Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El 6 6 es: a) / b) c) 0 El 6 es: a) b) c) Dada la fució represetada gráficamete e la figura 9., determia cuál de las siguietes afirmacioes es cierta: a) f(), asítota horizotal b) c) f(), f() f() f(), 8 9 El es: a) ee b) e c) 0 Idica las discotiuidades de la siguiete fució defiida a trozos: f() si si a) E, discotiuidad asitótica. E, discotiuidad asitótica. b) E y, discotiuidad evitable. E, discotiuidad asitótica. c) E, discotiuidad evitable. E, discotiuidad asitótica. MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. FIGURA 9.. 6 7 El ( ) es: a) b) c) 0 X 0 El es: a) b) c) 6 El ( es: ) ( ) a) b) 0 c) Si la fució f() es tal que f(a) y f(), se puede a asegurar que f() es cotiua e a? a) No. b) Sí. c) E alguas ocasioes. 9. Límite y cotiuidad 7
Solució de la evaluació (Se idica co las respuestas correctas) Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / El 6 es: a) b) c) Dada la fució represetada gráficamete e la figura 9., determia cuál de las siguietes afirmacioes es cierta: a) f(), asítota horizotal b) f(), f() c) f(), f() FIGURA 9.. El ( ) 6 7 es: a) b) c) 0 X 6 El es: a) b) c) 0 El 6 7 6 es: a) / b) c) 0 8 El es: a) ee b) e c) 0 9 Idica las discotiuidades de la siguiete fució defiida a trozos: 0 f() si si a) E, discotiuidad asitótica. E, discotiuidad asitótica. b) E y, discotiuidad evitable. E, discotiuidad asitótica. c) E, discotiuidad evitable. E, discotiuidad asitótica. El es: a) b) c) 6 El ( es: ) ( ) a) b) 0 c) Si la fució f() es tal que f(a) y f(), se puede a asegurar que f() es cotiua e a? a) No. b) Sí. c) E alguas ocasioes. MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. 8 9. Límite y cotiuidad
SÍNTESIS. Límite y cotiuidad Sucesioes Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació de E ua progresió aritmética cada térmio se obtiee del aterior Ua sucesió tal que cada térmio se obtiee del aterior multiplicádolo por ua catidad costate llamada razó, se deomia Ua sucesió covergete es ua sucesió Límites El úmero e es el límite de la sucesió: E ua fució, si f() k, la recta y k es ua de la fució. Cuado f(), se dice que f() tiee ua e a. a Se dice que ua fució, f, es cotiua e a si: Si e a ua fució, f, es discotiua, pero eiste f() = L, etoces la discotiuidad se deomia: a Si e a ua fució, f, es discotiua, y el límite o eiste, puede darse estas dos situacioes: Completa las siguietes tablas: Límite de la sucesió suma MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. Límite de la sucesió resta y b y y y b y y a a 9. Límite y cotiuidad 9
Límite de la sucesió producto a 0 SÍNTESIS. Límite y cotiuidad y b y 0 y y Límite de la sucesió cociete a 0 y b MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. y 0 y y 0 9. Límite y cotiuidad
EJERCICIOS PROBLEMAS. Actividades complemetarias Calcula el térmio geeral de las sucesioes siguietes e idica si so covergetes, divergetes u oscilates. a),,, 7,, b) /, /, /, /6, c),, 9, 6, d) 0, /, 8/6, /8, e),,, 6, 7, Dadas las sucesioes: a, b,c Calcula: a) (a b ) d) (a /b ) b) (a c ) e) (a ) b c) (b c ) f) (a ) c Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) a (6 )/( ) b) a ( ) /( ) c) a d) a 6 Dadas las siguietes fucioes, averigua los límites que se idica: a) b) f(), f(), O f() f() f() X Calcula el límite de las siguietes sucesioes: MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. a) a b) a 0 8 7 c) a 0 d) a 6 e) 6 ( ) a f) a ( ) Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) a b) a c) a 6 d) a e) a ( f) a g) a /( ) )/( ) O f() f() 0 X 9. Límite y cotiuidad
EJERCICIOS PROBLEMAS. Actividades complemetarias 7 8 9 0 c) O f() f() f() Calcula aalíticamete las asítotas horizotales y verticales de las fucioes represetadas e la actividad 6, e caso de que las tega. Calcula los siguietes límites: a) [( )/( )( )] b) c) / Calcula el límite de las fucioes ateriores cuado. Calcula los siguietes límites: / a) b) c) d) e) f) g) 7 X Averigua los límites laterales de las siguietes fucioes e los putos que se idica: a) f() si e,, si b) f() e y / Calcula los siguietes límites: a) b) / c) 0 d) e) f) g) 6 h) ( ) Represeta gráficamete las fucioes que cumpla las siguietes codicioes: a) Dom f {} Rec f [, ) f(0) f (0) f() 0 b) Dom f {, } Rec f f (0) {, 0, } f() f() f() f() f() f() 0 MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. 9. Límite y cotiuidad
