Ejrcicios para aprndr a intgrar Propidads d las intgrals: af ) d = a f d b f ) d = Rglas d intgración: ad = a ( f ± g( ) d = f d ± g( ) d a a b [ F( ) ] = F( b) F( ) ( f d = a b Polinomios y sris d potncias a n+ n d = n n + + d ln = + Ejmplos: 0 0 d = d = + ( + + ) d= + + d d d = = d = d ln = = + 0 0 ( + + ) d = d + d + d = + + Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) d b) + ) d 7 d) ( + 8 + ) d ) g) d + h) ( c) ( + ) d i + d f) ( π + + ) + 00 d d i) + d 0 j) ( 7 + ) d ) ( + + ) d l) ( + + ) π / / m) ( + ) d n) ( + ) d ñ) ( + ) a) d) b) 8 + 8 + 8 ) + c) + + + 0 g) ln h) + 0 j) 7ln ) + + / / m) + / / + / π n) π + + π / f) i) l) ñ) d + d π + + i+ + + π + + i+ + ln + + +
Torma dl cambio d variabls (Método d sustitución) El método dl cambio d variabls s utilizado básicamnt con dos fins muy distintos: ) Consguir qu una prsión complicada parzca más sncilla, d tal forma qu sa inmdiata su intgración. ) Cambios d un sistma d coordnadas a otro, pasando d coordnadas cartsianas a polars, cilíndricas o sféricas, sgún convnga. Vamos a nunciar l torma dl cambio d variabls n intgración. Torma: Sa g() una función con drivada g' continua n[ a, b], y sa ([ ]) f : g a, b continua. Entoncs, hacindo l cambio d variabl t = g(), rsulta: b f ( g( )) g'( ) d = a g( b) g( a) f ( t) dt A vcs s mpla l torma dl cambio d variabls al rvés: b a f d = g ( b) f ( g( t)) g'( t) g ( a) Est s l torma gnral cuando tnmos intgrals dfinidas, por ahora solo studiamos l caso d intgrals indfinidas. Por tanto utilizarmos: f ( g ( )) g '( ) d = f ( t ) dt f d = f gt g tdt ( ) ' t = g dt = g' d = g() t d = g '() t dt Irmos vindo progrsivamnt su aplicación n divrsos casos y jmplos a mdida qu avancmos n algunas rglas d intgración. Advrtncia: El método dl cambio d variabls no rsulv intgrals, d hcho no vulv rsolubl una intgral, lo qu st método hac s qu una intgral qu parc a simpl vista difícil parzca más fácil. Potncias d polinomios (funcions lvadas a potncias) Rglas d intgración: Ejmplos: ( ) n+ n u uud ' = n n + ( + ) 9 8 + d = 9 ( ) 9 9 8 t = + 8 t + + d t dt dt d = + = + = 9 9 d = ln d t = dt = ln t = ln dt = d t dt u ' d = ln u u
( ) / / d = d = / / / t = / t d tdt t dt dt d = = + = + = / / d ( + ) = ( + ) d = = ( + ) + d t = + dt t = t dt = = ( + ) dt d = t + ( + ) 9 8 ( + ) d = 9 9 9 8 t = + 8 t + ( + ) d t dt dt d = + = + = 9 9 d = ln d t = dt = ln t = ln dt = d t ( ) / / 7 7 7 d = 7( 7 ) d = / / / t = 7 / t 7 7 7 d tdt t dt dt 7d = = + = + = / / ( 0 ) ( 0 ) 0( 0 ) ( + ) 0 0 + d = + d = + d = 0 0 0 t = 0+ dt t 0 + ( 0 + ) d dt t = t dt = = dt = 0d = d 0 0 0 0 0 d 7 d 7d = = = ln 7 + 7 7 7 7 7 7 t = 7 d dt dt dt = = ln t = ln 7 7 dt = 7d = d 7t 7 t 7 7 7 ( ) / / / d = ( ) d = ( ) d = / t = / dt / / t d dt t = t dt = = dt = d = d / /
0 ( + + 7) ( + )( + + 7) d= 0 t = + + 7 0 t ( + + 7) ( + )( + + 7) d t dt = + = + dt = ( + ) d 0 00 ( + ) ( + )( + ) d= 0 0 0 00 t = + 00 t ( + ) ( + )( + ) d t d= = dt = ( + ) d 0 0 0 0 0 7 7 + d = + d = 7 + d = + 7 7 7 7 7 7 0 t = + 7 0 t 7 + d 7t dt = 7 = 7 + + 7 dt = d 7dt = d 7 + d = ln + + + t = + dt d ln t ln = + = + + + dt = ( + ) d t + / d = ( + ) ( + ) t + = + dt t d = t dt = = ( + ) dt = ( + ) d t ( + ) d = d = d = 7 7 7 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) t = + dt 7 t d 7 dt = t dt = = 7 ( + ) dt = d = d t = ( + ) Tal y como s ha visto n los jmplos, para intgrar s hac muy ncsario idntificar aqullo qu s dnominado como u d aqullo qu s u '. D sta forma podmos aplicar las rglas d intgración dadas o bin usar l cambio d variabl.
Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) ( + ) d d) g) b) + ) d ( ) d ) ( + ) d h) ( c) + d d ( + ) d i) 7 7 + ( ) d f) j) 0(0 ) d ) ( ) d d l) 9 m) (7 + ) d n) ( ) 8 d ñ) ( ) 7 d o) + d d p) + 7d q) r) u) ) ( + )( + ) d s) ( + ) + d v) + d y) a) ( + ) ( + ) b) d) ( ) + + d t) + + d w) + + + + d z) + ( ) ) / g) ( + ) ( + ) h) j) (0 ) + + ( 7 + ) 0 ) ( ) / d ( + ) d ( + ) + d ( + ) d c) + / / 9 f) ln i) (7 ) + l) ln 8 m) n) ñ) 7 0 9 8 o) ( ) / / + p) + 7 q) ln ( + ) r) s) + + + + t) ( + ) u) ln + v) ln + + + w) ( + ) ) y) + z) ( + )
Rgla d intgración: Funcions ponncials d = ud u u ' = Ejmplos: + + + d= d= u a uad ' = ln a t = + dt dt = = + = + dt = d = d + + t t t d dt d= d= t = t dt t t d dt = dt = = dt = d = d 0 0 d = ln(0) u + + + 7 7 d = 7 d = ln(7) t = + + + t dt t 7 7 7 d dt 7 = 7 dt = = dt = d = d ln(7) ln(7) Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) + + d b) d c) i i + d) d ) d f) g) d h) d + + ( ) + + d + d i) ( + ) j) lnd ) d l) a) ) i) + b) f) ( + ) 7 7 + d + d i i + c) d) i g) ln ( + ) h) ln ( + ) j) ) ln() l) ln( + ) + ln
Funcions trigonométricas sno y cosno Rglas d intgración: u 'sin( u ) d = cos( u ) u'cos( u) d= sin( u) Ejmplos: cos ( cos + sin ) d= cos d+ sin d= sin sin( + ) cos( + ) d = cos( + ) d = t = + cos( t) sin( t) sin(+ ) cos( + ) d dt dt = = dt = d = d cos( + ) sin( + ) d= sin( + ) d= t = + sin t cost cos( + ) sin( + ) d dt dt = = dt = d = d d cos = cos d sin = + t = d cos cos t( dt) sint sin = + = d + dt = d dt = cos sincos ( d ) = sincos ( d ) = t = cos t cos sincos ( d ) td dt sin d = + = + = tan d = sin sin d = d = ln cos cos cos tan d = sin t = cos dt d ln t ln cos cos = + = + dt sin d = t sin( ) ln cos( ) tan( ) d= d= cos( ) sin( ) cos dt tan( ) d = d = t = cos( ) dt = sin( ) d 7 t ln cos( ) = ln t = 7 7 7
Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) sin( ) d b) cos d c) sin(8 + ) d d) cos tan( d ) f) sincos ( d ) ) sin( )cos d sin cos g) sincos( d ) h) d i) cos d sin j) sin d ) ( + )sin( + ) d l) ( + )cos( + ) d m) sin cos( d ) n) cos( ) sin( d ) cos( ñ) ) sin d cos( ) a) b) sin( ) cos(8 + ) c) 8 7 (cos) cos d) cos ) f) 7 cos g) h) cos( ) + i) sin cos( ) cos( + ) sin( + ) j) ) l) m) ( cos )/ sin cos ( ) n) ñ) / º Calcul las siguints intgrals: a) tan d b) tan(7 + ) d c) d) tan ( ) + + d ) tan g) cotan( + ) d h) ln cos a) b) d) ln cos( ) g) ln sin( + ) d f) 9 0 tan( + ) d tan d cos cotan( ) d i) tan cotan ln cos(7 + ) c) 7 + ln cos ) ln sin( ) h) 8 f) i) 0 ln cos 0 + cos( ) + Rglas d intgración d la tangnt y cotangnt: Es posibl utilizar las siguints rglas d intgración para los casos studiados antriormnt n l jrcicio º. Aunqu como s ha visto, basta l ingnio y conocr las rglas sno y cosno para intgrar la tangnt y la cotangnt. u 'tan( u ) d = ln cos( u ) u'cotan( u) d= ln sin( u) d 8
