Sobre la divergecia, el rotacioal y el teorema de Stokes geeralizado e térmios de las k-formas e R Pablo Esquer Castillo. iciembre del 2016.
Qué es la divergecia? El operador abla, como vector, se defie de la siguiete maera: ode {e i } i=1,, es la base estádar. = x i i=1 Puede iterpretarse que, e el cálculo de ua variable, derivar ua fució cosiste e operar dicha fució mediate el operador derivada d/dx. Pues bie, e cálculo multivariable podemos escribir el gradiete de cierta fució como: e i Fórmula 1. Nabla como vector. f = ( f,, f ) = f e x 1 x x i i Esto es lo mismo que la diferecial exterior de ua 0-forma. E térmios operacioales, el gradiete se obtiee aplicado abla sobre f compoete a compoete. La divergecia de u campo vectorial F podemos defiirla como el úmero que resulta de multiplicar escalarmete los vectores y F = F i e i i=1 div(f) = F = F i x i i=1 Fórmula 2. La divergecia de u campo. i=1. esde el puto de vista de la teoría de las formas difereciales, si teemos ua 2-forma ω e R 3 : ω = a i1,i 2 (x) dx i1 dx i2 Y efectuamos la diferecial exterior: dω = da i1,i 2 dx i1 dx i2 = = a i 1,i 2 dx i3 dx i1 dx i2 x i3 Queda ua 3-forma e R 3 y la siguiete correspodecia: La divergecia de u campo vectorial F = a 1 e 1 + + a 3 e 3 se correspode co el coeficiete de la diferecial de la forma ω = (a i3 dx i1 dx i2 )
Tomado los vectores de la base estádar saldrá el valor umérico correspodiete co la divergecia. Iterpretació física de la divergecia. Más tarde matizaremos esto y se proporcioará ua iterpretació más rigurosa pero por el mometo cosideremos lo siguiete. Supogamos que teemos u fluido que se mueve. Tomemos u etoro W de u puto x 0. Sea x(t) la líea de flujo que parte de x para cada puto x. El cojuto {x(t): x W} describe cómo se mueve el fluido e u tiempo t. eotemos por W(t) la posició del cojuto e el istate t y llamemos V(t) a su volume. Etoces se tiee que la razó etre el cambio del volume y el volume origial es: 1 V(0) dv(t) dt t=0 div(f(x 0 )) Fórmula 3. Formulació alterativa de la divergecia. Y la aproximació se hace cada vez más exacta a medida que ceñimos W al puto x 0. Así, la divergecia mide la razó de expasió del volume del fluido. e forma quizás más ituitiva, y si os fijamos e la forma de calcular la divergecia, ésta cosiste e derivar cada compoete co respecto a su variable correspodiete, y luego sumarlo todo. Como si formásemos u uevo campo vectorial F pero si multiplicar cada compoete por su correspodiete vector de la base caóica. Es bie sabida por otra parte la relació etre derivada y velocidad. Por lo tato, e ese setido, co la divergecia estamos calculado cuáto se mueve el fluido si importar hacia dóde. Así, teiedo e cueta que aturalmete los vectores de la base estádar aputa e direcció cotraria al orige, si todas las compoetes so positivas querrá decir que el fluido se mueve e todas direccioes a favor de dichos vectores. Es decir, que el fluido se está expadiedo. Si por el cotrario so egativas sucederá que el fluido se cotrae. Si hay compoetes positivas y egativas la divergecia os dirá quié gaa, calculado la celeridad e cada compoete respecto de su correspodiete vector. E defiitiva, ua divergecia positiva correspode co u fluido que se expade y ua egativa co uo que se cotrae, y cuato mayor valor absoluto más se expade o cotrae. Qué es el rotacioal? Aalíticamete, el rotacioal de u campo vectorial F = a 1 e 1 + + a e se obtiee mediate el producto, esta vez vectorial, de abla y F. rot(f) = F Fórmula 4. El rotacioal.
esde el puto de vista de las k-formas, el rotacioal va a ser la diferecial exterior de ua 1-forma. Esta vez la correspodecia es la siguiete: sea ua 1- forma e R 3 : ω = a 1 dx 1 + a 2 dx 2 + a 3 dx 3 cuya diferecial exterior es: Modificádola de este modo: dω = ( a i 1 a i 2 ) dx x i2 x i2 dx i1 i1 dω r = ( 1) i 1 i 2 ( a i 1 a i 2 ) dx x i2 x i2 dx i1 i1 Teemos el rotacioal del campo F = a 1 e 1 + + a 3 e 3. rot(f) = ( 1) i 1 i 2 ( a i 1 a i 2 ) e x i2 x i3 i1 Fórmula 5. El rotacioal e térmios de ua forma diferecial. ado que lo que os queda es ua 2-forma de R 3 podríamos itetar asociar este resultado co la divergecia del campo vectorial rotacioal. Si embargo es sabido que la divergecia del rotacioal es ula: e efecto, esto os lo demuestra el Lema de Poicaré d d = 0. La teoría de las formas difereciales tambié explica este aspecto. La divergecia puede defiirse e R ; o así co el rotacioal, que sólo lo defiimos e el espacio euclídeo tridimesioal. Iterpretació física del rotacioal. El rotacioal es u operador vectorial que os muestra la tedecia de u campo vectorial a iducir ua rotació alrededor de u puto. Más tarde desarrollaremos ua explicació más formal. Por el mometo, a modo de primera vaga aproximació podríamos cosiderar que e geeral el rotacioal represeta la idea de que si, teiedo cierto campo vectorial, pusiésemos ua rueda co palas e u determiado puto, ésta giraría. Supogamos u sólido rígido rotado etoro a u eje L. Podemos describir dicha rotació mediate la velocidad agular ω, que gráficamete es u vector a lo largo del eje de rotació. Supogamos el vector velocidad de u determiado puto del sólido rotate. icho vector será tagete a la circuferecia paralela al plao XY e el setido del giro. Además, se puede demostrar que la magitud de dicha velocidad es ω r si(θ). Por tato se deduce que v = ω r. Así teemos defiido u campo vectorial F v que e cada puto devuelve el vector velocidad v = ω r = ωyi + ωxj de dicho puto. Si calculamos el rotacioal de dicho campo vectorial veremos que éste es: rot(f v ) = 2ωk. Es u uevo campo vectorial co magitud el doble de la velocidad agular (por tato la misma e todos los putos) y de direcció el eje de rotació. Se
