Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs IRUNFERENI El írulo y l irunfrni son os ojtos gométrios qu hn llmo l tnión y hn sio l ojto stuio un grn númro mtmátios s timpos ntiguos, sino más grn utili práti pr un grn númro pliions n l vi otiin: pols, rus, ngrns, roillos, juguts y muhs oss más. En st loqu s hrá un stuio l irunfrni, onoino los onptos qu r, los sgmntos y líns qu rivn ll y ls propis qu ls rlionn. 1) Dfiniions - irunfrni: Es l urv rr y pln qu s form on toos los puntos n l plno qu sn quiistnts l punto. Es quiistni ri l nomr rio. - írulo: Es l rgión pln ontni ntro l irunfrni, inluyno ést. irunfrni Rio írulo 2) Elmntos l irunfrni y l írulo - ntro: El punto intrior quiistnt toos los puntos l irunfrni. - Rio: Es too sgmnto rt qu un l ntro l irunfrni on ulquir punto ll. Usulmnt s not on l ltr r. - Diámtro: Es l sgmnto rt myor mi qu un os puntos l irunfrni y qu ps por l ntro ll. Dnoto rgulrmnt por l ltr. - ro: Es l porión l irunfrni qu stá limit por os sus puntos. Si su mi s myor qu un smiirunfrni s ono omo ro myor, lo ontrrio, omo ro mnor. - Smiirunfrni: Es l ro qu s tin ntr los xtrmos un iámtro l írulo. - ur: Sgmnto rt qu un os puntos ulsquir l irunfrni. El iámtro un írulo s un ur y s l máxim ur qu pu trzrs. - Tngnt: Es l rt o sgmnto rt qu to l irunfrni n un solo punto. El punto ontto on l irunfrni s llm punto tngni. - Snt: Es l rt qu intrs l irunfrni n os puntos. - Flh: Es un sgmnto rt mitriz un ur ulquir y qu is l ro formo por l ur. Tngnt Snt Flh Rio ntro ro ur Diámtro
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs 3) Rts tngnts un írulo Si por un punto xtrior un irunfrni s h trzo un tngnt ést, l longitu l tngnt s l longitu l sgmnto rt tngnt s l punto ontto hst l punto xtrior. T P TP: longitu l tngnt - uánts tngnts un irunfrni s pun trzr s un punto xtrior ll? Ls tngnts un írulo tinn ls siguints propis: ) Un lín prpniulr un rt tngnt n l punto ontto on un írulo ps trvés l ntro ést. ) L tngnt s simpr prpniulr l rio l írulo trzo su ntro l punto tngni. ) Dos tngnts un írulo trzs prtir un punto fur ést son iguls n su longitu, s ir, son ongrunts. ) prtir un punto xtrno l írulo, simpr s pun trzr os tngnts ést. ) L rt qu ps por l ntro l írulo un punto xtrior ést y l ul s trzn ls os tngnts l írulo, s istriz l ángulo formo por ms tngnts. Punto tngni T T ' P TP T' P TP T ' P 4) Ángulos n l írulo Un ángulo s pu formr ntro un írulo finino trs puntos ntro ést. Por l uiión stos puntos, l ángulo pu sr llmo: - ntrl: uno l vérti l ángulo s l ntro l írulo y los los son os rios ulsquir l írulo. L mi ngulr l ro qu sutinn los los l ángulo ntrl s su mi. - Insrito: S trmin st ángulo uno l vérti stá n l irunfrni y sus los son os urs l írulo. Su mi s igul l mit l ángulo ntrl qu sutinn sus los. - Smi-insrito: Tmién st ángulo tin su vérti n un punto l irunfrni, pro sus los son un tngnt y un ur. Su mi s igul l mit l ángulo ntrl qu sutinn sus los.
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs - Intrior: Es l ángulo qu stá formo por os urs o os snts qu s ortn ntro l írulo. Su mi s l smisum los ros qu sutinn sus los. O D - Extrior: Es l ángulo formo por os rts snts qu prtn un punto xtrior l írulo. Su mi s igul l smiifrni los ros qu tinn sus los. - irunsrito: Es l ángulo qu s form por ls os tngnts l írulo qu s formn prtir un punto xtrior. Ést tmién s un so ángulo xtrior, por lo qu tmién s mi l mism mnr qu quél. O D O Ángulo xtrior D Ángulo irunsrito 5) Prímtro l irunfrni (Longitu l irunfrni) El prímtro un írulo s l longitu l irunfrni. Ds l ntigü s h stlio qu xist un rlión onstnt ntr l iámtro l írulo y su prímtro. Es rlión stl qu l prímtro un írulo s quivlnt 3.1415926535 vs su iámtro. Dio sto, l xprsión pr lulr l prímtro un írulo s: P ó P 2 r 6) Ár un írulo El ár un írulo s l mi l rgión qu qu omprni ntro su prímtro. L xprsión pr lulrl s: 2 r 7) Stor irulr Es l ár omprni ntr un ro y los os rios qu lo limitn. Su ár s lul mint l xprsión: l r r 2 n ó 2 360 Don: l longitu l ro l stor irulr n mi l ángulo l stor irulr
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs 8) Ejriios 1. Dtrmin l vlor los ángulos qu s inin: 2. Dtrmin l vlor los ángulos qu s inin: 3. Dtrmin l vlor los ángulos inios: 4. Dtrmin l vlor los ángulos inios: 140 90 x x x 6 3 1 2
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs 5. Dtrmin l vlor los ángulos inios: f g 32 f g 40 6. Dtrmin l vlor los ángulos inios: 50 160 7. Dtrmin l vlor los ángulos inios: 50 40 60 80 8. Dtrmin l ár los siguints stors irulrs: 100 8m 5m 9. Dtrmin l vlor l ár somr onsirno qu l rio l irunfrni myor s 8m y l l irunfrni mnor 6m. más trmin l prímtro ms irunfrnis:
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs 10. Dtrmin l prímtro y l ár l prt somr onsirno qu los los l uro min 10m: 11. Dtrmin l vlor l ár somr: 7m 3m 9m 11m 12. Dtrmin l vlor l ár somr 7m 2m 6m 10m 13. Dtrmin l vlor l ár somr onsirno qu los los l uro min 6m. 14. Dtrmin l ár l prt somr: 5 m 7 m 15. Dtrmin l ár l prt somr: 5m 4m 3m 110