ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 8 AÍTULO VI ERMUTAIONES Y OMBINAIONES Ates de iicia el estudio de este capítulo, coviee eflexioa sobe el siguiete poblema: Imagie que u peató debe i de u puto A de la ciudad a u puto B y debe pasa ecesaiamete po u puto, si el tayecto de A a lo puede hace po cuato utas difeetes y el tayecto de a B po cico, es clao que puede i de A hacia B po = 0 utas distitas. Las opcioes se debe multiplica. Si el mismo peató tuviese que i del u puto A hacia oto puto B y tuviese la opció de elegi utas distitas, peo si además pudiese elegi la opció de toma u miibús que lo lleve po utas distitas, las difeetes fomas e que puede tasladase de A hacia B seá + = utas distitas, e este caso las opcioes se debe suma. Este azoamieto se puede aplica a u úmeo de opcioes co más alteativas de ecoido que los mostados, debiedo mateese el picipio de multiplicació o adició dode coespoda. 6. ERMUTAIÓN Se deomia pemutació al aeglo u odeació que se pueda da a u gupo de cosas, ya sea tomado todos lo elemetos a la vez o a u gupo defiido de ellos. El ode e que toma los elemetos defie difeetes pemutacioes. Los elemetos a,b,c pemite efectua seis pemutacioes si se toma dos elemetos a la vez, ellas so: ab, ac, bc, ba, ca, cb Si se cosidea los tes elemetos a la vez tambié puede efectuase seis pemutacioes abc, acb, bac, bca, cab, cba, uado e ua pemutació o se cosidea todos los elemetos a la vez, se deomia vaiacioes o coodiacioes.
86 ÁLGEBRA I 6. ERMUTAIONES DE N OSAS TOMADAS DE DOS EN DOS Sea a,b,c,d,. letas co las que se desea foma pemutacioes tomado dos letas a la vez, etoces tomado la leta a como pime elemeto y las siguietes como segudo tedemos: a, a, a, a, a,. - veces b, c, d, e, f,. - letas ab, ac, ad, ae, af, - esultados o la leta b como pime elemeto tedemos: b, b, b, b, b,. - veces a, c, d, e, f,. - letas ba, bc, bd, be, bf, - esultados Luego co c c, c, c, c, c,. - veces a, b, d, e, f,. - letas ca, cb, cd, ce, cf, - esultados. Hasta llega a la -ésima leta Existe, po tato, (-) pemutacioes biaias. 6. ERMUTAIONES DE N OSAS TOMADAS DE TRES EN TRES Sea a,b,c,d,. letas co las que se desea foma pemutacioes tomado tes letas a la vez, etoces tomado las letas ab como pime elemeto y las siguietes como segudo tedemos: ab, ab, ab, ab, ab,. - veces c, d, e, f, g. - letas abc, abd, abe, abf, abg, - esultados o las letas ac como pime elemeto tedemos: ac, ac, ac, ac, ac,. - veces b, d, e, f, g. - letas acb, acd, ace, acf, acg, - esultados Luego co ad ad, ad, ad, ad, ad,. - veces b, c, e, f, g. - letas adb, adc, ade, adf, adg, - esultados.
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 87 Estas pemutacioes se epite tatas veces como e el iciso ateio, po tato, existe (-)(-) pemutacioes teaias, cuado se dispoe de ua colecció de elemetos y se toma de tes e tes. 6. ERMUTAIONES DE N OSAS TOMADAS DE EN odemos geealiza a tavés de los icisos ateioes la expesió que pemitiá halla las pemutacioes de cosas tomadas a la vez = (-)(-) (-+) 6. ERMUTAIONES DE N OSAS TOMADAS N A LA VEZ Si e la fómula ateio eemplazamos po se tiee: = (-)(-) (-+) = (-)(-) ()()() El úmeo de pemutacioes de cosas tomadas las a la vez, es igual al factoial de. Ejemplo De cuatas maeas difeetes puede tes estudiates setase e a) e cico pupites b) e diez pupites c) e tes pupites. 60! 9 Ejemplo uatos úmeos difeetes se puede foma co cico dígitos de,,,,,6,7,8,9 9 9 8 7 6 0 Ejemplo o los dígitos impaes,,,7,9 a) uátos úmeos difeetes mayoes a 0000 se puede foma. b) uátos mayoes a 0000 c) Mayoes 00 y meoes a 000 d) Mayoes a 0 y meoes a 00 e) Mayoes a y meoes a 0 f) Si esticcioes! 8 70 6
