Cálulo integrl en R n Integrles múltiples Cmios de vrile Integrles doles u definiión generli l de l integrl en R e f (, ) otd en un retángulo R =,, d R ividimos R en n n retángulos R ij = i, i k, k, de áre = d n n Llmmos, respetivmente, M ik m ik l supremo e ínfimo de f en d R ij formmos ls sums superior U n e inferior L n : U n = n M ij, L n = n m ij i, j= i, j= m ik k- k M ik d i- i (sums de volúmenes de prisms, un mor otr menor que el volumen que enierr f (, ) si f ) i ls suesiones {L n } {U n } tienden l mismo límite, se die que f es integrle en R, se represent el límite omún por R f ó f (, ) d d se llm integrl de f en R R f representrá (similr lo que suedí en R ) l sum de los R volúmenes enerrdos entre l gráfi de f el plno = en R, on signos + o deudos Y l igul que suedí llí: Teor f ontinu en R f integrle en R Tmién quí ls funiones poo disontinus siguen siendo integrles: Teor i un f otd en R es disontinu omo muho en un número finito de puntos de gráfis de funiones ontinus, entones f es integrle en R Pr lulr integrles doles no se neesit l definiión, el prolem se redue relir dos integriones suesivs de funiones de un vrile: Teorem d d f ontinu en R f = f (, ) d d = f (, ) d d de Fuini: =te A() d R Pr d onstnte A()= f (, ) d represent el áre de l seión del sólido determindo por l gráfi de f ; integrndo A() entre d otenemos el volumen: R f = d A() d L otr iguldd es lo simétrio Ej en R=, π, f (, )= sen Clulr l integrl es fáil: f = π R sen d d = π sen d = π sen d = os π = O ien: f = π sen d d = π os d = d = R No sólo se puede integrr sore retángulos Consideremos dos tipos senillos de regiones (ls más omplids se podrán dividir en otrs de es form) Teor 3 i) f ontinu en = { (, ):, () d() }, on d() d ontinus en, f = f (, ) d d ii) f ontinu en = { (, ): d, () () }, on d () ontinus en, d f = f (, ) d d Cundo vrí entre, l vrí entre () d() e igul pr ii) A()= d() () () () f (, ) d desrie el áre de l seión del sólido e A() d el volumen desrito d () d() () () 3
Ej Integremos f (, )= os(+) sore el del diujo, que es de π d()= los dos tipos onsiderdos en el teorem 3: π π ()= f = os(+) d d = sen sen d ()=π = (os π os ) + π os os d = 3π ()= π O, on álulos más lrgos, integrndo primero respeto : π π f = os(+) d d prtes π = π sen os sen os d = 3π Oservemos que, vees, no sólo es preferile integrr primero respeto de un vrile onret luego respeto de l otr, sino que no tenemos otr opión Por ejemplo, si fuese f (, )=sen, π π no se podrí her sen d d, por ser l primitiv no lulle, pero sí se puede her: π sen d d = π sen d = os π = os π No olvidemos que l integrl de un onstnte es l onstnte por l longitud del intervlo Los orhetes que hemos esrito hst l últim epresión normlmente no se esrien Ej 3 Clulemos ( ) 3 d d, on udrilátero de vérties (, ), (, ), (, ) (, ) Pr no tener que her integrles, integrmos primero respeto : / = ( ) 3 d d = =/ 8 ( ) 4 / / d = / d = 4 =+ = Con el otro orden de integrión h que dividir en dos reintos: + ( ) 3 d d + ( ) 3 d d = 4 4 4 d + 4( ) 4 d =4 4 5 + 4 5 =4 En reintos más omplidos no tendremos más remedio que dividir L integrl sore el reinto totl siempre será l sum de ls integrles sore d uno de los suonjuntos: Ej 4 Pr lulr l integrl de un f sore el reinto limitdo por = e = podemos her: f = f (, ) d d + f (, ) d d O ien, omo = =±, =± =± (+), se puede her (lulndo más integrles) tmién de est form: (+)/ (+)/ f = f (, ) d d + f (, ) d d + (+)/ (+)/ f (, ) d d i en prtiulr integrmos f otendremos el áre de : A = = ( ++ ) d + ( + ) d = 3 + 3 = 3 Integrles igules por ser f pr en simétrio respeto = ; st her O ien: A = = + d + + d = + = 3 Tomemos hor f ()= hllemos l integrl por el primer mino: f = d + d = 5 4 3 4 d + = áre triágulo 5 4 3 +4 d = 5 + 4 3 + + 5 + 4 3 = 3 + 3 = eí nulrse por ser f impr en simétrio respeto = El volumen negtivo definido por l gráfi de f en l prte de on se onel on el positivo de l prte on 4
