Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 1 TEMA 9 - ESTADÍSTICA 9.1 DOS RAMAS DE LA ESTADÍSTICA 9.1.1 - INTRODUCCIÓN Objetvo: La estadístca tene por objeto el desarrollo de técncas para el conocmento numérco de un conjunto de datos empírcos (recogdos medante expermentos o encuestas). Poblacón: Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocmento nos nteresa y serán objeto de nuestro estudo. Muestra: Es un subconjunto, extraído de la poblacón, cuyo estudo srve para nferr característcas de toda la poblacón. Indvduo: Es cada uno de los elementos que forman la poblacón o la muestra. Caracteres y varables: Caracteres son los aspectos que deseamos estudar en los ndvduos de una poblacón. Cada carácter puede tomar dstntos valores o modaldades. Una varable estadístca recorre todos los valores de un certo carácter. Clasfcacón de las varables estadístcas: Cualtatvas: No toman valores numércos Cuanttatvas dscretas: Toman valores numércos aslados Cuanttatvas contnuas: Pueden tomar todos los valores de un ntervalo. 9.1.2 - DOS RAMAS DE LA ESTADÍSTICA La estadístca descrptva: Trata de descrbr y analzar algunos caracteres de los ndvduos de un grupo dado, sn extraer conclusones para un grupo mayor. Para este estudo, se sguen estos pasos: - Seleccón de caracteres que nterese estudar. - Análss de cada carácter: dseño de la encuesta o del expermento y recogda de datos. - Clasfcacón y organzacón de los resultados en tablas de frecuencas. - Elaboracón de gráfcos, s convene, para dvulgarlos a un públco amplo (no experto). - Obtencón de parámetros: valores numércos que resumen la nformacón obtenda. La estadístca nferencal: Trabaja con muestras y pretende, a partr de ellas, nferr característcas de toda la poblacón. Es decr, se pretende tomar como generales propedades que solo se han verfcado para casos partculares. En ese proceso hay que operar con mucha cautela: Cómo se elge la muestra?, Qué grado de confanza se puede tener en el resultado obtendo? (No la estudaremos este año)
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 9.2 TABLAS DE FRECUENCIAS 9.2.1 - DEFINICIÓN Las tablas de frecuencas srven para ordenar y organzar los datos estadístcos. Con ellas, una masa amorfa de datos pasa a ser una coleccón ordenada y perfectamente ntelgble. Con los datos se construye la tabla de frecuencas: - En la prmera columna, la varable x, con todos sus posbles valores - En la segunda columna, la correspondente frecuenca, f : número de veces que aparece cada valor. 9.2.2 -FRECUENCIAS RELATIVAS Cuando se desea comparar varas dstrbucones smlares con dstnto número de elementos, se debe recurrr a las frecuencas relatvas. Estas venen dadas en tanto por uno (f r ) o en f 100.f tantos por cento (%). S N es el número de ndvduos: f r = % = 100.f r = N N 9.2.3 - FRECUENCIAS ACUMULADAS En una dstrbucón de frecuencas, se llama frecuenca acumulada, F, correspondente al valor -ésmo, x, a la suma de la frecuenca de ese valor con todas las anterores: F = f 1 + f 2 +... + f Análogamente se puede defnr frecuenca relatva acumulada o porcentaje acumulado. 9.2.4 - TABLAS CON DATOS AGRUPADOS Cuando en una dstrbucón estadístca el número de valores que toma la varable es muy grande, convene elaborar una tabla de frecuencas agrupándolos en ntervalos. Para ello: - Se localzan los valores extremos, a y b, y se halla su dferenca, r = b a - Se decde el número de ntervalos que se quere formar, tenendo en cuenta la cantdad de datos que se poseen. El número de ntervalos no debe ser nferor a 6 n superor a 15. - Se toma un ntervalo, r, de longtud algo mayor que el recorrdo r y que sea múltplo del número de ntervalos, con objeto de que estos tengan una longtud entera. - Se forman los ntervalos de modo que el extremo nferor del prmero sea algo menor que a y el extremo superor del últmo sea algo superor a b. Es deseable que los extremos de los ntervalos no concdan con nnguno de los datos. Para ello, puede convenr que dchos extremos tengan valores no enteros. El punto medo de cada ntervalo se llama marca de clase. Es el valor que representa a todo el ntervalo para el cálculo de algunos parámetros. Cuando se elabora una tabla con datos agrupados, se perde algo de nformacón (pues en ella se gnora cada valor concreto, que se dfumna dentro de un ntervalo). A cambo, se gana en clardad y efcaca. x f
