1.6. Integrl de líne de un mpo Vectoril Grdiente. n Definición. Se l función esclr f definid por f : D R R, un función continumente diferencible, y se l curv, un curv prcilmente suve definid prmétricmente por h: [, b] n / h( t) ( h1( t), h( t),, hn ( t) ) son h( ) = X1 y hb X R =, cuyos extremos =, entonces se cumple que ( 1) ( ) ( ) f dr = f X f X = f h b f h Se observ en est definición que l integrl de líne de un cmpo grdiente, no v depender de l tryectori recorrid, sino exclusivmente de los extremos de l mism. Demostrción. Se l curv suve o prcilemente suve definid prmétricmente ( 1 n ) n por h: [, b] / h() t h () t, h ( t),, h ( t) vectoril grdiente R =, l integrl de líne pr el cmpo f, viene ddo por Que es lo que se querí demostrr. b d f dr = f ( h() t ) dt dt b f f f dx dy dz =,,,, dt x y z dt dt dt b f dx f dy f dz = dt + + xdt ydt zdt b df = dt dt ( ()) = f h t b Además, si se cumplen ls hipótesis enuncids en est propiedd, entonces se cumple que l integrl de líne de un tryectori cerrd es igul cero, esto es f dr = EJEMPLO 6. Se l tryectori definid por h h( t) t ( πt) clcule yxdx + x dy. 0 : R R / =,cos,0,
Solución. Se observ que el cmpo vectoril f ( x, y, z) ( xy, x,0) l función F( x, y, z) = x y, es decir, f ( xyz,, ) F( xyz,, ) =, es el grdiente de = de mner que I = xydx+ x dy (,, ) = f x y z dr (,, ) = F x y z dr F( h() 1 ) F( h( 0) ) () 1cos( π ) ( 0cos0 ) = = = 1 1.6.1. mpo vectoril conservtivo y sus propieddes. Definición. Se F un cmpo vectoril, se dice que F es un cmpo vectoril conservtivo si es el grdiente de un función esclr f, es decir si (,, ) = (,, ) F x y z f x y z Si F es un cmpo vectoril conservtivo, entonces l función f, es un función potencil del cmpo F. Propieddes. 1) Si F es un cmpo vectoril conservtivo, entonces pr culquier curv orientd. cerrd y simple, F dr = 0 ) Si F es un cmpo vectoril conservtivo, entonces pr dos curvs orientds simples culesquier, 1 y, que tengn los mismos extremos F dr = F dr. 1 ) Si F es un cmpo vectoril conservtivo, entonces F = 0.
EJEMPLO 7. Determine si el cmpo vectoril F( x, y, z) ( x y, x 4y ) no conservtivo. = + +, es o Solución. Si el cmpo F( x, y, z ) es un cmpo vectoril conservtivo, implic que es te cmpo el grdiente de un función potencil esclr f (,, ) (,, ) (,, ) xyz, es decir, f xyz = F xyz, de mner que se pueden plnter ls siguiente ecuciones f = x y + x.1 f = x + 4 y y Ec. ( Ec ) Al integrr l primer de ests ecuciones con respecto l vrible x, y considerndo l vrible y como un constnte, se obtiene l siguiente expresión (, ) = ( + ) = + + (.) f xy xy dx xy x h y Ec En donde, en el resultdo de l integrl indefinid se tiene un función rbitrri h( y ), en vez de un constnte de integrción rbitrri. Ahor derivndo l expresión de f (, ) xy con respecto l vrible y, se obtiene l siguiente expresión f = + y x h y ' Al igulr est ecución con (Ec. ), se tiene que 4 y h' ( y) integrr h' y con respecto y, se obtienen 4 4 h y = y dy = y + =, de tl mner que l Y l sustituir en (Ec. ) est ecución, se obtiene l función potencil f que viene dd por 4 (, ) = + + + (.) f xy xy x y Ec Si se dese determinr un función potencil f, cuyo cmpo vectoril grdiente est definido por F( xyz,, ) ( F1( xyz,, ), F( xyz,, ), F( xyz,, )) ecuciones =, se plnten ls siguientes f f f = F1 xyz = F xyz = F xyz x y x (,, ) (,, ) (,, )