Cmios de vrile Generliemos pr integrles doles l fórmul de R: f (g(u)) g (u) du = g() f () d, on g C (, ) g() g en onreto, el so de g inetiv (reiente o dereiente) en, :, f (g(u)) g (u) du = f () d g(,) v En R nuestr situión será est: pr hllr f (, ) d d ; g reliremos un mio de vrile g : R R * (u, v) ( (u, v), (u, v) ) on el fin de que el nuevo reinto de integrión o l nuev u funión integrr sen más senills e puede demostrr (es omplido) que: g = g( *) Teor 4 e g:(u, v) ( (u, v), (u, v) ) de C, inetiv en, g( )= f integrle Entones: f (, ) d d = f ( (u, v), (u, v) ) (,) du dv (u,v) Como primer ejemplo de mio de vrile onsidermos los mios lineles: { = Au+Bv (,) i = Cu+v (u,v) = A B C = A BC define ieión de R en R f (, ) d d = A BC f (Au+Bv, Cu+v) du dv Ls regiones se trnsformn de form senill por llevr ls pliiones lineles rets rets Ej 5 e el udrdo de l figur hllemos ( ) e + d d v = = L form de f el reinto sugieren: { { + = u = (u+v)/ = v = (u v)/ = = u Ls rets que definen los ldos psn ser: u =,, v =, El joino / / / / = Así pues v e u dudv = e 6 = Más menudo pree más útil es el mio polres: { =r os θ =r sen θ El joino es hor: (,) (r,θ) = os θ r sen θ sen θ r os θ = r(os θ+sen θ) = r Y el mio dopt l form: f (, ) d d = r f (r os θ, r sen θ) dr dθ Qué provienen de onjuntos senillos del plno rθ? Un retángulo r, r θ, θ ps ser un setor de oron irulr limitdo por ls irunferenis de rdio r r ls rets que psn por el origen de pendientes θ θ α β θ * r r=f ( ) θ β r=f ( θ ) α α β θ r α r r r r i queremos hllr el áre en polres de un región limitd en θ α, β por r = f (θ) r = f (θ) será: áre = β f (θ) r dr dθ = β α f (θ) α f (θ) f (θ) dθ Coinidente on mis puntes de mtemátis Ej 6 Hllemos 4 d d, on el setor irulr del diujo: L preseni de + el speto de piden gritos ls polres r 4 r dr dθ = π/ r ( 4 r ) / dr π dθ = el no depende de θ (4 r ) 3/ 3 otnte de esfer = 4π 3 Osérvese que el mio no es inetivo en ldo iquierdo del retángulo (todos los puntos on r = vn l origen), pero el teorem sigue siendo válido unque flle l inetividd en puntos o rets suelts θ π/ β * r 5
Aunque el integrndo es senillo en rtesins, el reinto pide usr polres: Ej 7 Clulr l integrl dole ( ) d d, on semiírulo ddo por + 4, En polres es (r os θ r sen θ) = r ( os θ+sen θ sen θ os θ ) = r ( sen θ ) Por tnto: π/ ( ) π/ π/ r3 sen θ dr dθ = 4 ( sen θ) dθ = 4π π/ por el joino (es impr) = eí ser mor que por ser el integrndo positivo En rtesins serí muho peor: 4 ( + ) d d = ( 3 4+ 3 ( +) ) 4 d = En el siguiente ejemplo, unque el reinto no preerí deudo ls polres, por no estr limitdo por urvs r = te o θ = te, el speto del integrndo ls pide indudlemente: Ej 8 Integremos f (, )=, sore el semiírulo +( ), + Ls urvs que limitn el reinto, esrits en polres quedn: =r sen θ = r = /sen θ, + =, r =r sen θ r = sen θ 3π/4 sen θ π/4 /sen θ r sen θ r dr dθ = 3π/4 π/4 ( sen θ ) dθ = 3π/4 π/4 os θ dθ = Ls uents se omplin muho si se intentn her de ulquier form en rtesins: O peor: + + d d = d d = + pr en ln + ln ( + ) + ln(+ ) d = rtn d = rtn r= d = Usemos el mio polres pr hllr un integrl impropi de un vrile on primitiv no elementl: Ej 9 Pr lulr I = e ( + ) d d = En polres qued: e d onsidermos l integrl dole: e π/ re r dr dθ = π e d d = e r eduimos demás, por l pridd del integrndo, que I e d = I = π 4 I = π e d = π Además del áre de, A = d d, del volumen en jo f (, ), = f d d, ls integrles doles tienen otr serie de pliiones (ls fórmuls son nálogs pr R 3 ) L ms de un pl es M = ρ(, ) dd, si ρ(, ) es su densidd El entro de ms de es el punto (, ) on = M ρ, = M ρ (entroide si ρ= te) Los momentos de ineri respeto los ejes e son: I = ρ, I = ρ Ej e semiírulo de rdio R de densidd diretmente proporionl l distni l entro de Hllemos su entroide, su entro de grvedd sus momentos de ineri respeto de los ejes e puede pror que si un lámin tiene un eje de simetrí, su entroide está en ms en diho eje ( si tiene dos, está en su interseión) Por tnto, = L otr entroide R = π R A d d = πr r sen θ dr dθ = r 3 R πr 3 = 4R 3π 4 R Pr el entro de grvedd h que inluir l densidd ρ(r)= kr (simétri) Tmién = Como l ms es M = π R R kr dr dθ = πr3 k 3, será = 3 Los momentos: I = k π r4 sen θ dr dθ = k I = k π R r4 os θ dr dθ = k R π R πr 3 r4 dr π r4 dr π R π / 4 r3 sen θ dr dθ = 3R π 48 R os θ dθ = kπr5 +os θ dθ = kπr5 Los álulos en polres llevn integrles de sen n θ os m θ Reordemos que si m o n son impres son más senills, que si son pres se usn ls igulddes sen θ =( os θ)/, os θ =(+os θ)/ 6
