Métodos Numércos TEMA 8: DERIVACION E INTEGRACION Numérca DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Polomo de terpolacó es aplcable para la resolucó de problemas de derecacó, e geeral y el cálculo de dervadas, e partcular. Dada ua tabla de valores de la ucó () para dversos valores de, se puede determar el polomo de terpolacó que, satsacedo a los valores dados, represete co certo grado de apromacó a (). De acuerdo a lo ateror, es posble calcular, de maera más o meos precsa, la dervada '(), de la ucó e cuestó. Se puede allar e geeral y por úca vez, las dervadas sucesvas de la órmula de terpolacó y aplcarlas a cada caso partcular.
Dervacó umérca (/) ETSII-UPM Se trata de evaluar umércamete la dervada de ua ucó () a partr de valores umércos de dca ucó. Se puede comezar co ua apromacó tutva y geométrca De la decó de dervada como límte, se puede apromar la dervada: Geométrcamete se puede cosderar tres varates: órmula avazada órmula atrasada órmula cetrada () () () () () () () Dervacó umérca (/) ETSII-UPM E el cálculo umérco de dervadas se comete errores mportates E prcpo, parece evdete que al dsmur se reduce el error. Ejemplo: dervada de e e (valor eacto.78888595) () ()-() '() error e-.6696.858895879.8588958788 -.5668 e-.756569.798655787.7986557878 -.66878 e-.7698858.7965.796578 -.595977 e-.78556775.78777.78777788 -.59869 e-5.789.7895.789599 -.5956 e-6.788567.7889.788869865 -.58578 e-7.78887.788.78896968 -.5558 e-8.788855686.788.78877777.567 e-9.788877.788.788599869.8676 e-.78888787.78.78789576.8986 e-.7888886.78.78759.779668 e-.78888676.7.78759.779668 e-.7888859.7.7857888.896756756 e-.78888597..6655598.5765695867 El error dsmuye co al prcpo, pero ay u mometo e que aumeta. El error mímo se produce apromadamete cuado log(eps)/.
Aálss del error Fórmulas avazadas Se puede obteer a partr del desarrollo e sere de Taylor: ( ζ ) ( ) ( ) ( ζ ) ( ) ( ) ( ) ( )!! y e este caso se dce que el error es de orde ó orde : O(). Para la órmula cetrada ETSII-UPM Se realza el desarrollo e sere de Taylor e y e : ( ) ( ζ) ( ) ( ) ( )!! ( ) ( ζ ) ( ) ( ) ( )!! Restado membro a membro y supoedo que ''' es cotua: ( ) ( ) ( ) ( ( ζ) ( ζ ) ) ( ) ( ζ )!! de dode se llega almete a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ζ ) O( )! La órmula cetrada es de orde y por tato más precsa que las otras dos. DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION La metodología descrpta mplca el uso de cualquera de las órmulas de terpolacó estudadas. Se desarrolla u caso partcular. La órmula de NEWTON-GREGORY Ascedete, e la cual se a eco la trasormacó u, para acltar su uso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u! ( ) ( )( ) u u u K (8.)!
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () Dervado respecto de la varable u, se obtee: u u 6u 6 ( u) ( ) ( ) ( ) K y para ; vale decr, para u, resulta la ecuacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K (8.) DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () Aálogamete, para la dervada seguda se obtee la epresó: 6u 8 u ( u ) ( ) ( )( u ) ( ) K y para ; o sea, acedo u, resulta la ecuacó: ( ) ( ) ( ) ( ) K (8.) Este procedmeto puede ser terado tatas veces como se eceste, para obteer dervadas de mayor orde.
DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION () S se parte de la órmula de NEWTON-GREGORY Descedete o, de las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc., se ecotrara, uevas órmulas de dervacó para cada caso e partcular, las que, orecerá mayor o meor precsó segú la poscó relatva del valor de la varable para el cual se desea calcular las dervadas DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION (5) La aplcacó de détco crtero para la órmula de NEWTON- GREGORY Descedete: u ( ) ( ) ( ) ( u ) u ( ) ( u )( u ) u u!! da como resultado dervado co respecto a u e gualado a cero: ( ) ( ) ( ) ( ) K como así també: ( ) ( ) ( ) ( ) K (8.) (8.5) ( ) K 5
ALGORITMO DE HORNER Otro método dóeo para determar el valor de las dervadas sucesvas, e el especal caso de que la ucó e cuestó sea ua epresó algebraca, es el deomado MÉTODO o ALGORITMO DE HORNER Este método, tee la vetaja adcoal que permte calcular el valor de la ucó para el valor de la varable e el cual se pretede determar sus dervadas y, además, de ser de muy seclla aplcacó: INTRODUCCION E ocasoes es ecesaro determar el valor umérco de ua ucó algebraca polómca, de la orma: ( ) a a a a a P K (8.6) Será estudado a cotuacó el caso de teer que calcular el valor de la ucó e u puto α. Todos los desarrollos que sgue tee valdez tato para valores de α reales, como complejos, pero se etederá que el úmero de operacoes a eectuarse solo es váldo e el campo real. 6
INTRODUCCION () S se calculara drectamete su valor reemplazado el de por el de α, resulta: (8.7) P ( α ) aα aα K a α a Se debe calcular α ; α ;...; α ; es decr, - multplcacoes. Después debe ser ormados los productos a α ; a α - ;...; a - α ; o sea, multplcacoes más. E total se debe realzar - multplcacoes y adcoes para calcular el valor de P(α) a partr de la epresó (8.6), acedo uso drecto de la órmula (8.7). INTRODUCCION () Ua alteratva dada por HORNER, permte dsmur práctcamete a la mtad el úmero de operacoes, co la posbldad adcoal de calcular també sus dervadas sucesvas e el msmo puto α: P'(α); P"(α);...; P () (α). 7
CALCULO DEL VALOR DEL POLINOMIO Ua maera recurrete de escrbr la epresó (8.7) es la sguete ( α ) ( K((( aα a) α a) α a) α K a ) α a P que puede obteerse drectamete acedo uso del algortmo b a b b α a b b α a......... b - b - α a - (8.8) P(α) b b - α a El valor de b es el de P() cuado α; vale decr, el de P(α). E total so ecesaras multplcacoes y adcoes, para lograr el resultado ateror Ejemplo (): p() - - 8, Etrayedo actor comú e los prmeros térmos, luego e los prmeros, y almete e los prmeros térmos, se tee: p() ( p() (( p() ( (( - ) ) - 8 ; ) - - ) ) - 8 ; ) - 8 8
Algortmo de Horer Algortmo: E) Igresar (grado polomo); a (coecetes); valor para el cual se evalúa p() E) Asgar: b a E) Para k -, -,..., acer : b a k bk E) Imprmr: Valor de P( ) ; b ; k Ejemplo (): Evaluamos aora los parétess de esta últma epresó de p(), desde el más teror, (), para y así sguedo, asta el últmo: ) e ) () - e ) () ) () - 8 e es gual a es e es es 8 9
Ejemplo (): Por lo tato: p() 8 El algortmo de Horer para este ejemplo dode grado p() es y los coecetes a permte escrbr: p() ((( a a ) a ) a ) a Nota: Ejemplo (V): Vetaja mportate el aorro de operacoes, dsmuyedo así los eectos de la propagacó de errores. Obsérvese e el ejemplo que el método usual ecesta multplcacoes y sumas (restas); e cambo, co la regla de Horer, se eectúa multplcacoes y sumas.
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS Para calcular las dervadas sucesvas de P() e el puto α, es ecesaro utlzar u smple artco. La epresó: ( ) a a a a a P K (8.6) se puede escrbr P() (-α) [b - b -... b - b - ] b (8.9) dado que se puede recostrur la (8.6) a partr de la (8.9); realzado las operacoes dcadas, resulta: P() b - α b - b - - α b -... b - - α b - b - - α b - b b (b - α b ) - (b - α b ) -... (b - - α b - ) (b - α b - ) CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS () Comparado esta últma epresó co la (8.6) e gualado sus coecetes omólogos se puede despejar los b j de la sguete maera: a b b a a b - α b b a α b................... a - b - - α b - b - a - α b - a b - α b - b a α b - como se quería demostrar.
