MODELO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS (UN FACTOR) Julá de la Horra Departameto de Matemátcas U.A.M. 1 Itroduccó Los modelos de dseño de expermetos srve, e geeral, para tratar de explcar ua varable respuesta e fuco de uo o más factores. E este tema, vamos a abordar el modelo más secllo: el modelo de dseño de expermetos co u úco factor. Este modelo es especalmete teresate por motvos pedagógcos, ya que permte abordar muchos de los aspectos teresates del dseño de expermetos co ua otacó y ua metodología relatvamete secllas. Eemplos Podemos estar teresados e estudar cómo afecta a la produccó por árbol frutal el empleo de dferetes fertlzates. Podemos estar teresados e estudar s la dsmucó de precptacoes e ua época de sequía ha sdo dferete o o e varas cuecas hdrográfcas. Podemos estar teresados e comparar la capacdad pulmoar de dferetes grupos de edad. 2 Modelo. Hpótess del modelo Dspoemos de los sguetes elemetos para el estudo estadístco: E prmer lugar, ua varable respuesta, Y, que es ua varable umérca (o cuattatva): es la varable que se quere aalzar. Formalmete, será ua varable aleatora de tpo cotuo. E segudo lugar, el factor, que será ua varable cualtatva. Este factor actúa e I veles dferetes, y pesamos que, quzás, pueda haber dferecas mportates e las respuestas medas a dferetes veles. E tercer lugar, ecestamos datos. Supodremos que dspoemos de varos datos ( ) para cada vel del factor. S 1 = 2 =... = I decmos que el dseño es equlbrado; e caso cotraro, es u dseño desequlbrado. El úmero total de datos será represetado por =. El modelo de dseño de expermetos co u úco factor es de la sguete forma: Y = µ + u = µ + α + u para = 1,..., I = 1,..., Sgfcado de los parámetros: µ = Valor medo de la varable respuesta e el vel del factor. u = Térmo de error = Efecto adcoal debdo a otros factores que o se cluye e el modelo por o ser cosderados relevates. µ= Valor medo global de la varable respuesta. 1
α = Efecto adcoal debdo al vel del factor. Estos efectos adcoales será uos postvos y otros egatvos, compesádose uos co otros: α = 0. Descrpcó verbal del modelo: Prmera represetacó: Y = µ + u Cada valor de la varable respuesta se puede cosderar como el valor medo del vel e el que os hallamos, más u térmo de error correspodete al efecto de factores poco relevates que o se cluye e el modelo. Esta es la otacó que vamos a segur aquí. Seguda represetacó: Y = µ + α + u Cada valor de la varable respuesta se puede cosderar como el valor medo global, más el efecto adcoal debdo al vel del factor, más u térmo de error correspodete al efecto de factores poco relevates que o se cluye e el modelo. Lo esecal e cualquera de las dos represetacoes es que lo úco realmete mportate para descrbr el valor de la varable respuesta es el factor que hemos cosderado e el modelo. Para poder obteer y utlzar herrametas estadístcas que os permta tomar decsoes obetvas y razoadas, ecestamos que el modelo se auste a uas determadas hpótess. Estas hpótess cales del modelo so las sguetes: Normaldad: Las observacoes Y sgue ua dstrbucó Normal, Esperazas: E[Y ] = µ, Homogeedad o gualdad de varazas (homocedastcdad): V (Y ) = σ 2, Las observacoes so depedetes. Todas estas hpótess se puede expresar abrevadamete de la sguete forma: Y N(µ ; σ 2 ) depedetes. Es mportate que estas hpótess cales del modelo se cumpla (aproxmadamete) para que las coclusoes que obtegamos o sea ua barbardad. Llegados a este puto, se puede abordar la cuestó de s teemos sufcetes datos (sufcete formacó muestral) para abordar el aálss estadístco de este modelo. La regla básca para respoder a esto es muy fácl de recordar (y de eteder): e geeral, ecestaremos al meos tatos datos como parámetros queremos estmar e el modelo. E este modelo, s obtuvésemos solamete u dato para cada vel, tedríamos: Número de datos= I Número de parámetros= I + 1 Obvamete, sería sufcete. Por eso, se ha dcho desde el prcpo que, para cada vel, dspodremos de datos. 2
