Vectores en R 2 y R 3

Vectores en R R 3 Vectores en R R 3 Mgnitudes esclres vectoriles H mgnitudes que quedn determinds dndo un solo número rel. Por ejemplo: l longitud de un regl, l ms de un cuerpo o el tiempo trnscurrido entre dos sucesos. Tles mgnitudes se llmn esclres, pueden ser representds sore l rect rel medinte un número que indic su medid. Otros ejemplos de esclres son: l densidd, el volumen, el trjo, l potenci. Pr otrs mgnitudes, en cmio, no es suficiente dr un número pr determinrls. Pr l velocidd en un punto, por ejemplo, no st conocer su intensidd, sino que hce flt conocer demás l dirección el sentido con que el punto se mueve. L dirección viene dd por un rect, de mner que tods ls rects prlels representn l mism dirección. Otrs rects no prlels tienen direcciones diferentes. Cd dirección tiene dos sentidos, determindos por ls dos orientciones posiles sore l rect. Lo mismo que con l velocidd ocurre con l fuer, con el cmpo eléctrico, etc. Son mgnitudes en ls que su efecto depende no sólo de l intensidd sino tmién de l dirección sentido en que ctún. Ests mgnitudes en ls que h que distinguir su intensidd (que es un mgnitud esclr), su dirección su sentido, se llmn mgnitudes vectoriles. Otros ejemplos son: l celerción, l cntidd de movimiento, el cmpo mgnético, el flujo de clor o de mteri, etc. Ls mgnitudes vectoriles no se pueden representr, como los esclres, por puntos sore un rect. H que tomr segmentos de un dd longitud (indicdor de su intensidd) prtir de un punto fijo, los cules tengn l dirección sentido correspondientes. Vectores. Un segmento de rect qued determindo por sus dos puntos etremos. Cundo esos puntos están ddos en un cierto orden, se dice que el segmento está orientdo. Se llm vector todo segmento orientdo. El primer punto es el origen el segundo, el etremo del vector. L rect que contiene l vector determin su dirección; l orientción sore l rect, definid desde el origen hst el etremo, determin su sentido. Todos los vectores situdos sore un mism rect o sore rects prlels tienen l mism dirección. Sore cd rect h dos sentidos opuestos. Se llm módulo de un vector l longitud del segmento que lo represent, que es proporcionl l intensidd de l mgnitud representd. El módulo es un cntidd esclr siempre positiv. Si A es el vector que tiene origen en O etremo en P, su módulo represent l distnci entre los puntos O P se epres de culquier de ls tres siguientes mners: UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 114

Vectores en R R 3 mod A A OP Cundo el módulo de un vector es nulo, el segmento se reduce un punto no puede hlrse de vector pues crece de dirección sentido. Sin emrgo, se conviene en definir el vector nulo como quél de módulo cero. Pr indicr un vector se us con frecuenci un flech encim:! A o ien OP. Dos vectores se dicen igules cundo tienen el mismo módulo, l mism dirección el mismo sentido. Los vectores A B de l figur, uicdos sore rects prlels, son igules, AB. Con este criterio de iguldd, todos los vectores pueden ser trslddos un mismo origen. Dos vectores se dicen opuestos cundo tienen el mismo módulo, l mism dirección sentidos opuestos. Los vectores A C son opuestos se indicn A-C. A B C Componentes de un vector Supongmos que los puntos P1( 1, 1) P(, ) en R representn el origen el etremo de un vector A P 1 P. Se llmn componentes de A ls proecciones de A sore los ejes: 1, 1 P A 1 P 1 1 En generl, un vector A en R se indicrá por medio de sus dos componentes en l form A(, ). De l figur result que el módulo de A sus componentes verificn: A Si el prolem es en R 3, los puntos que representn el origen el etremo del vector A P 1 P se indicn P 1 ( 1, 1, 1) (en ul) P (,, ) (en violet). Ls componentes de A, es decir, ls proecciones de A sore los ejes son:,, 1 1 1 UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 115

Vectores en R R 3 P 1 1 A P 1 1 En generl, escriiremos A(,, ) pr indicr ls componentes de A. De l figur result que el módulo de A sus componentes verificn: A L distnci d entre los puntos P 1 P se clcul prtir de ls coordends de mos puntos en l form d 1) ( 1) ( 1) ( en form nálog en R. Dos vectores opuestos tienen sus componentes de igul vlor soluto pero de signos contrrios. Cosenos directores de un vector Se llmn cosenos directores de un vector respecto de un sistem de coordends ortogonles, los cosenos de los ángulos que form el vector con el sentido positivo de cd uno de los ejes coordendos. Los ángulos se tomn entre π, de modo que los cosenos directores pueden ser positivos o negtivos. En R, si los ángulos del vector A(, ) con los ejes e son respectivmente α β, los cosenos directores se epresn como: cosα ; cosβ β α UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 116

Vectores en R R 3 Se comprue fácilmente que: cos α cos β 1 Ejemplo: Determinr ls componentes, el módulo los cosenos directores de un vector en el plno cuo origen es el punto (1, ) su etremo el punto (-3, 3). Indicmos con P 1 ( 1, 1) l punto (1,) con P (, ) l punto (-3,3). Ls componentes del vector P P 1 P son 1-3 -1-4, 1 3-1. Luego, ( P 1 ( 4,1). Su módulo es P 1 P 4) 1 17. Los cosenos - 4 1 directores son cos α ; cosβ. A prtir de los cosenos se puede 17 17 clculr cd uno de los ángulos que form el vector con los ejes coordendos: 4 1 α rccos 166., β rccos 76.. 17 17 En R 3, si los ángulos del vector A(,, ) con los ejes,, son α, β, γ, respectivmente, los cosenos directores se epresn como: cosα ; cosβ ; cosγ Se comprue que: cos α cos β cos γ 1 Ejemplo: Determinr ls componentes, el módulo los cosenos directores de un vector en R 3 cuo origen es el punto (, -1, ) su etremo el punto (-3, 1, 3). Indicmos con P 1 ( 1, 1, 1) l punto (,-1,) con P (,, ) l punto (-3, 1, 3). Ls componentes del vector P 1 P son 1-3 - -3, 1 1- (-1), P 1 3 1. Luego, P 1 ( 3,,1 ). Su módulo es P 1P - 3 ( 3) 1 14. Los cosenos directores son cos α ; cosβ ; 14 14 1 cos γ. A prtir de los cosenos se puede clculr cd uno de los ángulos que 14 3 form el vector con los ejes coordendos: α rccos 143. 3, β rccos 57. 7, 14 14 1 γ rccos 74. 5 14 Se conclue que, dds ls componentes de un vector, se pueden clculr tnto su módulo UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 117

