundo ls dos semirrets son perpendiulres, l ángulo se le llm reto, y undo un de ells es prolongión de l otr, el ángulo es llno. Los ángulos menores que un ángulo reto son ángulos gudos, y ángulos myores que un ángulo reto, pero menores que un ángulo llno son ángulos otusos. Dos ángulos son omplementrios si sumn un ángulo reto. Dos ángulos son suplementrios si sumn un ángulo llno. Pr medir ángulos se utilizn ls siguientes uniddes de medid: Grdos sexgesimles Rdines. En el sistem sexgesiml, un ángulo reto mide 90 grdos, un grdo equivle sesent minutos y un minuto sesent segundos. En diho sistem: 360º es el ángulo determindo por un vuelt omplet 180º es l 1/ del ángulo de un vuelt 90º es 1/4 del ángulo de un vuelt 1º es 1/360 del ángulo de un vuelt En el sistem rdil (ó irulr) se utiliz l longitud del ro omo medid del ángulo. L unidd de medid se denomin rdián. Un rdián es l medid de un ángulo entrl que r un ro uy longitud es igul l longitud del rdio de l irunfereni onsiderd. El sistem rdil es muy utilizdo en físi y que es muho más prátio y direto que trjr on grdos. Ángulo de 1 rdián Trigonometrí
L mgnitud de un ángulo medido en rdines está dd por l longitud del ro de irunfereni que sutiende, dividido por el vlor del rdio. El vlor de este ángulo es independiente del vlor del rdio; por ejemplo, l dividir un diso en n setores igules, el ángulo de d n-ésimo setor irulr es el mismo pr d setor, independiente del rdio del diso. De est form, se puede lulr fáilmente l longitud de un ro de irunfereni; solo st multiplir el rdio por el ángulo en rdines. Long. ro de irunfereni = [Ángulo en rdines] x [Rdio de l irunfereni] Y que onoemos el perímetro de un irunfereni de rdio unitrio (π r = π), entones el ángulo de un vuelt omplet, medido en rdines es π. Como demás semos que este mismo ángulo, medido en grdos mide 360º, entones podemos estleer l siguiente equivleni: π = 360º 1 rdin = 57º 17 44,8 A prtir de est iguldd, determinmos que: Equivleni entre los ángulos en rdines y grdos sexgesimles Tl de equivlenis entre ángulos Grdos sexgesimles Rdines 90º = π/ 60º = π/3 45º = π/4 30º = π/6 Reliones fundmentles: SENO, COSENO Y TANGENTE El triángulo OAC es un triángulo retángulo y lo usremos pr definir ls funiones seno y oseno. Trigonometrí 3
En un triángulo retángulo, sen α es l rzón entre el teto opuesto l ángulo α y l hipotenus, os α es l rzón entre el teto dyente l ángulo α y l hipotenus. Si usmos un irunfereni unitri (on rdio igul uno), l hipotenus del triángulo se he igul 1, entones ls reliones que estleen los vlores del seno y oseno de un ángulo son: AC AC sen α= = = AC OC 1 os α = OA OA = = OA OC 1 L relión entre el ldo opuesto y el ldo dyente se llm tngente del ángulo. AC tn α = = OA senα osα Puede ser difíil lsifir los triángulos de forms ritrris, pero podemos verifir que ulquier triángulo ABC se puede dividir siempre en dos triángulos on un ángulo reto, es deir dos triángulos on un ángulo igul 90. Estos son fáiles de trtr. Los tres ángulos de un triángulo sumn 180º por onsiguiente, en un triángulo on un ángulo reto y on ángulos gudos Α y Β Α + Β + 90 = 180 Restndo 90 de mos ldos Α + Β = 90 Ddo el vlor de un ángulo Α, el otro ángulo Β se determin fáilmente (es igul 90 - Los ldos de un triángulo se denominn (,, ) y d uno se orresponde on el nomre del ángulo opuesto él. sen Α = os Α = B C 90º A Α ) Pr diferenirlos reuerde: El sen Α tiene el ldo opuesto l ángulo Α omo numerdor de su frión y el os Α tiene el ldo dyente l ángulo Α omo numerdor de su frión Trigonometrí 4
