Notas e Desigualdades versió 0. Leoardo Urbia leoardourbia@gmail.com Marzo de 006
Prólogo Estas otas so u primer acercamieto al tópico de desigualdades dirigido a aquellos participates de olimpíadas de matemáticas que quiera mejorar sus habilidades e esta área. Esta es la primera versió del material, así que cualquier error, duda o cometario por favor hágamelo saber.
Capítulo Pricipios de Desigualdades E las Matemáticas es muy propeso el estudio de ecuacioes, las cuales se basa e la igualdad etre dos expresioes. Pero e ua gra mayoria de los casos, o hay igualdad, sio que e cambio, se estudia las relacioes que matiee las expresioes etre sí. A esto es lo que llamamos desigualdades. Aquí presetamos u resume de alguas de las desigualdades más básicas e importates. Ates de empezar a trabajar es ecesario saber alguas cosas básicas: Sea a, b, c, d reales cualesquiera, etoces:. a b a + c b + c. Si a b y c 0, etoces ac bc y si c < 0 la desigualdad se ivierte. 3. Si 0 a b; 0 c d, etoces ac bd.. Todo cuadrado es positivo Teorema Para todo x real se tiee que: x 0 Dode se tiee la igualdad si y solo si x = 0. Veamos varios ejemplos de problemas que se solucioa usado este hecho: Ejemplo : Sea a, b, c, d úmeros reales. Probar que a b, b c, c d, d a o puede ser todos mayores que 4.
Supogamos que sí fuese todos mayores que 4, etoces se tedría que: a b > 4 ; b c > 4 ; c d > 4 ; d a > 4 Sumado todas las desigualdades y ordeado obteemos: a a + 4 + b b + 4 + c c + 4 + d d + 4 < 0 (a ) + (b ) + (c 4 ) + (d 4 ) < 0 Pero esto ultimo es ua cotradicció, ya que cada uo de los térmios de la izquierda es mayor o igual que 0. Etoces uestra suposicio era erróea y debe haber alguo meor a 4. Ejemplo Sea a u real. Probar que 4a a 4 3. Procederemos colocado todo del lado derecho buscado factorizarlo como u cuadrado, o como ua suma de cuadrados: a 4 4a + 3 = (a ) + a 4a + = (a ) + (a ) 0 Y se tiee lo pedido. Ejercicios: A cotiuació dejo alguos ejercicios para ser resueltos por el lector.. x + x para todo x real. Si x, y > 0 etoces x + y 4 x+y 3. a + b + c ab + bc + ca 4. Probar que la suma de los catetos de u triágulo rectágulo o excede por la hipoteusa 5. Determiar si exsite o o ua fució iyectiva f : R R tal que f(x ) (f(x)) 4 6. Hallar todas las solucioes reales (x, y, z) de x 4 + y 4 + z 4 4xyz = 3
.. Desigualdad de Reordeamieto La siguiete desigualdad surge de ua maera muy atural e ituitiva. La itroduciremos a través de u ejemplo: Se quiere colocar billetes e cajas. Hay 5 cajas, e las cuales cabe 0, 7, 5, 3 y billetes respectivamete y hay billetes de deomiacioes 000, 500, 00, 50 y 0. E ua misma caja solo se puede meter billetes de ua deomiació y o puede haber billetes de ua misma deomiació e cajas distitas. Cuál es la mayor/meor catidad de diero e total que se puede colocar e las cajas? Uo puede ituir que para la primera parte, la respuesta es colocar los billetes de mayor deomiació e las cajas dode cabe mas billetes, y los de meor deomiació e las cajas dode cabe meos billetes, es decir, colocamos los billetes de 000, 500, 00, 50 y 0 e las cajas dode cabe 0, 7, 5, 3 y billetes respectivamete. Y para la seguda parte uo ituye que es simplemete hacer esto pero e el orde ivertido Ya co ua idea de lo que os referimos, veamos el euciado formal de la Desigualdad de Reordeamieto: Desigualdad de Reordeamieto: Dadas dos sucesioes de reales cada ua a a... a y b b... b. Si (a, a,..., a ) es ua permutació cualquiera de (a, a,..., a ), etoces se tiee que: a b + a b +... + a b a b + a b +... + a b a b + a b +... + a b (.) Probaremos solo el lado izquierdo de la desigualdad, ya que el lado derecho es aálogo. Sea: S = a b + a b +... + a b Supogamos que (a, a,..., a ) o es igual a (a, a,..., a ), etoces existe u ídice i míimo tal que a i a i. Etoces a i > a i = a j, para algú j > i. Defiimos c k = a k para todo k i, j y c i = a j y c j = a i. Sea etoces: Etoces vemos que: T = c b + c b +... c i b i +... c j b j +... + c b 4
