Estadístca Empresaral II Tema Varables Aleatoras EE II - Carlos G. García Gozález - ULL
Itroduccó E la asgatura ateror, se ha estudado la probabldad asocada a sucesos perteecetes a u espaco de probabldad o muestral, dode a partr de los epermetos se puede obteer resultados tato cualtatvos como cuattatvos. Ejemplo: Cosderamos el epermeto que cosste e lazar ua moeda y comprobar el resultado obtedo. Espaco muestral E {cara,cruz} P (A P (B / Sucesos A salr cara, B salr cruz S embargo, resulta vetajoso asocar u cojuto de úmeros reales a los resultados de u epermeto aleatoro o espaco muestral, co el f de estudar su comportameto aleatoro. Esto puede hacerse a través de ua aplcacó, defda de ua maera determada, y que se cooce por varable aleatora. Ejemplo: Para el ejemplo ateror, cosderamos la aplcacó: : E de forma que ( cara y ( cruz 0, pudedo hablar de P( y P(0, respectvamete. Por ello, se estudará las varables aleatoras y sus correspodetes dstrbucoes de probabldad, que so los coceptos poblacoales que se correspode co los de varables estadístcas y sus dstrbucoes de frecuecas. EE II
Varables aleatoras udmesoales Se etede por varable aleatora ua fucó real que asga valores umércos reales a cada uo de los sucesos elemetales de u determado epermeto aleatoro. : E R Las varables aleatoras puede ser de carácter fto o fto, depededo del úmero de valores que puede tomar la varable. Por otra parte, las varables aleatoras, al gual que las varables estadístcas estudadas e Estadístca Descrptva, puede ser: Varables aleatoras Udmesoales (se mde ua característca Multdmesoales (se mde varas característcas Dscretas (fto o fto umerable Cotuas (fto o umerable Dscretas (fto o fto umerable Cotuas (fto o umerable Ifto umerable: Puede ordearse los valores a través de ua secueca de úmeros aturales. Ifto o umerable: No puede ordearse los valores a través de ua secueca de úmeros aturales. Suele ser tervalos o uó de tervalos de la recta real. EE II 3
Ejercco: Defr ua varable aleatora que sea adecuada para cada uo de los ejemplos sguetes, dcado el rago y el tpo de cada ua y su dstrbucó de probabldad correspodete, sempre que sea posble. Además, asgar probabldades e fucó de la varable aleatora a los sucesos dcados. Ejemplo : Lazameto de u dado. Sucesos: A salr u 3, B salr u º meor que 4, C salr 3 o más Ejemplo : Etraccó de ua bola de ua ura que cotee 3 bolas rojas, 4 egras y blacas. Sucesos: A salr ua bola roja, B salr ua bola que o sea roja Ejemplo 3: Se observa la estatura de ua sere de dvduos. Sucesos: A el dvduo mde 70 cms, B el dvduo mde más de 80 cms EE II 4
Fucó de dstrbucó de probabldad: Dada ua varable, se defe la fucó de dstrbucó de como: F: ϒ [0,] PROPIEDADES: ( Para todo t, 0 F(t. ( F (+ (3 F (- 0 F( t P( t (4 F (t es o decrecete (s a < b etoces F (a F (b { b} { a} {a < b} P ( b P ( a + P(a < b F (b F (a + P (a < b F (a Se trata de ua fucó acumulatva que se defe para varables dscretas y cotuas. (5 F (t es cotua a la derecha para todo t. Ejercco: Puede ser F fucó de dstrbucó? lm F(t F(a (6 F (t o es cotua a la zquerda e todo puto b, de forma que P(b 0. Por lo tato, puede ocurrr que lm F(t F(b t a t b + 0 F(t ( s t s < t s < t < 3 s t 3 EE II 5
