TEMA 7 RENTAS FRACCIONADAS. INTRODUCCIÓN En la actvdad normal de las entdades fnanceras es muy frecuente ue la perodcdad con ue se hacen efectvos los sucesvos térmnos no sean anuales, como hasta ahora hemos vendo estudando, producéndose pagos y cobros mensuales, trmestrales, semestrales, etc., es decr, para perodos dstntos al año. Una renta fracconada, es una sere de captales dsponbles ue se van producendo en períodos nferores al año. (mensualmente, trmestralmente, etc. а а 2 а 3 а n- а n 0 2 3 n- n 2. RENTA FRACCIONADA, CONSTANTE, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE 2. Valor actual de una renta nmedata postpagable, en funcón del tanto fracconado V o ( Sean а, а 2, а 3,..., а n-, а n, los nomnales de varos captales, con vencmentos en, 2, 3,..., n-, n perodos respectvamente y ueremos calcular su valor actual, V 0. Gráfcamente: V 0 =? а а 2 а 3 а n- а n 0 2 3 n- n S todos los captales son guales а = а 2 =... = а n = а su valor actual, Vo ( = V 0 será: Vo = A ( + + A ( + 2 + A ( + 3 +. + A ( + n- + A ( + n Vo( = A A n : = tanto fracconado (mensual, trmestral etc. A =Cantdad ue se paga en el perodo fracconado (Mensualdad, trmestraldad, etc. n = Número de perodos fracconados (meses, trmestres, Etc. Calcular el valor actual de una renta nmedata postpagable de 4.000 euros trmestrales ue vamos a recbr durante 3 años s se valorada al 3% de nterés compuesto trmestral. Vo( = A A n : Vo( = 4.000 A 2 :0,03 Vo ( = 4.000 9,954004 Vo ( = 39.86,02 2.2 Valor actual de una renta nmedata postpagable, en funcón del tanto anual En la epresón obtenda en el epígrafe anteror: sabendo ue: V o ( = A (+ n (+ n ( + = ( + n = y susttuyendo: V o ( = A (+ n (+ n Pág.
V o ( = A (+ n (+ n S multplcamos y dvdmos por y reordenamos: V o ( = A (+ n (+ n V o ( = A (+ n (+ n nos ueda: V o ( = A A n : Nota: en adelante = factor de fracconada j Una nsttucón educatva me ofrece en concepto de beca 500 euros al fnal de cada mes durante 2 años. Qué captal euvalente a todas las mensualdades debería percbr hoy s la valoracón se hace al 6% de nterés compuesto anual? (,06 = ( + 2 2 2 = 0,00486755 J 2 = 2 2 J 2 = 0,05840606 Vo ( = A A n : j Vo ( = 500 A 2:0,06 2 0,06 0,05840606 Vo ( = 500,8333923 2,027207 Vo ( =.299,68 2.3 Valor fnal de una renta nmedata postpagable, en funcón del tanto fracconado (Vn ( Sean а, а 2, а 3,..., а n-, а n, los nomnales de varos captales, con vencmentos en, 2, 3,..., n-, n perodos respectvamente y ueremos calcular su valor fnal, V n. Gráfcamente: а а 2 а 3 а n- а n V n =? 0 2 3 n- n S todos los captales son guales а = а 2 =... = а n = а, su valor fnal, V f( = V n será: V n =? а а а а а 0 2 3 n- n y su epresón fnancera: Vn ( = A ( + n - + A (+ n-2 + A ( + n-3 +.. + A ( + + A ( + 0 V n ( = A ( + n - V n ( = A S n: Pág. 2
2.4 Valor fnal de una renta nmedata postpagable, en funcón del tanto anual S partmos del valor fnal para el caso de una renta anual a tanto de nterés anual: Vn = A S n: Y la multplcamos por el factor de fracconada : j V n ( = A S n: J 2.5 Calculo del Valor fnal (V n ( a partr del Valor actual (V o ( Sea V a( el valor actual de varos captales а, а 2, а 3,..., а n-, а n, con vencmentos en, 2, 3,..., n-, n perodos, respectvamente. S todos los captales son guales а = а 2 =... = а n = а y calculamos su valor actual con: V a( = A A n:. Gráfcamente: V a( =? а а а а а 0 2 3 n- n para obtener el V f(, bastará con captalzar V a( hasta el momento n: V a( V f( =? 0 2 3 n- n Es decr: V n ( = V o ( ( + n Nota: en adelante (+ n = factor de valor fnal para rentas fracconadas Tambén podríamos multplcar el V o ( por el factor de valor fnal (+ n : V n ( = V o ( ( + n Nota: Todo lo anteror, nos lleva a refleonar y poder determnar ue los factores de: valor fnal (+ n = (+ n prepagable (+ (+ dferda antcpada V d = V d (+ h = (+ h serán los msmos ue obtuvmos para rentas anuales, pero adaptándolos a rentas fracconadas, según los casos. Por ello en el resto de epígrafes nos lmtaremos a aplcar dchos factores a la renta en cuestón. Pág. 3
3. RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMETRICA, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE 3. Valor actual de una renta nmedata postpagable en funcón del tanto fracconado (V a (, p.g. Tomando la epresón, obtenda en el tema anteror, para rentas anuales varables en progresón geométrca: - n V n V o (p.g. = ( A + - y aplcándole los crteros desarrollados en los epígrafes anterores obtendríamos: Vo (, p. g. = a + n n V A = Cantdad prmer térmno = razón correspondente al perodo fracconado (mes, trmestre, etc. V = ( + - = tanto fracconado n = número de perodos fracconados epresón ue sera válda para el caso en el ue la razón de la progresón vara de forma -esmal, es decr, cada perodo. Ejemplo : Calcular el valor de cada térmno de una renta nmedata postpagable trmestral durante 0 años, s se valora al 8% de nterés efectvo anual, los pagos crecen trmestralmente a razón del 3% y su valor actual es de 0.000 euros. (,08 = ( + 4 4 4 = 0,09426547 0.000 = A (,03 40 (,09426547 40,09426547,03 A = 206,94 Solucón: Prmer año: A = 206,94 ; A 2 = 23,4 ; A 3 =29,54 ; A 4 = 226,2 Segundo año: A 5 = 232,9 ;A 6 = 239,89 ; A 7 = 247,09 ; A 8 = 254,50 3.2 Valor actual de una renta nmedata postpagable en funcón del tanto fracconado (V a (, g La razón vara anualmente En el apartado anteror hemos consderado ue la razón de la progresón vara de forma -esmal, pero suele ocurrr, en la mayoría de los casos, ue la renta vara de forma anual, sendo guales todos los pagos fracconados dentro del msmo año. S partmos de: - n V n V o (p.g. = ( A + - tenendo en cuenta ue la progresón vara anualmente, para transformarla en fracconada bastará con aplcarle a la epresón anteror el factor de conversón de renta anual en fracconada : V o (, p.g. = ( A - n V n + - Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de, pero los pagos son -esmales, es decr, en cada perodo anual los pagos -esmales son guales. Calcular el valor de cada térmno de una renta nmedata postpagable trmestral durante 0 años, s se valora al 8% de nterés efectvo anual, los pagos crecen anualmente a razón del 3% y su valor actual es de 0.000 euros. (,08 = ( + 4 4 I 4 = 0,09426547 J4 = 4 4 J 4 = 4 0,09426547 J 4 = 0,077706876 j 0.000 = ( A -,03 3 (,08-0 0,08 4,08,03 0,0770687 A = 32,63 Pág. 4
4. RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMETICA, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE 4.. Valor actual de una renta nmedata postpagable en funcón del tanto fracconado V o (, p.a. Tomando la epresón, obtenda en el tema anteror, para rentas anuales varables en progresón artmétca: V o (p.a. = A A n, + (A n, n V n y aplcándole los crteros desarrollados en los epígrafes anterores obtendríamos: V o (, p.a. = A A n, + (A n, n V n epresón ue sera válda para el caso en el ue la razón de la progresón vara de forma -esmal, es decr, cada perodo. Calcular el valor de cada térmno de una renta nmedata postpagable trmestral durante 4 años, s se valora al 8% de nterés efectvo anual, los pagos crecen trmestralmente a razón de 30 euros y su valor actual es de 0.000 euros. 0.000 = (A A 6 : 0,09426547 + (,08 = (+ 4 4 4 = 0,09426547 30 (A 0,09426547 6 : 0,09426547 6 (,09426547 6 a = 520,4 (Solucón: Prmer año a = 520,4, a 2 =550,4, a 3 = 580,4 a 4 = 60,4, (Solucón: Segundo año a 5 = 640,4, a 6 =670,4, a 7 = 700,4 a 8 = 730,4, etc. 4.2 Valor actual de una renta nmedata postpagable en funcón del tanto En el apartado anteror hemos consderado ue la razón de la progresón vara de forma -esmal, pero puede ocurrr, ue la renta varíe de forma anual, sendo guales todos los pagos fracconados dentro del msmo año. S partmos de: V o (p.a. = A A n, + (A n, n V n y tenendo en cuenta ue la progresón vara anualmente, para transformarla en fracconada bastará con aplcarle a la epresón anteror el factor de conversón de renta anual en fracconada: K V o (p.a. = (A A n, + (A n, n V n Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de, pero los pagos son -esmales, es decr, en cada perodo anual los pagos -esmales son guales. Calcular el valor de cada térmno de una renta nmedata postpagable trmestral durante 4 años, s se valora al 8% de nterés efectvo anual, los pagos crecen anualmente a razón de 20 euros y su valor actual es de 0.000 euros. (,08 = (+ 4 4 4 = 0,09426547 = J 4 = 0,09426547 4 J 4 = 0,077706876 V o (p.a. = (A A n, + (A n, n V n 0.000 = (A A 4 : 0,08 + 20 0,08 (A 0,08 4 :_ 0,08 4 V 4 4 0,077706876 A = 564,68 Pág. 5