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS () Llamado Q () al polomo ecerrado detro del corcete de la sguete epresó: P() (-α) [b - b -... b - b - ] b (8.9) Puede escrbrse P () ( - a) Q () b (8.) dode el resto b es costate e gual a P(α), como ya se a vsto. Dervado respecto de la epresó (8.), resulta: P () Q () ( - a) Q () (8.) de la que es posble err que: P (α) Q (α) (8.) CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS () Epresó, que puede ser escrta e orma recurrete y smlar a la (8.8), de la maera sguete: P ( α ) ( K((( b α b ) α b ) α b ) α K b ) α b cuyo algortmo resolutoro, es: c b c b α c c b a c......... P (α) c - b - α c - Q Se dee los coecetes c de modo que al al del proceso se obtega el valor buscado e: Q (α ) P (α)
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (5) Para determar las sguetes dervadas sucesvas del polomo P() e el puto α, es ecesaro acer las sguetes cosderacoes.. Escrbedo el polomo P() e térmos de la órmula del desarrollo e sere de Taylor, resulta: P ( ) P( α ) ( α ) P ( α ) ( α ) ( α ) P K! ( α )! P ( ) ( α ) CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (6). De P () ( - a) Q () b y cosderado que b P(α), se puede escrbr que: P ( ) ( ) P( α ) Q α. Teedo e cosderacó estas dos últmas epresoes, resulta: ( α ) α Q ( ) P ( α ) P ( α ) P ( α ) K!!. Sacado actor comú -α, se obtee: Q ( ) P ( α ) ( α ) ( α ) P! α P! ( α ) K ( α )! ( α )! P ( ) P ( ) ( α ) ( α )
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (7) 5. Llamado, almete, Q () al polomo ecerrado detro del corcete, resulta: Q () P (α) ( - α) Q () Dervado esta últma epresó se obtee Q () Q () ( - α) Q () que, e el puto α, vale: Q () Q () (8.) CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (8) Dervado la sguete epresó respecto de, se obtee: P () Q () ( - a) Q () (8.) P () Q () ( - a) Q () la cual, a su vez, e el puto α, toma el valor: P (α) Q (α) (8.) Cosderado las epresoes (8.) y (8.), se obtee e detva P (α) Q (α) (8.5) Q () Q () (8. )
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS (9) Co mayor grado de geeralzacó, es posble calcular las sguetes dervadas sucesvas de P(), e el puto α. Iterado el procedmeto descrpto aterormete, se puede escrbr, e geeral: Q Q de dode: k ( ) k ( ) ( α ) ( k) P ( k )! k ( ) ( α )! ( k ) ( α ) Q ( ) k (8.6) ( α ) k k α ( k ) ( ) P P ( α ) K P ( α ) (8.7) k!! CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS () Dervado la (8.6) co respecto a, se deduce que: Q k- () Q k () ( - α) Q k () e la cual, acedo α, resulta: Q k- (α) Q k (α) Cosderado la epresó (8.7), se obtee: ( Q P k ) k ( α ) k! 5
CALCULO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS () Co mayor grado de geeralzacó, es posble calcular las sguetes dervadas sucesvas de P(), e el puto α. E detva, es posble deducr que, e geeral, la dervada de orde k-ésmo resulta: P (k) (α) k! Q k (α) (8.8) que represeta la epresó geeral de la dervada de orde k, de u polomo P(), e el puto α. Itroduccó a la tegracó umérca ETSII-UPM Plateameto del problema Se trata de evaluar la tegral deda de ua ucó medate u sumatoro de valores de esa ucó e certos putos llamados odos, multplcados por uos coecetes de poderacó llamados pesos: b a ( ) d w ( ) w w... w Esta epresó mplca la susttucó de u sumatoro to (la tegral) por u sumatoro to, por lo que se producrá u error de trucameto. Se llama grado de precsó de la órmula de tegracó al mámo grado de los polomos que so tegrados eactamete por dca órmula. Para deducr las órmulas de tegracó umérca la ucó () se suele susttur por el polomo de terpolacó p () () y realzar la tegracó eacta de este polomo. S u polomo de grado es tegrado eactamete es de esperar que el error e la tegracó umérca de la ucó () depeda de la dervada de orde () de dca ucó e u puto perteecete al tervalo de tegracó. La tegracó umérca es u proceso más estable y precso que la dervacó umérca vsta prevamete. 6