Dstrbucoes de probabldad de varables aleatoras dscretas: es dscreta s toma u úmero fto o fto umerable de valores dferetes. Varable dscreta Codcoes Fucó de probabldad o cuatía P ( ( P ( 0, R ( P( Fucó de dstrbucó F ( t P( t PROP: P ( > a P ( a F (a P (a < b F (b F (a P ( F ( F ( - Ejemplo: U epermeto cosste e lazar 3 moedas y se defe la varable aleatora º de caras obtedas. Se pde: (a Defr el espaco muestral y determar el rago de. (b Obteer la fucó de probabldad y represetarla. (c Obteer la fucó de dstrbucó y represetarla. EE II 6
Dstrbucoes de probabldad de varables aleatoras cotuas: Las varables aleatoras cotuas se caracterza porque puede tomar cualquer valor detro de u tervalo real de la forma (a,b, (a,+, (-,b, o uó de ellos. E este caso, o tee setdo defr la fucó de probabldad del caso dscreto, ya que P ( 0,. Ahora, la probabldad se cocetra e tervalos, o e putos aslados. Varable cotua Fucó de desdad f ( f: R R NOTA: De las propedades que verfca F (t resulta útl que F ( Fucó de dstrbucó t F ( t f ( d Propedades de la fucó de desdad. ( f ( 0, R. ( (3 P (a b F(b F(a (4 P(a 0 + f(d (5 S f ( es cotua e u etoro de, se puede afrmar que b a f(d F( f ( EE II 7
Ejemplo: La varable aleatora represeta el tervalo de tempo etre dos llegadas cosecutvas a ua teda, y su fucó de desdad vee dada por: / k e para > 0 f ( 0 para 0 sedo k ua costate apropada. Determar: (a El valor de k para que f ( sea fucó de desdad. (b La fucó de dstrbucó de. (c El porcetaje de llegadas etre y 6 mutos. (d El porcetaje de llegadas e como mámo 8 mutos. EE II 8
Varables aleatoras bdmesoales Ua varable aleatora bdmesoal es ua fucó que asga a cada resultado de u epermeto aleatoro u par de úmeros reales, es decr: (,Y: E R Geeralzado, ua varable aleatora -dmesoal, será ua fucó que asga a cada resultado del epermeto, ua -upla real. (,,.., : E R Ejemplo : Realzamos el epermeto de etraer dos bolas de ua ura, defedo las varables asgar s ambas so blacas, s ua es blaca y 3 s gua lo es y Y asgar 0 s la prmera es blaca y s o lo es. Defr la varable aleatora bdmesoal (,Y y obteer su rago. Ejemplo : Teemos el epermeto de lazar tres veces u dado, de forma que º de veces que sale el 5 e Y º de veces que sale el 6. Defr la varable aleatora (,Y y obteer su rago. EE II 9
Fucó de dstrbucó: Varable aleatora bdmesoal (,Y De maera aáloga al caso udmesoal, la fucó de dstrbucó debe verfcar: ( 0 F (t,h ( F (+,+ (3 F (-,h 0, F (t,- 0 (4 F (t,h es moótoa o decrecete. F (t,h F (t,h, s t t ; F (t,h F (t,h, s h h (5 P (t < t, h < Y h F (t,h F (t,h F(t,h + F (t,h Nota: D (A + B + C + D (A + B (A + C + A (6 F (t,h es cotua a la derecha para t y h. Por el cotraro, es dscotua a la zquerda para t o h e aquellos putos e que P ( t, Y h 0. F: R [0,] Fucó de dstrbucó F (t,h P ( t,y h h F (t,h CASO MULTIDIMENSIONAL F (t,t,...,t P ( t, t,..., t Y h h (t,h t Y C A D B t t EE II 0 F: ϒ [0,]
DISTRIBUCIÓN MARGINAL Dada ua varable aleatora bdmesoal (,Y, se puede obteer las dstrbucoes margales de e Y, prescdedo de los valores que toma la otra varable. Varable aleatora bdmesoal (,Y F (t,h Dstrbucó margal de F (t F (t, P ( t,y Dstrbucó margal de Y F (t F (,h P (, Y h DISTRIBUCIÓN CONDICIONADA A partr de la varable aleatora bdmesoal (,Y, podemos defr las dstrbucoes codcoadas, que os permtrá calcular probabldades para ua de las varables margales codcoadas a valores de la otra, como ocurre e los sguetes casos: P( a / Y b P( a, Y b P( Y b P( Y b / a P( a, Y b P( a EE II
