Curvas en el plano y en el espacio

Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que puede ser un semirrect o todo R. Esto signific que si α(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), entonces ls funciones x i (t) son de clse C. L vrible t recibe el nombre de prámetro de l curv. L imgen α(i) se denomin trz de l curv. Este curso estudiremos únicmente curvs en el plno y en el espcio. Ejemplo 1.1.2. - 1. No hy que identificr l curv (un plicción) con su trz (un subconjunto del plno o el espcio). Ls dos curvs α(t) = (sen t, cost) y β(t) = (cost, sent), son diferentes y, sin embrgo tienen l mism trz (l circunferenci unidd). (sen t, cos t) (cos t, sen t) Figur 1.1: Dos curvs con un mism trz. 1

2. L rect, en su conocid form prmétric, α(t) = (p 1 + tv 1, p 2 + tv 2, p 3 + tv 3 ) 3. Un curv no es necesrimente inyectiv, es decir, puede tener utointersecciones. Así, l curv prmetrizd α(t) = (t 3 4t, t 2 4) Figur 1.2: Un curv puede tener utointersecciones. 4. Un curv prmetrizd no es, necesrimente diferencible; por ejemplo α(t) = (t, t ), y que t no es diferencible en t = 0. line0 Figur 1.3: Un curv no es, necesrimente diferencible. 5. Sin embrgo hy curvs diferencibles, cuy trz tiene picos ; por ejemplo α(t) = (t 3, t 2 ). Figur 1.4: Curv diferencible, con specto engñoso. Definición 1.1.3 (Vector tngente o vector velocidd). Al vector α (t) = (x (t), y (t), z (t)) se le llm vector tngente l curv α, pr t I o vector velocidd. L velocidd es α (t). Llmremos rect tngente l curv α en el punto α(t) l rect que ps por dicho punto y tiene como vector director l vector tngente l curv en tl punto. Observemos que si α (t) = 0 pr lgún t I, entonces no podemos clculr l rect tngente. A los puntos de l curv α cuyo vector tngente es cero, se les llm puntos singulres. En l curv del ejemplo (5) nterior, α(0) es un punto singulr. Definición 1.1.4 (Curv regulr). Un curv prmétric diferencible α : I R 3 es un curv regulr si α (t) 0 pr cd t I.

1.2. Reprmetrizciones. Longitud del rco Ejemplo 1.2.1. Es fácil ver que ls curvs prmetrizds siguientes tienen como trz l circunferenci de centro el origen y rdio unidd: α(t) = (cos t, sent), t R β(t) = (cos( t), sen( t)), t R γ(t) = ( cos(t + π 2 ), sin (t + π 2 )), t R Definición 1.2.2 (Reprmetrizción). Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible; y g : J I un difeomorfismo. Entonces l plicción β : J R 3 definid como β = α g, es clrmente un curv prmetrizd diferencible que se llm reprmetrizción de l curv α; l plicción g recibe el nombre de cmbio de prámetro. Ejercicio 1.2.3. - 1. Cuáles son los cmbios de prámetro en el ejemplo nterior? Qué ocurre con l velocidd en cd uno de ellos? 2. Se β es un reprmetrizción de un curv prmetrizd diferencible α. ) Demuestre que β es regulr si, y sólo si α lo es. b) L rects tngentes en culquier punto coinciden. 3. Explique por qué δ(t) = (cos(t 3 ), sen(t 3 )) no es un reprmetrizción de α(t) = (cost, sen t), t R. 1.2.1. Longitud del rco Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible y un intervlo cerrdo [, b] I. Consideremos un prtición de dicho intervlo P = { = t 0 < t 1 <... < t n = b}; dich prtición determin un líne (curv) poligonl inscrit en l trz de α, cuy longitud no es otr cos que (t ) 2 (t 1 ) (t 3 ) ()= (t 0) (b)= (t 4 ) Figur 1.5: Un poligonl inscrit en l curv. l sum de ls longitudes de cd uno de los segmentos que l formn n L b (P, α) = α(t k ) α(t k 1 ). Llmremos diámetro de un prtición P P = máx{t k t k 1 : t = 1,...,n}.

