SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO / LIC: JESÚS REYES HEROLES GUÍA PARA EL CURSO INTERSEMESTRAL Y PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO INTEGRAL JULIO DE 0 PROFESOR: LUCIO SÁNCHEZ CHÁVEZ
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DEL BACHILLERATO / LIC. JESUS REYES HEROLES TEMARIO UNIDAD I DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA. LA DIFERENCIAL Defiicioes de f Iterpretació gráfica de dy Reglas de la difereciació La difereciació como aproimació del icremeto Errores pequeños. LA INTEGRAL IDEFINIDA Atiderivadas Costate de Itegració La itegral defiida y las reglas para la itegració imediata de difereciales algebraicas, epoeciales y trigoométricas UNIDAD II INTEGRAL DEFINIDA Y LOS METODOS DE INTEGRACIÓN INTEGRAL DEFINIDA La otació de sumatoria Área limitada por la grafica de ua fució cotiua Cocepto de itegral defiida mediate sumatorias de Riema TECNICAS DE INTEGRACION Cambio de variable. Itegració por partes. UNIDAD III TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CACLCULO Área y área etre dos graficas APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E situacioes de las ciecias aturales y sociales.-calcula el icremeto de y La fórmula para ecotrar los icremetos y es:
y F( ) F( ) Podemos teer dos casos a) Calcula y para cualquier valor de EJEMPLO Calcula F( ) Paso No. y para cualquier valor de Aplicado la fórmula para y ; teemos: y ( ) ( ) [ ] e la siguiete fució: Nota: Recuerda que para aplicar la fórmula úicamete tiees que sustituir; es decir, cambiar las de tú fució por lo idicado e cada parte de la fórmula. Si separamos la fórmula teemos: F( ) : e lugar de las hay que colocar etoces tedremos ( ) ( ) F ( ): E lugar de las hay que colocar etoces tedremos: Paso No. Realiza todas las operacioes algebraicas y/o aritméticas ecesarias. y ( ) Nota: E este paso ( ) se elevo al cuadrado, se multiplico por ( ) y se multiplico el sigo (-) que esta afuera del corchete por los sigos que está detro del corchete. y Nota: E este paso se multiplico el por cada térmio que se ecuetra detro del parétesis. y Nota: Se simplifica y teemos el resultado.
b) Calcular y para valores de y Para este caso teemos que sustituir e todas las que se ecuetra e el resultado de y. Calculamos tambié co y sustituimos este valor. EJEMPLO Cuál es el y? cuado:. de la ecuació aterior. y. 0. Sustituimos y ()(0.) (0.) y 0.8 0.0 0. y 0. (0.) EJERCICIOS.- Sea y = a) Calcula el icremeto y para cualquier icremeto b) Para la misma ecuació calcula y cuado cambia de a..- Sea y = a) Calcula el icremeto y correspodiete a u icremeto b) Para la misma ecuació, calcula y cuado X = y = 0.0.- Sea y = a) Calcula el icremeto y correspodiete a u icremeto.- Sea y = -+ a) Calcula el icremeto y cuado X = y X =..- Sea y =
a) Calcula el icremeto y correspodiete a cualquier icremeto b) Para la misma ecuació; calcula el icremeto y cuado X = y =0. Ivestiga que es ua diferecial y cual es su otació Resuelve las siguietes difereciales Ua diferecial esta idicada como dy (diferecial de y ) y d (diferecial de ). Para calcularlas se usa las siguietes formulas: a) dy = f ()d ; dode f () es la derivada de la fució b) d = X X Nota: La derivada es u tema que se estudia e Cálculo diferecial (Matemáticas V), si o recuerdas como calcular ua derivada puedes apoyarte e u formulario para derivar que puedes ecotrar e cualquier libro de Calculo Diferecial. EJEMPLO a) Sea f() = 9 + Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d Para resolver la diferecial tiees que calcular la derivada de la fució F ()=8 De acuerdo a la formula dy = f ()d; la derivada la multiplicas por d y el resultado es dy =8d b) Sea f() = + Ecuetra la diferecial dy para = y =. Ecotramos dy como e el ejemplo aterior dy = f ()d
dy = (9 )d Calculamos el valor de d; ya que o esta presete como dato d = X X d =.- = 0. Sustituimos el valor de y el valor de d e dy dy = (9 -)d dy = (9() -()) (0.) dy = (6-) (0.) dy = () (0.) dy =. EJERCICIOS.- Sea f()= a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor de d.- Sea f() = ( )(+) a) Ecuetra la diferecial dy cuado = y d = 0..- Sea f() = (-) a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d.- Sea f ( ) a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d b) De la ecuació aterior; calcula dy cuado = y =..- Sea f() = + a) Ecuetra la diferecial dy para cualquier valor d b) De la ecuació aterior; calcula dy cuado = y d = 0.
