BLOQUE 1.TRIGONOMETRIA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 1ª Prte :Trigonometrí:Resolución de triángulos. 1.-Medid de ángulos. Un ángulo se puede medir en : )Grdos sexgesimles (DEG ó D) : 1º=60,1 =60. = 90º, =180º )Grdos centesimles (GRAD ó G) : 1g =100m, 1m = 100s. = 100g, =00º c)rdines :Se define RADIÁN como el ángulo interior de un sector circulr en el que el rdio coincide con el rco. 1 rd R R R R Como el ángulo crece proporcionlmente l rco, un ángulo de 180º (cuyo rco es r ) tendrá un vlor de rdines.luego 180º = rdines. Ejercicio : Escriir en rdines/grdos los siguientes ángulos : 1º)70º= 5º) 6 rd= º)60º= 7 6º) 10 rd= 3º)360º= 5 7º) 1 rd=. 4º)45º= 8º) rd= Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
.-Definición de ls rzones trigonométrics en un triángulo rectángulo Ddo un triángulo rectángulo, se definen ls rzones trigonométrics del siguiente modo: cteto opuesto Se llm SENO de sen hipotenus cteto dycente Se llm COSENO de cos hipotenus Se llm TANGENTE cteto opuesto de tg cteto dycente Cteto opuesto hipotenus Cteto dycente Asimismo se definen ls rzones trigonométrics inverss como: Se llm COTANGENTE de cot g 1 tg 1 Se llm SECANTE de sec cos 1 Se llm COSECANTE de cosec sen Por último, se definen ls rzones trigonométrics recíprocs como: Se llm ARCO SENO de x l ángulo (ángulos) cuyo seno es x, es decir : rc senx sen x Se llm ARCO COSENO de x l ángulo (ángulos) cuyo coseno es x, es decir : rc cosx cos x Se llm ARCO TANGENTE de x l ángulo (ángulos) cuy tngente es x, es decir : rc tgx tg xç Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
3.- Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hllr sus seis elementos crcterísticos: es decir sus tres ldos y sus tres ángulos. En el cso de un triángulo rectángulo hy un ángulo que se conoce siempre que es el de 90º.Pr hllr el resto de elementos podemos usr : L sum de los otros dos ángulos dee ser 90º. Teorem de Pitágors. Ls fórmuls de trigonometrí. 4.-Resolución de un triángulo culquier Un triángulo qued determindo cundo se conocen: Tres ldos Dos ldos y el ángulo comprendido Un ldo y los ángulos dycentes. Aunque siempre ce l posiilidd de trzr un ltur pr generr triángulos rectángulos existen dos resultdos nuevos que nos fcilitrán est tre. 5.-Teorem del seno sen A sen B c sen C C h A B c En efecto,se un triángulo culquier, si trzmos l ltur ( en este cso sore c ),nos quedn dos triángulos rectángulos. Aplicndo trigonometrí en mos,qued : sen A = h,sen B = h.ahor despejmos l h en mos con lo que : h = sen A, h = sen B.Igulndo : sen A = sen B y de quí Si trzármos l ltur sore quedrí repitiendo el proceso: Ahor igulndo ms expresiones prece l fórmul : sen A sen A sen A sen B c sen C. sen B. c sen C. Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
6.-Teorem del coseno = +c -c cos A C h A m c n B Demo : En el triángulo de l derech por el teorem de Pitágors : = h +n. Pero en el otro triángulo h = -m. Con lo que qued que : = -m +n. Se ve clrmente que n = c-m.sustituyendo : = m +(c-m). Desrrollmos : = m +c +m -cm. Usmos trigonometrí en el triángulo de l izquierd: Sustituimos y prece l fórmul = +c -c cos A cos A m,es decir m=cosa. Not :Conviene serse este teorem en generl y no sólo con ls letrs con ls que lo hemos enuncido. 7.-Áre de un triángulo Hy vris mners de clculr el áre de un triángulo en función de los dtos otenidos 1. Con l se y l ltur :A = h. Con dos ldos y el ángulo comprendido A= Bst fijrse en que l se es c y h = sen B c senb 3. En función de los ldos.fórmul de Herón: p(p )(p )(p c) siendo p el semiperímetro. Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