Proposición 1.2.4. Si α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible y [, b] I; entonces lím P 0 Lb (α, P) = b α (t) dt. Demostrción. Vemos que pr cd ε > 0, existe δ > 0 tl que si P < δ, entonces L (α, P) α (t) dt < ε Si α(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces α (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 Por otr prte, por el teorem del vlor medio plicdo cd un de ls funciones x, y, z, tenemos que pr cd intervlo de l prtición existen k, b k, c k (t k 1, t k ) tles que En definitiv tenemos n L b (α, P) = α(t k ) α(t k 1 ) = x(t k ) x(t k 1 ) = x ( k )(t k t k 1 ) y(t k ) y(t k 1 ) = y (b k )(t k t k 1 ) z(t k ) z(t k 1 ) = z (c k )(t k t k 1 ) (x ( k ), y (b k ), z (c k )) (t k t k 1 ) Si hor considermos l integrl y plicmos el teorem del vlor intermedio, existen ξ k (t k 1, t k ), pr cd k = 1,...,n tles que Entonces tenemos b α (t) dt = L (α, P) α (t) dt = tk t k 1 α (t) dt = α (ξ k ) (t k t k 1 ). (x ( k ), y (b k ), z (c k )) (t k t k 1 ) α (ξ k ) (t k t k 1 ) = ( (x ( k ), y (b k ), z (c k )) x (ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k )) )(t k t k 1 ). (1.1) Ahor podemos considerr l función f(t 1, t 2, t 3 ) = (x (t 1 )) 2 + (y (t 2 )) 2 + (z (t 3 )) 2, definid entre I 3 y R que, es clrmente continu y por tnto, uniformemente continu en el compcto [, b] 3 I 3. Esto signific que ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que si. (t 1, t 2, t 3 ), (t 1, t 2, t 3) [, b] 3 y t i t i < δ pr i = 1, 2, 3, entonces f(t 1, t 2, t 3 ) f(t 1, t 2, t 3) < ε b Por tnto si tommos un prtición P tl que P < δ, ddo que k, b k, c k, ξ k [t k 1, t k ], se cumple l condición nterior 1.2.1 pr los puntos ( k, b k, c k ) y (ξ k, ξ k, ξ k ); y teniendo en cuent l iguldd 1.2.1 qued (1.2)

Lb (α, P) b α (t) dt n ε b ( f( k, b k, c k ) f(ξ k, ξ k, ξ k ) )(t k t k 1 ) < (t k t k 1 ) = ε. Después de l proposición nterior podemos definir l longitud de un rco de curv del siguiente modo. Definición 1.2.5 (Longitud del rco). Dd un curv prmetrizd diferencible α : I R 3 y un intervlo [, b] I, definimos l longitud del rco de curv α([, b]) como L b (α) = b α (t) dt. 1.2.2. Curvs prmetrizds por l longitud del rco Observción 1.2.6. Se ve fácilmente que si α (t) = 1 pr todo t I, entonces L t (α) = t, es decir l longitud del rco coincide con con l del segmento [, t]; y recíprocmente, si ocurre esto último, entonces α (t) = 1. Además si = 0, entonces L t 0 (α) = t. Definición 1.2.7 (Curv prmetrizd por l longitud del rco). Se α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible, diremos que dich curv está prmetrizd por l longitud del rco si α (t) = 1. Proposición 1.2.8. Tod curv α : I R 3 prmetrizd diferencible y regulr, se puede prmetrizr por l longitud del rco. Demostrción. Ddo t 0 I, podemos definir l función L : I : R como L(t) = L t t 0 (α) = t t 0 α (s) ds; l función α (s) es, en generl, únicmente continu, luego l función L es derivble con L (t) = α (t) ; pero l ser α regulr tenemos que L es de clse C y creciente, por tnto, si J = L(I), L : I J es un biyección y su invers g : J I, es de clse C, es decir, se trt de un difeomorfismo, con lo cul β = α g es un reprmentrizción de α. Vemos que β es un prmetrizción por l longitud del rco. En efecto, observemos que g(l(t)) = t, luego si derivmos g (L(t))L (t) = 1; y por tnto g (L(t)) = 1 L (t) = 1 α (t) Entonces β (s) = α (g(s))g (s) = α (g(s)) α (g(s)) de donde se deduce que β (s), con lo que y lo tenemos. Ejemplo 1.2.9..- 1. Se α(θ) = (r cosθ, r sen θ), con r > 0, entonces α (θ) = ( r sen θ, r cosθ) y, por tnto α (θ) = r. Entonces L(t) = rt, con lo que l invers es g(s) = s r. Entonces ( β(s) = r cos s r, r sen r ) s es un reprmetrizción por l longitud del rco.