Calcula las itegrales idefiidas. Utiliza el formulario que se ecuetra a cotiuació FORMULARIO ) a d a c 0 ) sec d I(sec ta ) c ) ad a c ) sec d ta c d ) I( ) c ) csc d I(csc ot ) c ) e d e c ) csc d cot c a ) a d c ) Ia sec ta d sec c 6 ) sed cos c ) csc cot d csc c ) 8 ) 9 ) cos d se c ta d I(sec ) c cot d I( se) c Nota: Recuerda que para resolver alguas itegrales debes de coocer y maejar las leyes de los epoetes EJEMPLO a) Ecuetra la itegral ( ) d Aplicamos la formula a d a c e cada térmio y teemos:
d ) ( = c Realizamos las operacioes y simplificamos d ) ( = c = c 8 8 = c 8 8 b) Ecuetra la Itegral d Aplicamos las leyes de los epoetes d = d / Aplicamos la formula c a d a e cada térmio y teemos: d / = c c / ) ( / ) ( / / Aplicamos las leyes de los epoetes y teemos el resultado d = c 6 / EJERCICIOS RESUELVE LA SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS.- d ) (.- d
.- 8 d.- d.- 9 6d 6.- d 6.- d 8.- d 6 9.- d 0.- 9 d.- 8 d 6.- 9d.- 6 0 d.- d 6 6 6.- 9 d d 6.-
.- 9 9 d 8.- d 9.- d 0.- 8 8d Ivestiga cual es el procedimieto para itegrar fucioes co el método de sustitució Co ayuda del método de sustitució itegra las siguietes fucioes EJEMPLO ( ) a) d Paso No. Sustituir el termio que preseta la variable co el mayor epoete por la ueva variable llamada u Etoces para este ejemplo el termio co el epoete mas alto es ( +) por lo tato u = ( +) Paso No. Sabiedo que d = ' ; calculamos el valor de d para esta fució f ( u)
Si f (u)= etoces d = Paso No. Hacemos la sustitució de u y el valor de d e la fució ( ) d ( u) = u = ( +) d = Como puedes observar e esta sustitució puedes elimiar las y os quedara ( ) u = ( +) d = d ( u) = = ( u) Multiplicamos los deomiadores y se resuelve la itegral co las formulas para ecotrar la itegral idefiida la úica diferecia es que e lugar de teer la variable teemos la variable u ( ) d ( u) = = ( u) ( u) = = u c () = u = ( +) d = u u c c () 0 Paso No.
El resultado esta e fució de la variable u, hay que cambiar esta variable por la sustitució que se hizo e el paso u = ( +) Etoces u ( ) c 0 0 EJEMPLO c cos b) d Paso No. Sustituir la variable de la fució trigoometrica por la ueva variable llamada u Etoces para este ejemplo el la variable de la fució trogoometrica es por lo tato u = Paso No. Sabiedo que d = ' ; calculamos el valor de d para esta fució f ( u) Si f (u)= etoces d = Paso No. Hacemos la sustitució de u y el valor de d e la fució cos d cos u = u = ( +) d =
Como puedes observar e esta sustitució puedes elimiar las y os quedara cos u = ( +) d = d cos u = = cos u Multiplicamos los deomiadores y se resuelve la itegral co las formulas para ecotrar la itegral idefiida de la fució trigiometrica correspodiete, la úica diferecia es que e lugar de teer la variable teemos la variable u cos u = ( +) d = d cos u = = cos u cos u seu = = c 0 0 Paso No. El resultado esta e fució de la variable u, hay que cambiar esta variable por la sustitució que se hizo e el paso u = Etoces seu c 0 se = c 0 EJERCICIOS
.- ( ) d.- se8d ( 8).- d.- e d.- d ( ) ta6 6.- d d.- ( ) d 8.- 9.- d ( ) cos 0.- d Itegració por partes. Ua técica muy importate de itegració, es la llamada itegració por partes. Esta técica puede aplicarse a ua amplia variedad de itegrales y es particularmete eficaz para itegrados dode aparece proctos de fucioes algebraicas y trascedetes. Por ejemplo, fucioa muy bie para resolver itegrales como: l d, e d, y e sed
La itegració por partes se basa e la formula de la derivada de u d d uv vu procto uv dv u d v d dode u y v so fucioes derivables de. Si u y v so cotiuas, podemos itegrar ambos lados para llegar al resultado udv uv uv d vu d v Reescribiedo esta ecuació se obtiee el siguiete teorema. TEOREMA.- INTEGRACION POR PARTES Si u y v so fucioes de co derivadas cotiuas, udv uv v Esta fórmula epresa la itegral origial e térmios de otra itegral. Depediedo de la elecció de u y de dv, puede ocurrir que la seguda itegral sea más fácil que la origial. Como las eleccioes de u y de dv so criticas para la buea marcha del método, damos uas idicacioes sobre como preceder. Estrategia para itegrar por partes. Itete tomar como dv la porció más complicada del itegrado que se ajuste a ua regla básica de itegració y como u el factor restate del itegrado.. Itete tomar como u la porció del itegrado cuya derivada es ua fució mas simple que u y como dv el factor restate del itegrado. Ejemplo Itegració por partes Hallar e d Solució: Para aplicar itegració por partes, ecesitamos escribir la itegral e la forma udv. Hay varias maeras de hacerlo:
