Límites y continuidad. Calcula, si eisten, los siguientes límites: a) b) 5 9 c) ln 0 d) e) 5 f) g) π h) 4 ² 4 +4 0 e sen sen +6 i) sen j) π +cos k) l) + si + si > m) 0 sen si 0 cos si >0 n) o) p) q) 5 r) s) π si < log si si si > + si 4 si > 5 si >5 si 5 si log 0 ( ) si > tan si < π sen si > π. Determina en cada caso el valor del parámetro k para que las siguientes funciones definidas a trozos sean continuas en el punto de separación de los subdominios. a) a( ) si k + si + si >k f) f () 4 k si b) b( ) cos si π 4 +k si > π 4 + si c) c( ) k +7 si > k si < d) d ( ) + si e) e( ) si < log 0 k si g) g( ) +k si k+ si > + h) h() 4+ 4k si < si i) i () k si 0 si >0 k+ j) j ( ) 0 k si si >
. Calcula los siguientes límites cuando sea posible: +5 i) a) (+) + b) c) ( ) d) ( +5 ) e) cos f) g) h) log 0 ( ) log 0 ( 5 +) (+5) º 5 4 + j) 6 k) l) tan ( π ) + + m) 9 (5 +) n) + o) ln + p) 4. Calcula los siguientes límites. Recuerda que e ( + ) : a) ( + ) b) ( + ) c) ( + + ) + q) d) ( + + ) 4 r) e) ( + ln ) log0 5 + + 5 + s) e t) e + ( 5) (5+) u) 5 7 cos v) +e w) +5 9 ) 4 + f) ( + + ) 5. Calcula las distintas asíntotas de las siguientes funciones (horizontales, verticales y oblicuas). Determina cómo se aproima la función a cada una de ellas y, con esta información, traza un gráfico aproimado de la misma. a) a( ) 5 e) e( ) 5 4 6+ b) b( ) 6 c) c( ) 6 d) d ( ) + 6 f) f () + + + g) g( ) + h) h() ( ) ( +) 8
Soluciones. a) + [ 4 +0 ] + [ 4 0 ] i) [ 0 0 ] +6 +6 9 ( )( +6+) ( +6 )( +6+) ( )( +6+) ( )( +6+) +6+ 6 b) c) 0 d) e) f) g) h) 5 9 + 5 9 [ 5 +0 ] + 5 9 ln ln 0 + 4 ln 0 - ² 4 +4 [ 0 0 ] (+) ( ) 5 π 5 9 ln 0 ( +)( ) ( ) + [ 4 0 ] + + [ 4 +0 ] + 4 4 +4 0 e 5 + 0 [ 5 +0 ] + 5 0 [ 5 0 ] 5 0 e [e + [ e e sen sen e [ 0 0 ] π + π +0 e + ]+ 0 e e ] 0 sen sen [ +0 ] + sen sen [ +0 ] + sen π sen + ( +)( ) + j) k) l) π m) π sen +cos [ 0 0 ] π (+cos )( cos ) +cos cos +cos cos π + [ ] ( +)( ) ( )(+) + (+) (+)( )(+) ( +)( )( +) [ (+)( )(+) +0 ] + ( +)( )( +) [ 0 ] + + si +8 + + si > 8 - si + si > 8 0 sen si 0 cos 0 0 cos si >0 + sen 0 0 - n) o) 0 sen si 0 cos si >0 0 log 0 si < + log si - 0 si < 0 log si si 6 si > + 4 - si si >
p) + si 4 si > + 4 + - 4 + - (+)( ) - 4 + si 4 4 q) 5 si > 5 si 5 si >5 5 5 5 5 + 50 5 - si 5 si >5 r) s) π si log 0 ( ) si > tan si < π sen si > π π + log 0 ( ) - si log 0 ( ) si > π + sen 0 tan π - tan si < π sen si >π. En todos los casos (ecepto el f) la función eiste en el punto de separación y además es igual a uno de los límites laterales. La única condición que ha de imponerse entonces es que coincidan los dos límites laterales en el punto de separación de los subdominios. En el apartado f hemos de imponer que el valor de la función se iguale al límite.. b) a) k k - k k + k + k+ k k + cos π - 4 π +k π 4 +k 4 π + 4 c) +k k π + - k +7 k k +7k +7 + d) k - k k + + e) - log 0 k k50 log 0 k log 0 k + a) +5 ( +) c) f) g) + 4 + ( +)( ) f ( )k k 4 4 +k 4+k - 4+k 4+k k 0 k + k 4+k + h) i) [ + - ( ) 40 ] 4+ + 4 k 4 k 0 0 k 4 k k k 0 - k k + k k k 0 + j) 0 k 0 k - 0 k k +log 0 + e) cos + cos cos 0 b) + d) ( +5 ) + ( ) 4
