Tma 5. Cotrast d hpótss (II CA UNED d Hulva, "Profsor Dr. José Carlos Vílchz Martí" Itroduccó Bvda Objtvos pdagógcos: Aprdr a obtr la fucó d potca d u cotrast y la rprstar la curva d potca d u cotrast. Aprdr a costrur rgos crítcas óptmas para cotrasts d hpótss smpls y compustas hacdo uso dl Lma d Nyma Parso. Itroduccó Comucacó: Ol: Chat d wbcofrca. Offl: Foro dl grupo d tutoría corrspodt. Rfrcas: Casas, J.M. & P. Gutérrz (: Estadístca II: Ifrca Estadístca. Edtoral Uvrstara Ramó Arcs, Madrd. 3-99. Novals (997, Ruz Maya & Martí Plgo (999,...
Itroduccó Atcdts: Cotrast d hpótss paramétrco. Es l procdmto por l qu s vrfca ua hpótss stadístca rlacó co l valor qu toma u parámtro poblacoal mdat l mplo d ua mustra. Errors tpo I y II: So los rrors qu s comt al adoptar d dcsos rroas al llvar a cabo u cotrast d hpótss stadístca, sto s rchazar H sdo crta (α o acptarla sdo falsa (β. Potca d u cotrast: Es la probabldad d rchazar la H sdo crta la H. Nvl d cofaza: Es la probabldad d acptar la H sdo crta. Itroduccó Atcdts:( Fass d u cotrast d hpótss: Formulacó d las hpótss d u cotrast. Dtrmacó dl stadístco d pruba o cotrast apropado. Slccoar l vl d sgfcacó (α. Dtrmar la rgó crítca. Etrar u mustra alatora y calcular l valor dl stadístco d pruba para ésta. Dar la rgla d dcsó y su trprtacó. Fucó d potca dl cotrast Potca d u cotrast: Es la probabldad d rchazar la hpótss ula sdo crta la hpótss altratva. P(Rchazar la H /H s falsa + P(acptar H /H s falsa Potca + β( Potca -β( PROBLEMA: Cuado las hpótss ula y/o altratva so compustas s complca l cálculo d los rrors tpo I [α(] y tpo II [β(]. Fucó d potca d u cotrast: Es ua fucó qu rsum los rrors comtdos u cotrast d hpótss a través dl cocpto d potca d u cotrast. P c ( α ( sí Ω β ( sí Ω
Fucó d potca dl cotrast Fucó d potca dal: La fucó d potca d u cotrast s dal cuado s vrfca lo sgt: P c ( α( β ( s Ω s Ω Parc razoabl psar qu al dsñar u cotrast d hpótss s dbría prsgur l dobl objtvo d mmzar las probabldads d los rrors d tpo I y II. No obstat, o s pud alcazar smultáamt: la probabldad dl rror d tpo I sólo pud rducrs aumtado la probabldad dl rror d tpo II, y vcvrsa. La solucó d compromso cosst fjar la probabldad dl rror d tpo I u vl α y tratar d mmzar la probabldad dl rror d tpo II. Fucó d potca dl cotrast fucó d potca dl cotrast H : µ frt a la altratva H : µ (cotrast blatral, bajo la hpótss d ormaldad, co α, y. Fucó d potca dl cotrast fucó d potca dl cotrast H : µ frt a la altratva H : µ > (cotrast ulatral, bajo la hpótss d ormaldad, co α, y. 3
Fucó d potca dl cotrast Notas plcatvas: Al grafo d la potca s l doma curva d potca. Cuato más ljaa s cutra la altratva H d H mor s la probabldad d currr u rror tpo II [β(] y, por cosgut, la potca tomará valors más prómos a. Cuato mayor s l vl d sgfcacó, mayor s la potca dl cotrast. Dado u tamaño o talla α d u cotrast, su potca -β s crmta coform l tamaño mustral s hac más grad. Fucó d potca dl cotrast Notas plcatvas: ( S la potca la hpótss altratva s smpr muy próma a tocs s dc qu l stadístco d cotrast s muy pott para cotrastar H ya qu s caso las mustras srá, co alta probabldad, compatbls co H cuado H sa crta. Por tato pud trprtars la potca d u cotrast como su ssbldad o capacdad para dtctar ua hpótss altratva. Drmos qu u cotrast s más pott o d máma potca s tr la clas d los cotrasts cuyos rrors α o so mayors qu l suyo, guo t u rror β más