hace más evidete e éste ejemplo cocreto que la divergecia del rotacioal es ula. Ua ueva aplicació de la teoría de las formas difereciales, e cocreto del lema de Poicaré, es el hecho de que el rotacioal de u campo gradiete es ulo. Esto ocurre e este caso particular por igualdad de derivadas parciales cruzadas y se puede comparar co el hecho de que cualquier vector multiplicado vectorialmete cosigo mismo es cero. Los grades teoremas de la itegració del aálisis vectorial. El teorema de Stokes geeralizado dice lo siguiete: Sea u abierto U de R, u domiio suave U 0 de R k y Φ: U 0 U de clase C 2. Etoces, para toda (k 1)-forma ω e U se tiee: Φ dω = ω Φ Fórmula 6. Teorema de Stokes. Veamos que los grades teoremas de la itegració so casos particulares de Stokes geeralizados. = k = 2: Teorema de Gree. Φ ( Q x P y ) dxdy = Pdx + Qdy Φ Fórmula 7. Formulació diferecial del teorema de Gree. Si teemos k = 2 etoces vamos a estar hablado de ua 1-forma a la que le aplicamos la derivada exterior. Y ha quedado visto que la derivada exterior de ua 1-forma e R 3 se asocia co el rotacioal de u campo vectorial. Cierto es que bajo las hipótesis de Gree o estamos e R 3, pero podemos cosiderar que lo estamos, ta sólo que las compoetes z vale 0. Etoces, sustituyedo co la fórmula 5, quedaría: Φ rot(f) e 3 da = F ds Φ Fórmula 8. Formulació vectorial del teorema de Gree mediate el rotacioal. No sólo eso. esde el mometo e que teemos la siguiete igualdad, fácil de demostrar: F ds b = Pdy Qdx a = Gree ( Q y + P x ) dxdy
Nace la formulació del teorema de Gree e térmios de la divergecia: F ds = div(f)da Fórmula 9. Formulació vectorial del teorema de Gree mediate la divergecia. La fórmula 8 os coduce imediatamete a otro caso particular de Stokes geeralizado que es el caso k = 2, = 3, e el cual surge la formulació clásica del teorema de Stokes. E la versió tridimesioal quedaría así: rot(f)ds = F ds Fórmula 9. Teorema de Stokes clásico. El teorema de Stokes da ua iterpretació física de F, esto es, del rotacioal de F. El teorema de Stokes os dice que: rot(f)ds = F ds rot(f) ds = F T ds Se ha hecho meramete u cambio de otació aplicado las defiicioes de itegrales de líea e itegrales de superficie. F t es la compoete tagecial del campo F, pues eso es lo que es el vector velocidad de la trayectoria. Supogamos que V represeta el campo de velocidades de u fluido. Cosideremos u puto P y u vector ormal uitario. Sea S ρ el círculo de cetro P y radio ρ. Por teorema de Stokes: rot(v) ds S ρ = V ds Por el teorema del valor medio para itegrales, existe u puto Q e S ρ tal que: rot(v) ds = [rot(v)(q) ] A(S ρ ) = V ds S ρ ode A(S ρ ). Etoces, despejado y tomado límites: lim ( 1 ρ 0 A(S ρ ) V ds) = lim(rot(v)(q) ) = rot(v)(p) ρ 0 Así surge la defiició de rotacioal e u puto e térmios de límite. rot(v)(p) = lim ( 1 ρ 0 A(S ρ ) V ds) Fórmula 10. El rotacioal e térmios de u límite.
Y la itegral que aparece e dicha defiició tiee u setido físico al llevar implícito el vector tagete velocidad: es la velocidad eta a lo largo del borde de la superficie. Si esa itegral es positiva las partículas del fluido rota e setido positivo trigoométrico, y si es egativa sucede al cotrario. Si las partículas o rota etoces las partículas del fluido permaece estáticas. El vector aparece e la fórmula porque marca el eje de giro. k = 2. El teorema de la divergecia de Gauss. Aplicado la fórmula 6 a dichos valores de k y de surge la formulació clásica del teorema de la divergecia: div(f) dv W = F ds W Fórmula 11. Teorema de Gauss. Si aplicamos aquí lo hecho e el apartado aterior para darle u setido físico al rotacioal podemos dar ua defiició formal de divergecia, como flujo eto hacia el exterior por uidad de volume. W F ds = div(f) dv W div(f)(p) = lim ( 1 ρ 0 V(W) = div(f)(q) V(W) W F ds) Fórmula 12. La divergecia e térmios de u límite. e ahí que si la divergecia e u puto es positiva lo cosideremos ua fuete, porque quiere decir que hay u flujo eto hacia el exterior por uidad de volume, y aturalmete al cotrario, e cuyo caso lo cosideraremos u sumidero. Así vemos que divergecia y rotacioal so coceptos muy distitos, pero surge de u modo totalmete paralelo al hacer lo mismo e diferetes dimesioes, tato desde el puto de vista de la difereciació de formas como de la aplicació del teorema de Stokes geeralizado.