TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN La aplcacón de las leyes de Newton a problemas en que ntervenen fuerzas varables requere de nuevas herramentas de análss. Estas herramentas conssten en los conceptos de trabajo y energía cuya aplcacón smplfca los problemas ya que no se requere como vara la fuerza durante el movmento Descrbremos las técncas para tratar sstemas de este tpo desarrollo mportante, llamado Teorema del trabajo y la energía. con la ayuda de un Comenzaremos descrbendo el concepto de trabajo, el cual proporcona un eslabón entre los conceptos de fuerza y energía mecánca. Se verá que los conceptos de trabajo y energía se pueden aplcar a la dnámca de un sstema mecánco sn recurrr a las leyes de Newton. Sn embargo, es mportante notar que los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las leyes de Newton y, por lo tanto, no requeren nngún prncpo físco nuevo. Los conceptos de trabajo y energía se pueden aplcar a una ampla varedad de fenómenos en los campos del electromagnetsmo y la físca atómca y nuclear.
Trabajo realzado por una fuerza constante: Consderemos un objeto que expermenta un desplazamento, a lo largo de una línea recta por la accón de una fuerza constante, que forma un ángulo θ con el desplazamento, tal como se ndca en la fgura x θ El trabajo realzado por una fuerza constante se defne como el producto escalar de la fuerza por el desplazamento w = r En Newton. metro = joule ( N.m = J ) Como la componente de la fuerza paralela al desplazamento es // = cosθ podemos expresar el trabajo como: w = // x Entonces se puede decr que el trabajo es gual al producto de la componente de la fuerza paralela al desplazamento por la magntud del desplazamento.
Sí grafcamos // versus X El área encerrada representa el trabajo realzado por la componente de la fuerza paralela al desplazamento. En toda gráfca, fuerza (solo su componente paralela al desplazamento) versus desplazamento, el área bajo la curva nos da el trabajo realzado por la fuerza. Téngase en cuenta que el ángulo que forma la fuerza mportante pues: con el desplazamento es muy S la fuerza tene una componente en la msma dreccón del desplazamento, el trabajo es postvo La fuerza realza un trabajo postvo
S la fuerza es sempre perpendcular al desplazamento, el trabajo realzado por ella es cero no tene componente en la dreccón del Desplazamento por lo que su trabajo es cero. De esta últma expresón podemos decr que toda fuerza perpendcular al desplazamento efectúa trabajo cero s la fuerza tene una componente en dreccón opuesta al desplazamento, el trabajo es negatvo La fuerza realza un trabajo negatvo Ejemplo 1: S una masa m= 5 Kg realza un movmento crcular unforme con una rapdez v=80 m/s. Determne el trabajo realzado por la fuerza centrípeta En el movmento crcular la fuerza centrípeta es sempre perpendcular al movmento Solucón: El DCL de la masa nos ndca que la fuerza centrípeta es sempre perpendcular al desplazamento por lo tanto el trabajo es cero
Ejemplo : En el sstema mostrado en la fgura, determínese el trabajo realzado por cada una de las fuerzas que actúa sobre el bloque de 80 Kg ( θ =53º) El bloque se deslza sobre un plano nclnado 37 º con la horzontal Trabajo realzado por una fuerza varable: Consderemos un objeto que se esta desplazando a lo largo del eje x, mentras una fuerza varable (x) actúa sobre ella tal como se ndca en la fgura. En el ntervalo [x, x + x], x es tan pequeño que la fuerza en dcho ntervalo se puede consderar constante e gual a (x )