Más rglas d intgración sno y cosno: u' u u ' d = ln tan d = tan( u) sin( u) cos ( u) Ejmplos: d = ln tan sin u ' d = cotan( u) sin ( u) d d 90º + ln tan = = + cos sin(90º ) d d t = 90º + dt t = = ln tan = cos( ) sin(90º + ) dt = d sin( t) 90º + = ln tan d d = tan( ) cos() = + cos() d d t = dt = tan tan cos t cos dt d = + = + = cos ( t) tan( + ) d = sin ( + ) d d t = + dt tan( t) tan( + ) = = = cos ( + ) cos ( + ) dt = d cos ( t) Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: d a) b) sin( + ) d) g) sin d ) sin(cos) d h) ( + ) cos (ln( + )) a) ln tan + + d) cos ln tan d c) cos d cos( ) f) sin d i) sin (cos) 90º + b) ln tan ) ln tan + º d cos(ln) d cos ( + ) d sin ln c) ln tan + º f) tan( + ) + g) tan(ln + ) h) cot(cos) cotan i) ln 9
Intgrals con primitiva arcotangnt Método d agrupar cuadrados d Lagrang: Para podr hacr varias d las intgrals d st tipo, s prciso sabr como agrupar n cuadrados cualquir polinomio d sgundo grado qu carc d raícs rals. La forma d hacrlo para un polinomio gnral d sgundo grado sría: b b b b a b c a b c a c a c + + = + + = + + = + + a a a a Por llo studiarmos dicho método con unos jmplos qu usarmos postriormnt n algunos d los jmplos d intgrals: + 8+ 7= + + 7= + + + + 0= + + 0= + + + = + = + + + 7= + + 7= + + 7 + + = + + = + + + + = ( + ) + = + + = + + 9 + = ( 9 ) + = + = ( ) 9 Rgla d intgración: u' u d = arctan + + u a a a Ejmplos: d = arctan + d = arctan 9 + d d d + = = = arctan + + + 7 + + 7 + + d d d = = = arctan + + + + d d d + arctan = = = + + + + + + + 0
Ejrcicios: 7º Calcul las siguints intgrals: d a) b) + d 8+ c) d 8+ d) d + ( ) ) d 9+ ( ) f) d + ( + ) g) d + + 8 h) d + i) d + + j) d ) d l) d + + + 8 (ln ( ) + 9) arctan sin( + ) m) d n) d sc ñ) + + cos ( + ) d + tan a) arctan b) arctan c) arctan 8 9 d) arctan ) arctan f) arctan ( + ) + + g) arctan h) arctan i) arctan 7 7 9 9 + j) arctan( ) ) arctan 7 + 7 l) ln( arctan ) arctan m) n) arctan ( cos( + ) ) ñ) Intgrals racionals S trata d intgrals dl tipo polinomio dividido ntr polinomio. Los casos qu s studian n bachillrato son d polinomios factorizabls a términos linals o cuadráticos, sindo los linals los más frcunts n ámns y los cuadráticos los mnos frcunts. Método d dscomposición n fraccions simpls. Ejmplos: En cada caso dducirmos l valor d las constants n la dscomposición n fraccions simpls utilizando dos métodos. Primr jmplo: Con factorizacions linals lvadas a potncia uno. A B A( ) + B( + ) = = + = ( + )( ) ( + ) ( ) ( + )( ) Método d los sistmas d cuacions: A+ B= 0 A= / A ( ) + B ( + ) = A+ B= B= / Método d sustitución d la variabl: = B= B= / A ( ) + B ( + ) = = A = A = / = + ( + ) ( )