Vectores en R R 3 como sus cosenos directores, es decir, un vector qued completmente determindo (en módulo, dirección sentido) prtir de sus componentes. Adición sustrcción de vectores Pr sumr dos vectores A B, se en el plno como en el espcio tridimensionl, se represent B continución de A, es decir, el origen de B se hce coincidir con el etremo de A. El vector AB tiene su origen en el origen de A su etremo en el etremo de B. Se lleg l mismo resultdo representndo mos vectores con el mismo origen O, trndo el prlelogrmo sore A B definiendo l sum como l digonl que ps por O. A AB B O B θ A AB Proectndo l poligonl formd por los vectores A, B AB sore los ejes coordendos, result que ls componentes de AB son l sum de ls componentes de A de B. Si los vectores pertenecen un plno de coordends,, se epresn como A(, ) B(, ) su sum como (, ). En el espcio, se tiene A(,, ) B(,, ) el vector sum es (,, ). De quí surge que l sum de vectores es conmuttiv: El vector AB verific que AB BA AB A B AB cosθ donde θ es el ángulo formdo por A B, como se muestr en l figur. L diferenci A-B es igul l sum del vector A con el vector -B, que es el opuesto de B sus componentes son:,,. Gráficmente, ddos A B, l diferenci A-B se otiene siguiendo el procedimiento que se indic en l figur: A B A-B -B UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 118

Vectores en R R 3 Pr efectur l sum de vrios vectores hrá que colocr sucesivmente uno continución de otro, de mner que el origen de cd uno coincid con el etremo del precedente. El vector sum es el que une el origen del primero con el etremo del último. De mner nálog se efectú un sum lgeric, con l slvedd que hrá que considerr los opuestos de los vectores que precen restdos. Producto de un esclr por un vector Ddo un vector A(,, ) un esclr (número rel) λ, el vector λa tiene el módulo igul l producto de λ por el módulo de A l mism dirección que A. El sentido de λa es el mismo que el de A si λ es positivo sentido opuesto si λ es negtivo. Ls componentes de λa son: λ, λ, λ Análogmente, si el vector se epres como A(, ), ls componentes de λa son: Vector unitrio o versor λ, λ Se denomin versor todo vector de módulo 1. Ddo un vector de R 3, A (,, ), l dividirlo por su módulo (esclr), se otiene otro vector de igul dirección sentido que A pero de módulo 1. Pr representr l versor suele emplerse el símolo ". A " sus componentes son (,, ). El cso plno se formul de mner nálog. Versores fundmentles Sore cd uno de los ejes crtesinos ortogonles, en coincidenci con el sentido positivo de los mismos, considermos en R los vectores i, j de componentes i(1,), j(,1) o en R 3 los vectores i, j, k de componentes i(1,,), j(,1,), k(,,1) que se denominn versores fundmentles. Tmién se los suele representr con los símolos " i, " j, k". Se comprue fácilmente que i j k 1 UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 119

Vectores en R R 3 Todo vector A de R, de componentes (, ) puede escriirse en l form: A i j todo vector A de R 3, de componentes (,, ), en l form: A i j k L descomposición de un vector como sum de vectores en ls direcciones de los ejes coordendos se denomin descomposición cnónic result summente útil, como se verá. Ejemplos: Efectur l descomposición cnónic de:. A (4, -3): A 4i-3j. B (, -1, ): B-jk Todo vector de R puede escriirse como un vector de R 3 con componente igul cero, es decir, como cso prticulr de vectores de R 3. Producto esclr Se llm producto esclr o interno de dos vectores A B l esclr que se otiene como producto de los módulos de mos vectores por el coseno del ángulo que ellos formn. En símolos: A B A B cos θ B θ B cos θ A Como consecuencis inmedits de l definición se tiene: El producto esclr es conmuttivo: A B B A El producto esclr cumple con l propiedd distriutiv: A ( B C) A B A C Ddo que cos θ represent l proección de B en l dirección de A, como se ve en l figur, el producto esclr result igul l producto entre el módulo de A por l proección de B en l dirección de A, o en generl, igul l producto entre el módulo de uno de los vectores por l proección del segundo en l dirección del primero. L condición necesri suficiente pr que dos vectores sen perpendiculres es que su producto esclr se nulo. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 1

Vectores en R R 3 Los versores fundmentles, tnto en R como en R 3, cumplen que: i i j j k k 1 ; i j j k k i Ddos los vectores A i j k B i j k (en su form cnónic), su producto esclr (plicndo l propiedd distriutiv ls propieddes de los versores fundmentles) result: A B Con est epresión se puede clculr el producto esclr de dos vectores cundo se conocen sus componentes. El ángulo entre dos vectores se clcul prtir de cosθ A B A B Ejemplos: Efectur el producto esclr encontrr el ángulo entre los vectores: ) A(-1, -1) B(-, -1) A B ( 1)( ) ( 1)( 1) 3; 3 3 A ; B 5 ; cos θ ; θ rccos 18. 4 1 1 ) A(-1, -1, 3) B(-, -1, -3) A B ( 1)( ) ( 1)( 1) 3( 3) 6 ; A 11 ; B 14 ; 6 6 cos θ ; θ rccos 119. 11 14 11 14 Producto vectoril Consideremos los dos triedros de l figur: () () UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 11

Vectores en R R 3 Se puede ver fácilmente que no eiste ningun rotción de uno de ellos que permit hcer coincidir todos los ejes del mismo nomre de mos triedros, inclusive con su orientción. En efecto, si se hcen coincidir los orígenes los ejes e, de modo que se superpongn ls prtes positivs con ls positivs, los sentidos de los ejes resultn opuestos. Se dice que los dos triedros tienen distint orientción. Introduciremos un criterio pr distinguirls: Consideremos un triedro (O,,, ) como el de l figur () e imginemos que l prte positiv del eje gir hci l prte positiv del eje. Un tornillo colocdo perpendiculrmente l plno, que gir de igul modo, vn hci l prte positiv del eje. Se dice que este triedro es positivo o directo. En cso contrrio, como ocurre en el cso de l figur (), el triedro se dice negtivo o inverso. Eisten vectores en cu definición interviene l orientción del espcio, de mner que cmindo ést, cmi el sentido del vector. Dichos vectores, por lo tnto, no quedn definidos de mner independiente del sistem de coordends l que está referido el espcio. Por este motivo se los denomin pseudovectores. Tl es el cso del producto vectoril. Supongmos hor que el espcio tiene orientción positiv, es decir, el triedro de referenci tiene sus ejes como en l figur (). Se llm producto vectoril o eterno de dos vectores A B, lo indicremos A B, l pseudovector que tiene: módulo igul l producto de los módulos de A de B por el seno del ángulo comprendido entre A B : A B A B sen θ dirección perpendiculr l plno determindo por ls direcciones de A B, sentido tl que los vectores A, B A B formen un triedro directo, como el de referenci. A B θ A B Est últim condición es l que confiere A B su crácter de pseudovector, es decir, su sentido no puede determinrse si no se conoce de ntemno l orientción del espcio cmi si cmi l orientción del mismo. Si en ve de A B se consider B A, el módulo dirección no cmin pero el sentido será opuesto l nterior, es decir, A B B A. Est propiedd se epres diciendo que el producto vectoril es nticonmuttivo. Ddo un esclr λ, se verific que λ(a B) ( λa) B A ( λb). En efecto, si λ>, est relción es un consecuenci direct de l definición e producto vectoril, puesto que los sentidos de los vectores no cmin l multiplicrlos por un esclr UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 1