El objeto se desplaza a lo largo del eje x, desde x=x1 hasta x=x, En este caso no podemos calcular el trabajo, como en el caso de una fuerza constante, pero podemos magnar que el objeto expermenta desplazamentos muy pequeños, entonces la fuerza, (x), es aproxmadamente constante sobre este ntervalo, y para este pequeño desplazamento el trabajo será: el trabajo total será entonces la suma de los trabajos realzados en cada uno de estos pequeños desplazamentos Gráfca de (x) versus x w = (x ) x W= w = (x ) x esta manera de obtener el trabajo para el caso de una fuerza varable es bastante tedosa, sobre todo, s el desplazamento que sufre el objeto es bastante grande, sn embargo es posble obtener el trabajo de una manera más senclla s se conoce cual es la dependenca de la fuerza con la poscón Supongamos que la fuerza varía con la poscón tal como se ndca en la fgura x El área sombreada de la fgura (entre x y x + x) es aproxmadamente: S pretendemos calcular el área total entre x1 y x debemos dvdr toda el área entre x1 y x en pequeñas áreas como la ndcada en la fgura y luego sumarlas, esto nos daría; (x ) x A = (x ) x
esta ultma expresón es déntca a la encontrada para el trabajo de una fuerza varable A = (x ) x = es decr el área bajo la curva es gual al trabajo realzado por la fuerza varable. El resorte es un ejemplo de fuerza varable proporconal TRABAJO REALIZADO POR UN RESORTE Supóngase que el resorte ncalmente en su poscón de equlbro, es estrado una dstanca x por una fuerza aplcada apl, s en esa poscón el resorte se encuentra en equlbro entonces por la ley de accón y reaccón podemos afrmar que la fuerza que ejerce el resorte es de la msma magntud pero en sentdo opuesto, se puede comprobar expermentalmente que la magntud de esta fuerza es proporconal a la deformacón x que a sufrdo el resorte desde su poscón de equlbro, es decr: = kx el sgno negatvo nos ndca que la fuerza apunta sempre haca la poscón de equlbro W R
Medcón expermental de la constante elástca de un resorte La masa m estra el resorte desde su poscón de equlbro una dstanca x, en esta nueva poscón de equlbro: kx = mg de aquí nmedatamente obtenemos el valor de la constante elástca: k = mg x Conocda la fuerza podemos ahora determnar cual es el trabajo efectuado por esta fuerza varable en mover el resorte desde la poscón ncal x hasta la poscón fnal x f Supongamos que la fuerza aplcada estra muy lentamente el resorte tal como se ndca en la fgura El resorte se estra muy lentamente desde x1 hasta x por accón de la fuerza aplcada apl, en todo momento, apl + = 0 de esta manera en todo momento la fuerza aplcada es gual a la fuerza ejercda por el resorte entonces: apl = k x entonces el trabajo neto realzado es cero: W + W = 0 apl
S determnamos cuál es el trabajo realzado por la es el trabajo realzado por el resorte. fuerza aplcada conoceremos cuál En la fgura se ndca como vara la fuerza aplcada con la deformacón del resorte. El área sombreada entonces nos dará el trabajo efectuado en estrar el resorte desde la poscón x hasta x f Gráfca de la fuerza aplcada apl versus la poscón, el área sombreada nos da el trabajo realzado por ella desde x hasta x f W apl = área del trapeco kx + kx = ( f )(x x ) f W apl = kx f kx y el trabajo realzado por el resorte será: W = kx kx f
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA Consderemos una partícula de masa m movéndose en la dreccón del eje x por accón de la fuerza resultante x, por sencllez supondremos que esta fuerza es constante realzando la partícula un MRUV, tal como se ndca en la fgura Cuál será entonces el trabajo realzado por la fuerza resultante? Como la fuerza resultante es constante y esta en la dreccón del desplazamento el trabajo será: w = x x Por la segunda ley de newton se puede establecer que: x = ma además como la aceleracón es constante, por cnemátca: v f = v + a d remplazando la aceleracón obtenemos: v v m = ( f ) x d Sí reemplazamos esta expresón en la ecuacón del trabajo obtendremos: mv W = f mv Vemos pues que para calcular el trabajo no es necesaro conocer la fuerza resultante, solo es necesaro saber cual es la velocdad ncal y fnal de la partícula. Al semproducto de la masa por el cuadrado de su rapdez se le defne como la energía cnétca de la partícula.