Al plicr l integrción indefinid l primer de ests ecuciones, se obtiene l expresión (,, ) = (,, ) + (, ) f xyz F xyzdx p yz 1 En donde, en el resultdo de l integrl indefinid se tiene un función rbitrri p ( yz., ) De mner nálog se integrn ls otrs ecuciones y se obtiene ls siguientes igulddes (,, ) = (,, ) + (, ) f xyz F xyzdy qxz (,, ) = (,, ) + (, ) f xyz F xyzdz r xy En ls que igulmente ls funciones q( x, z ) y (, ) r x y, son funciones rbitrris que deben ser determinds. Pr clculr l función potencil f, se deben encontrr ls funciones rbitrris p ( yz,, ) q( x, z ) y (, ) que fueron obtenids pr l función f (,, ) miembros. r x y, de tl mner que ls tres ecuciones xyz sen coincidentes en sus segundos EJEMPLO 8. Determine l función potencil cuyo cmpo vectoril grdiente viene ddo por F x, y, z = y cos x + z,4+ ysen x,xz +. Solución. Pr determinr l función potencil f, cuyo cmpo vectoril grdiente est ddo por F x, y, z = y cos x + z,4 ysen x,xz +, se plnten ls siguientes ecuciones f f f = y cos( x) + z = 4 + ysen( x) = xz + x y x Al plicr l integrción indefinid l primer de ests ecuciones, se obtiene l siguiente expresión f x, y, z = y cos x + z dx= y sen x + z x+ p y, z En donde, en el resultdo de l integrl indefinid se tiene un función rbitrri p ( yz,, ) en vez de un constnte de integrción. De mner nálog se integrn ls otrs ecuciones y se obtiene ls siguientes igulddes f x, y, z = 4+ ysen x dy = 4 y + y sen x + q x, z (,, ) = ( + ) = + + (, ) f xyz xz dz xz z r xy
En don de se puede identificr por observción que p ( yz, ) = 4y+ z, q( x, z) xz (, ) y sen( x) r x y =, y =, De tl mner que ls tres ecuciones que fueron obtenids pr l función f (,, ) xyz son coincidentes en sus segundos miembros, y está definid por l expresión f xyz,, = 4y+ ysenx+ xz + z EJEMPLO 9. Se l tryectori definid por f : / f ( t) ( t, t, t ), t [ 0,] zdx zdy x y dz. clcule + + ( + ) R R =, Solución. omo se puede observr el cmpo vectoril H( xyz,, ) ( zzx,, y) grdiente del cmpo esclr h( x, y, z) z( x y) = + es el = +, por lo que el cmpo H es un cmpo conservtivo, l integrl de líne se puede clculr de l siguiente mner (,, ) = H( xyz,, ) hxyz H dr = h dr ( ) h f ( ) = h f b = t t+ t 0 = 48 omo H es un cmpo vectoril grdiente, l integrl no depende de l tryectori recorrid sino de l ubicción de los puntos extremos de l curv. EJERIIOS PROPUESTOS 1.6. 1) Determine si el cmpo vectoril H( xyz,, ) ( y xyx, xy) conservtivo. = + +, es o no ) Se l tryectori definid por ( π ) z z clcule e dx + ydy + xe dz. [ ] f : R R / f t = 4 t,cos t, t, t 1,1, ) Se l tryectori definid por f : / f ( t) ( t,1 t, t), t [ 0,] ( + ) + ( + ) + ( + ) z y dx x z dy x y dz. R R =, clcule
π f : R R / f t = cos t, sent, t, t 0,, clcule 4) Se l tryectori definid por () ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) yz dx xz dy xy dz. 5) Evlur l integrl de líne xyzdx + x zdy + x ydz donde es un curv simple orientd positivmente que conect l punto ( 1,1,1 ) con el punto ( 1,, 4 ). 1.6.. Independenci de l Tryectori. Si existen dos curvs 1 y, suves o prcilmente suves, que tienen en común el inicio y fin de sus tryectoris, se estblece, en generl, que F dr F dr, pero si 1 l función F es un cmpo vectoril conservtivo, entonces se cumple que f dr = f dr, siempre que f se un cmpo continuo en el dominio D l cul 1 pertenece l curv. Esto signific que el vlor de l integrl de líne de un cmpo vectoril conservtivo depende solmente del punto inicil y del punto finl de un curv, y no de l tryectori recorrid por ést. Definición. Si F es un cmpo vectoril continuo en un dominio D, donde l curv est incluid, se dice que l integrl de líne F dr es independiente de l tryectori, si se cumple que F dr = F dr, pr culesquier dos tryectoris 1 y 1 1 contenids en D que tengn los mismos puntos inicil y finl.