T S = a jb i + a ib j a ib i a jb j = (a i a j)(b j b i ) 0 Esto último, ya que, como vimos a i a j y por como se defiiero los b k s sabemos que siedo j > i, etoces b j b i. De esto se sigue que que T S Ahora bie, cada vez que se aplica este procedimiete de itercambiar los termios de la sucesió, la suma que queremos se agrada. Pero tambie sabemos que e a lo más itercambios, la permutació que os queda es igual a (a, a,..., a ). De esto os queda hemos demostrado que la Desigualdad de Reordeamieto es cierta. A cotiuació alguos ejemplos de problemas resueltos co usado este teorema: Ejemplo : Sea a, a,... a reales y (a, a,..., a ) ua permutació cualquiera. Demuestre que a + a +... + a a a + a a +... a a Vemos que e la desigualdad de reordeamieto colocado a i = b i, obteemos lo que queremos. Ejemplo : Sea a, a,..., a eteros positivos distitos. Demuestre que a + a +... + a + +... + Sea (a, a,..., a ) la permutació de (a, a,..., a ) tal que a a... a. Etoces teemos que a i i (aquí se usa el hecho de que so eteros positivos distitos). Por la desigualdad de reordeamieto obteemos que: a + a +... + a a + a +... + a Y teemos lo que se quería. + +... + = + +... + Ejercicios: A cotiuacio colocamos alguos ejercicios para ser resueltos usado este teorema, o usado las ideas para su demostració. 5
. Sea a, a,..., a reales positivos y (a, a,..., a ). Demuestre que: a a + a a +... + a a. Demuestre si a, b, c so reales positivos, etoces se tiee: a) a 3 + b 3 + c 3 a b + b + c a b) a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c) c) a b + b c + c a a b + b c + c a d) a+b+c abc a 3 + b 3 + c 3 3. (Desigualdad de Nesbitt) Sea a, b, c reales positivos, etoces: a b + c + b c + a + c a + b 3 4. (IMO 975) Sea x x... x y y y... y úmeros reales, Sea (z, z,..., z ) ua permutació de (y, y..., y ). Demuestre que (x y ) +(x y ) +...+(x y ) (x z ) +(x z ) +...+(x z ) 5. (APMO 998) Sea a, b, c reales positivos, muestre que: ( + a ) ( + b ) ( + c ) ( + a + b + c ) b c a abc.3. Smoothig Priciple El smoothig priciple de maera formal afirma que si se tiee ua catidad de la forma f(x ) + f(x ) +... + f(x ), tal que se hace pequeña a medida que dos de las variables se acerca etre si (mateiedo algua codició, por ejemplo, la suma de las variables costate), etoces esta catidad atiee su míimo cuado todas las variables so iguales. Para ver esta idea de ua maera más clara, demostraremos la desigualdad media aritmética media geométrica. 6
Ejemplo (MA-MG): Dados reales positivos x, x,..., x etoces x +... + x x...x Haremos ua serie de sustitucioes que matedrá el valor del lado izquierdo, mietrás que agradará el lado derecho. Al fial todos los x i s será iguales y se tedrá que el lado izquierdo es igual al lado derecho de la desigualdad. Esto implicará que la desigualdad es cierta. Si todos los x i s so iguales etre sí, etoces vemos que x +... + x = x = x = x...x Deotemos m a la media aritmética de los x i s. Supogamos que o todos so iguales etre sí, etoces existe ídices i, j tal que x i < m < x j. Cosideremos ahora x i = m y x j = x i + x j m. Vemos que la suma de los x i s o se ve alterada, mietras que x i x j = (x i + x j ) m = (m x i )(x j m) + x i x j > x i x j Nótese que e cada paso la catidad de x i s que so iguales a la media aritmética aumeta e, es decir, que e u úmero fiito de pasos (a lo más ) todos será iguales a m. Además, cada vez que se realizó la sustitució el lado derecho de la desigualdad aumetaba mietras el lado izquierdo permaecía ialterado. Dado que la igualdad se da cuado todas las variables so iguales etre sí, queda que e todos los otros casos el lado derecho tuvo que ser meor que el lado izquierdo, y queda probada la desigualdad. Ejemplo (Vietam 998): Sea x,...x ( ) reales positivos que satisface Demuestre que x + 998 + x + 998 +... + x + 998 = 998 x x...x 998 7