EE II Varables bdmesoales dscretas: Ua dstrbucó de probabldad de la varable (,Y es de tpo dscreto s las dos dstrbucoes margales lo so. E este caso, la probabldad se va a cocetrar e putos aslados (,y j. Varable aleatora bdmesoal dscreta (,Y R {,..., }, R Y {y,...,y m } Fucó de probabldad bdmesoal o cojuta, ( j j y Y P p Fucó de dstrbucó bdmesoal o cojuta t h y j j p h Y t P h t F, (, ( Fucoes de dstrbucó margales h y j t m j j j p h Y P h F p Y t P t F, ( (, ( ( Fucoes de probabldad margales j j m j j p y Y P p P ( ( Fucó de dstrbucó codcoada.. / ( / ( / ( / ( h y j j t j j j p p h Y P h F p p y Y t P y t F j Fucó de probabldad codcoada.. / ( / ( / ( / ( j j j j j j j p p y Y P y P p p y Y P y P
Las dstrbucoes de probabldad bdmesoales dscretas se puede ordear medate ua tabla de doble etrada: /Y y y... y m p. p p... p m p. p p... p m p................... p p... p m p. p.j p. p.... p.m Ejemplo: Cosderemos el epermeto cosstete e lazar dos moedas al are, de forma que: Número de cruces obtedas Y Asgar u s sale algua cara y s o Obteer: E {(cc, (c, (c, (} (,Y : E R (a Dstrbucó de probabldad de (,Y (b Fucó de dstrbucó cojuta. (c Dstrbucoes de probabldad y fucoes de dstrbucó margales. (d Dstrbucó de probabldad de codcoada a Y. (e Dstrbucó de probabldad de Y codcoada a. EE II 3
Varables bdmesoales cotuas: Ua varable aleatora bdmesoal (,Y es cotua co fucó de dstrbucó cotua s este ua fucó o egatva f (,y llamada fucó de desdad, tal que: t h Además de las propedades que verfca la fucó de dstrbucó cojuta, se cumple que: F(, y Fucoes de desdad margales f ( f ( y f (, y dy f (, y d y Fucoes de desdad codcoadas f (, y f ( / y f ( y / f ( y f (, y f ( F ( t, h f (, y f (, y d dy Fucoes de dstrbucó margales F (t F(t, F (h F(, h t f (, y d dy h f (, y d dy Fucoes de dstrbucó codcoadas F (t / y P( F (h / P(Y 0 0 t / Y h / y 0 0 t f (, y h f (y f (, ydy f ( 0 0 0 d 0 t f h f (d (ydy EE II 4
EE II 5 Ejemplo: Para dos coefcetes que vee utlzádose e la dvsó de proyectos y uevos dseños se ha modelzado la fucó de desdad: (a Obteer el valor de k. (b Calcular la fucó de dstrbucó cojuta. (c Obteer las fucoes de desdad y dstrbucó margales y represetarlas. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS Dos varables e Y so depedetes cuado o fluye sobre Y Y fluye sobre. resto y y k y f 0 0 4, (6, ( (. (, ( h F t F h t F ( / ( ( / ( j j j y Y P y Y P P y Y P (. (, ( j j y Y P P y Y P ( / ( ( / ( f y f f y f (. (, ( f f y f S e Y so dscretas S e Y so cotuas
Valor esperado o Esperaza Matemátca E el caso de las varables estadístcas estudadas e la Estadístca Descrptva se obteía ua sere de meddas que caracterzaba y resumía la formacó de la dstrbucó de frecuecas, como so las meddas de poscó y las de dspersó. Alguas de estas meddas puede obteerse de forma teórca para las varables aleatoras. Así pues, la meda de ua varable aleatora puede etederse como aquel valor al que tede la meda artmétca de los valores de la varable cuado el úmero de repetcoes del epermeto es muy grade. VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE h ( E[h(] Valor medo o esperaza matemátca de h ( h( f( ds escotua h( P( sesdscreta E( Valor medo o esperaza matemátca de f ( d s es cotua P( s es dscreta EE II 6
Ejemplo: Para el lazameto de dados, se defe ua varable aleatora que toma el valor s se obtee dos resultados pares, el valor s so los dos mpares y 3 s se obtee uo par y otro mpar. Calcular E[] y E[ ]. PROPIEDADES: ( Dada ua costate b, se cumple que: E [b] b. ( Dada ua v.a. y b ua costate, ( E [b.] b.e [] ( E [b+] b+e [] (3 De la propedad ( se cocluye que: E [a+b.] a+b.e [] (4 Dadas e Y dos v.a., se verfca que: E [+Y] E []+E [Y] Nota: Este resultado puede etederse a ua suma fta de v.a. S,,..., so v.a., etoces: E [ + +...+ ] E [ ]+E [ ]+...+E [ ] (5 S e Y so varables aleatoras depedetes, etoces: E [.Y] E [].E [Y] EE II 7
