.- DEFINICION. MÉTODO DE LS COMPONENTES SIMÉTRICS Un tern simétric de vectores (f.e.m., tensiones, corrientes, impedncis),b y C puede descomponerse en tres terns simétrics, llmds componentes simétrics del sistem ddo (Fortescue - 98). Los tres sistems simétricos se distinguen entre si por l secuenci de los vectores, sber : direct (positiv o ), invers (negtiv o ) y homopolr (tres vectores en fse - secuenci 0). De cuerdo con l definición : = + + 0 B = B + B + B 0 C = C + C + C 0 Este método encuentr plicción en el estudio de los regímenes simétricos de los sistems trifásicos. En muchos problems relciondos con máquins rottivs, flls en línes de trnsmisión y de interferencis cusds por línes de trnsmisión de energí, es el único método de trtmiento riguroso. 33
. CÁLCULO DE LOS VECTORES LLVE. OPERDOR DE GIRO. L descomposición propuest en el prtdo d por resultdo tres sistems simétricos, siendo suficiente clculr prtir de los dtos, B y C los vectores llve correspondientes l primer fse, y 0, y que ls restntes componentes simétrics poseen igul módulo y defsjes de 0 respecto de quellos ( 0 en l tern homopolr). O se que en un sistem simétrico se trt de trbjr con un sol fse. Designmos operdor de giro ( o fctor de fse s/zeveke-ionkin, Principios de Electrotecni) l versor = e jπ/3. Un vector multiplicdo por experiment un rotción de 0 en sentido ntihorrio. El versor posee ls siguientes propieddes : = e jπ/3 = -0,5 + j0,866 = e j4π/3 = -0,5 - j0,866 3 = 4 = + + = 0 En el sistem de ecuciones del prtdo, plntedo prtir de l definición, podemos reemplzr ls componentes simétrics en función de ls componentes llve, hciendo uso del operdor : = + + 0 B = + + 0 C = + + 0 Sumndo ls tres ecuciones y teniendo en cuent ls propieddes del operdor result : 0 = ( + B + C)/3 Multiplicndo l segund ecución por, l tercer por obtenemos : y sumndo 34
35 De modo nálogo se deduce : Ls tres fórmuls permiten el cálculo de los vectores llve. 3. SOLUCIÓN MTRICIL. El sistem de ecuciones en los vectores llve puede plnterse en form mtricil : B C = 0 Invirtiendo l mtriz de operdores de giro result : [ ] = 3 Premultiplicndo m..m. el sistem de ecuciones por [] - obtenemos : B C 0 3 = Resultdo que reproduce ls fórmuls obtenids en el prtdo nterior. Los resultdos obtenidos son independientes de l form de presentción de los dtos. Si l tern simétric se expresr como vector fil, resultrí : = ( + B + C)/3 = ( + B + C)/3 DEMOSTRR
= B C 3 [ 0] [ ] 4. EJERCICIO. Clculr ls componentes simétrics de los sistems de corrientes de un líne de trnsmisión en ls siguientes situciones : ) Cortocircuito bifásico, b) Cortocircuito de un fse tierr. Efectur el cálculo nlític y gráficmente. 5. GENERDOR SIMÉTRICO QUE LIMENT UN CRG SIMÉTRIC. IMPEDNCI DE SECUENCI CERO. Se el sistem trifásico de l Fig. : Descomponiendo ls f.e.m. del generdor en sus componentes simétrics, el sistem puede representrse de cuerdo l Fig. 3. Ls corrientes pueden clculrse plicndo el principio de superposición. Pr ls f.e.m. de secuenci direct e invers l crg es equilibrd y vlen los circuitos monofásicos equivlentes (se trbj con un fse). Debe clrrse, y puede demostrrse experimentlmente que ls impedncis de ls línes, impedncis de crg psivs y trnsformdores, no son diferentes pr un sistem polifásico de f.e.m., cundo dos línes se intercmbin (secuenci contrri). De llí que ls impedncis Z pr secuenci direct y secuenci invers tengn igul vlor. Est propiedd no es extensiv máquins rottivs. 36
Corriente de secuenci direct : I =E /Z Corriente de secuenci invers : I =E /Z Pr clculr l corriente de secuenci cero u homopolr dibujmos l red de l figur 4. Siendo los tres generdores de secuenci cero idénticos (módulo y fse), result simple probr que ls corrientes de secuenci cero tmbién lo son, y en consecuenci l corriente del neutro es I n =3I 0 y l tensión del neutro result U o =3Z n I 0. Entonces podemos clculr l impednci de secuenci cero Z 0 : E 0 = ZI 0 + 3Z n I 0 Z 0 = E 0 /I 0 = Z + 3Z n 37
