3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa ESTADÍSTICA 1.- POBLACIÓ, MUESTRA y CARACTERES ESTADÍSTICOS.- Poblacón: Son todos los ndvduos sobre los que se realza el estudo estadístco en cuestón..- Muestra: Subconjunto de la poblacón o grupo de ndvduos sobre los que se realza el estudo. Cuando la poblacón es muy grande, el coste de preguntar a todos los ndvduos sería muy alto, entonces se toma una muestra representatva (muestra aleatora y estratfcada) de la poblacón a analzar..- Carácter estadístco: Propedad que permte clasfcar a los ndvduos de una poblacón..- Carácter estadístco cualtatvo: Carácter estadístco que no se puede expresar medante un número. Cada una de las opcones del carácter estadístco cualtatvo se llama modaldad..- Carácter estadístco cuanttatvo: Carácter estadístco que se puede expresar medante un número. El conjunto de valores que toma un carácter estadístco cuanttatvo se llama varable estadístca..- Varable estadístca dscreta: Varable estadístca que toma valores sueltos. S llamamos X a la varable estadístca dscreta, cada uno de los valores que puede tomar se denotan: x 1, x, x 3, x, x,. En general x..- Varable estadístca contnua: Varable estadístca que toma valores ntermedos. ormalmente se dan en ntervalos o clases. A veces cuando una varable es dscreta pero toma un amplo número de valores se pueden agrupar gualmente por ntervalos o clases. El valor ntermedo del ntervalo o clase, que actúa como representante de todo el ntervalo, se denomna marca de clase y se denota: x 1, x, x 3, x, x,. En general x. osotros tomaremos ntervalos o clases de gual ampltud (tamaño). EJEMPLO_ Se quere estudar en la poblacón mayor de edad de Arnedo los sguentes aspectos sobre la vvenda: a) Coste de la casa donde vve. b) úmero de habtacones de la casa. c) Forma de pago de la casa. La poblacón está formada por todos los habtantes de Arnedo mayores de edad. Como el número de ndvduos es muy grande se toma una muestra representatva de 00 personas, elegdas aleatoramente del censo de Arnedo y estratfcada por nveles de renta. El carácter Coste de la casa donde vve es cuanttatvo contnuo, se pueden dar muchos valores como respuesta y convene agruparlos por ntervalos o clases [0 0.000), [0.000 0.000) [0.000 00.000] (en estos ntervalos se toma cerrado a la zquerda y aberto a la derecha, salvo el últmo que se toma cerrado en ambos). El carácter úmero de habtacones de la casa es cuanttatvo dscreto, tomará los valores 1,, 3, El carácter Forma de pago de la casa es cualtatvo, las modaldades serían: Al contado, Con préstamo bancaro, Con préstamo famlar, En alquler y alguna otra que se pudera dar, de tal forma que den cabda a todas las posbles respuestas..- FRECUECIAS Y TABLAS ESTADÍSTICAS.- Frecuenca absoluta de un valor x : Es el número de veces que se repte el valor x. Se denota f..- Frecuenca relatva de un valor x : Es el cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de datos f. Se denota h. Se calcula h..- Frecuenca absoluta acumulada de un valor x : Es la suma de las frecuencas absolutas de los valores menores o guales que x. Se denota F. Se calcula: F = f 1 + f + + f n = f.- Frecuenca relatva acumulada de un valor x : Es el cocente entre la frecuenca absoluta acumulada y el número total de datos. Se denota H. Se calcula F H. Tambén se puede calcular como la suma de las frecuencas relatvas de los valores menores o guales que x. Se calcula: H = h 1 + h + + h n = h.- Porcentajes: Son los valores de las h y de las H, expresados como porcentajes. EJEMPLO 1_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el número de habtacones que tenen sus casas y las respuestas han sdo las sguentes: 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3,,,, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3,,,, 1,,, 3,, 3,,, 3, 1, 1, 3,, 3,,, 3,,,, 1,,, 3, 3,,, 3, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3,,,, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3,,,, 1,,, 3,, 3,,, 3,,, 1,,,, 3,, 1,,,,,, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 1,,, 3, 1,,, 3,,,, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3, 1,,, 3,, 1,,, 3,, 3,,, 3, 1,, 1,,, 3,. 1