88 ÁLGEBRA I a) uátos úmeos difeetes mayoes a 0000 se puede foma. El úmeo o puede ocupa la pimea posició paa cumpli el equisito de geea úmeos mayoes a 0000 po tato, co el dígito po delate se puede foma úmeos o los dígitos,7,9 po delate se foma igual catidad de úmeos paa cada caso, e cosecuecia el total de úmeos mayoes a 0000 que se puede foma, seá igual a cuato veces las pemutacioes de cuato elemetos tomados los cuato a la vez. ( ) 96 úmeos b) Si los úmeos debe se mayoes a 0000, los dígitos y o puede ocupa la pimea posició, po tato co los tes dígitos,7 y 9 po delate se puede hace la siguiete catidad de úmeos difeetes: ( ) 7 úmeos c) Mayoes a 00 meoes a 000 0 úmeos d) Mayoes a 0 y meoes a 00 60 úmeos e) Mayoes a y meoes a 0 0 úmeos f) Si esticcioes Los úmeos mayoes a 000 seá:! 0 úmeos Los úmeos que se puede foma co u solo dígito impa so cico o tato, el total de úmeos que se puede foma si esticcioes coespode a estas dos fomas halladas más las que se calculao e los icisos c), d) y e) 0 + + 0 +60 + 0 = úmeos difeetes
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 89 Ejemplo Se debe aliea pesoas e ua fila, de cuatas maeas lo puede hace si cuato de ellas debe pemaece jutas. uesto que cuato pesoas debe pemaece jutas se las puede cosidea iicialmete como ua sola, po tato se puede foma: 7 7 7! 7 6 00 Además, las cuato pesoas puede toma difeetes posicioes estado jutas, esta so:! o tato, el poblema se esuelve de la siguiete maea: 7 7 00 0960 fomas 6.6 ERMUTAIONES IRULARES So aquellas e las que o existe pime i último objeto y foma ua figua ceada, el úmeo de ellas que se puede foma co objetos viee defiido po: ( )! Ejemplo De cuatas fomas difeetes puede setase cico pesoas alededo de ua mesa cicula ( )!! Ejemplo 6 De cuatas fomas difeetes puede setase ocho pesoas alededo de ua mesa cicula si dos de ellas debe esta jutas Si dos de ellas debe pemaece jutas se las puede cosidea iicialmete como si fuese ua sola, etoces: 7 7 (7 )! 6! 6 70 eo las dos pesoas que debe pemaece jutas puede setase de dos maeas difeetes, po tato, el poblema quedaá esuelto del siguiete modo: 7 7 70 0
90 ÁLGEBRA I 6.7 ERMUTAIONES ON REETIIÓN,... Se foma cuado u elemeto se epite veces, oto veces y así sucesivamete,... k!!!...! Ejemplo 7 Si se dispoe de bolas, egas, azules y ojas, de cuatas maeas difeetes se puede odea si o es posible distigui las bolas del mismo colo. k,,! 9 8 7 6!!!,, 770 Ejemplo 8 uátas maeas distitas existe paa odea las letas de la palaba matemáticas. E cuátas de estas pemutacioes las letas a queda jutas. Debemos cosidea que la leta m se epite dos veces, la a tes y la t dos,,! 9 8 7 6!!! Este esultado supoe que á=a,, 6600 aa detemia e cuatas ocasioes las tes letas a queda jutas debemos cosidea a las mismas como si fuese ua sola, po tato se tiee: 9 9! 9 8 7 6,!!, 9070 9
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 9 6.8 OMBINAIONES uado o se toma e cueta el ode e que difeetes elemetos so escogidos, damos oige a las combiacioes, o ejemplo, si u estudiate se pesta libos difeetes de ua biblioteca, el ode e que le so pestados o iteesa, pues temiaá llevado los tes libos que desea 6.9 OMBINAIONES DE OSAS TOMADAS EN ADA VEZ Las pemutacioes y combiacioes puede elacioase de la siguiete maea: Las combiacioes de tes letas a,b,c tomadas de dos e dos so = ab, ac, bc a pati de cada combiació se puede loga dos pemutacioes ab, ac, bc ab, ba, ac, ca, bc, cb Las cuales totaliza las pemutacioes de tes elemetos tomados de dos e dos. =ab, ba, ac, ca, bc, cb Obsévese que de cada combiació se obtiee las pemutacioes de elemetos tomados los dos a la vez =. Es deci, = = 6 odemos deduci que a pati de las combiacioes de cosas tomadas de a e cada vez se puede halla las pemutacioes de las cosas tomadas de a y el poducto de ambas pemutacioes de cosas tomadas a la vez, es deci: seá igual al úmeo de