Sgundo jmplo: Con factorizacions linals lvadas a potncia difrnt a uno. A B C A( + ) + B( + )( ) + C( ) = = + + = + ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) Método d los sistmas d cuacions: C+ B+ A= A= / A ( + ) + B ( + )( ) + C ( ) = B+ C= 0 B= /9 A B C 0 + = C = /9 Método d sustitución d la variabl: = A= A= / A ( + ) + B ( + )( ) + C ( ) = = 9C= C= /9 = 0 B = 0 B= /9 9 = + + ( ) 9( ) 9( + ) Trcr jmplo: Con factorizacions con términos cuadráticos. + + + + A B+ C = = + + + ( + + ) + + Método d los sistmas d cuacions: A+ B= A= A ( + + ) + B + C= + + A+ C= B= A = C = Método d sustitución d la variabl: = 0 A= A ( + + ) + B + C= + + = + B+ C= B = = + B C = C = + = + + + + + Ejmplos aplicados a la intgración: Valiéndonos d los jmplos antriors, procdrmos dirctamnt n las intgrals. d d d d = = + = ln + + ln ( + )( ) ( + ) ( ) d d d d = d = + = + ( ) ( + ) ( ) 9 9 + = + ln ln + ( ) 9 9 + + + + d (+ ) d d = d = + = ln ln + + + + ( + + ) + +
Ejrcicios: 8º Intgr por dscomposición n fraccions simpls (factors linals): a) d b) 9 d c) + d d) ( )( + ) d ) d f) ( ) d + 7 + + g) d h) d i) d + + + + + + j) d ) d l) d + a) + ln b) ln + c) ln + ) ln + 7 + ln g) ln + + ln ( ) i) ln ) ( ) ln ( + ) d) ( ) ( + ) ln f) ln ln + h) ln + j) ln l) + ln ( )( + ) + + 9º Intgr por dscomposición n fraccions simpls (factors linals y cuadráticos): a) d b) d c) + d 8 + + 8 d) d + 7 ) d + f) d + + a) ln + (+ ) ( ) b) arctan ln + + + + c) arctan ln + + + ) ln + d) arctan ( + + ) f) ln + ln +
Rgla d intgración: Ejmplos: d = arcsin + 7 7 Intgrals con primitiva arcosno a u' u d d = = arcsin ( ) d d = = arcsin ( ) d ( ) = arcsin + u d = arcsn + a d t = dt t arcsin arcsin ( ) dt d = + = + = t d d d + = = = arcsin + 8 8 + ( + ) d d d t = + dt = = 8 8 ( ) dt d = + + = t t + = arcsin = arcsin + d = arcsin + 9 t = dt t d = arcsin arcsin + = + 9 dt = d 9 t sin cos d = arcsin + cos sin t = cos dt t d arcsin sin cos dt d = + = = t cos = arcsin +
Ejrcicios: 0º Calcul las siguints intgrals: d a) b) d c) 9 d) d ) d f) ( ) ( + ) g) d d i) j) d d + + l) m) cos d cos d sin sin sin ñ) d d 9 ( + 7) d 8 d + 0 9 + tan d tan o) d d d ln (+ ) 9 ln (+ ) ( + ) ln ( + ) a) arcsin b) arcsin c) arcsin d) arcsin( ) ) arcsin + f) + 7 arcsin g) arcsin ( + ) + h) arcsin i) arcsin( + ) j) arcsin ) arcsin ( ) l) arcsin m) sin n) arcsin ñ) arcsin(tan) ln( + ) o) arcsin ( ln ) p) arcsin q) ( ( + ))
Rgla d intgración: Otras rglas d intgración u u ' ± a d = ln u ± a + u Ejmplos: d d = ln ( 9 = + ) 9 9 d d = = ln ( + ) + + + ( + ) ( t t) ln ( ) d d t = + dt = ln ( ) dt d = + + = + + = t ln = + + + d = d = + + + + + + + t = + dt d d = = + + dt = d + t ( ) = ln t + t = ln + + + + d = ln ln + + ln ln + d t = ln dt ln ln ln ln = t + + t = + + / ln dt = d + t + cos d = ln sin + + sin sin + ln ( sin 9 sin) cos t = sin dt d ln 9 t t cos sin 9 dt d = + + + = + = t + 9 = + +
Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: d a) b) d c) + 9 d) d ) d f) ( ) ( + ) 9 g) d d + i) j) d d + + l) m) cos d n) cos d sin sin sin ñ) o) d p) ln d q) (+ ) ln (+ ) + 9 d d ( + 7) + d 8 d + 0 9 + tan d tan d ( + ) ln ( + ) a) ln ( + ) b) ln ( + 9 + ) c) ln ( + ) d) ln ( ( ) + ) ) ln ( ( + ) 9 + + ) f) ln ( 7) 7 g) ln ( ( ) + + ) h) ln ( ( + ) 9 + + ) i) ln ( + ) j) ln ( ( + ) + + ) ) ln ( ( + ) 7 + + ) l) ln ( ( ) ) m) ln ( sin + sin ) n) ñ) ln ( tan + tan ) o) ln ( ln + ln ) p) ln ( ln 9 ln ) + + + + + + + ln sin 9 + sin + + + + + + q) ln ln ( ) 9 ln ( ) + + + + + 7