Vectores en R R 3 positivo. Si λ<, el vector del primer miemro cmi de sentido, pero tmién los productos del segundo tercer miemro. Por lo tnto, l relción nterior vle pr culquier λ. Se puede demostrr que el producto vectoril cumple l propiedd distriutiv, es decir: (A B) C A C B C L condición necesri suficiente pr que dos vectores tengn l mism dirección (con sentidos igules u opuestos) es que su producto vectoril se nulo. En efecto, suponiendo que los dos vectores tienen módulo no nulo, su producto vectoril se nul solmente si θ ó θπ. El módulo del producto vectoril de dos vectores es igul l áre del prlelogrmo trdo sore ellos. En efecto, como se ve en l figur, si considermos que l se del prlelogrmo es A l ltur es B senθ l superficie result A B senθ, que coincide con A B. B θ B senθ A De l definición de producto vectoril suponiendo positivo el triedro fundmentl formdo por los versores i, j, k, se deducen ls relciones: i i j j k k i jk ; j ki ; k ij j i -k ; k j -i ; i k -j Consideremos hor dos vectores descompuestos en su form cnónic: A i j k B i j k. Aplicndo l propiedd distriutiv ls propieddes de los versores fundmentles, se tiene: A B ( ) i ( ) j ( ) k Recordndo ls regls pr desrrollr determinntes de tercer orden, se oserv que est relción tmién se puede escriir: i j k A B Ejemplos: Efectur el producto vectoril entre los vectores ) A (1, -, ) B (-3, 1, 4) UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 13

Vectores en R R 3 i j k 1 1 A B 1 - i j k 8i 4j 5k 1 4 3 4 3 1-3 1 4 ) A (, -1 ) B (-3, 5) Si ien estos vectores pertenecen R, pr efectur el producto vectoril deemos escriirlos como vectores de R 3. L componente es nul. i j k 1 1 A B -1 i j k 7k (,,7) - 3 5 5 3 3 El vector resultdo tiene sólo componente, como er de esperr, puesto que los vectores componentes pertenecen l plno el producto vectoril d un vector perpendiculr mos. Producto mito de tres vectores Ddos tres vectores A, B C, se llm producto mito l producto esclr de A B por C. Destquemos que el producto mito de tres vectores d por resultdo un esclr. Si ls componentes de los tres vectores se indicn con ls minúsculs correspondientes, ls propieddes ntes mencionds de los productos esclr vectoril conducen : (A B) C ( ) c ( ) c ( ) c Utilindo un determinnte de tercer orden, est relción tmién se puede escriir como: 5 (A B) C c c c El producto mito es igul l volumen del prlelepípedo construido sore los tres vectores, un ve llevdos prtir de un origen común. C cosϕ A B C ϕ B θ A En efecto, el áre de l se es, como vimos, igul l módulo de A B. Si indicmos con ϕ l ángulo que form C con l norml l plno determindo por A B, l ltur del UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 14

Vectores en R R 3 prlelepípedo vle C cosϕ. Por lo tnto, el volumen es igul A B Ccosϕ, que es precismente el vlor de (A B) C L condición necesri suficiente pr que tres vectores sen prlelos un mismo plno es que su producto mito se cero. Esto es un consecuenci inmedit de l definición. Ecución prmétric de l rect Al escriir l ecución de l rect en el plno emplemos los conceptos de pendiente ordend l origen pr escriirl en l form m, que se conoce como ecución eplícit de l rect. Tmién es hitul encontrrl escrit en l form implícit ABC o en l form segmentri //1, donde los coeficientes indicn ls intersecciones de l rect con los ejes coordendos. No result difícil psr de un otr form de escritur de l ecución de l rect en R. Estos conceptos geométricos no pueden plicrse l prolem de escriir l ecución de l rect en R 3. El concepto de pendiente crece de sentido que pr especificr un dirección en el espcio no st con fijr un ángulo (recordr los cosenos directores). Pr esto, result más simple empler un vector que pse por el origen de coordends que teng es dirección. Semos que, l multiplicr un vector por un esclr, otenemos otro vector de igul dirección de módulo diferente; el sentido coincidirá con el del vector ddo si el esclr es positivo, tiene sentido opuesto si el esclr es negtivo. Si designmos con V l vector dirección con t l esclr, si hor permitimos que t tome culquier vlor rel, l epresión Pt.V represent todos los puntos P del espcio que pertenecen l rect que ps por el origen tiene l dirección del vector V. Medinte P indicmos un punto genérico de l rect, pero tmién podemos interpretrlo como el etremo de un vector cuo origen es el origen de coordends su etremo es P. P o tvp o V tv UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes Si el propósito es escriir l ecución generl de un rect en R 3 (que no necesrimente pse por el origen de coordends), tendremos que fijr de ntemno, demás de l dirección, ls coordends de lgún punto prticulr, P o, por donde ps l rect. Si cd vector OP de l rect por el origen le summos el vector fijo OP o, construiremos uno uno los infinitos puntos de un rect que tiene l dirección V ps por P o. Así, le ecución generl de l rect en R 3 se escrie Pt.VP o, donde l vrir el prámetro t, se vn generndo los puntos de l rect. Si P o es el punto de coordends ( o, o, o ), V es el vector de componentes ( v, v, v ) P es el punto genérico de coordends (,,), l nterior se escrie tmién como 15