Integrles triples Análogmente n = se define f pr un f (,, ) otd en un B prlelepípedo B =,, d p, q, que representrá un volumen de un sólido de utro dimensiones on se B ltur en d punto dd por f (,, ) Est integrl se podrá lulr tmién on integrles iterds: f ontinu en B B f = q d Ej i f (,, )= B =,,, 3 es: 3 f = ( ) d d d = B p f (,, ) d d d Tmién podemos integrr sore reintos R 3 más generles i = { (,, ):, () d(), p(, ) q(, ) }, on d ontinus en, p q ontinus en = { (, ):, () d() }, f ontinu en d() q(,) f = f (,, ) d d d () p(,) Análogs fórmuls se otienen vrindo los ppeles de,,, muhos reintos que preen son de lgunos de esos tipos Cundo f, d d d desriirá el volumen de o ls otrs 5 iterds intermindo los ppeles de,, (9 3) d d = (8 6) d = 5 =() f(,) =q(,) =p(,) Lo más difíil de ls integrles triples es diujr ls gráfis o l menos herse un ide de ells pr ser uáles de ls funiones que definen los reintos son mores o menores Ej Clulemos d d d, on región otd por los plnos: =, =, =, =, =, ++ = En el udrdo,, del plno está = por enim de = d d d = d d d = ( ) d d = ( ( ) d = 3 ) d = 3 4 3 = 5 O un poquito más orto si mimos el orden de d d - El primer pso es igul, luego: ( ( ) d d = 3 ) d = 3 4 = 5 Ej 3 Hllemos f on f (,, ) = el tetredro uos vérties son (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) f = = d d d = ( ) 4 4 + ( )4 8 ( )4 3 d = ( ) d d ( ) 4 d = 36 Ej 4 Clulr e d d d, siendo el sólido limitdo por =, =, =, =, = l superfiie = En,, es = mor que = (no se neesit el diujo) = e d d d = e d d = e d= e + = ( e e ) = = = =d() = 7
Con hipótesis nálogs ls del plno se tiene l fórmul pr los mios de vrile: e g:(u, v, w) ( (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w) ) de C, inetiv en, g( )= f integrle f (,, ) d d d = f ( g(u, v, w) ) (,,) du dv dw (u,v,w) le unque g no se inetiv un número finito de puntos, urvs o superfiies En prtiulr nos interesn los mios ilíndris esféris efinmos d un de ests oordends fmiliriémonos on ells ntes de her integrles { Cilíndris: =r os θ O se, polres del plno junto on l oordend =r sen θ r ls ilíndris de un (,, ) es trivil pr, r, θ < π = demás se tiene que r = +, tn θ = θ r (,,) El joino es r sen θ r os θ = r,, por tnto: (r,θ,) = r os θ r sen θ f (,, ) d d d = r f (r os θ, r sen θ, ) dr dθ d =te Qué onjuntos del espio son senillos en ilíndris? Los θ r puntos r =C formn un ilindro, los θ =C =C plnos θ=te (vertil horiontl) Un prlelepípedo se onvierte en un omo el de l dereh Ej 5 Clulr l integrl de l funión f (,, )= e + sore el ilindro + 4, 3 e + 3 π d d d = r e r dr dθ d = 9 4 3 π er = 5π (e4 ) joino Lo mismo que integrr en her luego el mio polres En rtesins no se puede her porque preen primitivs no lulles: e + d o e + d { Esféris: = ρ sen θ os φ Como ρ =r +, es ρ= + + = r + r, θ π = ρ sen θ sen φ Además: tn θ = r θ, tn φ= mirndo udrnte φ < π = ρ os θ A vees se suelen mir los nomres de φ θ, pero usremos l notión de los liros de físi (,,) (ρ,θ,φ) = sen θ os φ ρ os θ os φ ρ sen θ sen φ sen θ sen φ ρ os θ sen φ ρ sen θ os φ = os θ ρ sen θ ρ os θ sen θ os φ sen φ sen φ os φ + ρ sen 3 θ = ρ sen θ es el joino por tnto: ρ r=te ϕ os φ sen φ sen φ os φ f (,, ) d d d = ρ sen θ f (ρ sen θ os φ, ρ sen θ sen φ, ρ os θ) dρ dθ dφ En esféris, ρ =C desrie un superfiie esféri, ϕ φ = C es un plno θ = C un superfiie óni Un reinto simple en esféris es, por tnto, el diujdo l dereh El más senillo de todos, desde ρ luego, es l propi esfer que tnts vees pree ( Ej 6 Esrimos el punto de oordends rtesins,, ) 6 θ ϕ =te (plno) θ=te en los otros dos sistems r = += tn θ = udrnte θ = 3π 4 no es, por tnto, θ =rtn( )= π 4 (, ) 3π Ls oordends ilíndris (polres más l ) del punto son, pues: 4, 6 ρ= ++6 = ( tn θ =, θ = 5π 3 6 (ρ, θ, φ)= ), 5π 6, 3π φ es l θ de 4 ls ilíndris 6 = ρ=te (esfer) En los siguientes ejemplos se ve que muhos vees ls rtesins no son ls oordends más deuds pr lulr integrles (si lo ern en los ejemplos de l págin nterior) En el primero, lo más orto son ls ilíndris (o polres) en el segundo, integrndo sore esfer, lo son ls esféris (ono) 8