Método d intgración por parts Formula d intgración por parts: udv = uv vdu Rgla nmotécnica: Sntado un día vi un valint soldado vstido d uniform. Est método contin un procso d intgración y otro d drivación. La drivada tin propidads dstructivas frnt a la intgral qu tin propidads constructivas. Nustro objtivo al usar st método s mplar su procso d drivación para dstruir funcions sncillas como un polinomio, un arcosno, un logaritmo, una arcotangnt, tc, y n cuanto a su part d intgración vitarmos n la mdida d lo posibl qu construya funcions más complicadas. Ejmplos: u = du = d d d= + ct dv = d v = u = du = d cos( d ) sin sin( d ) = sin + cos dv = cos d v = sin u = du = d d d = dv = d v = ln ln ln (ln ) ln d u = ln du = d ln d ln = ln dv = d v = d u = arcsin du = d arcsin( d ) arcsin = dv = d v = = arcsin + d u = arctan du = d + dv = d v = = arctan ln( + ) arctan( d ) + arctan = 8
Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) d b) d c) ( ) d d) d ) d f) ( ) d g) sin( d ) h) sin( d ) i) sin( d ) j) sin ( d ) ) cos( d ) l) cos( d ) + m) d n) d cos ñ) sin d cos ( + ) o) ( ) d p) ( ) q) (+ ) d 8 r) d s) d ( ) t) ( ) d ( + ) u) d v) w) d a) ( + ) b) c) ( + ) d) ( + ) ) ( + + + + ) f) cos sin g) + cos sin cos h) + + 9 i) sin cos cos + sin + cos j) 8 ) cos( ) sin( ) sin + cos sin l) + m) tan + ln cos n) cot + ln sin ñ) ( + )tan( + ) + ln cos( + ) o) ( ) ( ) 0 7 7 ( ) ( ) ( ) (+ ) (+ ) (+ ) p) + q) + 0 0 0 80 r) ( ) ( ) + s) + ln t) ln ( + ) + + + + u) v) ( ) 0 w) ( ) 9
º Calcul las siguints intgrals: a) ln d b) (ln ) d c) ln d ln ln d) d ) d f) (ln ) d ln(ln ) ln g) sin(ln ) d h) d i) d j) arcsin d ) ( arcsin ) d l) arccos d arcsin m) arctan ( ) d n) arctan( d ) ñ) d arccos o) d p) arctan d q) ln( + ) d a) ln b) (ln ) ln + + ln ln c) d) + ln (ln ) 8(ln ) ) f) + + 9 7 sin(ln ) cos(ln ) g) h) ln ln ln ln + i) ln j) arcsin + ) ( arcsin ) + l) arccos m) ñ) p) ( + ) arctan ln n) arcsin + o) ln ( + ) + q) arctan arctan arctan + arccos + ln + + arctan + 0
Casos spcials con intgración por parts: El qu vamos a vr s un caso spcial qu s da n la intgración por parts, s trata d intgrals qu tras ralizar una o varias vcs l método d intgración por parts obtnmos otra vz la intgral qu tnmos justo al principio: u = du = d cos d sin sin d dv = cos d v = sin Tnmos qu rsolvr a part sta intgral: u = du = d sin d cos + cos d dv = sin d v = cos Sustituimos ahora n nustra intgral dl principio l rsultado qu nos salió d la primra intgración por parts: cos d= sin + cos cos d cos d= sin cos + cos d = sin + cos cos d Considrmos la siguint sustitución: I = cos d I = sin + cos I I = sin + cos I = sin + cos cos d sin cos = + Finalmnt incorporamos la constant : cos d= ( sin + cos ) Ejrcicios: º Calcul las siguints intgrals: a) sin d b) cos d c) cos d d) cos d ) cos( ) d f) sin d a) ( sin cos ) b) cos + ( sin cos ) c) ( cos + sin sin ) d) ( cos + sin ) ) cos sin + f) ( ln()sin cos) + ln