Vectores en R R 3 (,, ) t( v, v, v ) ( o, o, o) Est iguldd vectoril puede desglosrse componente componente en l form t v t v t v donde dee interpretrse que el prámetro t tom el mismo vlor en ls tres ecuciones. A cd vlor de t le corresponde un tern de vlores,,, es decir un punto del espcio. Ls tres forms de escritur epresn lo que se conoce como ecución prmétric de l rect. Ls epresiones nteriores se reducen ls conocids pr l rect en R con sólo considerr v o. Despejndo t en ls tres ecuciones e igulndo, se otiene o o o v o v o v o De lo nterior surge que el ángulo entre dos rects es el ángulo entre sus vectores dirección. En prticulr, dos rects son prlels si sus vectores dirección lo son, o en otrs plrs, si uno de ellos puede escriirse como un múltiplo del otro. Pr crcterir l perpendiculridd entre dos rects, emplemos tmién sus vectores dirección, siendo que ellos son perpendiculres si sólo si su producto esclr es nulo. Ejemplo: Encontrr l ecución prmétric de l rect que ps por (1,-1,3) tiene l dirección del vector (1,-,-1). L ecución es (,, ) t( v, v, v ) ( o, o, o ) t(1,, 1) (1, 1,3), que tmién t 1 1 1 3 puede escriirse como t 1 o como 1 1 t 3 Intersección entre rects Semos que dds dos rects en R cen sólo dos posiiliddes: se cortn en un punto o son prlels. En R 3 ésts no son tods ls posiiliddes. En l hitción en l que nos encontrmos, miremos hci rri l derech usquemos l líne de encuentro entre el cielo rso l pred. Ahor miremos hci delnte jo e identifiquemos l líne que determinn el piso est otr pred. Ams rects no se cortn ni son tmpoco prlels. Este ejemplo nos revel que pr decidir si dos rects se cortn, no st con ver si sus vectores dirección son o no prlelos que pueden no serlo, sin emrgo, ls rects no cortrse. Esto es lo que ocurre cundo no eiste un plno que conteng ms rects. Consideremos dos rects L M de ecuciones prmétrics UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 16

Vectores en R R 3 L : (,, ) p(,, c) (,, ) M : (,, ) t( d, e, f ) ( 1, 1, 1) Pr que ms rects se corten en un punto, deen cumplirse simultánemente ls ecuciones p td 1 p te 1 pc tf 1 Esto constitue un sistem de tres ecuciones en ls dos incógnits p t. Por lo tnto, puede suceder que no eist un pr de vlores p t que stisfg ls tres ecuciones. En ese cso, ls rects no tienen ningún punto en común. Pero, si un de ls ecuciones puede otenerse como cominción linel de ls otrs dos, entonces el sistem tendrá solución únic pues equivle un sistem de dos ecuciones con dos incógnits. En ese cso, otenemos un vlor pr p un vlor pr t. Al reemplr p en l ecución de l rect L, otenemos un punto. El mismo punto result l reemplr t en l ecución de M. Ecución del plno Ddo un vector en R 3, eiste un fmili de infinitos plnos que son perpendiculres él. Pero, si demás seleccionmos un punto en el espcio por donde dee psr, el conjunto se reduce un solo plno. Dicho vector se denomin norml l plno lo indicremos con N. Indiquemos con π l plno, con (,,c) ls componentes de N, con P o ( o, o, o ) l punto prticulr por donde ps el plno con P(,,) un punto genérico de π. N π P P El vector P P P P o o está contenido en el plno es perpendiculr N, es decir, el producto esclr P o P.N o se (P-P o ).N. Al escriir en form eplícit sus componentes, result,, ) (,, c) l efectur el producto esclr, se otiene ( o o o ( o o o ) ( ) ( ) c, que puede reescriirse en l form c o o co. Ddo que tnto ls componentes del vector N como ls coordends de P o son constntes, el resultdo de o o co es un constnte que indicremos con q. Luego, l ecución del plno se escrie c q UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 17

Vectores en R R 3 Ejemplo: Escriir l ecución del plno de norml N(1,3,-) que contiene l punto (1,-,3). L ecución es 1 3 1 1 3 3 o se, 3 1. Intersección entre un rect un plno Queremos encontrr l intersección entre un rect L de ecución prmétric (,, ) t( u, v, w) (,, ) un plno π de ecución c q. Result geométricmente evidente que est intersección puede resultr vcí. Esto ocurrirá cundo l rect se prlel l plno. Como l rect viene crcterid por su vector dirección V ( u, v, w) el plno por su vector norml N (,, c), hrá que comprr ls direcciones de los vectores V N. Que l rect se prlel l plno signific que mos vectores son perpendiculres. Por lo tnto, clculmos el producto esclr V.N. Si result nulo, dichos vectores son perpendiculres. Pero est condición no st pr segurr que l intersección se vcí pues podrí suceder que l rect estuvier contenid en el plno, en cuo cso tendrín en común los infinitos puntos de l rect. Pr ver si es éste el cso, tommos un punto culquier de l rect vemos si verific l ecución del plno. Concluimos que, si l rect el plno son prlelos tienen un punto en común, entonces tienen todos los puntos de l rect en común. Supongmos hor que l rect L el plno π no son prlelos. Entonces se cortrán en un único punto. Pr determinrlo, escriimos l ecución de l rect por componentes: t u o ; t v o ; t w o ls reemplmos en l ecución del plno: ( t u o ) ( t v o) c( t w o) q. De est epresión se otiene un vlor del prámetro t en l form tu tv ctw q o o co, de donde q c t o o o. Al reemplrlo en l ecución de l rect, se otiene un vlor pr, u v cw un vlor pr un vlor pr. Ests son ls tres coordends del punto de intersección uscdo. Ejemplo: Encontrr l intersección entre l rect L : (,, ) t(1,, 1) (1,,3) el plno π : 3 1. Efectumos el producto esclr entre los vectores V(1,,-1) N (, 1,3) : ( 1,, 1) (, 1,3) 3 3. Concluimos que l rect el plno no son prlelos pues los vectores V N no son perpendiculres. Por lo tnto, eiste un punto de intersección. Pr hllrlo, escriimos prtir de l ecución de l rect: t 1; t ; t 3 sustituimos en l ecución del plno: ( t 1) t 3( t 3) 1 de donde t t 3t 9 1o se 3t 1 9 finlmente t4. Ls coordends del punto de intersección son 41; 4 ; 4 3. El punto es (5,8,-1). Se puede compror que este punto cumple tmién con l ecución del plno: 5 8 3 ( 1) 1. Distnci entre un punto un plno Queremos clculr l distnci entre un punto Q un plno π que no contiene l punto. Pr esto, tendrímos que trr un rect L perpendiculr l plno (prlel l vector N) que pse por Q, determinr el punto R de intersección de est rect con el plno luego clculr l UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 18