La idea será usar smoothig para ver que a medida que se acerca los x i s etre sí (mateiedo la codició dada), la catidad de la izquierda decrece hasta hacerse igual a 998. Llamemos y i = x i +998, etoces se tiee que x i = y i998 y i y que y i = 998. Como x i 0 para todo i, etoces se debe teer que y i > 0. Veamos lo siguiete x i x j = y i998. y j998 = (y i + y j )998 + 998 y i y j y i y j Además como y i = 998 y siedo y i 0, etoces y i + y j < 998 o lo que esquivalete (y i + y j )998 > 0. Etoces al realizar la sustitució y i = m y y j = y i +y j m (dode m es la media aritmética de los y i s) vemos que (de maera idetica al ejemplo aterior) y i y j > y i y j mietras que y i + y j = y i + y j. Siedo positivo el umerador de la expresió dada, vemos que al realizar la sustitució, el valor de la expresió decrece. Esto es lo que queríamos. Además, cuado todos los y i s so iguales se tiee que todos los x i s so iguales, deotemoslos por x. Vemos etoces x + 998 = 998 x = ( )998 Al itroducir esto e la desigualdad que se quiere probar vemos que x...x = Co esto se sigue lo pedido. ( ) 998 = 998 Ejemplo 3 (USA 998): Sea a 0, a,..., a úmeros e el itervalo (0, π/) tal que ta(a 0 π/4) + ta(a π/4) +... + ta(a π/4) Demuestre que ta a 0 ta a... ta a + Sea x i = ta(a i π/4) y y i = ta a i. Etoces vemos que x i (, ) y y i (0, ) y además 8
x i = ta(a i π/4) = ta a i ta a i + = y i y i + y i = + x i x i Etoces lo que aporta el producto de dos y i s al lado izquierdo de la desigualdad es y i y j = + x i x i. + x j x j = + x i + x j + x i x j (x i + x j ) + x i x j = (x i + x j ) (x i + x j ) + x j x j + = + = (x i +x j )+x i x j x i +x j +x i x j x i +x j + Etoces, si x i + x j fuese positivo, al acercar x i y x j etre si, el producto aumetaría dejado la suma ialterada de dode el valor de la expresió dismiuye. Lo que se tiee que hacer etoces es demostrar que e cada paso es posible coseguir i, j tal que x i +x j > 0 y así poder realizar el smoothig. Es claro que si x i > 0 para todo i, etoces se puede realizar el smoothig si igú problema. El problema surge cuado hay x i s egativos. Ahora bie, ótese que a lo más uo solo puede ser egativo, ya que a 0 +... + a, y cada x i es meor que, es decir, que si dos fuese egativos, la suma sería a lo más la suma de los restates que es meor que. Además si x 0 < 0, es imposible que x 0 +x j < 0 para j =,,... debido a que e este caso se tedría x 0 + x +... + x < x 0 x 0 = x 0 ( ) < Etoces siempre existe j para el cual x 0 +x j > 0. Co esto el smoothig se puede realizar, hasta obteer todos los x i s iguales, por lo que todos los a i s so iguales, llamemoslos a. Etoces la codició del problema se covierte e ( + ) ta(a π/4) ta a ta a + + ta a 9
Y por lo tato Y se sigue lo pedido ta a 0 ta a... ta a = (ta a) + + Ejercicios: A cotiuació alguos problemas que puede ser resueltos usado esta técica o alguas ideas relacioadas a esto.. (Idia 995) Sea x, x,..., x reales positivos tal que su suma es. Demuestre que x x +... + x x. (Shortlist IMO 998) Sea r, r,..., r reales mayores o iguales a. Demuestre que r + +... + r + r...r + 3. Sea x, x,... ua sucesió de reales positivos. Si a k y g k so la media aritmética y la media geométrica respectivamete de x,..., x k, demuestre que a gk a gk (a g ) ( )(a g ( ). ; 0
Capítulo.. La Desigualdad MA-MG-MH Teorema (MA-MG): Sea a, a,..., a reales positivos, etoces a +... + a a...a Demostració : Usaremos el Smoothig Priciple. Sea m la media aritmética de a, a,..., a. Si a = a =... = a = m, etoces se tiee la igualdad. De lo cotrario existe ídices i, j tal que a i < a < a j. Cosiderado la sustitució a i = m y a j = a i + a j m vemos que a i + a j = a i + a j, mietras que: a ia j = m(a i + a j ) = (a j m)(m a i ) + a i a j Por lo que el lado derecho de la desigualdad aumeta mietras que el lado izquierdo se matiee fijo. E u úmero fiito de pasos (a lo más ) todos los a i s será iguales y obtedremos que ambos lados de la desigualdad so iguales. Como e cada paso el lado derecho creciía, origialmete se debió teer que el lado derecho era meor que el lado izquierdo. De aquí se sigue lo pedido. Demostració : Procederemos por iducció sobre el úmero de variables. Si =, etoces a + b ab ( a b) 0 De dode obteemos el caso base. Demostraremos que si se cumple para k etoces se cumple para k, y si se cumple para m + etoces se cumple para m. Co esto se tedríamos lo pedido.