Ej 7 Hllemos el volumen que enierrn el ono = + el plno = sore el udrdo R =,, Podemos hllrlo medinte integrles doles o triples, en ls oordends deuds en d so Hemos d d d En rtesins es fáil el reinto, pero difíiles ls integrles: + ordendor, tls o d d d = + d d = + = +u + ln + ln ( + + ) d = = En ilíndris (o polres en l segund integrl): = r = π/4 /os θ Esféris: r dr dθ = 3 π/4 π/ /os θ sen φ π/4 π/4 π/4 dθ os 3 θ = 3 = 6 os θ dθ os 4 θ log +u u ρ sen θ dρ dθ dφ= 3 = u=sen θ +u + u os θ / 3 R, ono reinto simétrios, du ( u ) / = 3 + ln ( + ) π/4 π/ dθ dφ π/4 sen θ os 3 φ = π/4 dφ 3 os 3 φ omo ntes Ej 8 Clulemos el volumen de l esfer unidd En esféris: π π π vol = ρ sen θ dθ dρ dφ = π os θ ρ 3 3 = 4π 3 r En ilíndris por dos minos (más lrgo): vol = vol = π π r r dr d dθ = π r r d dr dθ = π d = 4π 3 Ls rtesins son ls oordends menos deuds quí: vol = 8 d d d = 8 d d = mio = sen t = 8 π 4 ( ) d = 4 3 π r r dr = 4π 3 = = Apliiones físis similres ls vists pr ls integrles doles son: Ms de un sólido es M = (,, ) d d d, si (,, ) es su densidd Centro de ms de es (,, ) on = M, = M, = M Momento de ineri respeto l eje : I = ( + ) (nálogos los otros) Ej 9 Hllemos l posiión del entro de ms de un semiesfer sólid homogéne Por simetrí, será = = olumen = 3 πr3 Ms = 3 πr3, onstnte π π/ R = 3 ρ 3 sen θ os θ dρ dθ dφ = 3 ρ 4 R π/ sen θ πr 3 R 3 4 = 3R 8 = 375R El reinto pedí gritos utilir ls oordends esféris R 9
Integrles de líne Un funión vetoril er :, R n, (t) = ( (t),, n (t)) u gráfi es un urv C en R n el vetor tngente l urv er (t)=( (t),, n(t)) e llm tmién mino en R n es mino C si es ontinu eiste es ontinu t (, ) Es C troos si C es ontinu, se puede dividir en un número finito de suintervlos en d uno de los ules es C Ej :, π R on (t)=( os t, sen t) es un tretori C pues (t)=( sen t, os t) eiste t (, π ) :, R on (t)= ( t, 4 t ), (t)= (, t(4 t ) /) () t (π/) () es otro mino C, que desrie es mism urv en sentido opuesto e die que son dos prmetriiones de l mism urv C Ls dos urvs desrien ese udrnte de l irunfereni + = 4, pues en mos sos se umple que 4 os t+4 sen t =4, t +(4 t )=4 Es más deudo, en generl, usr osenos senos l prmetrir irunferenis pr que no pren ríes que son más difíiles de integrr (t) () '(t) * e definen dos tipos de integrles de líne: ls de mpos eslres ls de mpos vetoriles Comenemos definiendo: Integrles de mpos eslres lo lrgo de urvs: e (t):, R n un mino C se f un mpo eslr en R n tl que f ( (t) ) es ontinu en, L integrl de f lo lrgo de se define: f ds f ( (t) ) (t) dt i (t) es sólo C troos o f ((t)) ontinu troos, definimos f ds desomponiendo, en intervlos sore los que f ((t)) (t) se ontinu sumndo ls integrles sore d uno de ellos Ej * i f (, )=, son los de rri, ls integrles lo lrgo de los dos minos son: = π/ 4 sen t+4 os t =, f ds = 6 os t sen t dt = 6 3 sen3 t π/ = 6 3 = + t = 4 t, f ds = t (4 t 4 t ) dt = 4 t 3 (4 t ) 3/ = 6 3 No es sulidd que ms integrles oinidn e prue que: Teor i desrien l mism urv C, entones f ds = f ds C f ds Como l integrl de líne de un f eslr no depende de l prmetriión, sólo de l urv, es líit l notión f ds (integrl de f sore C ) en l que no pree C L rí de l norm he que el álulo de ests integrles se (slvo pr urvs senills) omplido pueden inluso preer integrles no lulles En ls de mpos vetoriles no ourrirá esto Además de ls irunferenis, tmién suelen ser fáiles ests integrles sore segmentos: Ej Clulemos l integrl de l f (, )= hor sore el segmento que une (, ) (, ) Podemos prmetrirlo utilindo que pertenee l ret = : ()=(, ),, () = (, ) = f ds = ( ) d = 4 3 3 + 4 4 = 4 3 O tmién on l epresión pr los segmentos que vimos en : = (t)=(, )+t(, )=(t, t), t, Mismo sentido, dole veloidd (t) = f ds =6 t( t) dt = 6 t 3 t3 + 4 t4 = 4 3 eí slir lo mismo
Interpretemos ests integrles e primero f i pensmos que (t) desrie un prtíul, l ser (t) l veloidd eslr en el instnte t, pree lro que ds = (t) dt ( diferenil de ro ) represent l distni reorrid en un diferenil de tiempo dt por tnto: L = C ds = (t) dt represent l longitud de l urv C definid por emos l form que dopt l longitud de l gráfi de un funión = f () en un intervlo, Un prmetriión lr de ests urvs es ()= (, f () ),, Y omo ()= (, f () ), l longitud ps ser L = + ( f () ) d Cmindo los ppeles serí similr pr = f () =f() Ej 3 Clulemos l longitud de l urv desrit por (t) = (t, t 3 ), t, (t) = 4t +9t 4 L = t 4+9t dt = 7 (4+9t ) 3/ = 33/ 8 7 44 O on otr prmetriión de l mism urv, usndo que es = 3/ : (, 3/ ( ) ),, L = + 9 /d ( ) 4 = 8 7 + 9 3/ 4 = 8 3 3/ 7 8 Insistimos en que ests integrles se suelen omplir Por ejemplo pr = sle un de álulo lrgo, pr = 3 pree un no lulle que llev proimrl on ordendor on poos ejemplos, omo el nterior, en los que sle senill í es fáil pr segmentos o irunferenis, pero pr eso no he flt el álulo integrl i hor f es ulquier mpo on f ((t)) t,, f ds represent pr n= el áre de l vll de ltur f (, ) en d (, ) de l urv C, pues un diferenil de vll tiene áre f ((t)) ds = f ((t)) (t) dt (t)=((t),(t)) f ((t),(t)) i f tom vlores positivos negtivos sore l urv, l integrl puede perfetmente slir negtiv Eso signifirí que áre de l vll que estuviese jo el suelo serí mor que l que está por enim { (, t), t, Ej 4 Hllemos l integrl de f (, ) = sore l urv (t) = (C troos) (t, ), t, Tenemos que her un integrl sore d segmento sumr el resultdo ore el vertil, f ( (t))=t, (t) = (, ) = f ds = (t ) dt = = ore el horiontl, f ( (t))=t, (t) = (, ) =, f ds = L integrl totl es, por tnto: f ds = + = + = El áre de l vll positiv sore el eje de l se nel on el áre de l vll negtiv sore el eje de ls t dt = Otr interpretión pr n = o n = 3 de ls integrles de líne de mpos eslres es l siguiente: si (t) desrie un lmre (en el plno o en el espio) de densidd vrile dd por ρ(), l ms del lmre será M = C ρ ds Y tmién d el vlor medio de un funión f sore l urv C : f = L C f ds Un ejemplo de longitud otrs integrles lulles etmente en el espio: (, t) (t,) Ej 5 e el lmre en form de hélie: (t)=(os t, sen t, t), t, π, de densidd vrile ρ(,, )= + + Como =, su longitud es L = π dt = π 89 u ms es M = π (os t+sen t+t ) dt = ( π+ 8 3 π3) 58 Y su densidd medi es, por tnto: + 4 3 π 4 π
efinmos hor el otro tipo de integrles (que preen más menudo en físi): Integrles de líne de mpos vetoriles: en (t):, R n de C f : R n R n mpo vetoril ontinuo sore l gráfi de L integrl de líne del mpo f lo lrgo de se define f ds = f ( (t) ) (t) dt i f((t)) (t) es sólo ontinu troos, dividimos el intervlo summos l integrles i (t) t T(t)= (t) f(((t)) (t) es el vetor tngente unitrio: T(t) f ds = f((t)) T(t) (t) dt = f T ds, se puede ver l integrl de líne de f omo l integrl del mpo eslr f T, omponente tngenil de f en l direión de Por tnto: f ds es el trjo relido por un mpo de fuers f sore l prtíul que reorre emos otr notión (l dmos pr el plno) i (t)= ( (t), (t) ), f(, )= ( f (, ), g(, ) ) : f ds ( ) = f (t), (t) (t) + g ( (t), (t) ) (t) dt f (, ) d + g(, ) d L notión es similr pr n > ; uiddo!, sigue siendo integrl de líne Ej 6 Clulemos vris integrles del líne del mpo f(, ) = (, +) : (t) = (t, t), t,, (t) = (4t, 4t ), t,, 3 (t) = ( t, t), t, desrien l mism urv, l terer en sentido ontrrio f ds= (t, 3t) (, ) dt = 6,, 5 4 f ds= / (6t 4, t ) (8t, 8t) dt = 6, 3 f ds= ( 3 ( t), 3( t)) (, ) dt = 6 { (t, ), t, 4 (t) = (, t ), t,, f ds= 4 (t, t) (, ) dt + (t, t ) (, ) dt = 7 3 { (, t), t, 5 (t) = (t, ), t,, = 5 (, t) (, ) dt + ( (t ), +t ) (, ) dt = 5 6 L integrl pree depender sólo de l urv del sentido en que se reorre; pr lgunos mpos no dependerá siquier de l urv, sólo del punto iniil del punto finl Ej 7 Hllemos l integrles pr los mismos k de rri, pero pr el mpo g(, ) = (, 4) : g ds= (t, 3t) (, ) dt = t dt =, g ds= / (4t, t ) (8t, 8t) dt = / 6t 3 dt =, g ds= ( 3 ( t), 3( t)) (, ) dt = ( t) dt = Úni distint g ds= 4 (, t) (, ) dt + (t, 5 4t) (, ) dt = (5 4t) dt = g ds= 5 (t, 4t) (, ) dt + (, t 5) (, ) dt = 4t dt + = Ej 8 i (t)=(t, t, ), l integrl d + d + 3 d = ( t + t 3 t + t 6 ) dt = 5 Ej 9 Clulemos el trjo relido por un fuer onstnte f = d l reorrer un prtíul un tretori r(t)= ( (t), (t), (t) ) que une dos puntos del espio =r() =r() : r d ds = (d, d, d 3 ) ( (t), (t), (t) ) dt ( ) ( ) ( ) r(t) = d () () + d () () + d3 () () = d (r() r() ) = d ( ), independiente de r f=d i onsidermos (t) = r(+ t), t,, que reorre l mism urv en sentido opuesto, el trjo es d ds = (d, d, d 3 ) ( (t), (t), (t) ) dt = d ( )
