Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES UNIDAD VI VI. TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR Se u poliomio e de l form: P,,, L, 0 dode 0 so coeficietes uméricos N, c R es u cero o rí, de se dice que P si sólo si P ( c) 0 el úmero que tom l vrible pr que el vlor umérico de P se cero. ) E el poliomio P que P 0, sus ríces so: que P 0 ) E el poliomio P, sus ceros so: 0 que P ( 0) ( 0) 0 0 0 0 que P 0 P, sus ríces so: ) E el poliomio 0 que P ( 0) 0 ( 0) ( 0) 0 0 0 0 que P 0 0 que P 0 Algoritmo de l divisió pr poliomios Ddos dos poliomios P (llmdo dividedo) dividedo se mor que el grdo del divisor Q 0. Etoces, pr P Q eiste dos poliomios úicos c Q c r P. Es decir, l rí de u poliomio es Q (llmdo divisor) de modo que el grdo del r tles que cumple co: El poliomio c se llm cociete r es el residuo de l divisió cuo grdo es meor que el de P.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Se u poliomio Teorem del residuo P de grdo R. Si el poliomio P se divide por, etoces el residuo es Demostrció: Si se divide dode P etre se tiee: Q es el cociete R es el residuo. se obtiee: Si hor se evlú P Q( ) R 0 R R De dode P es el residuo. Ejemplo. Se el poliomio: Solució. Dividiedo el poliomio por : Q( ) R P P. P, comprobr el teorem de residuo si se divide por hor, evludo pr : P 0 Los resultdos so igules, lo que comprueb el teorem del residuo. Teorem del fctor Si es u rí del poliomio P, etoces fctor de P, etoces es u rí del poliomio. Esto es: Demostrció: Si P. es u fctor del poliomio. O bie, si es u 0 es u fctor de P. es fctor de P etoces se cumple que: P Q( ) porque P Q( ) 0 por lo tto, es rí de l ecució P 0.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Pero si es rí de l ecució P 0, esto implic que P 0 Si se plic el teorem del residuo se tiee que: P Q( ) P Q( ) 0 Q( ) es fctor de P. por lo tto Ejemplo Determir si es fctor del poliomio P 0 Solució: Si es fctor, es rí, etoces debe cumplir que el residuo se cero: P ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Por lo tto, es fctor del poliomio Comprobdo: 0 0 0 0 0 Por lo tto se cumple que: 0 ( )( ) Divisió sitétic. Por el teorem del residuo, si es u rí del poliomio P, etoces pues el residuo de dividir P etre L,,,,. P P es divisible por, es cero. A cd uo de ls ríces se les desig por Esto es, ddo el poliomio 0 puede fctorir como: P ( )( )( ) L( ), etoces se, es decir, u poliomio de grdo tiee ectmete ríces. L pricipl ró de fctorir u poliomio es ecotrr sus ríces. Geerlmete, pr recoocer ls ríces eters de u poliomio co coeficietes eteros se tiee e cuet que ésts so divisores del térmio idepediete. Así, ls ríces eters del poliomio P está etre los divisores de. Por lo tto, puede ser ríces de. E el poliomio terior, si se prueb pr : P cero, se coclue que P o es divisible por. P los úmeros,,,,,,,,,,, puesto que el residuo es distito de
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Ahor, si se prueb pr : P 0 se coclue que P es divisible por., puesto que el residuo es cero, Pr descompoerlo e fctores se prueb sucesivmete por tods ells plicdo u lgoritmo llmdo Regl de Ruffii que plic el teorem del residuo verificdo cul de estos vlores d como residuo cero. Este es u procedimieto que permite hllr el cociete el residuo si efectur l secueci descrit teriormete. Est regl plic sólo si el divisor es u poliomio de l form. E geerl, l divisió sitétic es u procedimieto brevido pr relir l divisió de u poliomio de P sólo sirve pr obteer ls ríces eters. l form 0 epresdo como etre u poliomio liel L metodologí pr ecotrr ls ríces