Ejrcicios: º Calcular l ára dl rcinto dtrminado por la función f () = +, l j OX y las rctas = 0 y =. /. º Halla l ára dtrminada por las curvas y =, y = / y la rcta y =..8. º Hallar l ára limitada por la parábola y = + 9 y l j d abscisas.. º Calcular l ára d la suprfici limitada por la curva y = / l j d abscisas y las rctas = y =. ln. º Calcul él ára comprndida ntr un circulo d radio raíz d dos cntrado n l orign y la parábola y =..90. º Dtrmin cuanto val l ára comprndida ntr la smicircunfrncia d radio dos y la rcta y =... 7º Halla l ára ncrrada ntr las curvas y =, y =. 8. 8º Halla l ára comprndida ntr las curvas y =, y =. 8. 9º Halla l ára comprndida ntr la gráfica d la función y = tan, l j d abscisas y la rcta = π /. ln()/. 0º Halla l ára dtrminada por y = + y su rcta normal n =. /8. º Halla l ára dtrminada por y = +, su rcta normal n = y los js. /. º Halla l ára comprndida ntr la gráfica d las funcions: y = y = ( ). /. º Halla l ára comprndida ntr la gráfica d las funcions: y = +, y = + y = +. /. º Calcular l ára comprndida ntr la curva y = y =.. º Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d g() = + y f () = n [0,] /. º Halla l ára d la mnor d las rgions acotadas por las curvas + y = y = y..90. 7º Calcular l ára d la rgión acotada ntr las curvas: y = y = y = 0 /. 8º Cuál d todas las rctas qu pasan por (, ) dtrmina con y = la rgión d mínima ára? y =. 9º Calcula l ára d la figura limitada por las curvas y =, y = y la rcta =..09. 8
0º Calcular l ára d la suprfici comprndida ntr la circunfrncia + y = y la parábola = (y )... º Calcula l ára dl rcinto ncrrado por las gráficas: 0.09. y = + 7 y = º Halla l ára comprndida ntr las curvas y =, y =. 7/. º Calcular l ára comprndida ntr la función y = ln(), l j OX y la tangnt a la curva n l punto =. 0.9. º Calcular l ára d las rgions dl plano limitadas por l j d abscisa y las curvas: a) y =. b) y = +. c) y = ( )( ). d) y = + 8. a) 9/; b) 9/; c) 7/; d) 8. º Ára comprndida ntr la curva y = ln( + ) y la curva y = ln..7. º Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d g() = + y f () = n [0, ]. /. 7º Calcular l ára d la rgión acotada ntr l j d abscisa y las curvas: y = y = /. 8º Hallar l ára d una d las rgions iguals ncrradas por las gráficas: y = sin y = cos.8. 9º Hallar l ára d la rgión acotada ntr l j d abscisa y la curva:.0. y = 0º Calcular l valor d m para qu l ára dl rcinto limitado por la curva y = y la rcta y = m sa d 9/. m =. º Hallar l valor d "a" para qu l ára d la rgión limitada por la curva y = + a y l j OX sa igual a. a = 9. º Hallar l valor d a para qu l ára d la rgión limitada por la curva y = + a y l j OX sa igual a. a = 9. 9