Existe un relión simple entre el seno y el oseno de ulquier ángulo. Por el Teorem de Pitágors + = Por onsiguiente, pr ulquier ángulo (sen Α ) + (os Α ) = ( / ) + ( / ) Reordndo que sen Operndo: Α = / y os Α Α = / (sen Α ) + (os Α ) = ( / ) + ( / ) = ( + )/ Aplindo Pitágors: (sen Α ) + (os Α ) = / = 1 Oservión importnte: sen Α + os Α = 1 Tnto sen Α omo os Α deerán ser números en vlor soluto menores ó igules que 1. Es deir sen Α 1 y os Α 1 L medid de d teto es siempre menor que l medid de l hipotenus. Seno, oseno y tngente de lgunos ángulos notles ángulo grdos ángulo rdin 0 30 45 60 90 10 135 180 70 360 0 0 π 6 π 4 π 3 π 3 π 3 4 π π 3 π π 0 sen() 0 1 os() 1 3 tn() 0 3 3 3 1 1 0 3 1 - - 0-1 0-1 0 1 1 3-3 -1 0 0 Ejeriios 1) ) Clul l medid en grdos, minutos y segundos de un ángulo de rdines. β ) Enuentr ongruente on 13º tl que 0< <360º β Trigonometrí 5
) Medinte un regl de tres: π rd 360º rd x rd.360º x = x = 114º35'9,6'' π rrd ) Dividimos por 360º: 13º / 360º = 5,897... vuelts. Restndo ls vuelts omplets qued: 0,897 x 360º = 33º ) Clul seno, oseno y tngente del ángulo α en l siguiente figur: 3n α n Primermente, lulmos l longitud de l hipotenus medinte el Teorem de Pitágors: h = n + (3n) h = n + 9n h =10n h = 10n h = 3n 3 senα = = 10n 10 10n, osα = n 1 =, 10n 10 tgα = 3n n = 3 Verifi que sen α + os α =1 y que sen α = tg α osα Os: omo h represent l medid de l hipotenus, tommos + 10 n 3) Un plno inlindo tiene un longitud de 8m. Desde l se l ltur máxim es de m. Si se dese que l ltur máxim se de,5m. Cuántos metros hy que lrgr el plno inlindo sin mir el ángulo de inlinión? x 8m m,5m α Trigonometrí 6
Soluión: m 1,5m senα = = ; senα = 8m 4 8m + x 1,5m = 8m + x = 4.,5m 8m + x =10m 4 8m + x x =10m - 8m x = m Ejeritión: 1) Expres los siguientes ángulos en rdines: ) 90 ) 45 ) 30 d) 75 e) 10 f) 150 g) giros h) 300 ) Ps los siguientes ángulos l sistem sexgesiml: ) π ) π/ ) π/4 d) π/1 e) 3.π/4 f) 7.π/36 3) Resuelve los siguientes triángulos retángulos: i) = 7,6 m iii) = 75 m γ = 40 57' 4" γ = 30 19' 47" ii) = 4,18 m iv) = 4,0 m = 33,40 m = 17,15 m γ 4) En un triángulo ABC, dos de sus ldos ( y ) miden respetivmente 4 m y 5 m. Además el ángulo que formn y es de 30º. Se pide: ) L medid, en el sistem rdil, del ángulo que formn y. ) Se puede elegir l medid del terer ldo, o y está definid? ) Cuánto deerí medir pr que el triángulo resulte retángulo? d) L superfiie del triángulo en este último so. e) Un ejemplo de un situión rel que te llevrí relizr el álulo del punto d). Trigonometrí 7