pquño qu l suyo, s dcr guo t ua potca - β mayor qu la suya. Fucó d potca dl cotrast Ejmplo: Los rrors d fabrcacó d u crto procso s dstrbuy d acurdo co la fucó d dsdad f(; -, para y >. Sobr l parámtro d sta fucó d dsdad s dsa cotrastar la hpótss ula H : frt a la altratva H : >, mdat ua mustra alatora d tamaño, sdo la rgó crítca {,53}. Dtrm la fucó d potca dl cotrast y rprst gráfcamt la curva d potca. Solucó: Calculo dl rror tpo I (α: α P,53.53 [,53 H( ] d, 5 Calculo d la potca dl cotrast (-β,53,53 β P[,53 H( > ] d 4
Fucó d potca dl cotrast Solucó: ( Fucó d potca dl cotrast: P c ( α ( β (,5 s,53 s > Curva d potca dl cotrast (Graph 4.4. - http://www.padowa.d/: Fucó d potca dl cotrast Ejmplo: El úmro d alumas matrculadas las ttulacos d grado coomía s dstrbuy d acurdo co famla Broull B(,. U vstgador prtd cotrastar la H : /3 frt a la altratva H : </3. Para llo trá ua MAS d tamaño 5. S s sab qu la rgó crítca s T, sdotσ, dtrm la fucó d potca dl cotrast y rprst gráfcamt la curva d potca. Solucó: Sabdo qu TΣB(,, tocs l rror tpo I (α s: Calculo d la potca dl cotrast (-β 5 [ ( T 5T 5 4 β P T H < 3 ] ( ( + 5 ( T [ H ( 3 ], 5 α P T [ ] Fucó d potca dl cotrast Solucó: ( Fucó d potca dl cotrast: P c ( α(,5 s 3 5 4 β ( ( + 5 ( Curva d potca dl cotrast: [ ] s < 3 5
Fucó d potca dl cotrast Ejmplo: Sa ua famla d dstrbucos N (µ, σ. U vstgador prtd cotrastar la H : µ frt a la altratva H : µ. Para llo trá ua MAS d tamaño 5. S s sab qu la rgó crítca s Mda(>,784 y Mda(<,6. Dtrm la fucó d potca dl cotrast y rprst gráfcamt la curva d potca. Solucó: Calculo dl rror tpo I (α: Calculo d la potca dl cotrast (-β [,784 H ( µ ] + P[,6 H ( ],5, 5 α P µ β P,784 µ 5 [ H ( ],6,784 µ d,6 π 5 Fucó d potca dl cotrast Solucó: ( Fucó d potca: P ( c α ( µ,5 s µ,784 µ β ( 5 d s µ,6 π 5 Fucó d potca dl cotrast Solucó: ( Valors d β(µ y d la potca -β(µ para µ y 5: µ β(µ Pc(µ-β(µ -.9.. -.3..9..48.5.7.88..9.94.6.95.5.3.88..8.48.5.3..9.9.. 6
Fucó d potca dl cotrast Solucó: ( Curva d potca dl cotrast (Ecl:...8.6.4.. -.9 -.4..6..6..6 Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Sa (X,, X ua mustra alatora smpl obtda d ua poblacó co fucó d dsdad f(x;, ϵ Ω {, }, sdo la fucó d vrosmltud d ua mustra: S qurmos cotrastar las hpótss smpls H : H : sdo u úmro postvo fjado y C u subcojuto dl spaco mustral R tal qu: ;. ;. ; ; ;,..., ; f ( ; s (,..., C s (,..., C Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso 3. P [(,..., ] α C Etocs podmos asgurar qu C s la mjor rgó crítca d talla o tamaño α para cotrastar la hpótss ula H : frt a la hpótss altratva H :. Es dcr st cotrast, d vl d sgfcacó α,sría l más pott. 7
Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Ejmplo: S ha obtdo ua mustra alatora d tamaño 6 para cotrastar qu la mda dl cotdo d u crto compot u mdcamto s d 4 mg. frt a la hpótss d qu fus 9 mg. Supodo qu la poblacó d procdca d la mustra sa N(µ, σ5, qu l vl d sgfcacó fus dl 5% y qu l valor d la mda mustral s 7 mg. Rsulva l cotrast usado la mjor rgó crítca dl cotrast obtda mdat l Lma d Nyma-Parso. Solucó: Sa las hpótss stadístcas: H : µ µ H : µ µ Tal qu µ >µ. Sa la fucó d vrosmltud d ua MAS d tamaño : ( µ σ ; µ σ π Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Lma d Nyma-Parso: ; µ ; µ µ µ µ µ µ > µ + l ( µ µ σ σ σ ( µ µ l +, σ ( µ µ Rgó crítca dl cotrast para α,5 y 6. Itrprtacó. P H µ 4 α,5 P Z Z H µ 4,5 σ ( ( ( ( ( µ ( µ µ µ µ µ + σ σ [ ( ] [,5 ( ] Z,5,64 lugo 6,5 Como 7 mg.s rchaza H. Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Ejmplo: El tmpo qu trascurr tr dos fallos d u procso d produccíó s dstrbuy d acurdo co la fucó d dsdad f(; -, para y >. Sobr l parámtro d sta fucó d dsdad s dsa cotrastar la hpótss ula H : frt a la altratva H : 5, mdat ua mustra alatora d tamaño, co u vl d sgfcacó α%. Rsulva l cotrast usado la mjor rgó crítca dl cotrast obtda mdat l Lma d Nyma-Parso supodo u valor mustral,5. Solucó: Sa las hpótss stadístcas: H : H : Tal qu >. Sa la fucó d vrosmltud d ua MAS d tamaño : ; 8
9 Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Lma d Nyma-Parso: Rgó crítca dl cotrast para α, y. Itrprtacó. ( ( ( (, l ; ( ; ( > L L ( [ ].,5s acpta H Como,54,54 lugo,, d H P α Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Ejmplo: El úmro d tsuams qu t lugar l ára d fluca dl Golfo d Cádz cada años s dstrbuy d acurdo co la fucó d cuatía d Posso co parámtro. S prtd cotrastar la hpótss ula H : frt a la altratva H :, mdat ua mustra alatora d tamaño,co u vl d sgfcacó α%. Obtga la mjor rgó crítca dl cotrast mdat l Lma d Nyma-Parso y rsulvalo supodo qu l valor mustral Σ 3. Solucó: Sa las hpótss stadístcas: H : H : Tal qu <. Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Sa la fucó d vrosmltud d ua MAS d tamaño : Lma d Nyma-Parso: L! ; ( ( ( ( ( l l, l l l ; ( ; ( + < < L L
Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Rgó crítca dl cotrast para α,, y aplcado la propdad rproductva d la Posso [Σ P(]. Itrprtacó. P H lugo ( α, Como 3s rchaza H. Hpótss compustas y cotrasts uformmt más potts Cotrasts uformmt más potts: E u cotrast d hpótss smpl H frt a ua hpótss altratva compusta H, drmos qu la rgó crítca C s la rgó crítca uformmt más pott d tamaño α s s la mjor rgó crítca d talla o tamaño α para cotrastar la hpótss ula H frt a cada ua d las hpótss smpls qu tgra H. Al cotrast basado la rgó crítca uformmt más pott s l doma cotrast uformmt más pott d talla α. Hpótss compustas y cotrasts uformmt más potts Ejmplo: Las vtas d u stablcmto autorzado d ua dtrmada marca d rlojs s dstrbuy coform a ua famla N(µ, σ. Para coocr la volucó d las vtas, l dpartamto d martg trá ua MAS d 5 stablcmtos qu faclta la cfra d vtas dl últmo ms rlojs d sta marca. A partr d sta mustra s obt qu Σ 597 y Σ 59473. Obtga la rgó crítca uformt más pott d talla α5% para cotrastar la H : σ 4 frt a la altratva H :σ>4 y rsulva l cotrast co los datos d la mustra. Solucó: Sa las hpótss stadístcas: H : σ σ H : σ σ
Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Sa la fucó d vrosmltud d ua MAS d tamaño : Lma d Nyma-Parso: ( µ σ σ π ; µ L ; σ σ ; σ σ S ( σ σ σ l + l σ, S σ σ σ σ σ > σ S Hpótss smpls y l Lma d Nyma-Parso Solucó: ( Dado qu la poblacó s ormal y µ coocda s sab qu: S σ χ Rgó crítca dl cotrast para α,5 y 5. Itrprtacó. [ H( σ 4 ] P S α,5 5 P χ5 H( σ 4,5 4 5 67,548 7,8 4 lugo S 7,8 Como S 56,49s acpta H. Sumaro S ha dfdo curva y fucó d potca d u cotrast. S ha vsto u par d jmplos lustratvos. S ha plcado como obtr cotrasts d máma potca cotrasts d hpótss smpls hacdo uso dl Lma d Nyma-Parso. S ha mostrado su aplcacó mdat u par d jmplos. S ha dfdo cotrasts uformmt más potts y s ha jmplfcado su obtcó u caso d hpótss compustas d tpo ulatral.
Tma 5. Cotrast d hpótss (II CA UNED d Hulva, "Profsor Dr. José Carlos Vílchz Martí"