Vectores en R R 3 distnci entre R Q. L distnci d entre Q el plno está dd por l longitud del segmento RQ. L N Q P α R π Otro procedimiento más simple consiste en elegir un punto culquier P del plno trr el vector PQ. Su proección en l dirección de N tiene l mism longitud que el segmento RQ. El vlor de est proección está relciondo con el producto esclr entre los vectores PQ N que N PQ N PQ cos α N proección de PQ en l dirección de N. Pero est proección puede resultr negtiv si el ángulo α tom un vlor entre π/ π. L distnci d que estmos uscndo (que es un cntidd positiv) viene dd por el vlor soluto de dich proección. Luego, N PQ d N Ejemplo: Clculr l distnci entre el punto (,-1,3) el plno 3 4. En primer lugr, comproemos que el punto ddo no pertenece l plno. En efecto, l reemplr ls coordends del punto en l ecución del plno otenemos 3 ( 1) 4 3 11. Elegimos hor lgún punto del plno, por ejemplo el (1,4,3) construimos el vector PQ Q P (, 1,3) (1,4,3) (1, 5,). Su producto esclr con l norml l plno, N (,3,-4) es ( 1, 5,) (,3, 4) 13. Además, N 4 9 16 9. 13 Luego, l distnci es d. 9 UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 19

Cónics Cuádrics Cónics cuádrics Cónics Recien este nomre ls curvs plns definids medinte epresiones de segundo grdo en ls coordends crtesins e, de l form generl A B C D E F Pero est ecución generl no es decud pr el estudio de l form de l curv. Por esto, comenremos prtiendo de epresiones más sencills, que corresponden csos prticulres de interés. Práol Ls funciones de segundo grdo de l form, con se representn medinte práols. En l figur se muestrn lgunos ejemplos pr diferentes vlores de. Son curvs con un eje de simetrí verticl, que presentn un máimo o un mínimo en el origen. Este punto se denomin genéricmente vértice. L condición de máimo o mínimo depende del signo de : si >, el vértice es un mínimo; si <, el vértice es un máimo. 4 3 1 (1/) -6-4 - -1 4 6 - - Un epresión de l form UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes ( α) corresponde un práol con su vértice en (α,), en tnto que pr β ( α), el vértice se encuentr en ( α, β). El eje de simetrí en todos estos csos es verticl contiene l vértice, es decir es un rect de ecución α. Consideremos el ejemplo 4 3. Pr representr fácilmente l curv, nos conviene determinr ntes que nd l posición del vértice pr esto, l llevmos l form β ( α). Oservmos en el ejemplo que los términos cudrático linel en pueden pensrse como dos de los términos de un trinomio cudrdo perfecto:. Pr que el trinomio esté completo, deemos gregr pero, pr que l función no se ltere, l 13

Cónics Cuádrics escriimos como 3. Agrupmos los primeros tres términos los escriimos como el cudrdo de un inomio, grupmos los otros dos términos entre sí. Así result ( ) 1 que es un práol con su vértice en el punto (-,-1) su eje de simetrí ddo por -. El procedimiento que cmos de relir se denomin completr el cudrdo. Consideremos hor l epresión que equivle ±. Ddo que cd vlor de le corresponden dos vlores de, est epresión no es un función. No ostnte, podemos diujr l curv que l represent. 4-4 6 8 1 1 14 16-4 Comprd con l función, están intercmidos los roles de ls vriles e. L práol tiene tmién su vértice en (,) pero su eje de simetrí es horiontl está ddo por l ecución. Un práol generl de eje de simetrí horiontl se escrie en l form α ( β), donde el vértice es nuevmente el punto ( α, β) el eje de simetrí es l rect β. L crcterístic generl de ls práols es que vienen dds por ecuciones donde un de ls vriles tiene grdo 1 l otr, interviene en un polinomio de grdo. El eje de simetrí es verticl cundo intervienen e ; es horiontl cundo precen l invers. Q F M R d Los puntos del plno que constituen un práol verificn un relción geométric que se UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 131

Cónics Cuádrics define medinte un rect, d, llmd directri un punto, F, llmdo foco: l práol es el conjunto de los puntos del plno que equidistn de l directri del foco. En símolos: QF QM. L distnci entre el foco l directri suele indicrse con p, es decir, p FR ; el vértice de l práol es el punto medio entre F R, de modo que el foco es el punto F (, p / ). El prámetro p está relciondo con el coeficiente principl () de l 1 práol en l form p. Circunferenci Ddos un punto C un segmento r, l circunferenci de centro C rdio r es el conjunto de los puntos del plno que están l distnci r de C. Consideremos, pr comenr, que el punto C coincide con el origen de coordends. Un punto genérico P(,) de l circunferenci cumple que sus coordends formn junto con el rdio un triángulo rectángulo cu hipotenus es r. El teorem de Pitágors segur que r Est es l ecución de l circunferenci con centro en (,) pues es l condición que deen cumplir todos los puntos de l curv. r P(,) Si l circunferenci tiene su centro en un punto C ( α, β), l relción pitgóric se cumple en l form ( α) ( β) r que se conoce como ecución norml de l circunferenci. β P(,) r -β -α α UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 13

Cónics Cuádrics Ejemplo: L ecución ( ) ( 1) 4 represent un circunferenci de centro (,- 1) rdio. L mism ecución podrí presentrse en l form 4 4 1 4, o en form equivlente, 4 1, que es un epresión cudrátic en e. Consideremos hor un ecución de l form A A D E F, con A, que es de l form generl de l ecución de ls cónics pero donde los coeficientes de de son igules donde el término crudo está usente (B). Veremos que, jo cierts condiciones de los restntes coeficientes, se trt tmién de l ecución de un circunferenci. En efecto, dividiendo mos miemros por, completndo los cudrdos, podremos llevrl l form norml e identificr ls coordends de su centro su rdio. Ejemplo: Vemos si l ecución 6 1 8 represent un circunferenci, en cso firmtivo, hllemos su centro su rdio. Dividimos mos miemros por : 3 5 4, completmos los cudrdos: 3 9 9 5 5 5 4, grupmos los términos pr formr 4 4 4 4 3 9 5 5 cudrdos de inomios: ( ) ( ) 4, grupmos los términos 4 4 3 5 5 independientes: ( ) ( ) llegmos l form norml. El centro es, por lo 4 3 5 5 tnto (, ) el rdio es. Hgmos lo mismo con l ecución 4 9. Al completr los cudrdos, tenemos: 4 4 4 1 1 9, grupndo: ( ) ( 1) 4. Ddo que el primer miemro es siempre positivo, est iguldd no se cumple pr ningún punto del plno rel. Concluimos que, demás de ls condiciones mencionds, los coeficientes restntes deen cumplir que, l grupr los términos independientes, otengmos en el segundo miemro un número positivo, pues dee representr l cudrdo del rdio. Volvmos l circunferenci centrd en (,) vemos cómo se descrie medinte coordends polres. Al vrir el ángulo ϕ entre π, el punto P recorre tod l circunferenci de rdio r. Vlen ls relciones r cos ϕ ; r sen ϕ P(,) r ϕ se comprue que r Elipse Consideremos dos puntos, que llmremos focos, uicdos sore el eje, en (c,) (-c,), UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 133

