Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6. APLCACONES DE LA NTEGRAL. 6.1. ntegrles impropis: convergenci. Se debe Cuchy l primer extensión de l integrl pr funciones denids en un intervlo no cotdo y pr funciones no cotds en los extremos del intervlo, es lo que conocemos en l ctulidd como vlor principl de Cuchy. L denición de integrl impropi se debe Riemnn. 6.1.1. ntegrción en intervlos no compctos Denición 6.1. Se f : [, + ) R con f R[, b] pr todo b >. Se llm integrl impropi de primer especie de f en [, + ) l ite f(x) dx. Si existe el ite y es nito, se dice que b + l integrl impropi es convergente; en cso contrrio se dice que l integrl impropi es divergente. Si es convergente se escribe: Observción 6.2. f(x) dx = b + () Si f tiene primitiv F en [, + ), entonces f(x) dx = f(x)dx. [ ] [F (b) F ()] = F (b) b + b + F () = F (+ ) F (). (b) Si f : (, b] R con f R[, b] pr todo < b, se dene nálogmente: f(x) dx = f(x)dx. Denición 6.3. Se f : [, b) R con f R[, c] pr todo c (, b). Se llm integrl impropi de segund especie de f en [, b) l ite c b c integrl impropi es convergente, y su vlor se denot por integrl impropi diverge. Análogmente se procede si f está denid en (, b]. f(x) dx. Si existe el ite y es nito, se dice que l f(x) dx. En cso contrrio se dice que l Observción 6.4. No se exige en est denición que f se cotd. De ser sí, signándole f un vlor en b, comprobrímos que es integrble en [, b], que existe l integrl impropi y que tienen el mismo vlor. Deprtmento de Análisis Mtemático 1 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 Teorem 6.5. Se lgún intervlo de l form [, ), (, b], [, b) ó (, b]. Y sen f, g : R tles que ls integrles impropis f(x) dx g(x) dx convergen, entonces tmbién convergen (f(x) + g(x)) dx y αg(x) dx, α R y se veric: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, αg(x) dx = α g(x) dx. Denición 6.6. Se f : R R con f R[, b],, b R ( < b). Decimos que si existe un R tl que f(x) dx e f(x) dx = f(x) dx convergen; en ese cso, f(x) dx + f(x) dx. Observción 6.7. Puede probrse que en l denición nterior el vlor de es irrelevnte. f(x) dx converge Denición 6.8. Se f : R R con f R[, ], R. Se llm vlor principl de Cuchy de f(x) dx l ite + f(x) dx. Observción 6.9. Evidentemente no coinciden en generl el vlor principl de Cuchy con l integrl impropi en todo R (tomr por ejemplo f(x) = x), pero si vlor principl de Cuchy y mbos coinciden. Denición 6.1. Se f : (, + ) R con que cso, x f(x) dx es convergente si existe un c > tl que f(x) dx = c f(x) dx converge, entonces existe el + f(x) = y f R[b, c] [b, c] (, + ). Se dice f(x) dx + c f(x) dx e c f(x) dx A ests integrles se les llm integrles mixts de primer y de segund especie. c f(x) dx convergen, en cuyo Observción 6.11. Es clro que pueden drse deniciones nálogs pr otros tipos de intervlos. 6.1.2. Criterios de convergenci Los resultdos que vmos exponer son válidos tnto pr integrles impropis de primer especie como de segund especie, por lo que los enunciremos sólo pr ls de primer especie. Deprtmento de Análisis Mtemático 2 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 Teorem 6.12. Se l función f : [, + ) R con f(x), x [, + ) y f R[, b], b R, (b > ). Entonces f(x) dx converge si y sólo si existe M > tl que f(x)dx M, b. Teorem 6.13 (Criterio de comprción). Sen f, g : [, + ) R, dos funciones con f, g R[, b], b > y tles que pr todo x [, + ), se tiene que f(x) g(x). Se veric: () Si (b) Si g(x) dx converge, entonces f(x) dx diverge, entonces f(x) dx converge y es g(x) dx diverge. f(x) dx g(x) dx. Teorem 6.14 (Criterio de comprción por pso l ite). Sen f, g : [, + ) R, dos funciones f(x) con f(x), g(x), f, g R[, b], b > y tles que = λ. Se veric: x + g(x) () Si < λ < +, ls integrles (b) Si λ = y (c) Si λ = + y f(x) dx e g(x) dx es convergente, entonces g(x) dx es divergente, entonces g(x) dx tienen el mismo crácter. f(x) dx tmbién es convergente. f(x) dx tmbién es divergente. Ejemplo. Estos criterios de comprción necesitn del conocimiento del crácter de lgun integrl impropi que sirv de test. Hbitulmente utilizremos ls siguientes integrles. 