emos qué suede en generl on ls integrles de mpos vetoriles l her l mir l prmetriión e prue que no mi el vlor soluto, pero sí, quiás, el signo: Teor i desrien l mism urv C, entones según lo hgn en el mismo sentido o en el opuesto se tiene, respetivmente: f ds = f ds, o ien f ds = f ds Hemos visto que esto es lo que suede en muhos ejemplos de l págin nterior Como l integrl de líne de un mpo vetoril sólo depende de l urv C el sentido en que se reorre ( l un mpo eslr sólo de C ), podemos elegir ls más senills Ej Tiene un sentido preiso hlr de l integrl de f(, )=(, ) lo lrgo de l irunfereni unidd reorrid en el sentido de ls gujs del reloj Ls integrles sore urvs errds suelen representrse on el símolo ( ) Eligiendo (t)=(os t, sen t), t, π o π, π, o, f ds = π ( sen t, ) ( sen t, os t) dt = π ( os t) dt = π Con ulquier prmetriión que proporionse el mismo sentido se llegrí lo mismo ( En rtesins hrí que usr dos minos:, ),, (, ),, Ej Clulemos l integrl de líne del mpo vetoril g(,, )= (, e, ) desde (,, ) hst (,, 3) lo lrgo del segmento que une los puntos H muhs forms de prmetrir un segmento en el espio Pr este, on = onstnte, un slt l vist: (t)=(, t, 3t), t, Est prmetriión es l que nos drí l epresión generl vist en : (t)= p + (q p) t, t, si t = estmos en p si t = en q O tmién, viendo el diujo de l dereh: ()= (,, 3 ),, Clulemos l integrl pedid Con l primer de ls prmetriiones dds: ( g ds = 3t, e t, t ) ( (,, 3) dt = e t +6t ) dt = e + Con l segund (nos tiene que dr el mismo vlor): ( g ds = 3, e, ) (,, 3 ) d = ( e + 3 ) d = e + Integrles de grdientes Generlimos l fórmul de R: g () d = g() g() Teor 3 e U : R n R un mpo eslr C :, R n mino C troos Entones: U ds = U ( () ) U ( () ) i C (si no, dividimos), U((t)) (t) dt = 3 ( U ) (t) dt = U(()) U(()) Por tnto, l integrl de líne de un grdiente no depende del mino, sólo del punto iniil finl i identifimos un mpo omo un grdiente, l integrl es mu senill i ()= (), desrie un urv errd e U ds = : l integrl de líne de un grdiente lo lrgo de un urv errd es i un mpo vetoril f es grdiente de lgun funión U, U se le llm funión potenil pr f, el mpo f se die onservtivo Cómo ser si f es onservtivo? Un ondiión neesri senill pr n = n = 3 es: Teor 4 i f(, )= ( f (, ), g(, ) ) de C es onservtivo f g i f(,, )= ( f (,, ), g(,, ), h(,, ) ) de C es onservtivo rot f = i ( f, g)=(u, U )= U, on U C, dee ser f g, pues U = U Lo mismo si n=3 3
i ls derivds ruds no oiniden, no puede f ser grdiente i son igules, muhs vees es senillo hllr un U tl que U = f unque l impliión no se iert en generl Ej e f(, )=(, ) Hllemos l integrl entre (, ) (, ) lo lrgo de diferentes urvs: ) l ret que une los puntos, ) l práol =, ) l irunfereni + = Posiles prmetriiones: ) =(t, t), ) =(t, t ), ) = ( t, t t ), on t, tods Ls integrles en d so son: ) (t, t ) (, ) dt = 3t dt =, ) (t4, t 3 ) (, t) dt = ) 5t4 dt =, (t t, t ( ) t t t ), t t dt = (4t 3t ) dt = Como ( ) = = (), pree que f es onservtivo Y es fáil en este so hllr U : i U =, dee ser U = +p() pr lgun funión p i U =, dee ser U = +q() pr lgun funión q U(, )= Por tnto, ls prmetriiones álulos de integrles nteriores hn sido inútiles, puesto que l integrl lo lrgo de ulquier tretori deí vler U(, ) U(, ) = = El mpo (, ) del ejemplo no er onservtivo No podí serlo desde que vimos que su integrl sore un mino errdo er no nul Pero tmién lo segur f = =g ( Ej 3 Hllemos l integrl de f(, )=, + ) + lo lrgo de + = en sentido ntihorrio i (t)=(os t, sen t), t, π, f ds = π ( sen t, os t) ( sen t, os t) dt =π No puede her un potenil C que onteng l urv, pese ser f =g = ( + ) Como se ve en este ejemplo, no st l iguldd de ls derivds ruds pr ser onservtivo Pero h que pedir poo más pr que sí ste El siguiente teorem es más difíil de demostrr Teor 5 i f es C en todo R R 3 f g rot f = f es onservtivo e heho st on que se C en lo que se llm un onjunto simplemente oneo (sin gujeros ) En el Ej semos hor que es onservtivo desde que vimos que f g ; en el 3, f no er C en (, ) Ej 4 Clulemos l integrl de líne del mpo vetoril f(,, )=(4, 3, 3) desde (,, ) hst (,, 3) lo lrgo del segmento que une los puntos Como en el ejemplo prmetrimos el segmento, podemos hllr l integrl diretmente: (t)=(, t, 3t), t, f ds = ( ), 5t, 6t (,, 3) dt = 8 t dt = 4 t = 4 i j k Pero pr este mpo es rot f = / / / = (3 3) i + ( ) j + ( ) k = 4 3 3 demás f es C en R 3 Eiste, por tnto, un funión potenil U(,, ) pr el mpo f ee ser U = 4 U = + p(, ) U = 3 U = 3 + q(, ), U = +3 U = 3 U = 3 + r(, ) f ds = U(,, 3) U(,, ) = 6 = 4 Este es el vlor de l integrl sore ulquier mino que un los puntos, por omplido que se Por ejemplo, hllemos l integrl lo lrgo de (t)= ( e t t, t 3, 3t ), t, : ( f ds = 4e t t, 9t 4t 3, 6t 3) (( t)e t t, 6t, 6t ) ( dt = ( 4t)e t t +9t 4 4t 5) dt = e t t + 8t 5 4t 6 = 4 El mpo g del ejemplo no er onservtivo, pues rot g=(,, ) 4