eters de u poliomio medite l divisió sitétic es l siguiete: L disposició práctic requiere que e u primer regló se escrib los coeficietes del dividedo ordedo de form descedete completo hst el térmio idepediete. A l iquierd de u líe verticl se escribe u vlor de prueb como probble rí, que como se mecioó es u divisor de 0. El primer coeficiete del dividedo se copi bjo e u tercer fil e l mism colum. Se multiplic el vlor de prueb por el primer coeficiete de l tercer fil el resultdo se escribe debjo del siguiete coeficiete del dividedo. Se sum los coeficietes de l segud colum el resultdo se escribe e l tercer fil. El resultdo obteido e el pso terior reiici el ciclo: se multiplic por el vlor de prueb el resultdo se escribe debjo del siguiete coeficiete del dividedo. Nuevmete se sum los coeficietes de l tercer colum el resultdo se escribe e l tercer fil El proceso cotiú hst que se obteg el resultdo de l últim colum. Este vlor es el residuo. Si es cero etoces el vlor de prueb es u rí del poliomio De o ser u rí, se repite l metodologí co otro vlor de prueb hst ecotrr u vlor cuo residuo se cero. Cudo el residuo es cero, los vlores de l tercer fil represet los coeficietes del poliomio reducido se efectú el mismo procedimieto co estos coeficietes hst que se llegue u poliomio de grdo uo, fi de que se pued despejr pr obteer l últim rí. Ejemplo. Ecotrr ls ríces eters de los siguietes poliomios: ) 0 Solució. Ls posibles ríces so:,,,,,, Probdo co : 0 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co :
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 L primer rí es El poliomio reducido que qued es: 0 despejdo se tiee l segud rí: ) 0 Solució. Ls posibles ríces so:,,,,,,,,,,,,,,. Probdo co : 0 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 L primer rí es Trbjdo hor co el poliomio reducido: Probdo co : 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 L segud rí es El poliomio reducido que qued es: 0 despejdo se tiee l tercer rí: ) 0 Solució. Ls posibles ríces so:,,,,,, Probdo co :.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 0 L primer rí es Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 L segud rí es El poliomio reducido que qued es: 0 despejdo se tiee l tercer rí: ) 0 Solució. Ls posibles ríces so:,,,,,,,,,,,,,,,,,, Probdo co : 0 0 0 L primer rí es Trbjdo hor co el poliomio reducido: Probdo co : 0 0 0 0 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co :.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 0 0 L segud rí es Trbjdo hor co el poliomio reducido: Probdo co : 0 0 Por lo tto, o es rí. Probdo co : 0 L tercer rí es El poliomio reducido que qued es: 0 despejdo se tiee l curt rí: VI. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS U epresió lgebric rciol es el cociete de dos poliomios: P Q Ls epresioes rcioles tiee ls misms propieddes que los úmeros rcioles. Como o se puede dividir por cero, ls sustitucioes de vribles que hce que el deomidor se cero o so ceptbles. ) E l epresió rciol ) E l epresió rciol ) E l epresió rciol, o puede ser 0, o puede ser, o puede ser igul. U epresió rciol está e su míim epresió cudo el umerdor el deomidor o tiee fctores comues diferetes de ) L frcció es su míim epresió que i i so fctores de