Fórmulas de Newto-Cotes (/) ETSII-UPM Se basa e el polomo de terpolacó de Newto co argumetos gualmete espacados (órmula de derecas tas). Alguas órmulas de Newto-Cotes: Regla trapezodal ( ) d ( ) err ( ζ ) 5 ( v) Regla de Smpso ( ) d ( ) err ( ζ ) 5 ( v) Regla de Smpso ( ) d ( ) err ( ζ ) Regla de Boole ( ) 9 8 8 8 7 8 ( v) d ( 7 7 ) err ( ζ ) 5 95 Observacoes: E estas órmulas se supoe k k. Los errores depede de potecas elevadas de. La órmula de Smpso tee ua alta relacó precsó/coste. No se suele utlzar órmulas de orde muy grade porque aparece coecetes egatvos que da lugar a problemas umércos. Fórmulas de Newto-Cotes (/) Deduccó de la regla de Smpso /8 Se parte del polomo de terpolacó de Newto e derecas tas: ( ) y y p ( ) y y( ) ( )( ) ( )( )( )!! Hacedo el cambo de varable s ( ) s ( s ) ( ) ( s ) ( s ) ( ) ( s ) Se llega a: L Teedo e cueta que se obtee almete, después de reordear térmos: () () p ( ) d ( ) ( ) p s ds y y y y 8 ETSII-UPM ( ) s( s ) s( s )( s ) p ( s) y s y y y!! s( s ) s( s )( s ) y s( y y) (( y y) ( y y) ) ((( y y) ( y y )) (( y y) ( y y) ))!! s( s ) s( s )( s ) y s( y y) ( y y y) ) ( y y y y )!! 9 9 sds ; s( s ) ds ; s( s )( s ) ds!! 8 7
Fórmulas de Newto-Cotes (/) ETSII-UPM El cálculo de los errores de las restates órmulas de Newto-Cotes es bastate laboroso y o se cluye e estas trasparecas. Iterpretacó gráca de la regla trapezodal y las dos reglas de Smpso: E ( ξ ) v E ( ξ ) 9 5 v E ( ξ ) 8 5 Fórmulas abertas y cerradas ETSII-UPM Cocepto de órmula de tegracó aberta Se llama aberta a ua órmula de tegracó umérca que o evalúa la ucó tegrado e uo o e los dos etremos del tervalo. Las órmulas abertas so útles cuado o se cooce la ucó e u etremo o tee u valor to (tegrales mpropas). U caso de gra terés práctco so las órmulas de Adams, que utlza putos, pero sólo desea calcular la tegral e el últmo tramo (ver guras) aberta cerrada Newto-Cotes aberta cerrada Adams 8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA Detro del campo aalítco, perteecete a la matemátca pura, se descooce la prmtva de la mayor parte de las ucoes que ella estuda o s esta se cooce, su aplcacó es larga y compleja, para utlzarla co proveco e la resolucó de ua tegral. Icluso, es posble que se descoozca la epresó aalítca de la ucó sobre la cual se desea tegrar. Cosecuetemete, y e térmos geerales, es posble asegurar que la gra mayoría de los problemas que se preseta e la práctca, carece de solucó detro del campo aalítco. INTEGRACIÓN NUMÉRICA () Resumedo, la mposbldad, o la coveeca, de la aplcacó de métodos tradcoales está dada, udametalmete, por : I.- Que o se coozca gua prmtva de aquella ucó que es ecesaro tegrar, II.- Que aú coocédose ua ucó prmtva, su aplcacó resulte ecesvamete compleja o etesa, III.- Que, drectamete, se descoozca la epresó aalítca de la ucó que debe ser tegrada. 9
INTRODUCCION Cuado el problema e cuestó cosste e calcular la tegral deda de ua determada ucó (), dada por: b a ( ) I d (8.9) y se cooce ua ucó F(), prmtva de (), es decr, F' () (), se aplca la regla de BARROW : I b a ( ) d F( b) F( a) (8.) INTRODUCCION () Cuado o se cooce gua prmtva de la ucó, resulta ecesaro apelar a métodos de cálculo apromados. Igual proceder debe adoptarse s, aú coocédose ua prmtva, resulta poco práctco aplcarla, por su complejdad. E ocasoes se cueta solamete co ua tabla de alguo de sus valores, proveete de resultados epermetales; e cuyo caso, tampoco es posble aplcar la regla de BARROW. Cosderado que la tegral dada por (8.9) equvale a determar el valor del área bajo la curva de la ucó (), es posble desarrollar dversos métodos apromados para lograr dco objetvo.