Cónics Cuádrics respectivmente, un longitud > c. L elipse se define como el conjunto de los puntos del plno tles que l sum de sus distncis los dos focos es igul. A prtir de est definición, que se trduce en lgerico se lleg F P PF, luego de un procedimiento 1 1 que es l ecución norml de l elipse centrd en (,), con semiejes. Ellos están relciondos con l distnci focl en l form c, si >. Esto corresponde los focos colocdos sore el eje, como en l figur. Si los mismos están sore el eje, l elipse qued lrgd verticlmente l relción entre los prámetros es c pr <. P(,) F 1 F - -c c UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes - A prtir de l ecución de un elipse, si queremos representrl gráficmente, uscmos nte todo sus intersecciones con los ejes coordendos. Si hcemos, result / 1, de donde ±. Esto indic que l elipse cort l eje en los puntos (,) (-,). En form nálog, hciendo, result ±, es decir, los puntos de intersección con el eje son (,) (,-). Estos cutro puntos son los vértices de l elipse. Si en l ecución de l elipse despejmos, tenemos ±. Est epresión indic, por un ldo, que sólo se puede signr vlores tles que, o se, o se, es decir,. L curv sólo está definid pr vlores de dentro de este rngo. Por otr prte, pr cd vlor de que cumpl es condición, eisten dos vlores de, de signos contrrios. Por este motivo, l elipse no puede considerrse un función. Pero si tommos sólo l determinción positiv,, tenemos un función cuo dominio es el intervlo, que descrie l mitd superior de l elipse. Análogmente, descrie l mitd inferior en el mismo dominio. Oservmos que, en prticulr, si, l elipse se convierte en un circunferenci. En efecto, l ecución qued 1, es decir, que es l ecución de un 134

Cónics Cuádrics circunferenci con centro (,) rdio. En este cso, dee ser c, es decir, los dos focos se juntn en el origen de coordends. c Se define como ecentricidd de un elipse l relción e si es el semieje mor o c e si el semieje mor es d un medid de cuánto se prt l elipse de un circunferenci. En generl, es e < 1. Cunto más cercno se e, tnto más precid un circunferenci es l elipse. Si el centro de l elipse se encuentr en ( α, β), l ecución se escrie: ( α) ( β) 1 que se denomin form norml de l ecución de l elipse. Ejemplo: Llevr l ecución 9 16 9 19 657 l form norml. Oservmos, en primer lugr, que est epresión responde l form generl de l ecución de ls cónics. Es similr los ejemplos que mostrmos pr l ecución de l circunferenci, pero con un diferenci evidente: los coeficientes de de son diferentes. Pr psr l form norml, deemos grupr los términos: 9( 1) 16( 1) 657, completr los cudrdos: 9( 5 5 5) 16( 6 36 36) 657, formr los inomios l cudrdo: 9[( 5) 5] 16( 6) 36] 657, grupr los términos independientes: 9( 5) 16( 6) ( 5 576 657), o se 9( 5) 16( 6) 144, dividir por el número en el segundo miemro pr que l ecución quede 9( 5) 16( 6) ( 5) ( 6) iguld 1: 1, o se 1. Llegmos sí l 144 144 16 9 ecución en su form norml. Corresponde un elipse de semiejes 4, 3 centrd en ( 5, 6). Ce, respecto de un ecución de l form A B D E F, un comentrio similr l relido pr el cso de l circunferenci. Esto es, est ecución puede no representr un elipse si los coeficientes son tles que el término independiente que result un ve completdos los cudrdos, no tiene el signo propido. (Si result positivo cundo se lo escrie en el segundo miemro, entonces sí se trt de un elipse). Pr representr un elipse centrd en el origen, medinte coordends polres deemos elegir cos ϕ ; sen ϕ, con ϕ π Se comprue fácilmente que, con est elección, se cumple que 1. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 135

Cónics Cuádrics Hipérol En l definición de l hipérol intervienen dos puntos fijos F 1 F llmdos focos, situdos en (-c,) (c,) un longitud, tl que < < c. L hipérol se define como el conjunto de los puntos del plno tles que l diferenci de sus distncis F1 F es : PF1 PF. Después de un poco de ritmétic, se lleg l ecución norml de l hipérol: 1 donde qued definido medinte l relción c. -(/) (/) - - L hipérol cort l eje en ±, lo que se comprue hciendo en l ecución. En cmio, no cort l eje pues si imponemos, l ecución que result ( 1) no tiene solución rel. Por lo tnto, l hipérol tiene dos vértices en (-,) (,). Si despejmos, tenemos ±, que d vlores reles pr si, o se, que se cumple pr ó. L curv sólo está definid pr vlores de fuer del rngo comprendido entre. L curv present dos síntots olicus ( m p ) que indicn su comportmiento pr grndes vlores de. L pendiente l ordend l origen de cd síntot se clculn, respectivmente, medinte m lim lim ± ± p lim ( m) lim ± ( ). Ls síntots son ls rects / e /. Ls dos rms de l hipérol quedn encjds entre ls dos síntots. Pr representr l hipérol, conviene diujr primero ls síntots, lo que puede hcerse prtiendo del rectángulo que se muestr en l figur, de ldos trndo sus digonles. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 136