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) L frcció o es su míim epresió que es u fctor comú del umerdor del deomidor. Pr simplificr epresioes rcioles, se procede de form similr cudo se simplific úmeros rcioles, es decir, se fctori el umerdor el deomidor. Los fctores se simplific hst. L epresió simplificd es igul l o simplificd ecepto pr quellos vlores e los que el fctor que se ccele se igul cero. Simplificr ls siguietes epresioes rcioles: ) ) ) ) ) ) E est epresió rciol o puede ser 0, como es el fctor que se ccel etoces se cumple que: porque 0.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Pr sumr frccioes se efectú el mismo procedimieto que se emple cudo se sum úmeros rcioles. E geerl: Se reduce ls frccioes lo más posible. Se descompoe los deomidores Se hll el míimo comú múltiplo (MCM) de los deomidores, obteiedo sí el deomidor comú. Pr hllr el umerdor resultte, se divide el MCM por el deomidor se multiplic el cociete obteido por el umerdor correspodiete, esto covierte l umerdor e u poliomio que debe descompoerse e fctores pr filmete simplificr. Efectur ls opercioes lgebrics siguietes: ) Solució. Se obtiee el MCM de los deomidores: : ( ) ( ) ) 0 Solució. Se obtiee el MCM de los deomidores: 0 : ( ) ( ) ( ) 0 reduciedo: 0 0 0 0 ) Solució. Se descompoe el tercer deomidor e sus fctores: ( )( ) se obtiee el MCM de los deomidores: ( )( ) : ( ) ( ) ( )( ) elimido prétesis:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 0 fctorido: ) Solució. Se descompoe los deomidores e sus fctores: reduciedo: se obtiee el MCM de los deomidores: : elimido prétesis: ) 0 Solució. Se descompoe los deomidores e sus fctores: reduciedo: 0 ) Solució. Se descompoe los deomidores e sus fctores: se obtiee el MCM de los deomidores: :
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios elimido los prétesis ordedo: fctorido el umerdor simplificdo: ) Solució. Se descompoe los deomidores e sus fctores: se obtiee el MCM de los deomidores: : fctorido el umerdor simplificdo: Pr multiplicr epresioes rcioles se procede de form similr que co los úmeros rcioles. Multiplicr ls siguietes epresioes lgebrics: ) 0 Solució. Se descompoe l frcció e sus fctores: 0 simplificdo: 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) 0 Solució. Se descompoe l frcció e sus fctores: fctorido el triomio: simplificdo: 0 ) Solució. Tomdo como fctor comú l e el umerdor de l primer frcció l e el deomidor de l segud: fctorido: simplificdo: ) 0 0 Solució. Tomdo como fctor comú l e el umerdor de l primer frcció l e el deomidor de l segud: 0 0 fctorido: simplificdo:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 0 0 Pr dividir epresioes rcioles se procede de l mism form que se efectú co los úmeros rcioles. Pr dividir epresioes rcioles, se multiplic l primer epresió por el recíproco del divisor. Dividir ls siguietes epresioes lgebrics: ) Solució. Simplificdo: 0 ) Solució. Fctorido ls frccioes l máimo: simplificdo:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) 0 0 Solució. Fctorido ls frccioes l máimo: 0 ( ) ( ) simplificdo: 0( )( ) ) 0 0 Solució. El MCM de de es:, por su prte, el MCM de por lo que escribiedo l epresió como el cociete de dos frccioes se tiee: ( ) ( ) ( )( ) reduciedo: ( )( ) ( )( ) fctorido: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) simplificdo: ( ) es: ( )( ),
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios VI. OPERACIONES CON RADICALES U rdicl es culquier rí idicd de u epresió. L rdicció es l operció ivers de l potecició se represet por el símbolo epresió deomid subrdicl., dode es el ídice del rdicl detro se ubic u Pr resolver u rí, se busc u ctidd que elevd u epoete igul l ídice del rdicl se igul l subrdicl. El rdicl puede ser rciol si l rí idicd es ect o irrciol si o lo es. ) El subrdicl de l epresió es ) es u rdicl rciol porque su resultdo,, es ecto. ) es u rdicl irrciol porque su resultdo o es ecto. ) c d es u rdicl de curto grdo E los rdicles de segudo grdo se omite su ídice, esto es:. Si b, es u rí eésim de b. Ejemplos etoces es u rí cudrd de etoces es u rí curt de ) Si ) Si Si es pr, 0 Ejemplos, por lo que u úmero egtivo o puede teer rí eésim. ) Si o tiee rí cudrd e R. ) Si o tiee rí set e R. Si es pr b, tmbié b, sí que b tiee dos ríces eésims,. Ejemplos ) Como ) Como, so ríces cudrds de., so ríces curts de. Si es impr, todo úmero rel tiee ectmete u rí eésim. Ejemplos ). )