FORMULA DE LOS TRAPECIOS Supógase coocdos los valores ; ;...; deducdos de la ucó (), coocda, que cumple co la codcó: k - k- para k ; ;... ; Ua prmera apromacó al valor del área a calcular, lmtada por los putos ; A ; A ;... ; A ; se obtee cosderado la suma de las áreas de los trapecos scrptos e cada ua de las superces parcales lmtadas por los putos, ; A ; A ; ; A ; A ;......... - ; A - ; A ; FORMULA DE LOS TRAPECIOS () Fgura 8.. A A- A ( ) A A Y Y Y Y- X X X X - Y X
FORMULA DE LOS TRAPECIOS () E cosecueca, resulta: área ( ; A ; A ; ) / ( y y ) área ( ; A ; A ; ) / ( y y )..................... área ( - ; A - ; A ; ) / ( y - y ) Sumado las epresoes de las áreas así obtedas, resulta ( ) d ( y y y y ) K (8.) FORMULA DE LOS TRAPECIOS () La órmula de los trapecos tee ua precsó sucetemete buea cuado se trata de aplcarla a determacoes que o requera ua apromacó de orde elevado. E el caso de aberse susttudo la curva, dada por la ucó cotua (), medate la polgoal scrpta, descrpta medate los putos dados o calculados, el modelo realzado puede clascarse como ua Dscretzacó; y o satsace pleamete cuado se trata de obteer gra precsó.
FORMULA DE SIMPSON () Basado e la utlzacó de segmetos de parábola para apromar los arcos de curva, e lugar de emplear segmetos de recta;es decr utlzar curvas e lugar de ua polgoal, se obtee ua mayor precsó e el cálculo de tegrales dedas. Prmeramete se cosderará el caso de la parábola de segudo grado, a partr del que se deducrá la epresó aalítca de la órmula de SIMPSON. FORMULA DE SIMPSON () A Y A Fgura 8. A Y Y X X Y X
FORMULA DE SIMPSON () El prmer paso cosste e determar el área compredda etre el eje de las, la parábola de eje vertcal que pasa por los tres prmeros putos dados y sus ordeadas etremas. Llamado A ; A ; A a los putos mecoados y supoedo que tee abscsas equdstates; es decr, que: - - Cosderado, además que, acedo pasar el eje y por el puto termedo A o se perde geeraldad (ver gura 8.). FORMULA DE SIMPSON () Dadas estas codcoes y teedo e cueta que, e geeral, la parábola de segudo grado es: y a b c pero, como debe pasar por los tres putos A ; A ; A, es posble escrbr: y a b c a (-) b (-) c a - b c y a b c c y a b c a b c a b c
5 FORMULA DE SIMPSON (5) Sumado y restado la prmera y la últma de estas epresoes, y drectamete de la seguda, se obtee los sguetes valores: ; ; y c y y b y y y a Valores que será empleados para reemplazarlos e la epresó de la tegral FORMULA DE SIMPSON (6) Por otra parte, del aálss sabemos que la epresó aalítca del área buscada vale: ( ) c a c b a d c b a yd I Reemplazado e esta últma los valores de a y c aterormete obtedos, resulta: ( ) ( ) 6 y y y y y y y y y y y I El coocmeto de tres ordeadas es sucete para determar el área lmtada por el arco de parábola cuadrátca que pasa por los putos correspodetes.