1 1 () dx ( > ) que converge si α > 1. xα (b) dx ( > ) que converge si α < 1. xα (c) e x dx ( R) es convergente. Teorem 6.15. () Se f : [, + ) R integrble Riemnn en [, b], b. Se veric: (i) Si existe p > 1 tl que (ii) Si existe p 1 tl que x + xp f(x) = λ con λ < +, entonces x + xp f(x) = λ con < λ +, entonces (b) Se f : (, b] R integrble Riemnn en [, b], (, b). Se veric: (i) Si existe p < 1 tl que (ii) Si existe p 1 tl que x + xp f(x) = λ con λ < +, entonces x + xp f(x) = λ con < λ +, entonces f(x) dx converge. f(x) dx diverge. f(x) dx converge. f(x) dx diverge. Deprtmento de Análisis Mtemático 3 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.1.3. Convergenci bsolut Cundo el signo del integrndo no es constnte, es más complicdo estudir l convergenci de l integrl impropi. Sin embrgo, podemos relcionr l convergenci de l integrl impropi de un función con l de su vlor bsoluto. Denición 6.16 (Convergenci bsolut y condicionl). Se f : [, + ) R. Se dice que l integrl f(x)dx es bsolutmente convergente si f(x) dx es convergente. Si f(x)dx es convergente pero f(x) dx es divergente, se dice que l integrl impropi es condicionlmente convergente. Observción 6.17. Análogmente se denen los conceptos nteriores pr ls integrles impropis de segund especie. Teorem 6.18. Si f(x)dx converge bsolutmente, entonces f(x)dx es convergente. Observción 6.19. El recíproco del teorem nterior no es cierto, y que no es difícil comprobr que 1 x p sen x dx converge si p >. Pero est integrl es bsolutmente convergente si p > 1 y l convergenci es condicionl pr < p 1, y que en este cso, l integrl 1 x p sen x dx diverge. 6.1.3.1 Criterios de convergenci pr funciones con signo vrible En est sección vmos proporcionr dos criterios de convergenci pr integrndos con signo vrible y que permite estudir l convergenci de un integrl sin cudir l convergenci bsolut. Teorem 6.2 (Criterio de Abel). Sen f, g : [, + ) R dos funciones tles que f R[, + ) y g es monóton y cotd en [, + ). Entonces l integrl f(x)g(x)dx es convergente. Teorem 6.21 (Criterio de Dirichlet). Sen f, g : [, + ) R dos funciones tles que f es continu y con primitiv cotd y g es decreciente, con derivd primer continu y con l integrl f(x)g(x)dx es convergente. Existen criterios semejntes pr integrles impropis de segund especi. g(x) =. Entonces x + Deprtmento de Análisis Mtemático 4 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.1.3.2 Ls funciones Gmm y Bet Un de ls más importntes plicciones de ls integrles impropis es l construcción de ls funciones Gmm y Bet. Denición 6.22. Se llm función gmm de Euler l función Γ : (, + ) R dd por Γ(x) = e t t x 1 dt. Observción 6.23. Est denición tiene sentido, pues si considermos l integrl impropi e x x p 1 dx = 1 e x x p 1 dx + tenemos que, plicndo los criterios de convergenci nteriores, e x x p 1 dx 1 converge p R, mientrs que 1 e x x p 1 dx converge p >. Por tnto, Proposición 6.24. e x x p 1 dx converge p >. 1 e x x p 1 dx () Γ(1) = 1. (b) x >, Γ(x + 1) = xγ(x). (c) n N, Γ(n) = (n 1)!. Denición 6.25. Se llm función bet de Euler l plicción B : (, + ) (, + ) R dd por B(x, y) = 1 t x 1 (1 t) y 1 dt. Se puede comprobr, plicndo los criterios de convergenci, que l denición nterior tiene sentido, es decir, l integrl impropi es convergente pr x, y >. Proposición 6.26. Se veric: () B(x, y) = B(y, x). (b) B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). Deprtmento de Análisis Mtemático 5 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.2. Aplicciones geométrics. 