DOCUMENTACIÓN. Deducció del úmero e MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. Vamos a demostrar de maera rigurosa que la sucesió a tiee límite, cuyo valor es el úmero e. Para demostrar que la sucesió de térmio geeral: a = ( + /) tiee límite, hay que demostrar, e primer lugar, que la sucesió es creciete, y e segudo, que está acotada. La sucesió es creciete Para demostrar que la sucesió es creciete de ua forma rigurosa, o es suficiete ir calculado térmios sucesivos y comprobar que la sucesió crece, ya que es posible que esta crezca para alguos valores de (que puede ser muy grades) y después decrezca. Para ver que la sucesió es creciete, será preciso demostrar: para cualquier valor de. ( )! ( ) ( )!!! Se desarrolla por el procedimieto del biomio de Newto: 0!! U desarrollo aálogo se podría hacer para el biomio:!! Si se compara ambos desarrollos, se observa que al ser ( ) mayor que, es meor que y, por tato, es mayor que. Como todos los parétesis del desarrollo () so mayores que los del desarrollo () y, además, el desarrollo () tiee u térmio más que el del desarrollo (), teiedo e cueta que este térmio es ecesariamete positivo, se puede cocluir que: Por tato, la sucesió es creciete. La sucesió está acotada Volviedo al desarrollo de : sea cual sea el valor de. E este desarrollo, si se sustituye, por, el resultado será mayor que la epresió dada:!!!!!! 9. Límite y cotiuidad
DOCUMENTACIÓN. Deducció del úmero e Teiedo e cueta que:!!! ( ) E la epresió aterior, del segudo sumado e adelate, es ua progresió geométrica de primer térmio y razó /. Aplicado la epresió geometría, se obtiee: Todos los térmios de la sucesió, sea cual sea el valor de, tiee u valor meor que. La sucesió es creciete y está acotada, luego tiee límite: el valor de este límite se llama úmero e. MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. 9. Límite y cotiuidad
AMPLIACIÓN. Estudio de la cotiuidad de ua fució defiida a trozos Para estudiar la cotiuidad de la fució: E primer lugar calculamos su domiio: Dom f() {, 0, } Para, la fució es racioal, cotiua e su domiio, por lo que e o está defiida y presetará u puto de discotiuidad. Para, la fució está defiida, ecepto e 0. Puesto que iterviee u valor absoluto, es ecesario cosiderar que: si 0 si 0 f() si si si E 0 habrá u puto de discotiuidad. Para, la fució es cotiua, puesto que es poliómica. Además de los putos de abscisa y 0, habrá que cosiderar el puto de abscisa, que o es del domiio, y el puto de uió. E : / f() f() ( ) / f() f() ( ) la fució preseta e ua discotiuidad asitótica. E : f() f() f() f() MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. Puesto que el límite eiste e y es igual a la image f(), la fució es cotiua e =. E 0: / f(0): f() 0 / f() 0 f() 0 la fució preseta, e 0, ua discotiuidad de salto. f() f() ( ) f() 9. Límite y cotiuidad
AMPLIACIÓN. Estudio de la cotiuidad de ua fució defiida a trozos E : / f() puesto que el límite eiste, e = la fució preseta ua discotiuidad evitable. Por tato, f es cotiua e su domiio. O X MATERIAL FOTOCOPIABLE / Oford Uiversity Press España, S. A. 6 9. Límite y cotiuidad
SOLUCIONES DEL MATERIAL FOTOCOPIABLE. Límite y cotiuidad Sucesioes Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació del cojuto de los úmeros aturales e el cojuto de los úmeros reales. E ua progresió aritmética cada térmio, ecepto el primero, se obtiee del aterior sumado ua catidad costate que se deomia diferecia. Ua sucesió tal que cada térmio se obtiee del aterior multiplicádolo por ua catidad costate llamada razó, se deomia progresió geométrica. Ua sucesió covergete es ua sucesió que tiee u límite fiito. Límites El úmero e es el límite de la sucesió: E ua fució, si,la recta y k es ua asítota horizotal de la fució. Cuado f() se dice que f() tiee ua asítota vertical e a. Se dice que ua fució, f, es cotiua e = a si: Eiste f(a) Eiste f() f() f(a) Si e a ua fució, f, es discotiua, pero eiste f() L, etoces la discotiuidad se deomia: discotiuidad evitable. Si e a ua fució, f, es discotiua, y el límite o eiste, puede darse estas dos situacioes discotiuidad de salto fiito. Discotiuidad asitótica o de salto ifiito. Completa las siguietes tablas: Límite de la sucesió suma Límite de la sucesió resta Límite de la sucesió producto a Límite de la sucesió cociete 0 b a b 0 (b 0) (b 0) 0 0 0? (a b) (a b)? (a b) (a b) a a (b 0) (b 0)?? 0 b a b?? a b a b?? a b 0 (b 0) b (b 0) 0??? 0 0? (b 0) (b 0)? y 0 0??? 9. Límite y cotiuidad 7
SOLUCIONES DEL MATERIAL FOTOCOPIABLE. Actividades complemetarias a) a 9, divergete. b) a = ( )/( ), covergete. c) a = (),oscilate. d) a = ( )/, divergete. e) a = ( ), covergete. a) (a b ) = 0 b) (a c ) = c) (b c ) = d) (a /b ) = e) (a ) b = / f) (a ) c = 0 a) b) 9 c) / d) 6 a) b) c) d) e) ( 6)/ f) a) (/) b) 0 c) 0 d) e e) e / f) g) e a) f() f() f() f() f() f() f() f() b) f() = 0 f() = + 0 c) f() = f() = f() = f() = f() = f() = / 0 f() f() f() 7 8 9 0 a) E, a. v. E, a. v. b) No tiee a. v., i a. h. c) E, a. v. E, a. v. E y, a. h. E y, a. h. a) b) c) a) b) No eiste, puesto que Dom f,. c) No eiste, puesto que Dom f,0 (0, ). a) b) c) 0 d) e e) 0 f) g) a) f() f() f() f() f() b) f() f() f() / 7 f() / 7 a) b) / c) d) e) e / e f) f() 0 g) h) / f() f() / f() f() / / f() / f() 8 9. Límite y cotiuidad
a) b) O X O X 9. Límite y cotiuidad 9