FORMULA DE SIMPSON (7) E el caso de que la curva se ecuetre descrpta medate ua tabla compuesta de putos A ; A ;...; A, sedo u úmero par y co abscsas ; ;...; equdstates, es posble aplcar la metodología epuesta, cada tres putos (A ; A ; A ); (A ; A ; A ); etc. y, de este modo, obteer la epresó: I ( y y y ) ( y y y ) K ( y y y ) ( ) d FORMULA DE SIMPSON (8) De dode, cosderado a los operadores E, P, I co détco sgcado al establecdo e el puto ateror, se obtee: I ( ) d ( E I P) (8.) Esta últma epresó es la coocda e mportate FORMULA DE SIMPSON, muy utlzada para determacoes epedtvas. 6
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON Como es ácl aprecar, la órmula de SIMPSON, solo es válda y utlzable e el caso e que se aya subdvddo el tervalo de tegracó e u úmero de rajas tal, que la catdad de putos resultates; vale decr, los que descrbe la curva y (), sea mpar. Esto sucede cuado el úmero de rajas aluddo es par. El msmo Smpso a desarrollado ua órmula utlzable e el caso que el úmero de rajas sea mpar. REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Fgura 8. A Y A A A Y Y Y Y H H H H 7
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () La deduccó de la correspodete órmula es smlar a la realzada para la de SIMPSON, ecepto que, para la determacó de las áreas parcales, es ecesaro utlzar parábolas de tercer grado que coecte cuatro putos cosecutvos de la curva e cuestó. La orma geeral de la ecuacó de tercer grado represetada por ua parábola cúbca es: y a b c d (8.) REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON () Para determar los valores de los parámetros a; b; c; d es ecesaro mpoer a la epresó (8.), la codcó que pase por los cuatro putos A ; A ; A ; A y ubcar el eje de las y como se dca e la gura 8., lo cual o ace perder geeraldad al razoameto; co ello el tervalo de tegracó resulta: 8
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (5) Se puede calcular el área buscada medate la epresó: I ( a b c d ) a d b c d a. b. c d a. b. c d de dode: I. b..d REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (6) Y, realzado las operacoes dcadas, resulta: b I d (8.5) Para calcular los valores de las costates que tervee e el cálculo es ecesaro acer: y a b c d y a b c d y a b c d y a b c d 9
REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (7) Resolvedo, por cualquer método, el cojuto de ecuacoes smultáeas y reemplazado sus valores e la epresó (8.5): ( y y ) ( y y ) 9 8 6 I de lo que, e detva, resulta: I 8 [ 9( y y ) ( y y )] ( ) d ( y y y y ) (8.6) que es la epresó aalítca de la deomada REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON. REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (8) Al qutarle tres rajas a ua zocacó dada por ua catdad mpar de ellas, da como resultado ua catdad par, a la que puede aplcarse la órmula de SIMPSON ya estudada. Por ejemplo, s se estuvera rete al problema de calcular el área subdvdda e 7 rajas, la REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON se podría utlzar para apromar el área bajo la curva ocupada por las tres prmeras rajas. El área bajo las rajas restates, luego de ser calculada medate la órmula de Smpso, se sumaría a la de las tres aterores.