ª Prte :Trigonometrí. Resolución de expresiones trigonométrics 1.-Relción entre ls rzones trigonométrics de un ángulo : 1. Fórmul fundmentl : sen + cos = 1. Tre como consecuenci que tnto el seno como el coseno sólo puede tomr vlores entre -1 y 1.. 3. tg sen cos cot g cos sen 4. 1+tg sec 5. 1+cotg cosec 1 cos 1 sen.-vlores de ls rzones trigonométrics de los ángulos más usdos 0º 30º 45º 60º 90º 180º 70º Seno 0 1 3 1 0-1 coseno 1 3 1 0-1 0 tngente 0 3 1 3 No 0 No 3 existe existe Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
3.-Amplición del concepto de ángulo. Interpretción geométric de ls rzones trigonométrics. Pr medir ángulos usremos un circunferenci de rdio 1 (goniométric).considerremos como origen el semieje horizontl positivo y diremos que los ángulos son positivos si se miden en sentido contrrio ls gujs del reloj y negtivo si el sentido es fvorle. Sen cos 0º º 3º 1º 4º Entonces, ddo un determindo ángulo, si considermos ls coordends del punto respecto los ejes, l scis represent el coseno mientrs que l ordend represent el seno del ángulo. Deido esto los signos de ls rzones trigonométrics en los cudrntes son : + + - + - + - - - + + - seno coseno tngente Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
4.-Relción entre ls rzones trigonométrics de lgunos ángulos 1. Se llmn ángulos suplementrios quellos cuy sum es 180º o rdines. Es decir y 180º-.Entonces se cumple que :. sen (180-) = sen.. cos (180-) = -cos. c. tg (180-) = -tg.. Se llmn ángulos que se diferencin en 180º quellos cuy rest es 180º o rdines. Es decir y 180º+.Entonces se cumple que :. sen (180+) = -sen.. cos (180+) = -cos. c. tg (180+) = tg. 3. Se llmn ángulos opuestos quellos cuy sum es 360º o rdines o ien quellos cuy sum se 0. Es decir: y 360º- ó y. Entonces se cumple que :. sen (360-) =sen(-)= -sen.. cos (360-) =cos(-)= cos. c. tg (360-) =tg(-)= -tg. 4. Se llmn ángulos complementrios quellos cuy sum es 90º o rdines. Es decir y 90º-.Entonces se cumple que :. sen (90-) = cos.. cos (90-) = sen. c. tg (90-) = cotg. 5. Por último pr clculr rzones trigonométrics de ángulos de más de 360º hy que dividir el ángulo entre 360º y quedrse con el resto. sen(180-) sen cos(180-) cos Ejemplos: (1). sen 150º= sen (180º-30º) = sen 30º = 0,5. (). tg 5º = tg (180º+45º) = tg 45º = 1 (3). cos 40º = cos(180º+60º)=-cos 60º =-0,5. 3 (4). sen(-60º)=-sen 60º =- (5). cos 780º=cos 60º = 0,5. Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
5.-Rzones trigonométrics de l sum y diferenci de ángulos. sen(+) = sen cos + cos sen sen(-) = sen cos - cos sen cos(+) = cos cos - sen sen cos(-) = = cos cos + sen sen tg tg tg( ) 1 tg tg tg tg tg( ) 1 tg tg 6.-Rzones trigonométrics del ángulo dole sen = sen cos. o En efecto sen = sen ( + ) = sen cos + sen cos = sen cos cos = cos - sen. o En efecto cos = cos ( + ) = cos cos - sen sen = cos - sen tg Tg = 1 tg o Bst repetir el mismo rzonmiento en tg ( +) 7.-Rzones trigonométrics del ángulo mitd sen 1 cos. Demo :De l fórmul nterior, se cumple que cos = cos [Fórmul fundmentl] cos = 1-sen Despejmos : sen cos 1 cos tg = 1 cos sen, con lo que : sen =1-sen. sen 1 cos. Demo: Se hce igul,slvo que sen l fórmul fundmerntl se cmi seno por coseno. 1 cos 1 cos Demo: Bst dividir ls dos fórmuls nteriores. Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
8.-Trnsformciones de sums en productos. sen A +sen B = sen A -sen B = cos A +cos B = cos A -cos B = sen A B cos A B cos A B sen A B cos A B cos A B sen A B sen A B Apuntes trigonometrí COLEGIO SAGRADO CORAZÓN
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