k) f) g) log 0 ( ) log 0 ( 5 +) log 0 log 0 5 h) i) log 0 5 log 0 5 j) ( +5) 5 + [ 5 0 / ] 0 4 + 5 5 + + + 6 tan + ( π ) tan + ( π ) tan ( π ) Pero tan(π/ ) no está definido. Analizando más en detalle resulta en el numerador - es menor que, de modo que (-)/ será menor que /: tan ( π ) k - tank π m) l) n) q) + + 4 + 4 ( +)( +) 9 (5 +) 5 5 + ( +)( + +) + o) p) + + + + + + 0 ln + ln ln 0 5 + 5 + + (5 +)(+) + ( 5 ) ( +) (+) 5 +0 +++ 5 ( +) 0 +4 + 0 0 + r) s) t) u) v) + ( 5) 8 5 8 5 ( ) e + e [e ] e e [ (5+ ) 5 7 50 e ] 0 cos +e [ ] cos +/ e cos 0 w) ) +5 9 + 4 + 4 0 4. a) ( + ) + [( + ) ] e b) ( + ) + [( + ) e ] c) ( + + ) + + ( + +) ++ ( + + ) +( + e e + ) d) ( + +) 4 + + ( + ) 4 + + + ( + ) 4 + ( + + ) 4 ( + +) 4 (+) 8 + [( + + ) +] 4( + +) 8 e) e 4 8 e 4 ( + log ln ) 0 ( + ln ) ln ln0 [( + ln ) ln ] ln0 ln e ln e 0 e ln 0 e log 0 e
f) ( + + ) ( ( + + + + ) 5. ( + (+)( )) (+) [( + + + + ( ( + ( )/ ) ] ( )/ ) + + ) ) e a) a( ) 5 4 4( +)( )0 Ambas válidas 5-4 5 + 4 Posición: ± [ +0 ] [ 0 m n 5 4 ± ] + 5-4 [ 0 ] A. Oblicua : ym +n 5 4 5 4 5 +8 8 4 ± 5 + 4 [ +0 ] + m 5 +8 0 4 :+0 por encima : 0 por debajo b) b( ) 6 ( )(+)( )0 Ambas válidas 6 - Posición: ± [ +0 ] + 6 + [ 0 ] 6 ± L 6 - A. Horizontal : yl 6 6 6 +6 ± [ 0 ] 6 + [ +0 ] + 6 :+0 por encima :+0 por encima
c) c( ) 6 6 - [ 5/ 0 ] Posición: n 0 Válida m 4 ± 4 ± 6 + [ 5/ +0 ] + A.Oblicua : ym +n 6 6 m 6 6 6 + 4 y + 4 4 4 + 8 ± 5 4 4 :+0 por encima : 0 por debajo d) d ( ) + 6 4 Posición: ± 6 ( 6) (+4)( 4)0 4 0 4 Todas válidas + 4-6 + 4 + 6 L [ 7 0 ] + [ 7 0 0 +0 ] - 6 + + 0 + 6 A. Horizontal : yl + 0 y0 6 :+0 por encima : 0 por debajo + 6 ± [ +0 ] [ 0 ] + + 4 4-6 + 4 + 6 [ 5 0 ] [ 5 +0 ] +
e) e( ) 5 6+ 6+0 6 Válida 5 6-6+ [ 77 5 0 ] + 6 + 6+ A.Oblicua : ym +n 5 +0 + +6 5 +0 5 +0 0 + 0 80 77 5 +(+6)( 5 +0) 77 Posición: 77 ± +6 5 +6 [ 77 +0 ] Asíntota 5 +0 77 +6 : 0 Por debajo :+0 Por encima f) f () + + + f ( ) ( )( + +) ( +) + + ( ++) ( +) 0 0 Ambas válidas + - (+) Posición: ± + + ( +) [ [ 6 0 ] + 6 0 ] + L + + + ± + 0 0 - ( +) [ 0 ] + [ +0 ] + + ( +) A. Horizontal : y L + + + + 4 + + ± y 4 : 0 por debajo :+0 por encima
g) g( ) + +0 Válida + [ 0 ] + + [ +0 ] - Posición: ± n + + ± + A.Oblicua : ym +n m + m + + y + + + ± + : 0 por debajo :+0 por encima h) h() ( ) ( +) 8 A. Vertical ( +) 80;( +) 8; + 0 Válida ( ) 0 - ( +) 8 [ 9 ( ) 0 ] 0 + (+) 8 [ 9 +0 ] + A. Horizontal : y L ( ) L (+) 8 0 y0 ( ) Posición: ± (+ ) 8 :+0 por encima ± : 0 por debajo