FORMULA DE EULER-MACLAURIN Medate el agregado de térmos complemetaros que corrge otras órmulas elemetales como la de los TRAPECIOS o SIMPSON, es posble obteer u s úmero de epresoes elemetales de órmulas de tegracó. Ua de las más comues es la que muestra a cotuacó. La msma propoe adcoar ua sere de térmos a la órmula de los TRAPECIOS, aumetado de este modo, su precsó. ( ) d ( y y K y y ) FORMULA DE EULER-MACLAURIN () Cosdérese que F() es ua prmtva de (); vale decr que, F ()(), del msmo modo que, F () (); etc. Aplcado la órmula del desarrollo e sere de TAYLOR a la ucó prmtva F, resulta: F!! ( ) F( ) F ( ) F ( ) F ( ) K
FORMULA DE EULER-MACLAURIN () Traspoedo el prmer térmo del segudo membro, al prmer membro y tomado, sucesvamete, ; ;...; -, resulta: M F!! ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) K o F ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) K!! M M F M! ( ) F( ) ( ) ( ) ( ) K M! FORMULA DE EULER-MACLAURIN () La suma membro a membro de estas ecuacoes da como resultado e el prmer membro F( )-F( ), pero, como F() es ua prmtva de (), es lícto aplcar la Regla de BARROW al prmer membro, sedo:! ( ) d ( ) ( ) ( ) K! (8.7)
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (5) Epresoes aálogas a la ateror se obtee cosderado, sucesvamete, las ucoes (); (); etc., resultado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K! d (8.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K! d (8.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K! IV d (8.) FORMULA DE EULER-MACLAURIN (6) Sumado a la epresó (8.7) la (8.8) multplcada por C ; la (8.9) multplcada por C ; la (8.) multplcada por C, etc., se obtee: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] K C C C d ( ) ( ) ( )!!! C C C ( ) K!!! C C C
FORMULA DE EULER-MACLAURIN (7) Es ecesaro determar aora, los valores que debe tomar los coecetes C de modo que se aule los corcetes que gura e el segudo membro. E cosecueca, se obtee:! C C C!! C C C C C!!! C...... C C C C 5!!!! C 7 FORMULA DE EULER-MACLAURIN (8) Así sguedo se calcula los demás coecetes. Susttuyedo estos valores e la últma epresó de la tegral, se obtee la FORMULA DE EULER-MACLAURIN: ( ) d ( ) ( ) K ( ) ( ) [ ] 7 [ ( ) ( )] ( ) ( ) V [ ( ) ( )] K 5 V (8.)
FORMULA DE GREGORY Ua órmula que utlza solamete los valores de la ucó y de las correspodetes derecas sucesvas, terores al tervalo ( ; ) es la deomada FORMULA DE GREGORY, la cual será deducda a partr de la ya estudada epresó de EULER- MACLAURYN. FORMULA DE GREGORY () S e la ctada órmula, las dervadas so reemplazadas por las epresoes correspodetes e térmos de las derecas; que so: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K 5
6 FORMULA DE GREGORY () ( ) ( ) ( ) ( ) K 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) K 5 7 ( ) ( ) ( ) K 6 5 5 5 V ( ) ( ) ( ) K V 6 5 5 5 FORMULA DE GREGORY () Resulta la FORMULA de GREGORY: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d K ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 6 7 9 ( ) ( ) [ ] K 5 5 68 86
METODOS COMBINADOS E alguas ocasoes resulta teresate combar alguos de los métodos aalzados aterormete para resolver satsactoramete alguos problemas. Supogamos dada () e u tervalo (a,b) Cerrado, sobre el cual se desea obteer la tegral de dca ucó. Supógase també que se dspoe de 5 segmetos de recta. Ua opcó sera aplcar el método de Trapecos. No obstate debdo al eorme error por Trucameto resulta acosejable combar las reglas de Smpso de / y /8 para atacar el problema. Así la regla de Smpso / sera aplcada a los dos eros segmetos ( putos ) metras que para los otros segmetos restates se recurre a la regla de Smpso /8. Así se obtee ua estmacó del error de tercer orde para todo el tervalo. METODOS COMBINADOS Ejercco: Aplcar esta dea para calcular la tegral de la ucó: () 5 8 6 5. sobre el tervalo (.5,.5) co 5 segmetos sobre dco tervalo. Eectuar u aálss comparatvo y aalzar el error aplcado dsttos métodos. Ejercco: Aplcar a u ej. practco ormulas de trapecos, Euler Mac Laur y Gregory, comparar resultados y etraer coclusoes. 7