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa Realzar el recuento y completar la tabla de frecuencas. Se trata de una varable cuanttatva dscreta y por tanto la tabla tene las sguentes columnas: x RECUETO f F h H 1 IIII IIII IIII IIII IIII IIII 9 9 0,1 0,1 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII 69 98 0,3 0,90 3 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII 9 17 0, 0,73 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII 3 18 0,17 0,9 IIII IIII IIII III 18 00 0,090 1,000 f = = 00 h = 1.- Los valores f se obtenen drectamente del recuento..- Los valores F se obtenen sumando las f hasta la. Así la F 3 = f 1 + f + f 3 = 9 + 69 + 9 = 17, o tambén: F 3 = f 3 + F = 9 + 98 = 17. f 69.- Los valores h se obtenen dvdendo las f entre. Así la h 0, 3. 00 F 18.- Los valores H se obtenen dvdendo las F entre. Así la H 0, 9, o tambén acumulando 00 las h : H = h 1 + h + h 3 + h = 0,1 + 0,3 + 0, + 0,17 = 0,9. Tambén se puede hacer: H = h + H 3 = 0,17 + 0,73 = 0,9 EJEMPLO _: La sguente tabla ndca la respuesta de 00 personas de Arnedo al ser preguntados por el coste de las casas donde vven. A partr de esos datos dseña la tabla de frecuencas para este carácter estadístco. Intervalo [ 0 0.000) 9 [0.000 0.000) 8 [0.000 10.000) 68 [10.000 00.000) [00.000 0.000) [0.000 300.000] 3 f Intervalo Marca _ x f F h H [ 0 0.000).000 9 9 0,1 0,1 [0.000 0.000) 7.000 8 77 0,0 0,38 [0.000 10.000) 1.000 68 1 0,30 0,7 [10.000 00.000) 17.000 187 0, 0,93 [00.000 0.000).000 197 0,00 0,98 [0.000 300.000] 7.000 3 00 0,01 1,000 f = = 00 h = 1 La marca de clase es el representante del ntervalo, de tal forma que suponemos que las 9 casas de la prmera fla valen lo msmo, en este caso.000. La nterpretacón de los valores en cursva será:.- f = 8, sgnfca que 8 personas han comprado casas cuyo valor está entre 0.000 y 0.000, (según la marca de clase, que 8 personas han comprado casas por valor de 7.000 )..- F 3 = 1, sgnfca que 1 personas han comprado casas cuyo valor está por debajo de 10.000, (según la marca de clase, que 1 personas han comprado casas cuyo valor está por debajo de 1.000 )..- h = 0,1, sgnfca que el 1 % de las personas preguntadas han comprado casas cuyo valor está entre 10.000 y 00.000, (según la marca de clase, el 1 % de las personas preguntadas han comprado casas por valor de 17.000 )..- H = 0,98, sgnfca que el 98, % de las personas preguntadas han comprado casas cuyo valor está por debajo de 0.000, (según la marca de clase, el 98, % de las personas preguntadas han comprado casas cuyo valor está por debajo de.000 )..- f = = 00, sgnfca que el número total de personas preguntadas ha sdo de 00..- h = 1, sgnfca que entre todas las personas preguntadas suponen el 0 %.
[ 0 0.000) [0.000 0.000) [0.000 10.000) [10.000 00.000) [00.000 0.000) [0.000 300.000] 3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa 3.- REPRESETACIÓ GRÁFICA DE LAS TABLAS ESTADÍSTICAS Hay multtud de gráfcos estadístcos, pero nos vamos a referr a los cuatro más utlzados. 3.1 Dagrama de barras Los dagramas de barras son gráfcos formados por barras separadas, por lo que son utlzados para representar varables cuanttatvas dscretas aunque tambén se pueden utlzar para varables cualtatvas. En el eje 3. Hstograma de frecuencas horzontal se deben colocar los valores de la varable y en el eje vertcal se colocan los valores de la frecuenca. Se puede utlzar la frecuenca absoluta (es lo más habtual), la frecuenca absoluta acumulada, la frecuenca relatva o la frecuenca relatva acumulada. EJEMPLO_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el número de habtacones que tenen sus casas. Los resultados se pueden ver en la tabla del EJEMPLO 1. Dbuja el dagrama de barras correspondente a las frecuencas absolutas. Los dagramas de barras son gráfcos formados por rectángulos pegados unos a otros, por lo que son utlzados para representar varables cuanttatvas contnuas, o dscretas presentadas por ntervalos (cuando son muchos valores dferentes). En el eje horzontal se deben colocar los valores de la varable y en el eje vertcal se 80 70 0 0 30 0 0 80 70 0 0 30 0 0 1 3 [ 0 