Mometos Caso udmesoal: Los mometos so valores que caracterza a ua dstrbucó de frecuecas. α k E[ Mometos respecto al orge k ] + k k P( s es dscreta f ( d s es cotua Casos partculares: α α 0 k Mometos cetrales (respecto de E[( k ] + ( ( k k P( s es dscreta f ( d s es cotua Casos partculares: 0 0 R E L A C I O N k k k ( α α k 0 α α E[( ] + ( ( P( f ( d s s es dscreta es cotua VARIANZA EE II 8
EE II 9 Caso bdmesoal: ] E[Y ] E[ E[Y] E[] 0 0 0 0 α α α α Mometos cetrales de orde (r,s + + cotua es Y s dy d y f y dscreta es Y s y Y P y Y E s y r m j j s y j r s y r r s, (, ( ( (, (, ( ( ( ] ( [( Casos partculares: 0 0 0 0 ] [ ] [ 0 0 y Y V V + + cotua es Y s dy d y f y dscreta es Y s y Y P y Y E y m j j y j y y, (, ( ( (, (, ( ( ( ] ( [( Mometos de orde (r,s respecto al orge + + cotua es Y s dy d y f y dscreta es Y s y Y P y Y E s r m j j s j r s r r s, (, (, (, ( ] [ α Casos partculares:
Relacoes etre mometos cetrales y mometos respecto al orge y y α 0 0 α α α 0 0 0 α α α 0 0 0 PROPIEDADES: ( Dada ua v.a. y b ua costate, ( ( +b V(+b V(.b V(.b b.v( b. ( Dada ua v.a. y a y b costates, a+b V(a+b a.v( a. Ejemplo: U versosta dspoe de 00.000 dólares para ua versó de u año. Está cosderado dos opcoes: colocar el dero e el mercado de valores, lo que garatza ua gaaca aual fja del 5 %, y u pla de versó cuya gaaca aual puede cosderarse como ua varable aleatora cuyos valores e tatos por uo vee dados a cotuacó. Co base a la gaaca esperada, cuál de los dos plaes debe seleccoarse? Cuál será la varaza e térmos absolutos? Gaaca 0.30 0.5 0.0 0.5 0.0 0.05 P( 0.0 0.0 0.30 0.5 0.0 0.05 EE II 0
Teorema de Tchebycheff Sea ua varable aleatora co meda y desvacó típca. La desgualdad de Tchebycheff os va a poer de releve la mportaca de la desvacó típca como medda de dspersó. TEOREMA DE TCHEBYCHEFF: La probabldad de que la varable tome valores cuyas desvacoes respecto a sea mayores que k veces la desvacó típca es meor o gual a /k. P( > k k P( k k k v.a cotua Ejercco: Iterpretar la desgualdad de Tchebycheff para k y k3. EE II
Estadístca Empresaral II Tema Modelos probablístcos dscretos EE II - Carlos G. García Gozález - ULL
Itroduccó E el tema ateror hemos estudado, e térmos geerales, las varables aleatoras, tato dscretas como cotuas. Ahora vamos a descrbr ua sere de varables aleatoras dscretas co uas dstrbucoes de probabldad específcas, que ocurre co certa frecueca e el mudo real. Daremos las codcoes bajo las cuales se preseta esas dstrbucoes específcas, y llegaremos a obteer alguas característcas de ellas, como la meda y la varaza. E geeral, ua dstrbucó de probabldad está caracterzada por ua o más catdades que recbe el ombre de parámetros de la dstrbucó, y como el parámetro puede tomar valores e u cojuto dado, etoces se obtedrá ua famla de dstrbucoes de probabldad, que tedrá la msma fucó de probabldad. EE II 3
Dstrbucó de Beroull Se deoma prueba de Beroull al epermeto que sólo tee dos resultados posbles: éto o fracaso, segú sea el suceso de uestro terés. Ejemplos: Al lazar ua moeda, salr cara o cruz; al lazar u dado, que salga 6 o o; que u artículo esté defectuoso o o, etc. Al realzar la prueba, puede ocurrr el suceso A ( éto, co ua probabldad p, o A ( fracaso, co ua probabldad q. NOTA: q p, al ser A y A dos sucesos complemetaros. Número de étos (A e ua prueba de Beroull. 0 s s ocurre el ocurre el suceso suceso A A b ( p R {0, } Fucó de probabldad 0 P( -p p P( k p k.(- p -k k 0, EE II 4