Supogamos que se cumple para k. Etoces si a, a,..., a k, a k+,..., a k so reales positivos usado el caso base y la hipótesis iductiva vemos que a +... + a k k = a +...+a k k + a k++...+a k k k a...a k k a k+...a k = k a...a k Etoces si se cumple para k se cumple para k. (a ) ( ) +... + a k ak+ +... + a k k k Supogamos ahora que se cumple para m +, etoces aplicado esto para los reales a,..., a m, A, dode A = a +...+a m m vemos que Etoces A = a +... + a m m = a +... + a m + A m + m+ a...a m A A m+ a...a m.a A m a...a m a +... + a m m De aquí se sigue lo pedido. m a...a m Demostració 3: Por la desigualdad de reordeamieto sabemos que si x, x,..., x so reales etoces x + x + x 3 +... + x x x x x Sea G = a...a, etoces colocado x = a G, x = x x,..., x G = a...a G obteemos que x x + x x + x 3 x +...+ x x = Y se sigue lo pedido. a G a...a G + a a G a G +...+ a...a G a...a = a G +a G +...+a G G Ahora, si a,...a so reales positivos cosideremos la desigualdad MA-MG aplicada a los úmeros a, a,..., a, de dode queda
Y obteemos que a + a +... + a a...a a...a a + a +... + a Esta última se cooce como la Desigualdad Media Geométrica - Media Harmóica. Co esto obteemos lo que de abreviaremos como la desigualdad MA-MG-MH: Teorema (MA-MG-MH): Dados reales positivos a,..., a, etoces a +... + a a...a a +... + a A cotiuació se muestra u par de ejemplos dode se usa la desigualdad MA-MG-MH: Ejemplo : Si x, y, z so reales positivos, muestre que ( + x ) ( + y ) ( + z ) 8 y z x Demostració: Sacado comú deomiador vemos que es equivalete demostrar que (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz Ahora bie, por MA-MG teemos que x + y xy ; y + z yz ; z + x zx Multiplicado estas tres desigualdades obteemos lo que queríamos. Ejemplo : Dados x,...x reales positivos demuestre que ( (x +... + x ) +... + ) x x Demostració: Usado la desigualdad M A M H co los úmeros x,..., x os queda que: 3
Lo cual se covierte e Y se sigue lo pedido. x +... + x x +... + x ( (x +... + x ) +... + ) x x A cotiuació problemas para ser resueltos por el lector. Problemas:. Si x > 0 demuestre que x + x.. Si x, y > 0 etoces x + y 4 x+y 3. Sea u etero positivo. Demuestre que! ( + 4. Si a, b, c > 0 muestre que ). ( 9 a + b + c a + b + b + c + ) c + a a + b + c 5. Sea u úmero atural. Demuestre la siguiete desigualdad ( ) ( + )! + (k!) k=0 6. Sea x, x,..., x, x + reales positivos tales que x + x +... + x = x +. Demuestre que i= x i (x + x i ) 7. Para x + y + z > 0 demuestre que x + (x + x i ) i= x + y + y + z + z + x x + y + z 6 4
8. (APMO 99) Sea a,..., a, b,..., b reales positivos tales que a +... + a = b +... + b. Demuestre que a +... + a a + b a + b (a +... + a ) 5