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Si b 0, h u úic rí eésim o egtiv de b represetd por b Ejemplo. Si, etoces es u rí cudrd de como. Pero deot eclusivmete l rí o egtiv de., es otr rí cudrd de Si 0, m, N, le de epoetes frcciorios estblece que: m m Esto es, culquier epresió elevd u epoete frcciorio es igul u rí cuo ídice es el deomidor el subrdicl es l mism epresió elevd l poteci que tiee el umerdor. E el cso prticulr, si m, se tiee que: Los rdicles cumple co ls siguietes propieddes: ) El producto de dos rdicles de u mismo ídice es igul l rí del producto de los subrdicles. Esto es: b b si > 0, b > 0, N. ) El cociete de dos rdicles de u mismo ídice es igul l rí del cociete de los subrdicles. Esto es: si >, b > 0, 0 N. b b ) U rdicl de ídice elevdo u poteci m equivle u rí de ídice de subrdicl m m elevdo l poteci m. Esto es: ( ) si > 0, m, N. ) L rí de ídice m de u rdicl de ídice es equivlete u rí de ídice de u rdicl de ídice m es igul u rí de ídice m. Esto es: m m m si >, m, 0 N. Es importte otr que l sum lgebric de dos rdicles de culquier ídice o es igul l rí de l sum lgebric de los subrdicles. Es decir: ± b ± b De cuerdo co l le de epoetes frcciorios de ls propieddes de los rdicles, el objetivo de simplificr u rdicl es epresrlo e su form más simple. Es decir, u rdicl está simplificdo cudo: No se puede etrer igú fctor del rdicdo (es el meor posible). No puede reducirse su ídice (es el meor posible). El rdicdo o es u frcció. No h rdicles e el deomidor de u frcció. VI.. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL U rdicl se puede simplificr cudo cotiee fctores cuos epoetes so divisibles por el ídice se procede de l siguiete mer: L prte uméric del subrdicl se descompoe e fctores de tl form que se potecis co epoetes múltiplos del ídice de l rí, fi de poder etrer del rdicl. L prte literl del subrdicl se descompoe de tl mer que se eprese l mor prte posible co epoetes múltiplos del ídice de l rí.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) ) k k k k k k k 00 ) ) v w v w v v w w vw v w ) b ( b) ( b) b ) m m ( m m ) ( m ) ( m ) ) b b b b b b b b b ) b c b bc c b bc c b c bc VI.. INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL E este cso se elev l epresió por itroducir l poteci que idique el ídice del rdicl, se efectú el producto de subrdicles el resultdo se epres co el mismo ídice. ) 0 ) ) α β ( α ) β α β α β ) ) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w ) b b b b ) ( ) k k k k m k m k m k m m m m ) 0 VI.. EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR Otr form de simplificció de u rdicl cosiste e trsformrlo uo equivlete que pose u ídice meor. Pr ello, se epres cd uo de los fctores del subrdicl e su form de epoete frcciorio, se simplific ls frccioes se vuelve trsformr rdicl. )