Característcas: G Sólo depede del parámetro p. E [] p V ( p.q Fucó geeratrz de mometos: ( t Fucó característca: φ ( t 0, e 0, e t t E( 0. P( 0 +. P( 0. q +. Var( E( - p P ( P ( p.q + q (0 - p. p p q. (p + q Ejemplo: Ua vededora de cosmétcos pesa que e ua vsta cocreta a domclo la probabldad de cosegur ua veta es 0 4. S defmos la varable como ua varable de Beroull, obteer: (a La meda y la varaza de la dstrbucó. e e t.0 t.0 P ( P ( p q p p. P( 0 + (- p. P( (b La probabldad de que s hace ua vsta a domclo, cosga ua veta. 0 0 + + e e t. t. P ( P ( q q + + p. e p. e t t Srve para obteer mometos de dstto orde, ecesaros para otro tpo de meddas. EE II 5
Dstrbucó Bomal Se trata de uo de los modelos probablístcos más mportates dada su ampla aplcabldad a muchas stuacoes e las que podemos efretaros e la realdad. Partmos de la realzacó sucesva de pruebas depedetes de Beroull, co parámetro p, y defmos la varable aleatora sguete: Número de étos (A e pruebas de Beroull. B (, p R { 0,,,3,..., } P( k. p k Fucó de probabldad k.( - p co k 0,,,3,... Nota: Dadas b(p,,...,, etoces: + +... + B (, p. -k Ejemplos: Nº de caras o cruces obtedas al lazar ua moeda u º de veces, º de artículos defectuosos de u determado lote, etc. La probabldad de obteer k étos e pruebas se obtee a través del producto de p k.q -k por el úmero de órdees dsttos que pueda establecerse, que so el úmero de combacoes de tomadas de k e k. EE II 6
Ejercco: Comprobar que la fucó ateror es de probabldad. Característcas: Depede de los parámetros y p. E [].p E ( E ( V (.p.q Var( E E[( E [( Σ E ( - p - p Fucó geeratrz de mometos: G(t E E ( [( - p ] [ +... - p ] [ - p - p +... - p] ] - p + ( ] + E [( - p E ( +... + ( - p ] +... + E [( V( Σ + - p + + Σ j - p p. q. p. q ( - p. ( ] + Σ j E [( E j - p] p [ - p. - p ] ( + ( ( j * p + ( t t.( + +...+ t t t t t t ( E ( E (..... E (. E (... E ( e (q + e t e p.(q + e t p... (q + e t e p.e e e e e Fucó característca: φ(t (q + e t p EE II 7
Para facltar los cálculos, se ha tabulado los valores de la fucó de probabldad de ua dstrbucó bomal, para dsttos valores de y p. Ejercco: Dada ua varable aleatora B (,p, defmos la varable Y /, que dca la proporcó de étos obtedos e las pruebas. Obteer la meda y la varable de esta varable Y. Ejemplo: Alguos ecoomstas ha propuesto que haya u cotrol de salaros y precos para combatr la flacó, pero otros cosdera que esos cotroles o so efectvos porque trata los efectos y o las causas de la flacó. Ua recete ecuesta dca que el 40% de los españoles adultos está a favor de u cotrol de precos y salaros. S se seleccoa 5 adultos aleatoramete: (a Cuál es la probabldad de que guo esté a favor de dcho cotrol? (b Cuál es la probabldad de que como mámo 3 esté a favor del cotrol de precos y salaros? (c Por térmo medo, cuátos estará a favor del cotrol de precos y salaros? EE II 8
Dstrbucó geométrca Partedo de la realzacó de ua sere de pruebas de Beroull depedetes de parámetro p, defmos: Número de pruebas realzadas hasta obteer el prmer éto (A. G ( p R {,,3,...} Característcas: Depede eclusvamete del parámetro p. Fucó geeratrz de mometos: G(t E Fucó característca: Fucó de probabldad P( k q k.p co t t - t t 3t t t ( e e. p.q e p + e p q + e p q +... p e. ( e q 0 t p e φ(t - q e t k,,3,... Ejemplos: Número de lazametos de u dado hasta obteer u 6, úmero de artículos aalzados hasta obteer uo defectuoso, etc. Nota: La sere t ( e q coverge s la razó e t 0.q <. t p e t - q e EE II 9