6.2.1. Áre de gurs plns. 6.2.1.1 Áre encerrd entre un curv y el eje de bsciss. Se f : [, b] R un función integrble, tl que f(x) x [, b]. El áre del recinto C = {(x, y) R 2 : x b, y f(x)} viene dd por l integrl: Are(C) = f(x) dx. Est denición se puede extender otros recintos plnos. Se f : [, b] R un función integrble y se Fig. 1: Áre encerrd por un curv C = {(x, y) R 2 : x b, f(x) y }. Si f(x) x [, b], el áre del recinto C es Are(C) = f(x) dx. En generl, si l función no tiene signo constnte, el áre del recinto C serí l sum de ls áres prciles de los recintos donde se conserv el signo, o equivlentemente, Are(C) = f(x) dx. Fig. 2: Áre encerrd por un curv bjo el eje (izq.) y un curv que trvies el eje (dch.) Deprtmento de Análisis Mtemático 6 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.2.1.2 Áre encerrd entre dos curvs. Sen, hor, f, g : [, b] R integrbles, tles que f(x) g(x). El áre del recinto C = {(x, y) R 2 : x b, g(x) y f(x)} viene dd por l integrl: Are(C) = (f(x) g(x)) dx. Fig. 3: Recinto encerrdo por 2 curvs En generl, si ls grács de mbs funciones se cortn entre sí vris veces, el áre del recinto C limitdo por ls verticles x =, x = b y ls curvs f(x) y g(x) será Are(C) = f(x) g(x) dx. Observción 6.27. Es fácil escribir ls fórmuls nálogs pr áres de regiones del tipo {(x, y) R 2 : c y d, g(y) x f(y)}. 6.2.1.3 Áre encerrd por curvs en coordends polres. Se r : [t, t 1 ] R un curv continu en coordends polres, y se C = {(r, t) : t t t 1, r r(t)}, es decir, C es el recinto limitdo por el rco de curv r(t) y los rdio vectores OA y OB, siendo A = (t, r(t )) y B = (t 1, r(t 1 )). Entonces el áre de dicho recinto es Are(C) = 1 2 t1 t r(t) 2 dt. Fig. 4: Áre en coordends polres. Deprtmento de Análisis Mtemático 7 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.2.1.4 Áre encerrd por curvs en prmétrics. Un curv en el plno es un plicción continu γ : [, b] R 2. Si γ(t) = (x(t), y(t)), decimos que x = x(t), y = y(t) son un ecuciones prmétrics de l curv. El punto A = γ() es el punto inicil u origen, mientrs que B = γ(b) es el punto nl o extremo. Si γ() = γ(b), se dice que l curv es cerrd. Se dice que l curv es simple si no se cort sí mism (slvo, lo más, en los extremos). Es decir, un curv es simple si γ es inyectiv en (, b). Se C l región del plno roded por un curv cerrd simple Fig. 5: Áre en prmétrics. γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b] tl que ls funciones x(t), y(t) son derivbles y con derivd continu. Supongmos que, medid que el prámetro t vnz desde hst b, l curv cerrd se recorre en sentido nti-horrio (es decir, l región del plno qued l izquierd). En ests condiciones Are(C) = x(t)y (t) dt = x (t)y(t) dt = 1 2 ( x(t)y (t) x (t)y(t) ) dt. 6.2.2. Longitud de rcos de curv. 6.2.2.1 Longitud de un curv en coordends crtesins. Denición 6.28. Se f : [, b] R cotd. Pr cd P P[, b], denimos l(f, P ) := n k=1 (x k x k 1 ) 2 + (f(x k ) f(x k 1 )) 2, es decir, l longitud de l poligonl que une los puntos (x k, f(x k )), k =,..., n. Observción 6.29. Si P, Q P[, b] y P Q, entonces l(f, P ) l(f, Q). Denición 6.3. Se dice que l curv y = f(x) es recticble si existe sup{l(f, P ) : P P[, b]}. En tl cso, se dene l longitud del rco de curv como L(f) = sup{l(f, P ) : P P[, b]}. Teorem 6.31. Se f : [, b] R un función continu, derivble y con derivd integrble. Entonces Deprtmento de Análisis Mtemático 8 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 l curv y = f(x) es recticble en [, b] y se cumple que L(f) = 1 + f (x) 2 dx. 6.2.2.2 Longitud de un curv en coordends polres. Se r = r(t) un función derivble con derivd cotd. L longitud del rco de curv polr comprendid entre los rdiovectores de ángulos t y t 1 viene dd por L = t1 t r(t) 2 + r (t) 2 dt. 6.2.2.3 Longitud de un curv en prmétrics. Se γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b] un curv prmétric tl que x(t) e y(t) son derivbles y con derivd continu. Entonces l longitud del rco de curv comprendido entre A = γ() y B = γ(b) es L(f) = x (t) 2 + y (t) 2 dt 6.2.3. Volúmenes de sólidos. 