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) k k k k k ) ) m m m m ) 0 0 0 0 ) eh h e h e h e h e ) β α β α β α β α β α ) VI.. OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE. Rdicles semejtes so quellos que tiee igul rdicdo el mismo ídice, es decir, sólo difiere por el coeficiete. ) so rdicles semejtes ) b b so rdicles semejtes ) o so rdicles semejtes Pr sumr o restr rdicles se simplific su form más elemetl se reduce los rdicles semejtes. ) 0 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 00 0 0 0 0 00 0 ) 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) 0 00 00 0 0 ) Pr efectur l multiplicció de rdicles se multiplic respectivmete los coeficietes los subrdicles, ubicdo este último producto bjo el sigo de rdicl se simplific. ) ) 0 0 0 0 ) b b b b ) 0, 00 0 Pr dividir dos rdicles, se divide respectivmete los coeficietes los subrdicles, ubicdo este último cociete bjo el sigo de rdicl se simplific. ) ) 0 k ) k k k k k k ) VI.. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERENTE Los rdicles o semejtes o se puede reducir, por lo que l sum l rest o so posibles. Pr multiplicr dos rdicles de diferete ídice: Se hll el MCM de los ídices. El MCM se divide etre cd ídice de l rí cd rdicdo se elev este resultdo. Se resuelve los rdicdos como poteci de otr poteci, es decir multiplicdo los epoetes. Se multiplic los rdicdos como potecis de l mism bse, es decir sumdo los epoetes. El rdicdo se descompoe e fctores procurdo que se potecis co epoetes múltiplos del ídice de l rí, fi de poder etrer del rdicl quell prte que lo permit.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) el ídice comú es, por lo tto: ) ( ) b el ídice comú es, por lo tto: ( b) ( ) b ( ) b b ) 0 0 b b b b el ídice comú es, por lo tto: b b ( b ) ( b) b b b b b ) m b b m el ídice comú es, por lo tto: m m m 0 0 m m Pr dividir dos rdicles de diferete ídice: 0 0 ( m ) m m m m m m m m m m m Se hll el MCM de los ídices. El MCM se divide etre cd ídice de l rí cd rdicdo se elev este resultdo. Se resuelve los rdicdos como poteci de otr poteci, es decir multiplicdo los epoetes. Se divide los rdicdos como potecis de l mism bse, es decir restdo los epoetes. El rdicdo se descompoe e fctores procurdo que se potecis co epoetes múltiplos del ídice de l rí, fi de poder etrer del rdicl quell prte que lo permit. ) el ídice comú es, por lo tto: b ) ( ) el ídice comú es, por lo tto: 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios b ) m m ( b) ( ) b el ídice comú es, por lo tto: m ) m ( m ) ( m ), m m el ídice comú es, por lo tto: ( ) ( ) 0, 0 b, m b 0 b, m m pr etrer l rí de u rdicl, se multiplic los ídices se simplific. ) ) ) 0 0 ) VI.. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES b m, m Rciolir cosiste e elimir los rdicles del deomidor de u frcció. Pr logrr esto, se multiplic ls dos compoetes del cociete por u epresió que coteg el rdicl por elimir que cumpl que l multiplicrse, el deomidor resulte u epresió rciol. Rciolir ls siguietes frccioes: ) multiplicdo el umerdor el deomidor por : ) multiplicdo el umerdor el deomidor por :
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 0 ) multiplicdo el umerdor el deomidor por : ) multiplicdo el umerdor el deomidor por : Ejemplo. Efectur l operció rciolir el resultdo. Solució. Cudo se quiere rciolir u frcció cuo deomidor se u biomio que pose rdicles de segudo grdo, se multiplic ls dos compoetes del cociete por el biomio cojugdo del deomidor se simplific. Rciolir ls siguietes frccioes: ) multiplicdo el umerdor el deomidor por, que es el biomio cojugdo del deomidor: ) multiplicdo el umerdor el deomidor por, que es el biomio cojugdo del deomidor: 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) multiplicdo el umerdor el deomidor por, que es el biomio cojugdo del deomidor: 0 ) multiplicdo el umerdor el deomidor por, que es el biomio cojugdo del deomidor: VI. INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Eiste úmeros llmdos complejos que form u sistem umérico que comprte muchs propieddes co los úmeros reles. E este sistem es posible ecotrr solucioes ecucioes como r co r R pr los cules el cojuto de los úmeros reles result isuficiete. Se defie como uidd imgiri i l úmero que elevdo l cudrdo es. Formlmete, el cojuto de los úmeros imgirios I, se defie como: Ejemplos de úmeros imgirios: i i. i i Ddo que I { bi b R, i }, etoces l solució de u rí cudrd de u úmero rel egtivo siempre está ddo por l rí o egtiv i. ) i ) i ) i
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Ls potecis de l i cumple lo siguiete: i i i i i i i i ( i) i i i ( i) i i i i i i i i i i i De cuerdo co lo terior, e los úmeros imgirios o se cumple que Efectur los siguietes productos de úmeros imgirios: ) i i i ) i i i i ( i) i i i i i 0i, 00i 0 i 0 ) i i i i i ) i ) ( i) ( i) i i, 0i, 0, 0 Se deomi úmero complejo tod epresió de l form bi dode b si < 0., so úmeros reles e i es l uidd imgiri. El primer térmio del biomio es l prte rel del úmero complejo l segud es su prte imgiri (que es u úmero rel multiplicdo por l uidd imgiri). E térmios geerles, el cojuto de los úmeros complejos, deotdo por C, e form biómic puede epresrse de l siguiete form: Ejemplos de úmeros complejos: i i i.. i π C { bi,, b R, i } Si 0, el úmero complejo es u imgirio puro. Si b 0 el úmero complejo es u úmero rel. De esto, se deduce que los úmeros reles los úmeros imgirios so subcojutos de los úmeros complejos:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Números reles bi Números imgirios Números Complejos bi U úmero complejo es igul cero sólo si sus dos prtes so igules cero. Dos úmeros complejos so igules si so igules sus respectivs prtes reles e imgiris. Sum de úmeros complejos Se bi c di dos úmeros complejos, etoces se defie como: Sumr los siguietes úmeros complejos: ) i i Solució: ( ) ( ) i i ) i i Solució: ( ) i ).. i.. i Solució: i ( c) ( b d )i (. (. ) ) (. (. ) ) i 0.. i Rest de úmeros complejos Se bi c di dos úmeros complejos, etoces se defie como: ( c) ( b d )i Restr los siguietes úmeros complejos: ) i Solució: i
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ( ) ( ) i i i ) i Solució: i 0 i i ).. i.. i Solució: (. (. ) ) (. (. ) ) i 0. i Producto de úmeros complejos bi c di dos úmeros complejos, etoces viee ddo por: ( bi) ( c di) c di bci bdi, pero cosiderdo que Se respectivs prtes reles ls imgiris, se tiee que: ( c bd ) ( d bc)i Multiplicr los siguietes úmeros complejos: ) i i Solució: ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) i ( ) ( 0) i i i ) i Solució: i i ). i 0. i Solució: i i ( 0 )i (. ( 0) (. ) ). (. ) (. ) (. 0) i.. i Complejos cojugdos i grupdo ls Dos úmeros complejos se llm cojugdos si tiee igules sus compoetes reles opuests sus compoetes imgiris. Esto es, ddo u úmero complejo bi, su cojugdo deotdo como es: bi.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) i i ).. i.. i ) i i Cociete de úmeros complejos Se bi c di dos úmeros complejos. Pr obteer bst co multiplicr el umerdor el deomidor por el complejo cojugdo del fi de que el deomidor resultte se rel: ordedo se tiee: bi c di c di bci bdi c di c di c d i ( c bd ) ( bc d ) c d i Ddos los siguietes úmeros complejos, obteer el cociete : ) i i Solució: [ ( ) ( )( )] [( )( ) ( )( )] i ( 0 ) ( ) i i i ) i Solució: i [ ( ) ] [ ( )( ) ] i ( ) ( 0 ) ( ) i 0 0i 0 ) i Solució: i [ ( ) ] [( )( ) ] i ( ) ( ) ( ) i i i i