La energía cnétca E k de una partícula de masa m y velocdad v se defne como: E k = mv es la energía asocada a todo cuerpo en movmento, la energía cnétca es una cantdad escalar y tene las msmas undades que el trabajo (Joules) La defncón de energía cnétca nos permte expresar el trabajo de la fuerza resultante como: W = (E k ) f (E k ) = E k El trabajo realzado por la fuerza resultante es gual al cambo en la energía cnétca de la partícula, a esta mportante relacón se le conoce como el teorema del trabajo y la energía cnétca Aún cuando este mportante teorema llamado teorema del trabajo y la energía cnétca ha sdo demostrado suponendo una fuerza constante en magntud y dreccón, es valdo aun s la fuerza fuera varable mg v f k N En general s sobre una partícula actúan varas fuerzas, sendo la fuerza resultante, tal como se ndca en la fgura, entonces el trabajo realzado por la fuerza desde la poscón ncal a hasta la poscón fnal es gual al cambo en la energía cnétca de la partícula
ENERGÍA POTENCIAL El concepto de energía cnétca, esta asocado con el movmento de un objeto. Se encontró que la energía cnétca de un objeto puede cambar úncamente s se realza trabajo sobre él, Ahora ntroducremos otra forma de energía mecánca, llamada energía potencal, la cual esta asocada con la poscón o la confguracón de un objeto. Se descubrrá que la energía potencal de un sstema se puede pensar como una energía almacenada en él y que puede convertrse en energía cnétca. El concepto de energía potencal solo se puede aplcar cuando se esta tratando con una clase especal de fuerzas llamadas fuerzas conservatvas. S solo actúan fuerzas conservatvas sobre un sstema, como las de gravtacón o las elástcas. UERZA CONSERVATIVA Una fuerza es conservatva cuando el trabajo de dcha fuerza es gual a la dferenca entre los valores ncales y fnal de una funcón que sólo depende de las coordenadas Característcas: S el trabajo efectuado por ella sobre una partícula entre dos puntos, es ndependente de la trayectora: (W C ) 1 = (W C ) = (W C ) 3 El trabajo solo depende de las poscones ncal y fnal El trabajo efectuado por una fuerza conservatva a través de una trayectora cerrada es 0. Toda fuerza conservatva C tene asocada a ella una funcón, llamada energía potencal EP tal que el trabajo realzado por esta fuerza conservatva es gual a menos el cambo de su energía potencal
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA La energía potencal es la energía que tene todo cuerpo nmerso en el campo gravtatoro terrestre respecto de un nvel de referenca dado. Se defne la energía potencal gravtaconal como: E p = mgy donde : m: es la masa del cuerpo, g: la aceleracón vertcal meddo desde un nvel de referenca. de la gravedad, y: la coordenada Así tenemos que: S la masa se encuentra por encma del nvel de referenca su energía potencal será postva S la masa se encuentra en el msmo nvel de referenca su energía potencal es cero S la masa se encuentra por debajo del nvel de referenca su energía potencal será negatva Observamos que para mover el cuerpo, debemos aplcar una fuerza externa al sstema sobre el cuerpo, y otra fuerza sobre la terra. Estas fuerzas son opuestas, por la tercera ley de Newton. jamos nuestro sstema de referenca en la terra. S consderamos un ncremento de altura tal que podamos consderar al campo gravtatoro constante, el peso del cuerpo permanecerá constante en todo el recorrdo y será tambén constante la fuerza El trabajo realzado por la fuerza externa al expermentar un desplazamento d será: ( ) mg W = mg h h = mgh + mgh 1 f f mg 1 = 1 W mgy mgy
Trabajo realzado por el peso: Supongamos que levantamos un objeto de masa m desde el suelo hasta una altura h. En el punto superor (v=0) la energía dada por se ha acumulado como Epot. En el punto superor el cuerpo tene Ep. P Durante el ascenso la fuerza da energía cnétca al cuerpo (realza P Durante el descenso el peso P realza trabajo postvo transformando la energía potencal acumulada en cnétca. 1 Durante el ascenso el peso P quta energía cnétca al cuerpo (realza trabajo negatvo) que se transforma en Ep. 3 En el punto más bajo toda la energía potencal se ha transformado en cnétca. La fuerza de gravedad o peso realza trabajo negatvo sobre m cuando la partícula se mueve de 1 haca restando energía cnétca al cuerpo que se transforma en energía potencal gravtatora. S ahora dejamos que la fuerza de gravedad actúe, (trayectora de a 1) podemos recuperar toda la energía como energía cnétca. La fuerza de gravedad transforma ahora la energía potencal en energía cnétca realzando trabajo postvo.