3 Metodología La metodología o pla de trabao que seguremos e el aálss estadístco de u dseño de expermetos es el sguete: (1) Dagoss de las hpótess del modelo. Se llevará a cabo medate u aálss de los resduos. S las hpótess cales (Normaldad y Homocedastcdad) o se cumple squera aproxmadamete, habría que replatearse el modelo de algua forma. E muchos casos, ua trasformacó de los datos (por eemplo, trabaado co sus logartmos eperaos) solucoa el problema. Al fal del capítulo, se dcará las herrametas estadístcas que se puede utlzar para llevar a cabo la dagoss de las hpótess del modelo. (2) Estmacó putual de los parámetros del modelo. (3) Itervalos de cofaza para estmar los parámetros del modelo. (4) Aálss de la varaza. El aálss de la varaza es ua técca estadístca muy utlzada que será empleada para dar respuesta a la preguta más teresate: Ecotramos dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas de los dferetes veles del factor? O dcho de otra maera, el factor tee ua flueca relevate sobre la varable respuesta? (5) Comparacoes múltples de los veles del factor. S, tras efectuar el aálss de la varaza, la coclusó que obteemos es que el factor tee ua flueca relevate, la sguete preguta es: Etre qué pares de veles del factor hay ua dfereca realmete sgfcatva? 4 Estmacó putual de los parámetros La metodología estadístca para obteer estmadores putuales de los parámetros es la sguete: Se aplca el método de máxma verosmltud y el estmador obtedo se corrge (e caso ecesaro) para que sea sesgado. Co este procedmeto, se obtee las sguetes estmacoes: ˆµ = ȳ. = 1 y, = 1,..., I ˆσ 2 = S 2 R = 1 I (y ȳ. ) 2 El estmador de σ 2, S 2 R, recbe habtualmete el ombre de varaza resdual y merece algú cometaro adcoal. El ombre de varaza resdual obedece a que es ua varaza que calculamos a partr de los resduos de cada dato. El resduo de cada dato depede del modelo estadístco que estemos utlzado, pero respode sempre a la msma flosofía: 3
Resduo = Valor observado - Estmacó del valor esperado = y ˆµ = y ȳ. Detalles téccos de la obtecó de estmadores putuales: L = L(µ 1,..., µ I, σ) = Π, f(y ) = l L µ = 1 2σ 2 (2) f(y ) = 1 { σ 2π exp 1 } 2σ (y 2 µ ) 2 1 (σ 2π) exp 1 2σ 2 l L = l(σ 2π) 1 (y 2σ 2 µ ) 2 (y µ ) = 0 ˆµ = ȳ. = 1 l L σ (y µ ) 2 y = σ + 1 (y σ 3 µ ) 2 = 0 ˆσ 2 = 1 (y ȳ. ) 2 (provsoal) El estmador provsoal ˆµ obtedo sí es sesgado: E[ˆµ ] = E 1 y = 1 E[y ] = µ E cosecueca, este estmador o ecesta correccó. El estmador provsoal ˆσ 2 obtedo o es sesgado: E[ˆσ 2 ] = E 1 (y ȳ. ) 2 = 1 [ ] E ( 1)s 2 = 1 ( 1)σ 2 ( I)σ2 = E cosecueca, este estmador sí ecesta correccó: ˆσ 2 = S 2 R = 1 I 5 Itervalos de cofaza (y ȳ. ) 2 (provsoal) Los estmadores putuales so muy teresates, pero demasado flexbles. Cuado decmos que estmamos que el parámetro µ vale, por eemplo, 7,15, lo que estamos dcedo e realdad es que pesamos que vale, aproxmadamete, 7,15. La forma e que los métodos estadístcos cuatfca este aproxmadamete de forma automátca y obetva es a través de los tervalos de cofaza. La costruccó de u tervalo de cofaza para estmar u parámetro pasa por la obtecó de ua catdad pvotal para ese parámetro. A cotuacó, veremos el procedmeto segudo para estmar los parámetros del modelo de dseño de expermetos co u factor. 4