5) Un poste telegráfio está situdo 3 m de l orill de un nl. En l mrgen opuest se enuentr un oservdor que dirige un visul horizontl hi el poste, y luego otr oliu hi el extremo superior del mismo, que formn un ángulo de 3º 30. El oservdor se lej del nl 15 m y dirige otr visul, pero hor on un ángulo de 7º 5 40. Clul l ltur del poste y el nho del nl, siendo que l ltur del oservdor es de 1,6 m, y que el poste y ls dos posiiones del oservdor están en un mism perpendiulr ls márgenes del nl, según muestr l figur. 1.6 m 15 m 3 m 6) En un remte se venden dos terrenos. El primero en form de retángulo de 10 m de frente por 35,5 m de fondo, se vendió en $ 14.00.-, y por el segundo, de form de romo uy digonl myor es el dole de l digonl menor que mide 140 dm, se otuvo $ 1950.- ) Por uál de los dos se otuvo el mejor promedio por m?, ) Cuál es el perímetro del segundo terreno? 7) L se myor de un trpeio isóseles mide 14 m. Los ldos no prlelos miden 10 m y los ángulos de l se miden 80º. ) Enuentr l longitud de un digonl, ) Enuentr el áre. 8) En l figur se muestr un rue de lles, tods ells de 6 m de nho) y un áre petonl tringulr. Clul el áre de est zon petonl. 0 m α α = 55º Resoluión de todo tipo de triángulos Trigonometrí 8
Pr resolver ulquier tipo de triángulos, según los dtos que dispongs, puedes utilizr: ) Teorem del seno. ) Teorem del oseno. B A Fig.1 C ) Teorem del seno: En todo triángulo ls longitudes de los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos, es deir: = senaˆ senbˆ = sencˆ Ejemplo: en el triángulo ABC (fig.1) se tiene: demás elementos. Α = 45, B = 30 y = 40m, otener los Soluión: C = 180 - ( 45 + 30 ) = 105 = senaˆ senbˆ sencˆ =, por lo tnto: = xsenbˆ senaˆ y = xsencˆ senaˆ 40mxsen30 = = sen45 1 40mx = 0 m = 40mxsen105 sen45 40mx0.97 54.64m Rt.: C = 105, = 0 m y =54.64m ) Teorem del oseno: En todo triángulo el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos, menos el dole produto de ellos por el oseno del ángulo que determinn. Es deir: = + os Α Trigonometrí 9
= + os B = + os C Ejemplo: Clulr el perímetro del triángulo ABC (fig1) = 10m, = 1 m y B = 60 Soluión: B = + os = 100 + 144 40 0.5, = 11.14m perímetro = 10m + 1m + 11.14 m = 33.14m Rt. El perímetro es 33.14m Trjo prátio N 1- Resuelve los siguientes triángulos, expres los ángulos en el sistem sexgesiml y en el rdil: i) = 0 m ii) Α = 80 y = 15 m = 1 m y B = 30 B = 40 - Cuál es el lrgo de l somr de un edifiio de 30m undo el sol está 0 sore el horizonte? 3 -Los ángulos de l se de un triángulo isóseles son de π/6 y l ltur es 15m. Otener l longitud de l se. 4- Dos fuerzs de 10 y 15 N formn un ángulo reto enontrr su resultnte. 5- Si l resultnte de un sistem de dos fuerzs de 0 y 30 N es de 40 N, lulr el ángulo que formn ls misms. 6- Hll l omponente vertil y horizontl de un fuerz de 10 N que form un ángulo on l horizontl de 80. 7- Siendo H un fuerz horizontl hi l dereh de 15N y V un fuerz vertil hi rri de 5N determin módulo, direión y sentido de l fuerz equilirnte de este sistem. 8- Clul l resultnte en d so: - F = 1N, F = 16 N ángulo que formn 30 - F = 1N, F = 16 N ángulo que formn 150 9- Ls medids de los ldos de un triángulo esleno son, 10m, 0m y 30m. Clul sus ángulos. Trigonometrí 10