UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIONES SEMESTRE - TIPO DURACIÓN MÁ..5 HORAS DICIEMBRE 7, NOMBRE Apelldo Paterno Apelldo Materno Nombre(s). En un centro de maqunara hay cuatro máqunas automátcas que producen tornllos. Un análss de los regstros de nspeccón anterores produce los sguentes datos: Máquna Porcentaje de produccón Porcentaje de defectos producdos 5 4 5 4 5 Las máqunas y 4 son más nuevas y se les ha asgnado más produccón que a las máqunas y. Supóngase que la combnacón de nventaros refleja los porcentajes de produccón ndcados. a) S se elge un tornllo al azar del nventaro, cuál es la probabldad de que esté defectuoso? b) S se elge un tornllo y se encuentra que está defectuoso, cuál es la probabldad de que se haya producdo en la máquna? 5 Puntos Resolucón Sean: D el evento que representa a los tornllos que se producen defectuosos. M el evento que representa la produccón de tornllos en la máquna. =,,, 4 Del enuncado.5 =.4 P M = P( M ) =. P( M ) =. P( M 4 ) =.5 =. =.5 4 =. a) La probabldad de tener un tornllo defectuoso, por el Teorema de Probabldad Total: P D = P D M + P D M + P D M + P D M 4 = + + ( ) ( ) + ( 4) ( 4) P D P M P DM P M P DM P M P DM P M P DM susttuyendo: P( D ) = (.5)(.4 ) + (.)(. ) + (.)(.5) + (.5)(.) =. PyE_ EF_TIPO_-
b) La probabldad de que un tornllo sea producdo por la máquna, dado que es defectuoso, por el Teorema de Bayes se tene: P ( D M ) P( M) P ( D M) (.)(.5) P( M D) = = = =.5 P D P D.. La funcón de dstrbucón acumulatva de una varable aleatora está defnda por: ; < + F ( ) = ; ; > a) Obtener la meda y la varanca b) Calcular la probabldad de que la varable aleatora se encuentre ente.5 y 5 Puntos Resolucón a) Para calcular el valor esperado, prmero se debe obtener la funcón de densdad, entonces: df ( ) = f ( ) d por lo que: + ; f ( ) = ; en otro caso El valor esperado se defne como: = + E f d susttuyendo la funcón de densdad dada: 4 7 E = +.78 d = + d = + = + = 8 8 4 La varanca es el segundo momento con respecto de la meda, entonces: + Var ( ) = ( μ ) f ( ) d susttuyendo: 4 7 9 85 89 Var ( ) = d d 4 + = + 8 8 57 5 9 4 85 89 9 85 89 9 = + 84 5 = + = 84 5 88 Var b) Para determnar la probabldad pedda:.48 P = P < < de la funcón de dstrbucón acumulatva, se tene: P P F () F.85 = < < = = + = = PyE_ EF_TIPO_-
. Un eplorador de petróleo perforará una sere de pozos en certa área para encontrar un pozo productvo. La probabldad de que tenga éto en una prueba es. a) Cuál es la probabldad de que el prmer pozo productvo sea el tercer pozo perforado? b) Cuál es la probabldad de que el eplorador no vaya a encontrar un pozo productvo s solamente puede perforar pozos? c) Cuál es la probabldad de que el tercer encuentro de petróleo ocurra en el qunto pozo que se perfora? 5 Puntos Resolucón a) Sea la varable aleatora que representa el número de pozos perforados para encontrar el prmero que sea productvo. Geométrca p =. q p P = = =.8. =.8 b) Sea U la varable aleatora que representa en número de pozos no productvos en la perforacón de pozos. U Bnomal n =, p =. u PU ( = ) = p q = (.8) (.) = (.8).7 u c) Sea Y la varable aleatora que representa el número de perforacones realzadas para encontrar el tercer pozo productvo. Y Pascal r =, p=. Y 5 PY ( = 5) = qp = (.) (.8).7 r 4. Una fábrca de focos para equpos de refrgeracón afrma que éstos tenen una vda útl de meses con una desvacón estándar de meses. El supervsor de una empresa que compra este tpo de focos para los refrgeradores que ensambla, prueba una muestra de 4 focos. Consderando que los datos proporconados por la fábrca son confables, cuál es la probabldad de encontrar una muestra con una vda útl promedo menor a 58 meses? 5 Puntos Resolucón Sea la varable aleatora que representa la vda útl de los focos para equpos de refrgeracón. =,,...,4 ( = = ) ~ Normal μ, σ la muestra es de tamaño 4, por el Teorema de Límte Central, entonces la meda muestral tene: σ ~ Normal μ = μ =, σ = = n 4 La probabldad de que la meda muestral sea menor que 58 meses, es: μ 58 8 P( 58) P( < 58) P = P Z P( Z.7).8 σ = n 4 Es muy poco probable que la vda útl de los 4 focos de una muestra sea menor que 58 meses. PyE_ EF_TIPO_-