Teorems de Green de l divergeni emos dos teorems que relionn integrles doles e integrles de líne sore urvs errds en el plno e verán otros sore integrles de mpos vetoriles en el espio (estos se pueden ver omo sos prtiulres de quellos), trs definir ls integrles de superfiie Un urv simple será l imgen de un :, R, C troos e inetiv i demás es ()= (), se llm urv errd simple Un urv de ests puede reorrerse en dos sentidos opuestos; pr indir que se reorre en sentido ntihorrio indiremos Teorem de Green: urv no simple urv simple urv errd simple e R limitdopor urv errd simple el mpo f =( f, g) C () Entones: g f d d = f d + g d f ds Osérvese que si f es onservtivo, el teorem de Green die = f ds omo deí ser Ej * Enontremos, usndo Green, el vlor π de l integrl de f(, )=(, ) sore l irunfereni unidd luldo en el ejemplo Como el sentido de reorrido es opuesto l que pide Green g f = es: f ds = ( ) d d = d d = áre de = π = π Ej 5 Comproemos el teorem pr f(, )=(, ) en l región otd por = e = g f = (por tnto l medirá el áre de l región dee ser positiv) L integrl dole: g f d d = d d = ( ) d = 4 3 L fronter está formd por dos urvs: ()=(, ),,, ()=(, ),, f ds = (, ) (, ) d + (, ) (, ) d = 5 d + ( ) d = 4 3 Ej 6 Hllemos e sen d+ e os d siendo el retángulo,, π L está onstituid hor por 4 urvs (segmentos senillos) distints: ( +) dt + π/ (+e 4 os t ) dt (e t +) dt π/ = e 4 sen t π/ e t sen t π/ = e 4 e (+os t ) dt Utilindo Green los álulos son stnte más ortos: g f = e os e os, π/ (e e ) os d d = sen π/ e e = e4 e Ls integrles de líne normlmente son de peor álulo que ls doles (omo en los ejemplos nteriores), on lo que Green se us más pr her ls segunds en ve de ls primers Pero en sos eepionles no es sí, omo en el ejemplo siguiente, en l que lulmos un áre: π/ (,t) (t,π/) (t,) (,t) Ej 7 Clulemos el áre enerrd por l hipoiloide /3 + /3 = /3 Como pr el mpo f(, )=(, ) es g f =, un áre se puede poner: A = d d = f ds En este so prtiulr: (θ)=( os 3 θ, sen 3 θ), θ, π es un posile prmetriión de A = π ( sen 3 θ, os 3 θ ) ( 3 os θ sen θ, 3 sen θ os θ ) dθ = 3 π sen θ os θ dθ = 3 8 π sen θ dθ = 3 6 π os 4θ dθ = 3 8 π ( Clulr diretmente A=4 /3 /3) 3/ d es difíil 5
el teorem de Green se dedue fáilmente el teorem de l divergeni en el plno: en R limitdo por urv errd simple, f : R mpo vetoril C, n el vetor norml unitrio eterior Entones div f d d = f n ds i viene dd por (t)= ( (t), (t) ), l norml es n= ( (t), (t)) (t) i f =( f, g), f n ds = f ((t), (t)) (t) g((t), (t)) (t) dt = Green f d g d = ( f +g ) d d n F C n F (', ') Imginemos un urv errd C sore l superfiie de un fluido se F = f v, donde f es l densidd del fluido v su veloidd Entones F n ds mide el ritmo on el que el fluido entr o sle de C i l ntidd de fluido en disminue (ument) será C < ( C > ) L integrl oinide on div F Por tnto, l div F desrie l tendeni del fluido umulrse o dispersrse n Ej 8 Comproemos este teorem pr f(, )=(7, ) en el semiírulo r 3, θ π : div f =, d d = π 3 r sen θ dr dθ = 36 Pr C, si ()=(, ), 3, 3, n=(, ), ( ) ds = 3 d =6 3 C C Pr C, si (t)=(3 os t, 3 sen t), t,π, (t) =3 Como n=(os t, sen t), f n ds =3 π ( 7 os t+9 sen 3 t sen t ) dt =3 C C Ej 9 Comproemos los teorems de Green de l divergeni pr el mpo f(, )= ( 3, ) el reinto del primer udrnte otd por = e = (,) = Green: g f = d d = (4 3 5 ) d = 4 6 n = 6 = 6 3 (,) Posiles prmetriiones de los dos trmos de : ()=(, ),,, =(, ), f ( )=( 3, 4 ) ()=(, ),,, =(, ), f ( )=( 3, 3 ) f ds = ( 3 + 5 ) d ( 3 +4 3 ) d = 6 3 4 = 6 3 ivergeni: div f =4 (, ) n =, n +4 = (,) 5 4 d d = f n ds = ( 3, 4 (, ) ) +4 +4 d ( 3, 3 ) (, ) 5 5 d = n (8 3 4 ) d = 3 5 4 d = 3 5 6