(a) Comezamos estmado el parámetro µ ( = 1,..., I) co u vel de cofaza 1 α. E prmer lugar, teemos: ȳ. N(µ ; V ar = σ 2 / ) ȳ. µ σ/ N(0; 1) E segudo lugar, teemos: ( I)S 2 R σ 2 = = I =1 Por lo tato, el estadístco: (y ȳ. ) 2 = σ 2 ( 1)S 2 σ 2 = ȳ. µ σ/ ( I)S 2 R σ 2 /( I) ( 1)S 2 σ 2 I χ 2 1 χ 2 I =1 = ȳ. µ S R 1/ t I es ua catdad pvotal para estmar el parámetro µ. Impoemos la codcó de que el vel de cofaza sea 1 α: P t I;α/2 < ȳ. µ S R < t I;α/2 = 1 α 1/ Falmete, despeamos el parámetro µ de las dos desgualdades obtedas, y obteemos el tervalo buscado: ) (ȳ. ± t I;α/2 S R 1 IC 1 α (µ ) = (b) Pasamos ahora a estmar el parámetro σ 2 co u vel de cofaza 1 α. Para hacer esto, partmos de que ( I)S 2 R σ 2 χ 2 I es ua catdad pvotal para estmar σ 2. apartado (a), obteemos: IC 1 α (σ 2 ) = ( I)S2 R χ 2 I;α/2 6 Aálss de la varaza Medate u desarrollo aálogo al del ; ( I)S2 R χ 2 I;1 α/2 La cuestó que abordamos e esta seccó costtuye el úcleo cetral del aálss estadístco del dseño de expermetos (co cualquer úmero de factores). La preguta a la que queremos respoder se puede platear de dferetes maeras equvaletes: El factor cosderado tee ua flueca relevate sobre la varable respuesta Y? 5
Exste dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas obtedas e los dferetes veles del factor? Por lo tato, lo que deseamos es poder elegr etre las posbldades: µ 1 =... = µ I (o hay dferecas etre las medas) y µ µ para algú par, (sí hay dferecas etre las medas). Esto os coduce al sguete cotraste de hpótess: H 0 : µ 1 =... = µ I (o hay dferecas etre las medas) H 1 : µ µ para algú par, (sí hay dferecas etre las medas) Como es habtual, elegremos u vel de sgfcacó α para tomar ua decsó al fal del estudo. Para llegar a tomar ua decsó, emplearemos ua técca muy utlzada e la Estadístca Aplcada y que veremos aquí por prmera vez: la descomposcó de la varabldad total de los datos o aálss de la varaza (ANOVA). Para esto, lo prmero que ecestamos es la meda couta o total de los datos: ȳ.. = 1 y = 1 ȳ. La flosofía del aálss de la varaza cosste sempre e lo sguete: la varabldad total de los datos se descompoe e más o meos partes depededo del modelo que estemos utlzado. La varabldad total o depede del modelo (sólo depede de los datos). Lo que sí que depede del modelo que estemos maeado, es la descomposcó que hacemos de esa varabldad total. La descomposcó de la varabldad o aálss de la varaza e el caso del dseño de expermetos co u úco factor es de la sguete forma: Varabldad total de los datos = SCT= (y ȳ.. ) 2 = (y ȳ. + ȳ. ȳ.. ) 2 = (ȳ. ȳ.. ) 2 + (y ȳ. ) 2 + 2 (ȳ. ȳ.. )(y ȳ. ) = (ȳ. ȳ.. ) 2 + (y ȳ. ) 2 = SCE + SCR ya que: (ȳ. ȳ.. )(y ȳ. ) = (ȳ. ȳ.. ) (y ȳ. ) = (ȳ. ȳ.. )( y ȳ. ) = (ȳ. ȳ.. )( y y ) = 0 E este caso, la varabldad total ha sdo descompuesta e dos partes: SCE = (ȳ. ȳ.. ) 2 que es la varabldad asocada al factor (o explcada por el factor). També se llama varabldad ter-grupos. SCR = (y ȳ. ) 2 que es la varabldad resdual (o o explcada por el modelo). També se llama varabldad tra-grupos. La decsó de aceptar o rechazar H 0 se va a tomar e base a este aálss de la varaza. Los pasos teórcos esecales so los sguetes: (a) S H 0 es certa, SCE/σ 2 χ 2 I 1 6