Cónics Cuádrics Si l ecución está plnted en l form 1, l curv cort l eje pero no l eje, los dos vértices se encuentrn en (,) (,-), no puede doptr vlores entre, ls síntots son, como en el otro cso, ls rects / e /, pero ls dos rms de l hipérol ocupn los sectores inferior superior. Si el centro de l hipérol se encuentr en un punto ( α, β), l ecución se escrie: ( α) ( β) 1 Ejemplo: Compror que l ecución 4 9 8 3 corresponde un hipérol representrl. El procedimiento es similr l empledo pr l elipse: 4( 1 1) 9 3 ; 4( 1) 4 9 3 ; 4( 1) 9 36 ; ( 1) 1. Se trt de un 9 4 hipérol centrd en (1,), con 3. Si definimos un nuev vrile -1, l gráfic en los ejes - tiene síntots ±, no cort l eje, cort l eje en 3 3, es decir, 3 tiene vértices (3,) (-3,) de modo que ls dos rms están l derech de (3,) l iquierd de (-3,). El gráfico en los ejes - está despldo según en un unidd respecto del que cmos de descriir, de mner que ls síntots son ± ( 1) los vértices 3 están en (4,) (-,). Pr representr un hipérol centrd en el origen, en form prmétric deemos elegir cosh t ; senh t. Se comprue que, con est elección, se cumple que t t e e cosh t senh t t t t t e e ( e e ) 1. 4 e t e t Cuádrics Est es l denominción generl de superficies en el espcio tridimensionl definids medinte epresiones de segundo grdo en ls coordends crtesins,, de l form A B C D E F G H I J Tl como hicimos con ls cónics, estudiremos cierts superficies de interés prticulr por sus plicciones geométrics, que demás tienen un form más simple que l epresión generl por tener lgunos de los términos nulos. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 137

Cónics Cuádrics L representción gráfic de ls superficies requiere que trjemos en el espcio tridimensionl. Esto sólo puede hcerse en form culittiv medinte diujos en perspectiv pues estmos fordos diujr en el plno del ppel. Un recurso con frecuenci de utilidd pr imginr l form de l superficie representrl es otener sus intersecciones con los plnos coordendos con plnos prlelos ellos. Recordemos que, por ejemplo, el plno es el lugr geométrico de los puntos cu coordend es cero. L ecución del plno es. Análogmente, l ecución del plno es l del plno es. Medinte un ecución como 3, estmos indicndo todos quellos puntos de R 3 cu coordend es 3. Ellos formn un plno prlelo l seprdo en 3 uniddes de él. En form similr, un epresión del tipo constnte, indic un plno prlelo l que cort l eje en el vlor de es constnte. Esfer L superficie más fácil de identificr es l esfer que se define como el conjunto de los puntos del espcio que equidistn de un punto llmdo centro. Es distnci se denomin rdio de l esfer. Ddo un punto genérico P (,,, ) R 3, su distnci l origen se clcul como l rí cudrd de l sum de los cudrdos de su tres coordends (tl como hicimos pr medir el módulo de un vector en R 3 con origen (,,)). L ecución crtesin de l esfer es r Busquemos l interseción de l esfer 16, de rdio 4, con el plno coordendo, es decir, usquemos los puntos que stisfcen l ve l ecución de l esfer l del plno. Al reunir ms ecuciones, result 16. Est es l ecución de un circunferenci de rdio 4. Si hor uscmos l intersección de l mism esfer con el plno horiontl 1 o con el plno -1, otenemos 15, o se, sore cd uno de esos plnos qued diujd un circunferenci de rdio 15 3. 873. Pr ±, result sore cd uno de esos plnos un circunferenci de ecución 1, donde el rdio es 1 3. 464. Pr ± 3, es 7, donde el rdio es UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 7.646. Vemos que medid que los plnos horiontles se lejn del plno, ls 138

Cónics Cuádrics circunferencis vn disminuendo su rdio. Si hor considermos los plnos ± 4, otenemos. Est iguldd sólo puede stisfcerse si. Por lo tnto, l intersección de l esfer de rdio 4 con cd uno de estos dos plnos es un punto: (,,4) (,,-4), respectivmente. Pr plnos más lejdos del, no se produce intersección pues l ecución que result contiene iguldo un número negtivo, que no tiene solución rel. Algo mu similr se cumple pr ls intersecciones con los plnos coordendos, los plnos prlelos ellos, de l form e, respectivmente. Si en l ecución de l esfer escriimos eplícitmente en términos de e, otenemos: ± r. En primer lugr oservmos que, pr cd pr de vlores (, ), se otienen dos vlores pr. Vemos, demás, que pr que resulte rel, se dee cumplir que r. Esto limit los vlores permitidos pr (, ) los puntos de un circunferenci de rdio r los puntos interiores ell. Pensndo r como un función de dos vriles independientes, dich circunferenci constitue el dominio de l función; en form nálog pr l función r. Si el centro de l esfer de rdio r es el punto C de coordends ( α, β, γ), l ecución en su form norml es ( α) ( β) ( γ) r En su form desrrolld, l ecución es del tipo A A A G H I J, con les tres coeficientes de los términos cudráticos igules entre sí. Pr que, escrit en est form l ecución represente un esfer, los restntes coeficientes deen ser tles que, l llevrl su form norml (un ve completdos los cudrdos), se oteng un término independiente positivo en el segundo miemro. Ejemplo: Verificr si l ecución 3 3 3 6 1 3 represent un esfer, en cso firmtivo, encontrr su centro su rdio. Est ecución es de l form de l ecución generl de ls cuádrics con l prticulridd de tener los coeficientes de los tres términos cudráticos igules. Est condición dee cumplirse pr que l ecución pued representr un esfer. Además, no pueden precer términos crudos. (Pensemos en l ecución de l esfer con los inomios desrrolldos como trinomios cudrdos). Si en el ejemplo dividimos mos miemros por 3, tenemos: 6 1. Si en ést completmos los cudrdos grupmos, otenemos ( 1) ( 3) 9 que es l ecución de un esfer con centro (1,-3,) rdio 3. Elipsoide Un elipsoide centrdo en (,,) es un superficie que se epres medinte un ecución de l form UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 139

Cónics Cuádrics c 1. Ls tres intersecciones con los plnos coordendos son elipses. Los coeficientes, c se denominn semiejes del elipsoide. Si c, l superficie es un esfer. Si sólo dos de los semiejes son igules, el elipsoide tiene secciones circulres en los plnos prlelos uno de los plnos coordendos, en cuo cso se lo denomin elipsoide de revolución que l superficie puede otenerse l hcer girr un elipse lrededor de uno de sus ejes (pelot de rug) Si el centro se encuentr en un punto ( α, β, γ) l ecución dopt l form norml ( α) ( β) ( γ) c 1 En su form desrrolld, l ecución tiene l estructur A B C G H I J con los tres coeficientes de los términos cudráticos de igul signo. Pr que l ecución represente un elipsoide, los restntes coeficientes deen ser tles que, l completr los cudrdos, se oteng un término independiente positivo en el segundo miemro. Hiperoloide de un hoj UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 14