0.000) [0.000 0.000) [0.000 10.000) [10.000 00.000) [00.000 0.000) [0.000 300.000] 3.3 Dagrama de sectores colocan los valores de la frecuenca. Se puede utlzar la frecuenca absoluta (es lo más habtual), la frecuenca absoluta acumulada, la frecuenca relatva o la frecuenca relatva acumulada. EJEMPLO_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el coste de las casas donde vven. Los resultados se pueden ver en la tabla del EJEMPLO. Dbuja el dagrama de barras correspondente a las frecuencas absolutas. Los dagramas de sectores srven para cualquer tpo de varable. Se trata de representar el valor de la frecuenca elegda (normalmente la frecuenca absoluta) referdo a los 0º de un círculo, para lo cual añadmos una columna más a la tabla con los grados asocados a cada valor del carácter estudado. Pago al contado Pago con préstamo bancaro Pago con préstamo famlar Pago de alquler f f EJEMPLO_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por la forma de pago de su casa. Las respuesta han sdo las expresadas en la sguente tabla. Completar la tabla y dbujar el dagrama de sectores de las frecuencas absolutas. Modaldades f Grados Pago al contado 39 70,º Pago con préstamo bancaro 78 10,º Pago con préstamo famlar 8 0,º Pago de alquler 99º 3. Polígono de frecuencas El polígono de frecuencas se puede utlzar tanto para varables cuanttatvas dscretas como contnuas. Se obtene a partr del dagrama de barras unendo sus puntos medos superores y a partr del hstograma de 80 70 0 0 30 0 0 1 3 80 70 0 f f 0 30 0 0 frecuencas, gualmente, unendo los puntos medos superores de cada rectángulo. Debemos tener en cuenta que estos gráfcos son dferentes de los de barras o hstogramas y deben dbujarse de forma ndependente. 3
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa.- PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Un parámetro estadístco es un número que por sí solo aporta nformacón sobre la poblacón estudada..1 Parámetros estadístcos de centralzacón Los parámetros de centralzacón son aquellas meddas en torno a las cuales se stúan el resto de valores..1.1 Meda artmétca Hay dferentes tpos de medas, pero aquí nos refermos a la meda artmétca, lo que habtualmente se conoce como meda. Solo se puede calcular para varables cuanttatvas. El cálculo de la meda se realza sumando todos los valores de la varable y dvdendo por en número total de datos. De forma abrevada se puede calcular multplcando cada frecuenca absoluta por su valor (esto es, cada valor por el número de veces que aparece), sumando todos esos productos y dvdendo por. La meda artmétca se denota como x. x f x f x f x... f x 1 1 3 3 n n n f x 1 n f 1 f x Cuando los datos van en ntervalos, se toma como x la marca de clase del ntervalo..1. Moda Se denota como M o, y es el valor de la varable que más veces aparece, con mayor f. Se puede calcular para cualquer tpo de varable. Cuando hay dos modas, la dstrbucón se llama bmodal, cuando hay tres modas, se dce trmodal y s hay más de tres se llama multmodal. Cuando los datos van en ntervalos, se habla de ntervalo modal y la moda se calcula medante unas fórmulas que nosotros novamos a ver, así que se tomará como moda el valor de la marca de clase del ntervalo modal..1.3 Medana Se denota como M e, y es el valor de la varable que deja la mtad de los ndvduos de la muestra por debajo de ese valor y la mtad por encma del msmo. Para calcular la medana se deben ordenar los valores de menor a mayor (por tanto no tene sentdo calcular la medana en una varable cuanttatva) y el valor que está en el centro será la medana. S el número de datos es par, en el medo nos encontramos dos valores, en ese caso se hará la meda de ambos. Cuando los datos van en ntervalos, se habla de ntervalo medano como aquel en el que se encuentra el dato medano. La medana se calcula medante unas fórmulas que nosotros novamos a ver, así que se tomará como medana el valor de la marca de clase del ntervalo medano..1. Cuartles Se denotan como Q 1, Q = M e y Q 3. Así el Q 1 (cuartel uno) es el valor de la varable que deja el % de los ndvduos de la muestra por debajo de ese valor y el 7% por encma del msmo. El Q (cuartel