,,, e d e d e d e u dv u dv u dv d u dv La estrategia ivita a elegir la primera opció, ya que la derivada de u= es más simple que y además que se adapta a ua regla básica de itegració. Itegrado por partes obteemos e dv e d es la parte más complicada del itegrado dv e d v u d udv uv e Ejemplo Itegració por partes Hallar l d Solució: E este caso, d e e C v e dv d e d e es más fácil de itegrar que l. Además, la derivada de l es más secilla que l. Por tato, tomamos dv d Itegrado por partes se obtiee dv d v d u l d l d l l 9 l d C d Ejemplo. Sucesivas itegracioes por partes Hallar sed
Solucio: Los factores de y se so igualmete fácil de itegrar, pero la derivada es más simple que la propia fució, mietras que la derivada de se o lo es. E cosecuecia, optamos por tomar u = dv sed v sed cos u d Ahora, la itegració por partes lleva a que sed cos cos d Primera itegració por partes Co esta primera itegració por partes, hemos simplificado la itegral origial, pero la ueva todavía o se ajusta a igua regla básica de itegració. Volvamos a aplicar itegració por partes, esta vez co u =. dv cos v u d Itegrado por partes obteemos cos d se cos d sed se cos C Combiado los dos resultados queda sed cos se Ejemplo. Sucesivas itegracioes por partes Hallar sec d se cos C Solució: La porció más complicada del itegrado que resulta fácil de itegrar es sec, así que tomamos dv sec u sec dv sec d y u sec. d Itegrado por partes se obtiee v sec d tg sec tgd Seguda Itegració por partes
sec sec sec d sec tg sec tg d sec tg d sec tg sec sec tg sec sec d sec d d sec tg l sec tg C d sec d Co la práctica se va adquiriedo habilidad a la hora de elegir u y dv. El resume que sigue recoge varias clases de itegrales comues juto co las eleccioes acosejadas para u y dv. Agrupar itegrales idéticas Itegrales comues resolubles mediate itegració por partes. E itegrales de los tipos e a d, hacer u sead y dv e a ó d, cos ad sead ó cosad. E itegrales de los tipos l d, arcsead hacer u l, arcsea ó ó arctgad arctga y dv d. E itegrales de los tipos e a sebd ó cos bd hacer u seb ó cos b y dv e a e a d
EJERCICIOS Calcula el área de las fucioes compredida etre los limites asigados (Itegral defiida) Para resolver este tipo de itegrales utilizas las formulas que usaste para resolver itegrales idefiidas y ua vez que tegas el resultado vas a evaluarlo e los úmeros que se ecuetra e los etremos del símbolo de itegració, que se cooce como limites. Ejemplo Resuelve la itegral defiida ( 8 0) d Paso No. Itegrar co ayuda de las formulas de itegració ( 8 0) d Simplificamos 8 = 0 c ( ) 8 = 0 c 0 c Paso No. Evaluar e los limites. E el resultado se sustituye el valor del limite superior (umero que se ecuetra arriba del símbolo de itegració) y ha este resultado se le resta la sustitució por el limite iferior (Numero que se ecuetra abajo del símbolo de itegració)
( ) () 0() c ( ) ( ) 0( ) c 8 () 0() c - () 0( ) c 6 0 c - 0. 0 c 6 c -. c 6+c+.-c = 0. El resultado de la itegral defiida es 0. Ejercicios Resuelve la itegral defiida 0.- 8 d 0.- 0 d 0.- d.- 6 d.- d 6.- d
.- d 8.- 6 0 d 9.- 0 d 0.- d Calcula el área compredida etre las dos fucioes y los limites asigados EJEMPLO Calcula el área de compredida etre las siguietes fucioes y = + y = - +0 Compredida etre los limites = - y = Paso No. Graficar e el mismo plao coordeado las dos fucioes, para ubicar el área a calcular y coocer que fució esta arriba del área 6 0 8 6 0 - - 0 + -+0
Paso No. Itegrar la resta de la fució que esta arriba del área meos la fució que esta abajo del área. Debes colocar los límites de itegració e los etremos del símbolo de itegració. ( 0) ( ) d = 0 d ( ) d c Paso No.. Evaluar e los límites. E el resultado se sustituye el valor del limite superior (umero que se ecuetra arriba del símbolo de itegració) y ha este resultado se le resta la sustitució por el limite iferior (Numero que se ecuetra abajo del símbolo de itegració) 0) ( ) ( d = c () ( ) () c ( ) c c c = (-.66++c) (0.66-+c) = (.+c) (-.+c) =.+c+.-c = 8.68 EJERCICIOS.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados a) y= + y = + Compredida etre los limites = - =.- Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados b) y= - - y = +
Compredida etre los limites = - =.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados c) y= + y = -8 Compredida etre los limites = 0 =.-Ecuetra el área compredida etre las dos fucioes y los limites señalados d) y= + y = - + Compredida etre los limites = - = 0