6.2.3.1 Principio de Cvlieri. Se D un sólido tridimensionl y se S(x) el áre de l sección del sólido D con el plno π x perpendiculr l eje OX en el punto de bscis x, es decir, S(x) = Are(D π x ). Supongmos que S(x) x [, b] y que S(x) es un función continu en el intervlo [, b]. Entonces el volumen del sólido D viene ddo por Vol(D) = S(x) dx. Fig. 6: Principio de Cvlieri. Deprtmento de Análisis Mtemático 9 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.2.3.2 Sólidos de revolución. 6.2.3.2.1 Coordends crtesins. En lo que sigue, se f : [, b] R un función continu (y positiv). Consideremos el recinto plno C ddo por C = {(x, y) R 2 : x b, y f(x)}. Se D x el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OX. Entonces Vol(D x ) = π f(x) 2 dx. Fig. 7: Sólidos de revolución l girr lrededor del eje OX (izq.) y del eje OY (dch.) Se D y el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OY. Entonces Vol(D y ) = 2π xf(x) dx. 6.2.3.2.2 Sólidos de revolución en prmétrics. Se C l región del plno roded por un curv cerrd simple γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b] tl que ls funciones x(t), y(t) son derivbles y con derivd continu. Supongmos que, medid que el prámetro t vnz desde hst b, l curv cerrd se recorre en sentido nti-horrio (es decir, l región del plno qued l izquierd). Se D x el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OX. Entonces Vol(D x ) = π y(t) 2 x (t) dt. Deprtmento de Análisis Mtemático 1 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 Se D y el sólido obtenido l girr el recinto C lrededor del eje OY. Entonces Vol(D y ) = π 6.2.4. Áres de supercies de revolución. 6.2.4.1 Coordends crtesins. x(t) 2 y (t) dt. Se f : [, b] R un función derivble con derivd continu. Se S l supercie revolución generd l hcer girr l curv y = f(x) (entre x = y x = b) lrededor del eje OX. Entonces el áre de l supercie (lterl) generd es Are(S) = 2π 6.2.4.2 Coordends prmétrics. f(x) 1 + f (x) 2 dx. Se γ(t) = (x(t), y(t)), t [, b] un curv tl que ls funciones x(t), y(t) son derivbles y con derivd continu. Entonces el áre de l supercie (lterl) S generd l girr γ lrededor del eje OX es Are(S) = 2π y(t) x (t) 2 + y (t) 2 dt. 6.3. Aplicciones físics. Son muchs ls plicciones de l integrl l cmpo físico, de entre ells destcmos ls siguientes: 6.3.1. Momentos estático. El momento estático respecto de los ejes de bsciss y de ordends de un curv x = x(s), y = y(s) donde el prámetro s es l longitud del rco es: L L M x = y(s) ds, M y = x(s) ds, donde L l longitud totl del rco. Los respectivos momentos estáticos de un gur pln {(x, y) R 2 : x b, y f(x)} son: M x = 1 2 f(x) f(x) dx, M y = x f(x) dx. Deprtmento de Análisis Mtemático 11 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)
Tem 6. Aplicciones de l intergrl. Curso 217/18 6.3.2. Momentos de inerci. El momento de inerci respecto un eje l de un sistem de n puntos mteriles de mss m 1, m 2,..., m n n es l = m i d 2 i. Cundo l distribución de l ms se continu, entonces i=1 l = h 2 (x)m (x) dx donde m(x) es l ms y h(x) l distnci l eje OX, con y b los puntos extremos del cuerpo en cuestión. 6.3.3. Centro de grvedd. Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un rco de curv pln y = f(x) ( x b) son: x = 1 L x 1 + (f (x)) 2 dx, y = 1 L f(x) 1 + (f (x)) 2 dx, donde L es l longitud del rco de curv. Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un región pln {(x, y) R 2 : x b, y f(x)} son: donde S es el áre de l gur. x = 1 S xf(x) dx, y = 1 2S (f(x)) 2 dx, 6.3.4. Trbjo. Si un fuerz vrible F = F (x) ctú en l dirección del eje de bsciss, el trbjo efectudo por l mism desde x 1 hst x 2 viene ddo por W = x2 x 1 F (x) dx. Deprtmento de Análisis Mtemático 12 Análisis Mtemático (Grdo en Físic)