dos) es la propa M e. El Q 3 (cuartel tres) es el valor de la varable que deja el 7% de los ndvduos de la muestra por debajo de ese valor y el % por encma del msmo. Para calcular los cuartles se deben ordenar los valores de menor a mayor (no tene sentdo calcular los cuartles en una varable cuanttatva) y el valor que ocupa el lugar que deja el % de los datos por debajo es el Q 1. o los usaremos mucho. x f 1 9 69 3 9 3 18 EJEMPLO 1_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el número de habtacones que tenen sus casas y las respuestas han sdo las que muestra la tabla. Calcula la meda, la moda y la medana..- MODA: La moda es x = habtacones, corresponde a la varable con mayor valor de las f f = 69..- MEDIA: Podemos calcular la meda sumando todos los productos de las f por las x y dvdendo por la suma de las f o hacendo todas esas operacones por medo de la tabla y tomando los sumatoros correspondentes, f x en el numerador y f en el denomnador. MODA MEDIAA MEDIA x f F f x 1 9 9 9 69 98 138 3 9 17 17 3 18 10 18 00 90 f = 00 f x = f x 9 1 69 9 3 3 18 9 138 17 10 90 x,7 9 69 9 3 18 00 00 habtacones
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa.- MEDIAA: Como el número de datos es par ( = 00), debemos buscar los valores de x que ocupan los lugares 99 y 0, esto se puede ver en la columna de las F, en este caso para x 3 = 3 habtacones, tenemos desde el 3 3 puesto 99 hasta el puesto 17, por ello la medana será Me 3 habtacones. La medana sgnfca que de las 00 personas preguntadas la mtad tenen casas con tres habtacones o menos y otros 0 tenen casas con tres habtacones o más.. Parámetros estadístcos de dspersón Los parámetros de dspersón tratan de medr la cercanía de los datos entres sí o respecto de un valor de centralzacón, normalmente respecto de la meda...1 Rango o recorrdo El rango es la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable... Desvacón típca y varanza Cuando se estuda una característca de una muestra, la nformacón que nos aportan los parámetros de centralzacón puede resultar nsufcente. Veamos estas tres dstrbucones que nos muestran la edad de gallnas de tres granjas, A, B y C, donde calculamos sus medas, modas y medanas: x f f x 30 0 0 6 0 0 7 0 0 8 30 0 A 0 x f f x 1 8 1 6 1 7 7 1 8 8 1 96 B 0 x f f x 0 0 0 0 6 0 7 0 10 8 0 0 C 0 x A 0 0 0 6 años x 6 años B x C 6 años M oa = y 8 M oa =,, 6, 7, 8 y 9 M oa =, 6 y 7 8 6 6 6 6 Me A 6 años Me B 6 años Me 6 años C Aunque se puede observar que las dstrbucones son dstntas, en todas ellas la meda y la medana son las msmas, no así las modas. Por tanto para analzar la concentracón o dspersón de los datos debemos recurrr a otros tpos de parámetros, en este caso las desvacones respecto de la meda. Calculemos estas desvacones, para las edades de las gallnas en la granja B. x f x - x f( x - x ) 1 1 1 1 6 1 0 0 7 1 1 1 8 1 B 0 0 Se obtene una suma de desvacones respecto de la meda de cero, lo que nos quere decr que todos los datos deben ser guales (las sesenta gallnas deben tener la msma edad), y eso se observa en la tabla que no es certo, hay 1 datos de cada valor (1 gallnas de años, 1 gallnas de años, ), por tanto, para evtar este tpo de compensacón, orgnada por el sgno, debemos pensar en qué opcones de cálculo conocemos que nos permtan anular este efecto, que anulen el sgno. Estas son, por una parte el valor absoluto (daría lugar a la desvacón meda, DM ) y por otro lado elevar al cuadrado que da lugar a la varanza V y la desvacón típca S que pasamos a analzar. En la tabla aparecen dos columnas que nos permten calcular la desvacón meda (que no vamos a utlzar) y la desvacón típca (es la que usaremos), medante las expresones: DESVIACIÓ MEDIA DESVIACIÓ TÍPICA x f x - x x - x f x - x ( x - x ) f( x - x ) 1 8 1 1 1 1 1 1 6 1 0 0 0 0 0 7 1 1 1 1 1 1 8 1 8 B 0 7 S f x x f x DM x 7 1, 1,1 años años El valor de la S=1,1 años, se debe nterpretar de la sguente manera, con esa S y con una x de 6 años, la mayoría de las gallnas (un 68% aproxmadamente) deben tener entre ( x - s, x +s) = (6 1, 6+1 ) = (`6,7 ) años, en este caso son de, es decr, un % que se aproxma bastante a lo que predce la teoría.