5. Supóngase que el tempo de mantenmento semanal de una máquna depende de dos varables aleatoras contnuas (en horas), donde es la varable aleatora que representa la duracón del mantenmento mecánco y, Y es la varable aleatora que representa la duracón de mantenmento eléctrco. Supóngase que la funcón de densdad de probabldad conjunta es: ( + y ) ;, y fy (, y) = ; en otro caso a) Calcular la probabldad que en alguna semana, el mantenmento mecánco dure menos de 5 mnutos y el mantenmento eléctrco dure más de mnutos. g b) Determnar la funcón de densdad margnal c) Obtener la funcón de densdad condconal fy ( Y = = ) d) Calcular la probabldad de que el mantenmento eléctrco ( Y ) dure menos de 5 mnutos, dado que el mantenmento mecánco ( ) duró mnutos. Puntos Resolucón a) La probabldad a calcular es: = 4 P ( < 5 Y > ) = P < Y > = ( + y) d dy = 4 = = 4 y y y dy y dy = = + = + = + = 4 4 4 = ().5 + 4 + = 4 9 b) La funcón margnal se defne como: g ( ) = fy (, y) dy - al susttur: g = + y dy = y + y = + ; por lo tanto: g ( ) = ( ) + ; ; en otro caso c) La funcón condconal se defne por: fy (, y) ; f ( ) > fy ( Y = ) = f = ; en otro caso susttuyendo la funcón conjunta y la margnal, se tene: PyE_ EF_TIPO_- 4
( + y) + y ; y ; ( ) y f Y = = Y= = + ( + ) ; en otro caso ; en otro caso d) Se va a calcular: P Y < 5 = susttuyendo en la funcón de densdad condconal, se tene: + 4y + y + 4y ; y ; ; y y f Y = Y= = = = + ; en otro caso ; en otro caso ; en otro caso entonces: 4 4 ( 4 ) ( ) P Y < = = + y dy = y+ y = + = + = 4 4 4 4 4 = + = = =.5 8. La Procuraduría del Consumdor evalúa anualmente dstntas marcas de cgarros de acuerdo con el contendo de alqutrán, ncotna y monódo de carbono (CO). La asocacón de médcos consdera pelgrosas cada una de estas sustancas en la salud del fumador. Estudos anterores han demostrado que un aumento en el contendo de alqutrán y ncotna de un cgarro está acompañado de un ncremento en el monódo de carbono emtdo en el humo del cgarro. La tabla sguente muestra los valores para ses marcas de cgarros. Marca Alqutrán [mg] CO [mg] Benson&Hedges,, Camel Lghts 8,, Marlboro 5, 4,4 Ralegh 5,8 7,5 Montana 7, 8,5 Vceroy Lght 8,, a) Elaborar un dagrama de dspersón entre el contendo de alqutrán (), y CO (y) b) Obtener la recta de regresón y trazarla en el dagrama de dspersón del ncso (a) c) Corroboran los resultados el hecho de que un aumento de alqutrán conlleva un aumento de monódo de carbono? d) Consdera que el modelo proporconado es bueno? Qué porcentaje del monódo de carbono emtdo en el humo del cgarro queda eplcado por el modelo? Puntos Resolucón a) El dagrama de dspersón es: PyE_ EF_TIPO_- 5
Monódo de carbono Dagrama de dspersón y =.854 +.7 R =.98 5 5 8 4 8 Alqutrán b) Los parámetros y el modelo, son: ŷ = ˆ β + ˆ β y ( 8.5)( 87.8) = = y 4.8 = ˆ 8.87 β = = =.854 ( 8.5) 8.58. = = ˆ β ˆ = y β ˆ β = y ˆ β = 4..854.47.74 Por lo tanto el modelo está dado por: yˆ =.854+.74 b) De acuerdo a la gráfca, sí se corrobora el hecho de que un aumento de alqutrán conlleva un aumento de monódo de carbono. c) Sí es bueno el modelo que se obtuvo, ya que, el porcentaje del monódo de carbono emtdo en el humo del cgarro queda eplcado por el modelo de manera muy aceptable como se observa en lo que sgue. Para determnar s el modelo es váldo debe obtenerse el coefcente de determnacón. El coefcente de correlacón, está defndo por: SSy r = SS SS SS = ( 8.5) = = =. = 8.58 PyE_ EF_TIPO_-
SS y = ( 87.8) y = = 47.8 =. = y = y ( 8.5)( 87.8) = = SS = y = 4.8 = 8.87 susttuyendo: SSy 8.87 r = =.958 SS SS 8.58. Entonces el coefcente de determnacón es: r ( 8.58)(.) SS = R = =.98 SS SS y 8.87 El ajuste es bueno puede consderarse váldo el modelo, como se menconó anterormente. Valores de la funcón de dstrbucón acumulatva normal estándar z....4.5..7.8.9 -.4.......... -..5.5.5.4.4.4.4.4.4. -..7.7......5.5.5 -...9.9.9.8.8.8.8.7.7 -........... -.9.9.8.8.7...5.5.4.4 -.8..5.4.......9 -.7.5.4.....9.8.7. -..47.45.44.4.4.4.9.8.7. -.5...59.57.55.54.5.5.49.48 -.4.8.8.78.75.7.7.9.8..4 -..7.4..99.9.94.9.89.87.84 -..9...9.5..9... -..79.74.7...58.54.5.4.4 -..8..7..7..97.9.88.8 PyE_ EF_TIPO_- 7