2. Consideremos hor l curv α(t) = (t, t 2 ), entonces α (t) = (1, 2t) y por tnto α (t) = 1 + 4t 2. Entonces t L(t) = 1 + 4s2 ds = 1 (2t 4 ln + ) 1 + 4t 2 + 1 2 t 1 + 4t 2, 0 pero no podemos despejr t con lo que no podemos encontrr explícitmente l reprmetrizción por l longitud del rco. Aunque son muchos los csos en los que l prmetrizción por l longitud del rco no se puede encontrr, en nuestro estudio de ls curvs supondremos, csi siempre, que ls curvs vienen prmetrizds por l longitud del rco.

1.3. Ejercicios y problems 1. L curv α : R R 3 definid como α(t) = ( e bt cost, e bt sen t ) con > 0, b < 0, se llm espirl logrítmic (un curv curios y con histori). ) Clcule l función longitud del rco, pr t 0 R, reltiv t 0. b) Reprmetrice est curv por l longitud del rco. c) Estudie su trz. Figur 1.6: Espirl logrítmic. 2. Un curv cisoide es l generd por l sum de los vectores de posición de dos curvs fijs. L cisoide de Diocles es l curv generd por l diferenci entre el vector de posición de los puntos de un rect prlel l eje Y que ps por el punto (2, 0) y el vector de posición de l circunferenci de rdio centrd en (, 0) como muestr l figur. Encuentre un prmetrizción de dich curv. Figur 1.7: Cisoide de Diocles. 3. L epicicloide es l curv pln generd por el movimiento de un punto de un circunferenci que rued, sin deslizmiento, sobre otr circunferenci.

r P (r,0) 0 Figur 1.8: Epicicloide. ) Determine un prmetrizción de l epicicloide generd por un punto P un circunferenci de rdio r que que gir sobre un circunferenci de rdio r 0 centrd en el origen, suponiendo que l posición inicil de P es (r 0, 0). b) Supong que r 0 = 3 y r = 1. Encuentre los puntos singulres de l curv y represéntel gráficmente. c) Idem pr los csos r 0 = r = 1 y r 0 = 1 y r = 2. 4. L hipocicloide es l curv pln generd por el movimiento de un punto de un circunferenci que rued, sin deslizmiento, por el interior de otr circunferenci. r P (r,0) 0 Figur 1.9: Hipocicloide. ) Determine un prmetrizción de l epicicloide generd por un punto P un circunferenci de rdio r que que gir sobre un circunferenci de rdio r 0 centrd en el origen, suponiendo que l posición inicil de P es (r 0, 0). b) Supong que r 0 = 5 y r = 2. Encuentre los puntos singulres de l curv y represéntel gráficmente. 5. Demuestre que l longitud de un curv prmetrizd diferencible es invrinte por movimientos rígidos. 6. Se α : R R 2 l espirl logrítmic dd por α(t) = e bt (cos(t), sen(t)), donde > 0 y b < 0. Clcule l función longitud de rco de α. Reprmetrice est curv por l longitud de rco. 7. Si α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible y [, b]. Demuestre que α(b) α(b) L b (α) (Los segmentos de rect son ls curvs de menor longitud, entre ls que unen dos puntos) 8. Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible.

) Si α no ps por el origen y α(t 0 ) es el punto de l trz de α más cercno l origen y α (t 0 ) 0, demuestre que los vectores α(t 0 ) y α (t 0 ) son ortogonles. b) Si α (t) es idénticmente nul, que se puede decir sobre α? c) Si α (t) 0 pr todo t I. Demuestre que α(t) es un constte no nul si, y sólo si α(t) y α (t) son ortogonles pr todo t I. 9. Un punto P de un circunferenci de rdio r en el plno XY que rued, sin deslizmiento sobre el eje X describe un cur que se llm cicloide. Figur 1.10: Cicloide. ) Obteng un prmetrizción pr l cicloide suponiendo que l circunferenci de rdio r prte de l posición en que su centro es el punto (0, r) y que l posición de prtid de P es el origen. b) Cálcule l longitud de l cicloide correspondiente un rotción complet de l circunferenci. c) Prmetrice l cicloide por l longitud del rco. 10. L curv de Gergome es l curv determind por l intersección de dos cilindros perpendiculres. Sen los cilindros x 2 + (z 1) 2 = 1 y y 2 + z 2 = 1. Demuestre que α(t) = ( 2 cost cos 2 t, sen t, cost), con t ( π 2, π 2 ) es un prmetrizción diferencible, pero prcil de l curv de Gergome de los dos cilindros nteriores, tl que su trz contiene el punto (1, 0, 1). Encuentre otr prmetrizción diferencible tl que su trz conteng l punto (0, 1, 0).