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa Cuando la x no es exacta, el cálculo de las desvacones conlleva trabajar con números decmales que hay que multplcar y elevar al cuadrado. Para evtar este trabajo, en la práctca, se utlza otra expresón de la desvacón típca, (además es el formato que utlza la calculadora) que queda como sgue: S f x x. Vamos a comprobar en un ejemplo el trabajo que conlleva la aplcacón de ambas expresones para la S. x x,7 00 S f 1 9 69 3 9 3 f EJEMPLO 1_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el número de habtacones que tenen sus casas y las respuestas han sdo las que muestra la tabla. Halla la desvacón típca aplcando las dos fórmulas que permten calcularla. 18 x f f x f x habtacones x x 76,3 00 1,3816 1,17 habtacones x - x ( x - x ) f( x - x ) 1 9 9 9 1,7,98 8,79 69 138 76 0,7 0,18 3,7696 3 9 17 1 0,8 0,078 3,816 3 10 1,8 1,638 7,3 18 90 0,8,198 93,71 00 1.76 76,3 S f x x 1.76,7 00 8,78 7,398 1.3816 1,17habtacones Djmos anterormente que para soluconar el problema planteado con las desvacones de sgno negatvo, podíamos hacer dos cosas o tomar valor absoluto (DM) o tomar los cuadrados de dcho valor (S), pues ben, s hacemos esto últmo se obtene la varanza, que responde a la expresón V f x x, pero que tene un problema de nterpretacón pues el valor obtendo aparece con las undades elevadas al cuadrado, así en el caso del ejemplo tendríamos: V f x x 76,3 00 1,3816 habtacones, donde la undad (habtacones ) no tene nngún sentdo. Por esta razón se hace la raíz cuadrada para calcular la S..3 Coefcente de varacón S V o V = S. El coefcente de varacón de Pearson (coefcente de varacón CV ), es el cocente entre la desvacón típca y la meda artmétca: S CV. Es un coefcente admensonal (no tene undades) y se suele expresar en porcentaje. X Srve para comparar dferentes varables. S su valor es mayor al 30% se dce que la dspersón es grande. EJEMPLO 1_: Se ha preguntado a 00 personas de Arnedo por el número de habtacones que tenen sus casas, y se han obtendo una meda de,7 habtacones y una desvacón típca de 1,17 habtacones. Calcula e nterpreta el CV. CV S X 1,17 0,3 3%, este valor ndca que la dspersón es grande, es decr, que aunque la meda,7 es cas tres habtacones, nos encontraremos fáclmente con casas que tengan o habtacones..3 Estudo conjunto de la meda y la desvacón típca. Dada una dstrbucón unmodal y smétrca (s no lo son los resultados serán aproxmados, tanto peores cuanto menos smétrca y unmodal sea la dstrbucón), se cumple:.- En el ntervalo ( x - s, x + s) se encuentran el 68% de los datos..- En el ntervalo ( x - s, x + s) se encuentran el 9% de los datos..- En el ntervalo ( x - 3s, x + 3s) se encuentran el 99% de los datos. EJEMPLO: A un cne entran 0 personas. Sabendo que la edad de las msmas sgue una dstrbucón unmodal y smétrca de x = 3 y S = 3. Cuántas personas tenen entre 6 y 3 años? Cuántas más de 1 años?.- Observando la tabla se puede conclur que habrá 89 personas que tene entre 6 y 3 años: 81 + 0 + 0 = 89 personas..- De gual modo se observa que 3 personas tenen más de 1 años. 6
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa EJEMPLO: Las veces que 00 personas han perddo las llaves el últmo año quedan reflejadas en la tabla Intervalo x f F h H f x Grados x f x [0 30) 6 6.0 [30 0) 3 0 1..00 [0 0) 0.0 91.1 [0 ) 0 0 3.0.00 [ 70) 6..0 0 1.00 a) Indca la varable que se está analzando y clasfícala. úmero de veces que han perddo las llaves. Varable cuanttatva dscreta tomada en ntervalos. b) Completa la tabla anteror y localza los dos errores que hay en la msma. Intervalo x f F h H f x Grados x f x [0 30) 0, 0, 0 º 6 6.0 [30 0) 3 0 30 0,0 0,30 700 7º 1..00 [0 0) 0 70 0,0 0,70 1.800 1º.0 81.000 [0 ) 0 90 0,0 0,90 1.0 7º 3.0.00 [ 70) 6 0 0, 1,00 60 º..0 0 1.00 0º 1.00.- Un error es x que debe valer en lugar de 0, es la marca de clase y es la mtad entre 0 y..- Otro error es f 3 x 3, debe ser 81.000 el producto de.0 por su frecuenca absoluta que es 0, pero se había multplcado por que es el valor de la varable. c) Explca el sgnfcado de F 3 y de h..- F 3: frecuenca absoluta acumulada del tercer dato, vale 70 y sgnfca que hay 70 personas que han perddo las llaves este últmo año veces o menos..