Ejemplo A un cuerpo de 500 g, stuado en el suelo, se aplca una fuerza constante de 15 N que actúa vertcalmente y haca arrba. Calcular el tpo de energía y su valor en los sguentes puntos: a) En el suelo. b) m del suelo. c) 5 m del suelo. Solucón: a) E cn = 0 ; E pot = 0. 5 m m b) Energía dada por la fuerza : W =. h E pot Ek = 0 J c) Energía dada por la fuerza : W =. h E E k pot = m g h = 0,5 kg. 10 m/s. m = 10 J = m g h = 0,5 kg. 10 m/s. 5 m = 5 J = 50 J. 1 = 15 N. m = 30 J = 15 N. 5 m = 75 J ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA Cuando se calculó el trabajo realzado por un resorte se encontró que éste sólo kx kx dependía de la elongacón ncal y fnal del resorte W = f
Se defne la energía potencal elástca como E P e = k x entonces el trabajo realzado por el resorte se puede expresar: LA ENERGÍA MECÁNICA W = (E ) (E ) = E Pe Pe f Pe es decr el trabajo realzado por la fuerza elástca es gual a menos el cambo de la energía potencal elástca El Prncpo de conservacón de la energía ndca que la energía no se crea n se destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformacones, la energía total permanece constante; es decr, la energía total es la msma antes y después de cada transformacón. En el caso de la energía mecánca se puede conclur que, en ausenca de rozamentos y sn ntervencón de nngún trabajo externo, la suma de las energías cnétca y potencal permanece constante. Este fenómeno se conoce con el nombre de Prncpo de conservacón de la energía mecánca
S, por ejemplo, un nño descende por un tobogán, la energía potencal que tenía cuando estaba arrba se convertrá en energía cnétca al descender. En el caso del patnador de la lustracón sguente, la energía cnétca y la potencal se van transformando una en otra según se mueve de un lado para otro. Prncpo de su conservacón Supóngase que sobre una partícula de masa m actúan varas fuerzas, 1, 3 no conservatvas y una fuerza conservatva C, El trabajo realzado por la fuerza resultante es gual a la suma de los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas ndvduales: W = w + w + w + w 1 C W NC s llamamos al trabajo realzado por todas las fuerzas no conservatvas W = w + w + w NC 1 entonces el trabajo de la fuerza resultante se puede expresar: W = WNC + w C Por el teorema del trabajo - energía cnétca, podemos decr; W = E k
como c es conservatva el trabajo realzado será, según la ecuacón : reemplazando obtenemos: w = C E P E C = W E (EC + Ep ) = WNC (E C + E p ) (EC + Ep ) = WNC NC p s defnmos la energía mecánca del sstema como: E = E C + E p E = W entonces: NC El trabajo realzado por las fuerzas no conservatvas es gual al cambo de la energía mecánca del sstema Que sucede s solo actúan fuerzas conservatvas? En este caso W NC = 0 y E = E C + E P = cte esta mportante relacón nos ndca que en todo momento la energía cnétca y potencal del sstema se mantene constante y recbe el nombre de: prncpo de conservacón de la energía mecánca del sstema El prncpo de conservacón establece que la suma de la energía cnétca y potencal se mantene constante en todo momento, En la fgura podemos aprecar que hay una transformacón de energía cnétca en energía potencal y de energía potencal en energía cnétca durante todo el movmento, conservándose la energía mecánca. E = E C + E p E = E C + E P = cte
POTENCIA Se defne como el trabajo efectuado en la undad de efectúa el trabajo tempo o la rapdez con la cual se Potenca meda: Es el trabajo total efectuado entre el tempo total empleado P = Potenca nstantánea: trabajo total tempo joule J = watt, [ = W] segundo s Determnemos el trabajo W realzado por una fuerza en un ntervalo de tempo muy pequeño t: w P = t s el ntervalo de tempo lo hacemos tender a cero obtendremos entonces la potenca nstantánea W P = lm t 0 t Como en ese pequeño ntervalo de tempo el bloque se logra desplazar r, el realzado será: W = r trabajo esto nos permte expresar la potenca nstantánea de la sguente manera: W r P = lm t 0 = lm t t 0 t Ordenando adecuadamente: r P = lm t 0 t el segundo termno de esta ultma expresón es justamente la velocdad nstantánea es decr: P = v La potenca nstantánea desarrollada por una fuerza fuerza por la velocdad nstantánea es gual al producto de la