Meda: G (t Varaza: p e t t ( - p q e t t. ( + q e t ( 3 p G (t e - q e Var( E( - + q - p E( G (0 + q E( G (0 p p q p Ejemplo: E ua audtoría tera sobre las facturas epeddas por ua empresa, se cosdera que habrá que realzar ua vestgacó más ehaustva desde el mometo e que se ecuetre ua factura co algú error. Por audtorías aterores, se estma que la probabldad de que ua factura tega algú error es del 7% Cuál es la probabldad de que se ecuetre ua factura co errores e la décma etraccó?. EE II 30
Dstrbucó Bomal Negatva Este modelo cosste e la geeralzacó del modelo geométrco para la ocurreca de r étos. Es decr, se va a r realzado pruebas depedetes de Beroull co parámetro p hasta que se produzca r étos. Número de pruebas realzadas hasta obteer el r-ésmo éto (A. BN (r,p { r, r +, r +,...} R Fucó de probabldad Característcas: P( k k r p r.q k r co k r, r +, r +,... Depede de los parámetros r y p. Fucó geeratrz de mometos: Fucó característca: t p φ e (t - q e t r t p e G(t - q e t r EE II 3
Meda: Varaza: r- r- G t t t p (t r e - q e t p. e ( - q e p E( G (0 r - q r + r - rp r r q Var( E( - G (0 - - p p p p. ( - q r p Ejemplo: E u departameto de cotrol de caldad de ua empresa dedcada a la fabrcacó de teléfoos alámbrcos se speccoa las udades termadas. Se pesa que la proporcó de udades defectuosas es 0,05. Cuál es la probabldad de que la vgésma udad speccoada sea la seguda que se ecuetre co defectos? EE II 3
Dstrbucó de Posso Prevamete al desarrollo de este modelo, es precso estudar lo que se cooce como proceso de Posso. Cosderemos u epermeto cosstete e observar sucesos dscretos e u tervalo cotuo, caracterzado por: Establdad: Geera, a largo plazo, u úmero medo de sucesos costate e el tervalo cosderado (ormalmete la udad de tempo, s be puede tomar otras referecas, espacales, regoales, etc... Se puede elegr u tervalo, de ampltud a, lo sufcetemete pequeño que verfque: La probabldad de que se de eactamete u suceso e ese tervalo de apromadamete λ.a. La probabldad de que se observe más de ua ocurreca e el tervalo es apromadamete 0. Los sucesos so estadístcamete depedetes, es decr, las ocurrecas e u tervalo o fluye sobre cualquer otro tervalo dsjuto del ateror y de gual logtud. EE II 33
Ejemplos: Estudo del úmero de avoes que llega a u aeropuerto de ua zoa turístca e ua udad de tempo (por hora, día,... - Durate la prmera semaa del mes aterrza ua meda de 7 avoes por hora, pudedo fjarse u tervalo temporal (dos mutos, por ejemplo e el que la probabldad de que aterrce sólo u avó es 7*(/30, metras que la probabldad de que lo haga ó más avoes es práctcamete ula. - El hecho de que etre las 0 y las horas de u día cualquera aterrce avoes o afecta estadístcamete e el úmero de avoes que aterrzará e cualquer otro tervalo horaro. Número de llamadas por hora recbdas e ua cetralta, úmero de accdetados e u f de semaa, úmero de averías de ordeadores e ua empresa por día,... EE II 34
Observado u proceso de Posso e el que se da u úmero medo λ.t de ocurrecas e ua udad de tempo t, defmos: Número de ocurrecas de u suceso e u perodo de tempo t. P ( λt a a a a a a............. - t Número de ocurrecas del suceso e e tervalo -ésmo b( λ.a S las v.a. so depedetes etre sí Y B(, λ. a k -k P(Y k ( λa.( - λa, co k k -k k λt λt ( λ.t P(Y k. - k k! λ.t λ P ( λ R {0,,,...} P( k k λ λ e k! k 0,,... Dvdmos el tervalo de ampltud t e subtervalos de ampltud at/, sufcetemete pequeños, como para acoplarse a las característcas del proceso de Posso. ( -( -...( - k + - k, co k 0,,... λt P( λ.a P( 0 - λ.a -k ( λ.t k! k e -λ.t λ: º medo de ocurrecas e u tervalo de ampltud t. EE II 35