Cónics Cuádrics Se trt de un superficie que responde un ecución de l form c 1 (dos de los términos cudráticos positivos el otro, negtivo). Ls secciones prlels l plno son elipses, en tnto que ls prlels los plnos e son hipérols. El ejemplo que se muestr en l figur (l superficie rode l eje ) corresponde l ecución plnted en l que se eligió por lo cul l superficie es de revolución. (Un hipérol 1 c ó 1, l girr lrededor de gener l superficie). Si el término negtivo fuer el c segundo, l superficie roderí l eje si fuer el primero, roderí l eje. En cunto l desplmiento del centro, cen ls misms considerciones que pr otros ejemplos. Ls relciones de signos de los términos de segundo grdo se mntienen l psr l form desrrolld. Hiperoloide de dos hojs Es un superficie descrit por un ecución de l form c 1 (dos de los términos cudráticos negtivos el otro, positivo). Ls secciones prlels l plno son hipérols de l form 1, que no cortn l eje, cortn en. Aquells secciones prlels l plno son tmién hipérols de l form UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 141

Cónics Cuádrics c 1, que no cortn l eje, cortn en. En cmio, ls secciones prlels l plno (de ecución ) dn lugr epresiones del tipo 1 c que representn elipses (de semiejes que umentn l umentr ) siempre que >. Si ±, se otienen los puntos (,,) (,-,), que son los vértices de l superficie. Ell no eiste pr <<. En l figur se h representdo un cso donde c, rón por l cul es un superficie de revolución lrededor del eje. Cono Est superficie responde un ecución del tipo Los plnos horiontles, dn lugr, l intersectrse con l superficie, elipses de semiejes. Si, ls curvs de intersección resultn ser circunferencis, como en l figur. Pr (plno ) l intersección se reduce l punto (,,). L superficie es simétric respecto de este plno pues sore el plno se otiene un elipse igul quell que prece sore. L intersección con el plno () d lugr que equivle ±. Sore este plno se otienen dos rects que psn por el origen, de pendientes 1/ 1/, simétrics respecto del eje. Algo similr sucede en el plno, con pendientes ± 1/. Al hcer girr un de ests rects mnteniendo l origen como punto fijo, de modo que en su rotción cd punto recorr un elipse horiontl, se generrá el cono. Por esto, est rect se denomin genertri del cono. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 14

Cónics Cuádrics Si tommos plnos prlelos l,, l ecución es que represent un hipérol que no cort l eje. Se puede demostrr que si trmos un plno prlelo un genertri, que no pse por el origen, l intercectr l cono dejrá diujd un práol sore el plno. Ls curvs que llmmos genéricmente cónics recien este nomre porque pueden otenerse como intersecciones de plnos con l superficie de un cono. Proloide elíptico Los proloides, tnto elíptico como hiperólico, son superficies sin centro. En el primer cso, l epresión es Su denominción proviene de que sus secciones prlels l plno son elipses o circunferencis si. En este último cso, se denomin proloide de revolución. L superficie sólo eiste pr present un vértice en (,,). Ls secciones prlels los plnos e son práols. Proloide hiperólico Se descrie medinte un ecución de l form Ls secciones con plnos horiontles,, son tods hipérols. Pr, l superficie se reduce l punto (,,). Con >, ls hipérols cortn l eje no l eje, presentn sus vértices en los puntos ±,, ). ( UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 143

Cónics Cuádrics En cmio, con plnos <, ls hipérols de intersección invierten su sentido presentn sus vértices en los puntos (, ±, ). Ls intersecciones según plnos prlelos l, son práols con máimo mientrs quells con plnos prlelos l, son práols con mínimo. Cilindro circulr elíptico Un epresión de l form r, vist en el plno, represent un circunferenci de rdio r. Vist en el espcio tridimensionl, ddo que no interviene en l ecución, culquier sección con plnos horiontles,, drá lugr circunferencis del mismo rdio. Por lo tnot, est ecución represent un cilindro circulr en R 3. En form nálog, un cilindro elíptico viene ddo por un epresión como 1 UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 144

Funciones de Dos Vriles Funciones de dos vriles Pr definir un función de dos vriles, consideremos en el plno un ciert región D cd pr de vlores (,) D de vriles independientes entre sí, hgámosle corresponder un vlor de l vrile dependiente medinte un relción dd. Se dice que es un función de dos vriles independientes e definid en el dominio D, se indic f : R R / f(,) Anlicemos el dominio de definición de lgunos ejemplos de funciones de dos vriles: 1!" Est función eiste en todos los pres (,) del plno R ecepto ( 1)( ) quellos que nuln el denomindor, es decir 1, -1,, -1/. Luego D {(, ) R / ± 1,, 1/ }!" ln( 1) está definid cundo el rgumento del logritmo es positivo, es decir, pr >-1, que corresponde l región somred 1!" está definid en quellos puntos en que el denomindor es no nulo donde el rdicndo es positivo, es decir, 1. Si >, dee ser 1, o se ( 1)( 1), que se cumple cundo 1 ó 1. Si <, dee ser 1, o se 1, o ien 1 que se cumple cundo 1 1. Representción gráfic de un función de dos vriles -1 1 En cd punto del dominio D, que puede eventulmente ser todo el plno R, levntmos un líne perpendiculr l plno, medimos sore ést un segmento del vlor de f(,). Otenemos sí en R 3 un punto (,, ) (,, f (, )). El lugr geométrico de todos los puntos que stisfcen l condición nterior determin un superficie en R 3 que es l gráfic de f(,). L proección de est superficie sore el plno es el dominio D de f. UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes 145

Funciones de Dos Vriles Ejemplos:!" 1 Ddo que tom sólo vlores positivos, ddo que est ecución equivle 1, l función 1 represent l csquete superior de un esfer de rdio 1.!"3 El conjunto de los puntos de R 3 pr los cules l 3 coordend tom el vlor 3, constitue un plno prlelo l plno coordendo, trdo 3 uniddes por encim de éste.!" Análogmente, est ecución represent l plno prlelo l plno coordendo, que ps por todos los puntos de R 3 pr los cules l coordend tom el vlor Curvs de nivel Consideremos un superficie de ecución f (, ) un plno prlelo l plno coordendo, de ecución c. Al intersecrlos, se otiene un curv pln cu ecución es f (, ) c. L mism operción repetid pr distintos vlores de c, dej trdo un conjunto de curvs plns sore l superficie distints lturs que se denominn curvs de nivel. Es hitul proectr ess curvs sore el plno, donde se otiene un conjunto de curvs que convenientemente señlds con un poco de perici, permiten tener un ide de l form de l superficie en tres dimensiones. De este modo se presentn los plnos de ltitud de los terrenos. 1 C.9 1.5 1.5-4 - UNSAM Escuel de Cienci Tecnologí Tecnicturs en Electromedicin en Dignóstico por Imágenes - -1 - -3 C1.4 C1.8 C.4 C. -4-4 -4-3 - -1 1 146