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 3 9.3 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 9.3.1 - GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS O CUANTITATIVAS DISCRETAS Dagrama de barras: - En el eje de las X : Se representan los valores de la varable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuenca: f, f r ó % - Se levanta para cada valor de la X una barra que representa la frecuenca de dcho valor. S unmos medante una polgonal los puntos más altos de cada barra obtenemos el polígono de frecuencas. Dagrama de barras acumuladas: - En el eje de las X : Se representan los valores de la varable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuenca acumulada: F, F r ó %a - Se levanta para cada valor de la X una barra que representa la frecuenca acumulada de dcho valor. S unmos medante una polgonal los puntos más altos de cada barra obtenemos el polígono de frecuencas acumuladas. 9.3.2 - GRAFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS SI TODOS LOS INTERVALOS TIENEN LA MISMA AMPLITUD Hstograma : - En el eje de las X : Se representan los valores de la varable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuenca: f, f r ó % - Se levanta para cada valor del ntervalo de la X un rectángulo de altura la frecuenca de dcho ntervalo. S unmos medante una polgonal los puntos medos de cada uno de dchos rectángulos el polígono de frecuencas. Dagrama de barras acumuladas: - En el eje de las X : Se representan los valores de la varable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuenca acumulada: F, F r ó %a - Se levanta para cada valor del ntervalo de la X un rectángulo de altura la frecuenca acumulada de dcho valor. S unmos medante una polgonal las dagonales de dchos rectángulos obtenemos el polígono de frecuencas acumuladas. SI LOS INTERVALOS NO SON TODOS DE LA MISMA AMPLITUD En el eje de las Y: En vez de representar la frecuenca se representa la densdad de frecuenca : d = f /a sendo a la ampltud de dcho ntervalo, para que así la frecuenca concda con el área del rectángulo. 9.3.3 - DIAGRAMAS DE SECTORES Se dbuja un círculo y los porcentajes correspondentes a cada valor.
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 4 9.4 PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN Y DISPERSIÓN Las defncones sguentes srven tanto para datos aslados como para datos agrupados en ntervalos: - S los datos son aslados: los x son los valores que toma la varable - S los datos están agrupados en ntervalos: los x son las marcas de clase. 9.4.1 - MEDIA x = f.x = f f.x N 9.4.2 - VARIANZA Var = f.(x N x) 2 = f.x N 2 x 2 9.4.3 - DESVIACIÓN TÍPICA σ = Varanza 9.4.4 - COEFICIENTE DE VARIACIÓN C.V. = x σ Srve para comparar las dspersones de poblacones heterogéneas, pues ndca la varacón relatva.
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 5 9.5 MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS AISLADOS 9.5.1 - MEDIANA S los ndvduos de una poblacón están colocados en orden crecente según la varable que estudamos, el que ocupa el valor central se llama ndvduo medano, y su valor, la medana: Me La medana, Me, está stuada de modo que antes de ella está el 50% de la poblacón y, detrás, el otro 50% S el número de ndvduos es par, la medan es el valor medo de los dos centrales. 9.5.2 - CUARTILES S un lugar de partr la totaldad de los ndvduos en dos mtades, lo hacemos en cuatro partes guales (todas ellas con el msmo número de ndvduos), los dos nuevos puntos de partcón se llaman cuartles. Cuartl nferr: Q 1, es un valor de la varable que deja por debajo de él al 25 % de la poblacón, y por encma, al 75% Cuartl superor: Q 3, deja debajo el 75% y encma el 25% En realdad exstría uno cuartl, Q 2, que concde con la medana. Tambén se suelen llamar, prmer cuartl, segundo cuartl = medana y tercer cuartl. 9.5.3 - CENTILES O PERCENTILES S partmos la poblacón en 100 partes y señalamos el lugar que deja debajo k de ellas, el valor de la varable correspondente a es lugar se desgna por p k y se denomna centl k o percentl k. La medana es Me = p 50 y los cuartles Q 1 = p 25, Q 75 S en vez de dvdr en 100 partes dvdmos sólo en 10, obtenemos los decles: D 2 = p 20 9.5.4 - OBTENCIÓN PERCENTILES EN TABLAS DE FRECUENCIAS Para hallar el percentl p k en una tabla de frecuencas, se obtenen los porcentajes acumulados. El percentl p k es el valor para el cual la frecuenca acumulada correspondente supera el k%. En el caso de que una de ellas concda con k%, se toma como p k el valor ntermedo entre ese valor de x y el sguente.