Característcas: Depede eclusvamete del parámetro λ. Fucó geeratrz de mometos: G(t λ( e e t Fucó característca: t φ(t λ (e - e Meda: λ ( e - t G (t e t. λ e E( G (0 λ ( t t λ e - t Varaza: G (t λ e.e.( λ e + Var( E ( - G (0 - λ λ ( λ + - Apromacó de la dstrbucó de Posso a la bomal: λ λ Sea ua varable aleatora B(,p. S es grade y.p tee u tamaño moderado, esta dstrbucó puede apromarse be por ua dstrbucó P(λ.p. Ejemplo: El úmero de cletes que llega a u baco es ua varable aleatora de Posso. S el úmero promedo es de 0 cletes por hora, cuál es la probabldad de que e u muto llegue por lo meos tres cletes? EE II 36
Dstrbucó Hpergeométrca Cosderemos ua poblacó fta de tamaño N compuesta por dvduos que posee la característca A, o be la característca A * (A y A * so atagócas. Sea M el úmero de dvduos de esta poblacó que tee la característca A, y M * los que posee la A *. POBLACION (N dvduos M dvduos de la clase A * * M dvduos de la clase A p M N y q M N * A cotuacó se etrae ua muestra aleatora de elemetos, s repoer los dvduos ya etraídos, por lo que p varará de ua etraccó a otra (esto es la prcpal dfereca que este frete a la bomal. Número de elemetos de la clase A e la muestra. R H ( N,,p {ma{0, M * },..., m{ M, }} * M M. k P( k - k N N. p N.q. k - k N EE II 37
Característcas: Depede de tres parámetros, que so N, y p. * Meda: M * E( Varaza: k k M. Σ k M. k - k N. M. M Var( N * M - M. k - - k N N - - *. Σ k N - N - k M! k!.(m - M. N. Σ k. p. q.. M k! ( - k!.(m N!!.(N -! * M - M. k - - k. p N - - N - N -! -( - k! M. * M - M. k - - k N Ejemplo: U fabrcate de automóvles compra los motores a ua compañía dode se fabrca bajo estrctas especfcacoes. El fabrcate recbe u lote de 40 motores. Su pla para aceptar el lote cosste e seleccoar ocho de forma aleatora y someterlos a prueba. S ecuetra que gú motor preseta seros defectos, acepta el lote; de otra forma, lo rechaza. S el lote cotee dos motores co seros defectos, cuál es la probabldad de que sea aceptado? * Σ k Suma de las probabldades de la dstrbucó de probabldad de ua H(N-,-,p, co M-. EE II 38
Cuadro Resume Dstrbucoes de probabldad dscretas más otables Varable Defcó Parámetros F. de probabldad Beroull Número de étos (A e ua prueba de Beroull. Meda Varaza p, q-p p q P(k. p.(- p k k P(kp.(- p -k Bomal Número de étos (A e pruebas de Beroull. Geométrca Número de pruebas realzadas hasta obteer el prmer éto (A. Bomal Negatva Número de pruebas realzadas hasta obteer el r-ésmo éto (A. Posso Hpergeométrca Número de ocurrecas de u suceso e u perodo de tempo t. Número de elemetos de la clase A e la muestra. p k -k p pq p r, p P( k k P(k p r λ k λ λ P(k e k! * M N,, p M N. p N.q.. k k.p P( k - k N q k λ λ.p r r.q k - k N p r p q p rq p N.p.q. N EE II 39
Estadístca Empresaral II Tema 3 Modelos probablístcos cotuos EE II - Carlos G. García Gozález - ULL 40