- h : frecuenca relatva del qunto dato, vale 0, y sgnfca que el % de las personas han perddo las llaves este últmo año entre y 70 veces (o según la marca de clase, 6 veces). d) Realza la representacón gráfca de las f que corresponde a este carácter estadístco. A contnuacón realza la representacón gráfca de las f con un dagrama de sectores. 3 30 0 1 0 [0 30) [30 0) [0 0) [0 ) [ 70) f [0 30) [30 0) [0 0) [0 ) [ 70) e) Calcula la moda, meda, rango, desvacón típca y CV. Calcula la medana y explca su sgnfcado..- Moda: x 3= veces perden las llaves, que le ha ocurrdo a 0 personas..00.- x veces han perddo las llaves de meda. 0.- Rango: 70 0 = 0 veces, dferenca entre los que menos y los que más veces han perddo las llaves. 1.00.- S.1.0,9 11veces 0,9.- CV 0,3,3%, que es un CV lgeramente elevado, hay dspersón mportante..- Me veces, la mtad de las personas han perddo las llaves menos de veces o veces y la otra mtad las han perddo veces o más de veces. 7
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa.- PROBABILIDAD.1 Defncones.- Expermento aleatoro: Expermento en el que no podemos saber el resultado con certeza. EJEMPLO: El expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras es un expermento aleatoro, sé que pueden salr certos valores pero no sé con certeza qué valor será. El expermento Soltar un bolígrafo que estoy sujetando con la mano y ver s sube o baja, no es aleatoro, todos dríamos el msmo resultado, que el bolígrafo cae y así es..- Espaco muestral: Es el conjunto de resultados posbles de un expermento aleatoro. Se denota como E. EJEMPLO: El expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, tene por espaco muestral E = {, 3,,, 6, 7, 8, 9,, 11,1}, según se observa a contnuacón: 11 1+1 = 1 1+ = 3 13 1+3 = 1 1+ = 1 1+ = 6 16 1+6 = 7 1 +1 = 3 + = 3 +3 = + = 6 + = 7 6 +6 = 8 31 3+1 = 3 3+ = 33 3+3 = 6 3 3+ = 7 3 3+ = 8 3+6 = 9 1 +1 = + = 6 3 +3 = 7 + = 8 + = 9 6 +6 = 1 +1 = 6 + = 7 3 +3 = 8 + = 9 + = 6 +6 = 11 61 6+1 = 7 6 6+ = 8 63 6+3 = 9 6 6+ = 6 6+ = 11 66 6+6 = 1.- Suceso aleatoro: Cualquer subconjunto del espaco muestral E. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, se pueden plantear dversos sucesos: A = Lanzar dos dados, sumar sus cfras y obtener un número par, en la práctca se escrbe como A = Sacar par = {,, 6, 8,, 1}. B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} C = Sacar prmo = {, 3,, 7, 11} D = Sacar número acabado en cero = {}.- Suceso elemental: Suceso formado por un solo elemento. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso D = Sacar número acabado en cero = {} es un suceso elemental..- Suceso compuesto: Suceso formado por más de un elemento. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} es un suceso compuesto..- Suceso seguro: Suceso que sempre se cumple. Estará formado por E. EJEMPLO: En el Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso F = Sacar menor que 1 = {, 3,,, 6, 7, 8, 9,, 11, 1} = E..- Suceso mposble: Suceso que nunca se cumple. Se desgna por conjunto vacío. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso G = Sacar negatvo = {} es un suceso mposble..- Suceso contraro: Se llama suceso contraro del suceso A al formado por los elementos que no forman A. Se denota A o A c. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, dado el suceso A = Sacar par = {,, 6, 8,, 1}, el suceso A = Sacar mpar = {3,, 7, 9, 11}.- Sucesos compatbles: Dos sucesos A y B se dcen compatbles s tenen elementos en común, s se pueden realzar a la vez. A B. (A B, se lee A nterseccón B y sgnfca lo que tenen en común A y B). EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, los sucesos A = Sacar par = {,, 6, 8,, 1} y B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} son compatbles pues tenen en común dos elementos, es decr, A B = {6, 1} y tambén A B..- Sucesos ncompatbles: Dos sucesos A y B se dcen ncompatbles s no tenen elementos en común, s no se pueden realzar a la vez. A B =. EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, los sucesos B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} y D = Sacar número acabado en cero = {} son ncompatbles pues no tenen elementos en común, es decr, A B =. 8