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 6 9.6 MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS 9.6.1 - INTRODUCCIÓN En las tablas de frecuencas con datos agrupados en ntervalos se ha perddo el valor concreto de cada ndvduo. Cómo saber, pues, dónde está la medana o el percentl 20? Tenendo en cuenta el conveno: En una tabla de frecuencas con datos agrupados en ntervalos, suponemos que los datos de cada ntervalo se reparten unformemente en él. Según esto, los valores de las frecuencas acumuladas deben asgnarse a los extremos superores de los ntervalos, pues es al fnal de cada ntervalo cuando se han contablzado todos los ndvduos. 9.6.2 - CÁLCULO Procedemos como s los datos no estuvesen agrupados para hallar el ntervalo correspondente, y tenendo en cuenta el polígono de porcentajes acumuladas en dcho ntervalo: % %ac -1 %ac x -1 x x Aplcando semejanza de trángulos, obtendremos x. 9,7 DIAGRAMAS DE CAJA Se construyen del sguente modo: - La caja abarca el ntervalo Q 1, Q 3 (llamado recorrdo ntercuartílco) y en ella se señala expresamente el valor de la Medana, Me. - Los bgotes se trazan hasta abarcar la totaldad de los ndvduos, con la condcón de que cada lado no se alargue más de una vez y meda la longtud de la caja. - S uno (o más) de los ndvduos quedara por debajo o por encma de esta longtud, el correspondente bgote se dbujará con esa lmtacón y se añadría, medante astersco, el ndvduo en el lugar que le corresponde. Q 1 Me Q 3 1,5.(Q 3 -Q 1 )
Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 7 9. 8 - ESTADÍSTICA INFERENCIAL 9.8.1 POR QUÉ SE RECURRE A LAS MUESTRAS? En la práctca, es muy frecuente tener que recurrr a una muestra para nferr datos de la poblacón por alguno o varos de los sguentes motvos: 1 La poblacón es excesvamente numerosa. 2 La poblacón es muy dfícl, o mposble, de controlar. 3 El proceso de medcón es destructvo o demasado caro. 4 Se desea conocer rápdamente certos datos de la poblacón y se tardaría demasado en consultar a todos. 9.8.2 TAMAÑO DE LA MUESTRA Respecto del tamaño, es claro que s la muestra es demasado pequeña, no podremos extraer de ella nnguna conclusón que valga la pena. Sn embargo, con muestras aparentemente muy pequeñas se consguen estmacones sorprendentemente buenas en la realdad. 9.8.3 LA MUESTRA HA DE ELEGIRSE AL AZAR Al susttur el estudo de la poblacón por el de la muestra, se cometen errores. Pero con ellos contamos de antemano y pueden controlarse. Sn embargo, s la muestra está mal elegda (no es representatva), se producen errores adconales mprevstos e ncontrolados (sesgos). El proceso medante el cual se confeccona la muestra se llama muestreo. Cómo debe ser el muestreo para que nos proporcone una muestra representatva, no sesgada? La muestra ha de ser elegda al azar, es decr, el muestreo ha de ser aleatoro. Se dce que un muestreo es aleatoro cuando los ndvduos de la muestra se elgen al azar, de modo que todos los ndvduos de la poblacón tenen la msma probabldad de ser elegdos. El muestreo aleatoro es el únco que garantza la fabldad de las conclusones que se obtengan. 9.8.4 CONCLUSIONES QUE SE OBTIENEN DE UNA MUESTRA Las valoracones numércas se dan medante ntervalos, acompañados de una probabldad (nvel de confanza). Cuanto más amplo es el ntervalo, mayor es el nvel de confanza que tendremos. Y, al contraro, s se quere afnar mucho en las prevsones reducendo el ntervalo, perderemos confanza en los resultados. El tamaño de la muestra tambén nfluye. Aumentándolo podremos: - Mejorar el nvel de confanza mantenendo la ampltud del ntervalo. - Reducr la ampltud del ntervalo mantenendo el nvel de confanza.