3 Integrles de superfiie Generlimos ls integrles de líne Un superfiie vees viene dd por F(,, ) = i se puede despejr l, por = f (, ) Pero lo más generl es que se puede desriir medinte: r : A R R 3, on r(u, v)= ( (u, v), (u, v), (u, v) ) grdos de liertd frente, (u, v) A l únio t de ls urvs uponemos que l superfiie =r(a) es C que lo es r Entones: r u = u i + u j + u k r v = v i + v j + v k serán unos vetores tngentes ls urvs ontenids en otenids tomndo, respetivmente, v = k u = k u produto vetoril i j k r u r v = u u u será un vetor norml produto vetoril v v v fundmentl =f (,) A i l superfie se puede esriir en l form = f (, ) un posile prmetriión de es r(, ) = (,, f (, ) ), on (, ) A proeión de sore = El produto vetoril fundmentl result ser en este so: i j k r r = f =( f, f, ) f v A pvf u r/ u r/ v r Ej Prmetriemos l semisuperfiie esféri unidd superior Un posiilidd: (u, v)=sen u os v (u, v)=sen u sen v (u, v)=os u Entones r u r v = u, π v, π/, r u =os u os v i + os u sen v j sen u k r v = sen u sen v i + sen u os v j B i j k sen u =sen u os v i + sen u sen v j + sen u os u k =sen u(sen u os v, sen u sen v, os u)= sen u r(u, v) O ien: (,, ), (, ) B írulo unidd r r = i + j + k pvf r v u r r u v v π r A u π/ Integrles de superfiie de mpos eslres e l superfiie C dd por r: A R R 3 se f : R 3 R tl que f ( r(u, v) ) es ontinu Entones: f d f ( r(u, v) ) r du dv A u r v Y si está formd por vris superfiies C se sumn ls integrles Como en ls de líne se prue que l integrl de un f eslr no depende de l prmetriión Cundo f el vlor de l integrl represent el áre de l superfiie Ej Hllemos l integrl de f (,, )= sore l superfiie del ejemplo Primero on r(u, v)=(sen u os v, sen u sen v, os u) r u r v = sen u r =sen u Por tnto, d = π π/ os u sen u du dv = π 3 os 3 u π/ = π 3 Con l otr prmetriión, el módulo del produto vetoril fundmentl result ser: r r = + + / = π d = d d = B r r dr dθ = π 3 ( r ) 3/ = π 3 polres emos que l integrl de superfiie nos lul ien el áre de : áre de = d = π π/ sen u du dv = π os u π/ = π r es unitrio sen u el de tod l superfiie esféri er 4π 7
Integrles de superfiie de mpos vetoriles e de C dd por r: A R R 3 se f : R 3 R 3 ontinu sore Entones: f d f n d f ( r(u, v) ) ( r u r ) v du dv = f ( r(u, v) ) n(u, v) r u r v du dv A si n es el vetor unitrio norml on el mismo sentido que el produto vetoril fundmentl e demuestr que, slvo el signo, est integrl es independiente de l prmetriión H dos normles unitris un superfiie orientd: n n (que onste n que h superfiies no orientds omo l nd de Moeius) Prmetriiones diferentes proporionn pvf que pueden tener el sentido de un o de otr n f, el sentido de l norml sí determinn l integrl El signifido físio de est integrl es flujo del mpo vetoril f trvés de l superfiie Ej Integremos f(,, ) =(,, ) sore l semisuperfiie esféri de siempre f d = r(u, v) sen u r(u, v) π π/ du dv = sen u du dv = π os u π/ = π A r unitrio Con l otr prmetriión: f (r r )= (,, ) ( ),, f d = d d = π B polres r( r ) / dr dθ =π Teorem de l divergeni en el espio (o de Guss-Ostrogrdsk) A ( r ) / =π e un región del espio limitdo por un superfiie one se f C Entones: div f d d d = f n d, on n vetor norml unitrio eterior Ej d Comproémoslo pr l f(,, )=(,, ) de rri l semiesfer unidd superior Por un prte: div f d d d = 3 d d d = 3 volumen de = 3 4 3 π 3 = π Por otr, l onst de dos prtes, l superior el írulo B de l se: = + B Pr l prte de l fronter es n = f = r f n =, pr l B es n = k f n =(,, ) (,, )= Por tnto, f n d = d + = áre de = π Teorem de tokes B f n f e un superfiie en el espio limitd por l urv se f C Entones: rot f n d = f ds, on n vetor unitrio norml on los sentidos de n de reorrido de indidos en el diujo n n Ej e Compromos el teorem pr i) f(,, )=(,, ) ii) g(,, )=(,, ), l hitul Pr i) es rot f = rot f n d = Como rot f =, semos que f deriv de un potenil Csi simple vist se ve que U = ( + + ) umple U = Por tnto, f ds = tmién Pr ii) deemos ehr lgun uent más pues rot g=i rot g n =(,, ) (,, )= Así pues, rot g n d = d = π os v dv π/ sen u du = l primer integrl lo es d d Integrl que tmién se puede her: = π r ( r ) / os θ dr dθ = B Un posile prmetriión de es (t)=(os t, sen t, ), t, π g((t))=(,, sen t) Por tnto, g ds = π (,, sen t) ( sen t, os t, ) dt = π dt =, omo deí ser L integrl de líne lo lrgo de l irunfereni se h nuldo, pesr de no ser el mpo onservtivo En este so, g ern ortogonles ore otrs urvs errds, l integrl de g será distint de ijimos que pr que g fuese onservtivo, su integrl lo lrgo de todo mino errdo deí ser nul 8