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa cumplrá:. Probabldad de un suceso.- Regla de Laplace: S todos los sucesos elementales de un expermento aleatoro son equprobables, se ProbabldaddelsucesoA P(A) úmerodecasos favorablesa A úmerodecasos posbles EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, la probabldad del suceso B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1}, será: P(B) 0,,%. 11 Este resultado no es correcto porque los sucesos elementales en E={, 3,,, 6, 7, 8, 9,, 11, 1} no son equprobables pues, 1 P(Sumar dos) P(), mentras P(3), 3 P(), P(), P(6), 6 P(7), 3 1 P(8), P(9), P(), P(11) y P(1), y por tanto no se puede aplcar Laplace. 11 1 13 1 1 16 1 3 6 3 31 3 33 3 3 E 1 3 6 1 3 6 6 61 663 6 6 66 7 3 6 7 8 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 9 11 11 1 Por el contraro en el espaco formado por todos los 1 sucesos elementales, todos tenen la msma probabldad. La probabldad de sacar múltplo de tres será: P(B) P(3) P(6) P(9) P(1) 1 1 0,3333 33,33%..- Probabldad del suceso mposble: P() = 0 EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, la probabldad del suceso G = Que la 0 suma sea negatva = {}, será, P(G) P( ) 0..- Probabldad del suceso seguro: P(E) = 1 EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, la probabldad del suceso F = Sacar menor que 1 = {, 3,,, 6, 7, 8, 9,, 11, 1} = E, será P(F) P(E) 1..- Probabldad de un suceso cualquera A: 0 P(A) 1 EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, la probabldad del suceso D = Sacar 3 número acabado en cero = {}, será P(D) 0,0833 8,33%..- Probabldad del suceso contraro de A: P( A ) = 1 p(a) EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, la probabldad del suceso A = Sacar 1 3 3 1 18 par = {,, 6, 8,, 1}, será P(A) P() P() P(6) P(8) P() P(1) 0, 0, 6 18 mentras que P( A) P(3) P() P(7) P(9) P(11) 0, 0 que tambén se puede calcular a 18 18 18 partr de la expresón: P( A) 1 P(A) 1 0, 0..- Probabldad de la unón de sucesos compatbles: P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) (AUB se lee A unón B y sgnfca el suceso que se realza cuando se cumple o A o B). EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso A = Sacar par = {,, 6, 8,, 1} y el suceso B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} son sucesos compatbles y por tanto la probabldad del 18 1 6 suceso unón de A y B vene dada por la expresón: P(AUB) p(a) p(b) p(a B) 0, 66. 9
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa.- Probabldad de la unón de sucesos ncompatbles: P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B) = * P(A) + P (B) (Dos sucesos A y B son ncompatbles s se cumple A B = y por tanto P(A B) = 0). EJEMPLO: En el expermento Lanzar dos dados y sumar sus cfras, el suceso B = Sacar múltplo de tres = {3, 6, 9, 1} y el suceso H = Sacar múltplo de cnco = {, } son sucesos ncompatbles y por tanto la probabldad del 1 7 0 19 suceso unón de B y H vene dada por la expresón: P(BUH) p(b) p(h) p(b H) 0, 7, o 1 7 19 ben P(BUH) p(b) p(h) 0, 7, donde se obva el valor de P(B H) = 0..3 Probabldad en expermentos compuestos Un expermento compuesto es el formado por varos expermentos smples. EJEMPLO: El expermento Sacar una carta y segudamente otra carta de una baraja española y anotar sus valores es un expermento compuesto. El espaco muestral sería E = {(As,O), (,O), (3,O),., (Sota,B), (Caballo,B), (Rey,B)}..- Sucesos ndependentes: Dos sucesos A y B se dcen ndependentes s el resultado del segundo no se ve nfluencado por el resultado del prmero. Se cumple: P(A B) = P(A) P(B) EJEMPLO: En un cesto de ropa hay 1 calcetnes lmpos y 0 calcetnes sucos. Se extraen dos calcetnes, con reemplazamento, (sgnfca que se extrae un calcetín, a contnuacón se devuelve el calcetín al cesto y se extrae un segundo calcetín). Calcular la probabldad de que: a) El prmer calcetín sea lmpo y segundo sea suco. b) Un calcetín lmpo y uno suco. c) Sabendo que el prmer calcetín es lmpo, el segundo sea suco. Para calcular la probabldad de estos sucesos debemos dbujar el árbol con las probabldades de cada rama. A contnuacón para cada suceso se localzan la rama o ramas que lo forman tenendo en cuenta que:.- A lo largo de una rama se multplcan las probabldades. (PROBABILIDAD CODICIOADA).