9 Desaollado se tiee ÁLGEBRA I ( ( )( )... ( )( )... ( )( )... (! ( )( )...( ) ( )(! ( )! )! )... )!!!( )! 6. VALOR MÁXIMO DE aa halla el valo de que hace máximo el úmeo de combiacioes de cosas tomadas de a cosideemos: ( )( )...( )...( ) ( )( )...( )...( ) Si añadimos u témio a la seguda ecuació la podemos iguala co la pimea de la siguiete maea: ( ) omo ( ) Se obseva que el témio decece cuado aumeta, y si se asiga a sucesivamete los valoes,,, el valo de aumetaá costatemete hasta que llegue a se o u úmeo meo a. Supoga que se desea obtee el úmeo de cosas que se debe toma de ua colecció de objetos y se va icemetado el valo de desde ceo hasta
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 9 0 6 7 8 9!!0!!!!( )!!(9)!!!!( )!!(8)!!!!( )!!(7)! 60!!!( )!!(6)!!!!( )!!()!!! 6!( 6)! 6!()!!! 7!( 7)! 7!()! 60!! 8!( 8)! 8!()!!! 9!( 9)! 9!()!!!!( )!!(0)! omo puede apeciase el úmeo de combiacioes va aumetado y luego dismiuyedo, obteiédose el valo máximo paa =. uado es pa el valo máximo se obtiee paa, mietas que si es impa existiá dos valoes que daá el máximo y cuyo valo seá igual a: Oto detalle que debe se tomado e cueta es que el úmeo de combiacioes de témios equidistates de los extemos es igual
9 ÁLGEBRA I Ejemplo 9 De ua colecció de libos se desea sabe de cuatas fomas difeetes puede elegise: a) ejemplaes b) ejemplaes c) ejemplaes icluyedo uo d) 9 ejemplaes excluyedo uo e) ejemplaes icluyedo y excluyedo a) ejemplaes!!( )! b) ejemplaes!!!( )!!()! 9 8 7 6 ( )( 9 8 7 6 ) 00!!( )!!! 00!( )!!()! c) ejemplaes icluyedo uo Iclui u libo sigifica que el mismo debe se elegido de maea obligatoia, po tato, ya o se dispodá libos sio y se elegiá e luga de 9 8 7 6 ( 9 8 7 6 )( ) 6 d) 9 ejemplaes excluyedo uo uado se excluye u ejempla este o puede se escogido po tato el úmeo total de libos que puede se electos se educe a 9 8 7 6 9 (9 8 7 6 )( )
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 9 9 00 e) ejemplaes icluyedo y excluyedo o la iclusió de dos ejemplaes el úmeo de libos dispoibles se educe a tece, además po la exclusió de u libo se tiee la educció a doce. De los tece ejemplaes elegidos, dos so icluidos lo que educe la elecció a libos 9 8 7 6 ( 9 8 7 6 )() Ejemplo Se tiee u cieto úmeo de objetos y se sabe que, tomado cada vez 7 distitos se puede hace tatas combiacioes como tomado a la vez uátos so los objetos? 7!! 7!( 7)!!( )! ( )! ( 7)!!( )! 7!( 7)! ( )( 6)( 7)( 8)... ( 7)( 8)( 9)... ( )( 6) 0 ( )( ) 0 o tato el úmeo de témios de la colecció debe se, el valo - es descatado. Nótese que el ejecicio pudo se esuelto de maea ituitiva co el siguiete azoamieto: Si las combiacioes co y 7 elemetos so iguales, el máximo se da paa 6 elemetos que esulta el témio cetal, po tato, el umeo total seá (6) =.
96 ÁLGEBRA I Ejemplo uátas fomas de obtee esultados se tiee cuado se aoja dos dados simultáeamete, haga u cuado de todas las posibilidades e idique cual es la pobabilidad de gaa cuado se juega a mayo, e el clásico juego de mayo, meo y siete. 7 8 9 6 Las combiacioes que se puede loga al laza u solo dado so 6 6 Si lazamos dos dados simultáeamete se puede obtee el siguiete úmeo de combiacioes: 6 6 6 6 6 Esto sigifica que jugado co dos dados se puede obtee 6 jugadas difeetes, las mismas so: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 TOTAL ASOS 6 ASOS ASOS
ERMUTAIONES Y OMBINAIONES 97 o tato la pobabilidad de gaa cuado se juega a mayo es de: 6 0,7 U hecho iteesate es que si os ubicamos e el puto de vista del popietaio del juego la pobabilidad de que el dueño gae es: 6 0,8 6 6 Demostádose así que los juegos de azaha está cocebidos paa que el popietaio del mismo gae y o el jugado. Ejemplo uátos úmeos difeetes del juego del loto milloaio se puede impimi. (El juego del Loto Milloaio tiee impesos úmeos de los pimeos úmeos atuales, el pemio mayo lo obtiee el jugado que tega la boleta co los úmeos que so elegidos al azaha).
98 ÁLGEBRA I 0 9 8 7 6... (... )( 9 8 7 6 ) 9 7 68760 El lecto puede obseva claamete y eflexioa sobe la pobabilidad de gaa e este juego.