Se notrá que l corriente de retorno tierr o neutro, es tres veces myor que ls componentes individules de secuenci cero de ls corrientes de líne. Cd conductor de l líne llev un componente de corriente igul en mgnitud y fse ls componentes similres de ls otrs dos línes. Ests componentes de secuenci cero son llmds componentes monofásics y tienen un importnte significción físic con relción l interferenci inductiv entre línes de potenci trifásic y línes de comunicciones prlels. Cundo ls corrientes de líne tienen componentes monofásics, ningun form de trsposición de los conductores de l líne del sistem de potenci evitrá que ests componentes estblezcn interferenci inductiv en ls línes de comunicciones prlels y l rzón es que los componentes monofásicos de los tres conductores de l líne estblecerán interferencis mgnétics igulmente orientds. Ls componentes de secuenci cero de ls corrientes de líne de sistems en estrell conectdos tierr o tetrfilres son tmbién de importnci en el cálculo de ls corrientes de cortocircuito en los sistems de potenci. (Ver ejercicio 4). KERCHNER Y CORCORN. 38
COMPONENTES SIMÉTRICS DE LS TENSIONES DE FSE EN UN CRG DESEQUILIBRD. Se trt de determinr ls componentes simétrics de ls tensiones de fse U R, U S y U T, Fig. 5. L definición de componentes simétrics es plicble culquier tern simétric de vectores, tl como l formd por ls impedncis complejs Z R, Z S y Z T, prtir de l cul pueden clculrse ls componentes llve Z, Z y Z 0. Result el circuito equivlente de l Fig. 6 Ls tensiones de fse son igules l producto de ls impedncis por ls corrientes respectivs. En función de ls componentes simétrics de ls impedncis y corrientes obtenemos : 39
U U U R S T ( Z + Z + Z I + I + I 0).( 0) = ( Z + Z + Z0).( I + I + I0) ( Z + Z + Z ).( I + I + I ) 0 0 plicmos los resultdos del prtdo 3 pr obtener l ecución mtricil de los tensiones llve U U = U 0 ( Z + Z + Z0).( I + I + I0) Z Z Z0 I I I0 3 ( + + ).( + + ) ( Z + Z + Z0).( I + I + I0) Efectundo ls operciones de mtrices y teniendo en cuent ls propieddes del operdor de giro que permiten simplificr ls expresiones intermedis se lcnz el siguiente resultdo : DEMOSTRR U U U 0 Z0I + ZI + Z I 0 = ZI + Z0I + ZI0 ZI + ZI + Z0I0 El orden del sistem que pertenece un cíd de tensión ZI es igul l sum de los órdenes que pertenecen Z e I individulmente. 40
7. COPLMIENTO MGNÉTICO ENTRE FSES. MTRIZ DE IMPEDNCIS DE SECUENCI. Si ls tres fses (incluyendo los conductores de líne) poseen un coplmiento mgnético, tl como se muestr en l Fig. 7, se obtiene pr ls tensiones de fse l siguiente ecución mtricil : U U U R S T Z Z Z = Z Z Z Z Z Z RR RS RT SR SS ST TR TS TT I R IS IT donde Z ii = impednci propi de l fse i Z ij = impednci mutu entre fses i y j L ecución obtenid puede ser puest en función de ls componentes llve de ls tensiones y corrientes de fse. Siendo [] l mtriz de operdores de giro del prtdo 3, puede escribirse : U U 0 Z Z Z Z Z Z RR RS RT [ ] U = Z Z Z [ ] SR SS ST TR TS TT I I I0 4
Premultiplicndo m..m. por [] - [] -.[].[U,,0 ] = [] -.[Z R,S,T ].[].[I,,0 ] Recordndo que un mtriz multiplicd por su invers es igul l mtriz unidd y definiendo como mtriz de impedncis de secuenci : [Z,,0 ] = [] -.[Z R,S,T ].[] result Pr un mtriz de impedncis de fse simétric, es decir Z ij = Z ji = Z m y con impedncis equilibrds Z ii = Z, result Z 0 0 Z Zm 0 0 0 Z 0 0 Z Zm 0 = 0 0 Z0 0 0 Z + Zm expresión válid pr elementos psivos. 8. POTENCI EN TÉRMINOS DE COMPONENTES SIMÉTRICS. L potenci complej totl es : [U,,0 ] = [Z,,0 ].[I,,0 ] En el péndice se demuestr est importnte expresión hciendo uso del progrm MTHEMTIC. S = U R.I R * + U S.I S *+ U T.I T * donde los steriscos indicn mgnitudes complejs conjugds. Reemplzndo tensiones y corrientes en función de sus componentes simétrics, desrrollndo y teniendo en cuent ls propieddes del versor, result : S = 3.( U.I * + U.I *+ U 0.I 0 *) Los productos de componentes simétrics de distint secuenci no contribuyen l potenci. 4
BIBLIOGRFI. Principios de Electrotecni. Zeveke - Ionkin. Tomo I. Circuitos de Corriente ltern. Kerchner y Corcorn. CECS. Circuitos Eléctricos. MIT. CECS. Introducción l nálisis de los Sistems Eléctricos de Potenci. Enríquez Hrper. LIMUS. 43