- S un suceso se consgue por varas ramas, la probabldad se obtene sumando las probabldades de cada rama. (PROBABILIDAD TOTAL) a) El prmer calcetín sea lmpo y segundo sea suco. Está formada por una sola rama, así que calculamos su probabldad multplcando sus componentes: P(Prmer lmpo y Segundo suco) = P(L 1 y S ) = P(L 1 S ) = P(L 1) P(S ) = P(L) P(S) = 1 0 0 1 3 3 1.0 6 En la práctca debemos esforzarnos por dejar ben clara la probabldad que estamos calculando y aunque no vamos a escrbr tanto como en el ejemplo anteror, sí que por lo menos deberá aparecer: 1 0 0 1 P(L 1 y S ) = P(L 1) P(S ) = 3,% 3 3 1.0 6 b) Un calcetín lmpo y uno suco. En este caso hay dos ramas en las que nos encontramos con un calcetín lmpo y otro suco, calcularemos cada una de las dos ramas y sumamos los resultados: P(Un calcetín lmpo y otro suco) = P(L 1 y S ) + P(S 1 y L ) = P(L 1) P(S ) + P(S 1) P(L ) = 1 0 0 1 0 0 80 30 1 6,88% 3 3 3 3 1.0 1.0 1.0 6 3 Este tpo de stuacones a veces se resuelven utlzando la probabldad del suceso contraro: P(Un calcetín lmpo y otro suco) = 1 P(Dos calcetnes msmo tpo) = = 1 (P(L 1 y L ) + P(S 1 y S )) = 1 (P(L 1) P(L ) + P(S 1) P(S )) = 1 1 0 0 1 00 1.0 80 30 1 1 1 1 6,88% 3 3 3 3 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 6 3
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa c) Sabendo que el prmer calcetín es lmpo, el segundo sea suco. 0 P(Segundo suco cuando prmero ha sdo lmpo) = P(S /L 1) = P(S) = 6,0% 3 8 En este caso nos stuamos a mtad de árbol (de zquerda a derecha) y solamente anotamos su probabldad..- Sucesos dependentes: Dos sucesos A y B se dcen dependentes s el resultado del segundo se ve nfluencado por el resultado del prmero. Se cumple: P(A B) = P(A) P(B/A) o P(B A) = P(B) P(A/B) (P(A/B) se lee probabldad de B cuando A o probabldad de B cuando a ocurrdo A ) EJEMPLO: En un cesto de ropa hay 1 calcetnes lmpos y 0 calcetnes sucos. Se extraen dos calcetnes, sn reemplazamento, (sgnfca que se extrae un calcetín y a contnuacón se extrae un segundo calcetín). Calcular la probabldad de que: a) El prmer calcetín sea lmpo y segundo sea suco. P(Prmer lmpo y Segundo suco) = P(L 1 y S ) = P(L 1 S ) = 1 0 0 1 P(L 1) P(S /L 1) = P(L) P(S/L) =,19% 3 31 99 6 En la práctca debemos esforzarnos por dejar ben clara la probabldad que estamos calculando y aunque no vamos a escrbr tanto como en el ejemplo anteror, sí que por lo menos deberá aparecer: 1 0 0 1 P(L 1 y S ) = P(L 1) P(S /L 1) =,19% 3 31 99 6 b) Un calcetín lmpo y uno suco. P(Un calcetín lmpo y otro suco) = P(L 1 y S ) + P(S 1 y L ) = P(L 1) P(S ) + P(S 1) P(L ) = 1 0 0 1 0 0 3 31 3 31 99 99 80 30 1 8,38% 99 6 31 Este tpo de stuacones a veces se resuelven utlzando la probabldad del suceso contraro: P(Un calcetín lmpo y otro suco) = 1 P(Dos calcetnes msmo tpo) = = 1 (P(L 1 y L ) + P(S 1 y S )) = 1 (P(L 1) P(L /L 1) + P(S 1) P(S /S 1)) = 1 11 0 19 13 380 1 99 1 80 30 1 1 1 1 8,38% 3 31 3 31 99 99 99 99 99 99 6 31 c) Sabendo que el prmer calcetín es lmpo, el segundo sea suco. P(Segundo suco cuando prmero ha sdo lmpo) = P(S /L 1) = P(S) = 0 0 6,% P(S) = 31 3 Tanto en el caso de con devolucón como en el caso de sn devolucón, la suma de las probabldades de las cuatro ramas que forman el árbol debe ser uno..- Con reemplazamento: P(TODO EL ÁRBOL) = P(L 1 y L ) + P(L 1 y S ) + P(S 1 y L ) + P(S 1 y S ) = P(L 1) P(L ) + P(L 1) P(S ) + P(S 1) P(L ) + 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 00 1.0 P(S 1) P(S ) = 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0.- Sn reemplazamento: P(TODO EL ÁRBOL) = = P(L 1 y L ) + P(L 1 y S ) + P(S 1 y L ) + P(S 1 y S ) = P(L 1) P(L /L 1) + P(L 1) P(S /L 1) + P(S 1) 1 11 1 0 0 1 0 19 13 0 0 380 99 P(L /S 1) + P(S 1) P(S /S 1)= 1 3 31 3 31 3 31 3 3 99 99 99 99 99 11
3º ESO ESTADÍSTICA DEPARTAMETO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julo César Abad Martínez-Losa OTAS_ COMBIATORIA y PROBABILIDAD * SÍMBOLOS: _ Implca ó quere decr ó supone que, la relacón es certa de zquerda a derecha. _ Implca ó quere decr ó supone que, la relacón es certa de derecha a zquerda. _ Doble mplca, la relacón es certa en ambos sentdos. _ Dstnto _ Infnto _ Aproxmado _ Pertenece _ o pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Exste _ o exste α _ Alfa β _ Beta _ Gamma > _ Mayor que _ Mayor o gual que < _ Menor que _ Menor o gual que \ _ Menos de conjuntos _ Conjunto vacío 1