(b) SCR/σ 2 χ 2 I (c) Cosderamos el estadístco: S H 0 es certa, F = F = SCE/(I 1) SCR/( I) SCE/(I 1) SCR/( I) F I 1; I (d) Cuado H 0 es certa, los valores de µ so guales, los valores de las medas ȳ. (que so las estmacoes de los µ ) será (probablemete) parecdos etre sí, y parecdos a la meda total ȳ.., el valor de SCE será (probablemete) próxmo a cero, y el valor del estadístco F será (probablemete) próxmo a cero. Razoado de maera aáloga, cuado H 0 es falsa, el valor del estadístco F estará (probablemete) aleado de cero. (e) Por todo lo ateror, la regla de decsó es de la sguete forma: Rechazaremos H 0, al vel de sgfcacó α, cuado F = SCE/(I 1) SCR/( I) > F I 1; I;α També podemos alcazar ua decsó razoado co el p-valor o sgfcacó de los datos. La maera más seclla de terpretar y utlzar el p-valor es etededo el p-valor como el apoyo que los datos da a H 0. De este modo: S el p-valor< α, el apoyo a H 0 es sufcete, y rechazaremos H 0 (al vel de sgfcacó α). S el p-valor> α, el apoyo a H 0 es sufcete, y aceptaremos H 0 (al vel de sgfcacó α). Por supuesto, obtedremos la msma decsó, tato s trabaamos co el estadístco F como s trabaamos co el p-valor. Es tradcoal, y así lo podemos ver e lbros y saldas de ordeador, orgazar los cálculos correspodetes a u aálss de la varaza e ua tabla, que recbe el ombre de tabla ANOVA, y que suele ser del sguete tpo: Sumas de cuadrados G.l. Med. cuad. Estadístco SCE = (ȳ. ȳ.. ) 2 SCE I 1 F = SCE/(I 1) I 1 SCR/( I) SCR = (y ȳ. ) 2 SCR I I SCT = (y ȳ.. ) 2 1 Ua vez falzado el aálss de la varaza, uestra coclusó puede ser de dos tpos: Supogamos que hemos decddo aceptar H 0. Esto sgfca que o hemos ecotrado dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas de los dferetes 7
veles. Es decr, el factor que hemos cosderado o tee ua flueca sgfcatva sobre la varable respuesta que estamos estudado. Co esto, habríamos acabado el aálss estadístco. Supogamos que hemos decddo rechazar H 0. Esto sgfca que hemos ecotrado dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas de los dferetes veles. Es decr, el factor que hemos cosderado sí tee ua flueca sgfcatva sobre la varable respuesta que estamos estudado. E este caso, todavía os quedaría u asuto teresate por resolver: Etre qué pares de veles hay realmete dferecas sgfcatvas? Esto se aborda e la sguete seccó. 7 Comparacoes múltples. Correccó por Boferro (a) E prmer lugar, cosderamos la comparacó etre dos veles determados. La preguta que os hacemos es del sguete tpo: Exste dfereca sgfcatva etre las respuestas medas de los veles y del factor? E este caso, queremos elegr ua de las dos sguetes posbldades: µ = µ (o hay dfereca sgfcatva etre los veles y ) µ µ (sí hay dfereca sgfcatva etre los veles y ) Esto os lleva a platear el sguete cotraste de hpótess: H 0 : µ = µ (o hay dfereca sgfcatva etre los veles y ) H 1 : µ µ (sí hay dfereca sgfcatva etre los veles y ) Faremos u vel de sgfcacó α para alcazar, al fal, ua decsó. La forma habtual de proceder es medate la utlzacó del tervalo de cofaza para estmar la dfereca etre µ y µ, que se obtedría utlzado el método usual de la catdad pvotal: ) (ȳ. ȳ. ± t I;α/2 S R + 1 1 IC 1 α (µ µ ) = Ua vez obtedo este tervalo de cofaza, se procede de la sguete forma: S 0 IC 1 α (µ µ ), es razoable pesar que µ es parecdo a µ, y e cosecueca aceptaríamos H 0 ; es decr, cocluríamos que o hay dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas de los veles y. S, por el cotraro, 0 / IC 1 α (µ µ ), es razoable pesar que µ y µ so claramete dferetes, y e cosecueca rechazaríamos H 0 ; es decr, cocluríamos que sí hay dferecas sgfcatvas etre las respuestas medas de los veles y. (b) Ahora pasamos ya al problema que realmete os teresa, que es el de efectuar smultáeamete varas comparacoes. El proceso es como sgue: 8
