3.1. Característcas del Matlde Machado 1 3.1. Característcas del El análss formal de una stuacón de empeza por la formulacón de un juego. Componentes de un juego: Jugadores Estratégas posbles para cada jugador Funcones de utldad para cada jugador Conjunto de reglas ej: quén juega prmero Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 2 1
3.1. Característcas del Ejemplo: Jugador 1 A Jugador 2 C D 3,0 1,-1 B 4,2-2,1 Estratégas: jugador 1 {A,B} jugador 2 {C,D} Utldades: jugador 1: juega A =3 o 1; juega B = 4,-2 jugador 2: juega C =0 o 2; juega D =-1, 1 Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 3 3.1. Característcas del Ejemplo (cont.: Reglas del juego: cada jugador elje su estratéga ndependentemente del otro. Pero como la utldad es funcón de la eleccón de ambos jugadores hay una nterdependenca de estratégas que es característca de la teoría de juegos Solucón del juego: El concepto más utlzado en teoría d juegos es el de equlbro de Nash. Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 4 2
3.1. Característcas del Equlbro de Nash un vector de estratégas (uno para cada jugador consttuye un equlbro de Nash s nngún jugador puede mejorar (en sentdo estrcto su utldad a través de un cambo unlateral de estratéga (es decr dada la estratéga del otro jugador.. Volvamos al juego Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 5 3.1. Característcas del Jugador 1 A Jugador 2 C 3,0 D 1,-1 B 4,2-2,1 Jugador 2: S el 1 juega A mejor respuesta C; u=0 S el 1 juega B mejor respuesta C; u=2 C es estratéga domnante para el jug. 2 porque es sempre superor a D Jugador 1: S el 2 juega C mejor respuesta B; u=4 S el 2 juega D (que no va a jugar mejor respuesta A; u=1 {B,C} es el únco conjunto de estratégas de equlbro. Satsface la condcón de Nash. Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 6 3
3.1. Característcas del Más formalmente, {B,C} es un equlbro de Nash porque: arg max U ( b, c U ( a, c o alternatvamente b= U (, c 1 1 1 arg max U ( b, c U ( b, d o alternatvamente c = U ( b, j 2 2 2 j Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 7 3.1. Característcas del En Economía ndustral: Los jugadores van a ser empresas Las estratégas van a ser precos, cantdades producdas, publcdad, caldad del producto, I+D, capacdad, etc. Las utldades van a ser benefcos Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 8 4
3.1. Característcas del Un ejemplo: Suponga que las empresas A y B pueden lanzar una campaña publctara. La campaña publctara cuesta 10 ml Euros. La empresa A tene una ventaja en relacón a B y se lleva todos los benefcos de la campaña s ambas las empresas ncan la campaña a la vez. S la empresa B es la únca en lanzar la campaña entonces sus benefcos aumentan. La matrz que caracterza al juego es la sguente. Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 9 3.1. Característcas del A P B P 190,-10 NP 190,0 NP 100,110 100,100 Que hará la empresa A? Depende de lo que haga B y vce-versa. Cada empresa quere maxmzar su benefco pero tene que tener en cuenta que su rval quere lo msmo. Para construr el equlbro de Nash tenemos prmero que construr las funcones de reaccón (funcón de mejor respuesta. R A (P=P; R A (NP=P y para B: R B (P=NP; R B (NP=P Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 10 5
3.1. Característcas del Generalzando La funcón de benefcos es contnua en las estrategas del jugador y de su rval Las estrategas son accones, es decr son un vector 1 1, contenen un únco elemento Π ( a, aj benefco de la empresa cuando realza la accón a y su oponente la accón a j donde a A y a j A j. * * El par ( a, aj es un equlbro de Nash s y solamente s: Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 11 3.1. Característcas del s y solamente s: Π ( a, a Π ( a, a a a A j Π ( a, a Π ( a, a a a A * * * * j j * * j * * j j j j j O lo que es lo msmo: * * a = arg max Π ( a, aj a * j * aj = arg max Π ( a, aj a j Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 12 6
3.1. Característcas del S tenemos solucones nterores: * * 2 * * Π ( a *, aj Π ( a, aj a satsface = 0; 0 2 a a j * * 2 j * * Π ( a, (, * aj Π a aj a j satsface = 0; 0 2 aj aj Supongamos que A =A j =R y que Π y Π j son cóncavas (.e. Π <0 y Π j jj<0 para todos los valores de a y a j la CPO es sufcente para caracterzar el equlbro de Nash (sstemas de 2 ecuacones y 2 ncógntas. Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 13 3.1. Característcas del Funcón de Reaccón: R (a j es la mejor respuesta de la empresa a la accón a j de la empresa j. R (a j satsface: R( a = arg max Π ( a, a j j a o lo que es lo msmo, Π ( R( aj, aj = 0 a Entonces el eq. de Nash se puede defnr como: * * a = R( aj * * aj = Rj( a Cada empresa reaccona óptmamente a la accón de su oponente Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 14 7
3.1. Característcas del Pendente de la funcón de Reaccón: Escríbase la CPO como: Π a ( R aj aj 1 ( R aj aj (, = Π (, = 0 Dferencando totalmente (es una funcón de a j : Π R( a, a R ( a +Π R( a, a = 0 ( j j j ( j j Π12 ( R( aj, aj ( j 11 ( R( aj, aj 11 12 Pendente de la R a = Π funcón de reaccón Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 15 Como 3.1. Característcas del ( Π 11 < 0 sgno R ( aj sgno 12 R( aj, a = Π j Complementos estratégcos: S Π 12 > 0 lo que sgnfca que a j Π1 es decr aumenta el benefíco margnal de la accón a a a 2 R 2 (a 1 La funcón de reaccón tene pendente postva a 1 Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 16 8
3.1. Característcas del Para encontrar el equlbro de Nash: a 2 R 1 (a 2 R 2 (a 1 a* 2 a* 1 a 1 Nota: precos suelen ser complementos estratégcos (.e. s el rval sube el preco nosotros tambén vamos a querer subrlo mentras que cantdades suelen ser susttutos estratégcos (cuando el rval aumenta la produccón nosotros la reducmos Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 17 3.1. Característcas del Susttutos estratégcos: S Π 12 < 0 lo que sgnfca que a j Π1 es decr dsmnuye el benefíco margnal de la accón a a es decr la funcón de reaccón tene pendente negatva a 2 R 1 (a 2 a* 2 E El punto E=(a* 1,a* 2 es el equlbro de Nash R 2 (a 1 a* 1 a 1 Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 18 9
3.1. Característcas del Nota: En juegos de accones smultaneas no hay aspectos dnámcos por lo que no exste una reaccón real. La curva de reaccón nos dá nada más que la relacón entre la accón del adversaro y nuestra mejor accón frente a ella. El equlbro es alcanzado nmedatamente (por eso no hay nnguna reaccón. Puntos dstntos a E nunca son observados. En juegos de accones secuencales puede haber una reaccón estrcta. Modelos con Comportamento Estratégco: Modelo de Cournot varable estratégca es la cantdad Modelo de Bertrand varable estratégca es el preco Modelo de Stackelberg modelo secuencal Economía Industral - Matlde Machado Característcas del 19 10