Queremos efectuar smultáeamete m comparacoes de pares de veles y del factor que estamos cosderado e el modelo (e muchos casos, deseamos hacer todas las comparacoes posbles, pero a veces, este úmero es demasado grade y os teresa solamete alguas). E prmer lugar, famos el vel de sgfcacó total o couto, α T, de las m comparacoes que vamos a llevar a cabo. Recordemos que el vel de sgfcacó es la probabldad de cometer u error de Tpo I. Por lo tato, α T es la probabldad de rechazar equvocadamete algua de las m hpótess ulas que estamos cosderado smultáeamete. Ua vez que hemos fado α T, teemos que hallar cuál sería el vel de sgfcacó dvdual, α, de cada ua de las m comparacoes para que, falmete, el vel de sgfcacó couto sea α T. El valor (aproxmado) de este vel de sgfcacó dvdual, α, vee dado por lo que se suele llamar la correcó por Boferro: α = α T m El ombre procede de que la correcó se obtee medate la aplcacó de la desgualdad probablístca de Boferro. Ua vez que hemos obtedo el vel de sgfcacó dvdual, α, procedemos a comparar cada par de veles sguedo los pasos dcados e el apartado (a). Detalles téccos de la correccó por Boferro: (1) La desgualdad de Boferro se prueba por duccó: Para m=2: m P ( A ) =1 m P (A ) (m 1) =1 P (A 1 A2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A2 ) P (A 1 A2 ) = 2 =1 P (A ) P (A 1 A2 ) 2 =1 P (A ) 1 Supoedo ahora que P ( m =1 A ) m =1 P (A ) (m 1), teemos: P ( m+1 =1 A ) = P [( m =1 A ) A m+1 ] P ( m =1 A ) + P (A m+1 ) 1 m =1 P (A ) (m 1) + P (A m+1 ) 1 = m+1 =1 P (A ) (m + 1 1) (2) El vel de sgfcacó dvdual de u cotraste de hpótess vee dado por lo sguete: α = P H0 (Rechazar H 0 ). Por tato, e uestro caso, el vel de cofaza dvdual sería: 1 α = P H0 (Aceptar H 0 ) = P H0 (0 IC). De este modo, el vel de cofaza global al efectuar smultáeamete m cotrastes sería: Nvel de cofaza global = 1 α T = P H0 (Aceptar todas las hpótess ulas) 9
= P H0 ((0 IC 1 ) y... y (0 IC m )) = P H0 ((0 IC 1 )... (0 IC m )) m =1 P H0 (0 IC ) (m 1) = m(1 α) (m 1) = 1 mα De aquí obteemos: α α T /m. La habtual correccó por Boferro toma la gualdad: α = α T /m. 8 Dagoss de las hpótess del modelo Como se dcó e la Seccó 3 (Metodología), es coveete hacer ua dagoss preva de las hpótess del modelo: Normaldad y Homogeedad de Varazas. El prcpal problema para llevar a cabo este estudo cosste e que, habtualmete, el úmero de datos que teemos o es demasado grade, y esto es u coveete para efectuar la dagoss, tato medate cotrastes de hpótess (por eemplo, cotrastes de bodad de auste) como medate aálss gráfcos. Por este motvo, se suele trabaar coutamete co los resduos de todos los datos, e vez de trabaar asladamete co los datos de cada vel. E esta seccó, dcaremos brevemete algú aalss gráfco secllo que os puede dar algua formacó sobre la aceptabldad de las hpótess del modelo. Para llevar a cabo este aálss gráfco, ecestamos dos cosas: Guardar los resduos de cada dato, que e este modelo so de la forma: Resduo = y ȳ. Guardar los valores proostcados o estmados para cada dato, que e este modelo so de la forma: Valor proostcado = ȳ. Co los resduos y los valores proostcados podemos hacer u aálss vsual de los sguetes gráfcos: (a) Hstograma de los resduos. La hpótess de Normaldad de los datos será aceptable cuado este hstograma muestre u razoable parecdo co la curva Normal. (b) Gráfco de probabldades ormales de los resduos (probablty plot). La hpótess de Normaldad de los datos será aceptable cuado los putos del gráfco esté razoablemete cerca de la dagoal del cuadrado. (c) Gráfco de dspersó de los resduos sobre los valores proostcados. La hpótess de Homocedastcdad (o gualdad de varazas) de los datos será aceptable cuado la achura vertcal del gráfco de dspersó se matega razoablemete costate. La gra vetaa de estos aálss gráfcos es su secllez. Su mayor coveete radca e que co pocos datos (como suele ser frecuete) o os dce práctcamete ada, y auque dspogamos de muchos datos, las coclusoes so evtablemete subetvas (salvo stuacoes muy claras que o so demasado frecuetes co los datos reales). 10