Itroduccó Al gual que ocurre co la modelzacó de varables aleatoras dscretas, este certas característcas de las varables aleatoras cotuas que tede a repetrse co relatva frecueca, por lo que se puede defr u modelo teórco que se ajuste a ellas. Así pues, estudaremos dversas famlas de dstrbucoes cotuas, que depederá de ua sere de parámetros e cada caso; y llegaremos a obteer alguas característcas de ellas, como la meda y la varaza. Alguas de las dstrbucoes que estudaremos a cotuacó so modelos cuya mportaca resde e su aplcacó a dversos casos plateados por la Ifereca Estadístca, que será estudados posterormete. EE II 4
Dstrbucó Uforme Esta varable es la más seclla de las dstrbucoes cotuas y surge al cosderar ua varable aleatora que toma valores equprobables e u tervalo fto, de maera que la probabldad de que la varable tome u valor e cada subtervalo de la msma logtud es la msma. U (a,b R ( a, b Fucó de desdad: Es costate a lo largo de (a,b. 0, < a f(, a b b - a 0, >b Fucó de dstrbucó 0, < a - a F(, a b b - a, >b EE II 4
Característcas: Depede de los límtes del rago de la varable, a y b. b Meda: Varaza: Var( E( 3 f( d Var( E( - E( - E - b - a d Fucó geeratrz de mometos: f ( d b + ab + a - b - a b a (b + a 4 a d b - a (b - a b - a b 3 - a 3 3 b - a b+ a (b - a (b + ab + a 3(b - a G(t E(e t t b t a e - e t.(b - a b + ab + a 3 Fucó característca: φ(t E(e t t b t a e - e t.(b - a NOTA: E el campo de la fereca estadístca, la dstrbucó uforme se utlza para geerar úmeros aleatoros que permtrá seleccoar los dvduos que formará las muestras aleatoras. EE II 43
Ejemplo: Ua máqua para llear botellas de agua llea etre 500 y 500 botellas e ua hora, de maera equprobable para todos los posbles valores detro del tervalo. Se pde: (a Obteer las fucoes de desdad y de dstrbucó del úmero de botellas a llear e ua hora. (b Calcular la meda y la varaza de la dstrbucó. (c Cuál es la probabldad de que se llee etre 750 y 000 botellas e ua determada hora? EE II 44
Dstrbucó Normal La dstrbucó ormal es dudablemete la más mportate y la de mayor uso de todas las dstrbucoes de probabldad cotuas y, e geeral, de todas las usadas e Estadístca. Las prcpales razoes de su uso so: Este umerosas varables cotuas drectamete observables de la realdad que sgue ua dstrbucó ormal o apromadamete ormal. El peso, la altura y el coefcete de telgeca so ejemplos de varables aleatoras apromadamete ormales. La dstrbucó ormal es ua ecelete apromacó de otras dstrbucoes, tato dscretas como cotuas, hecho que queda avalado por el Teorema Cetral del Límte. La dstrbucó muestral de alguos de los más mportates estadístcos muestrales, tales como la meda o la proporcó muestral, tede apromadamete a ua dstrbucó ormal, s el tamaño de la muestra es lo sufcetemete grade. EE II 45
N (,, - < <, > 0. R (, + Fucó de desdad f(. π e (, (, + Fucó de dstrbucó F(t. π t ( e d, t + Para smplfcar los cálculos probablístcos a realzar co cualquer N(,, es ecesaro defr la dstrbucó ormal estadarzada Z N(0,. EE II 46
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICADA: N ( 0, f (z Fucó de desdad z f(z e π, z Smétrca respecto al eje Y (z 0 Asítota horzotal: y 0. Crecete para z < o y decrecete para z > 0. Mámo: (0, / π. Putos de fleó para z - y z. z Fucó de dstrbucó F(t t π e z dz, t + EE II 47
Característcas: No depede de gú parámetro, al ser 0 y. Fucó geeratrz de mometos: G(t E(e Meda: π + - G (t t.e t Z Z e + - (zt e t z e t t z E(Z G (0 0 π dz e π dz e t + - π e + - e (zt z + t z dz dz e t π hacedo z t u Varaza: G (t (+ t Z E[(Z - 0. e t ] E[Z ] G (0 EE II 48
La varable Z N (0, se ecuetra tabulada. F (Z α P(Z Z α α Nota: Al ser smétrca, se verfca que: - Z Z- α α Ejemplo: Dada Z N (0,, calcular: (a Probabldad de que Z sea meor que 3. (b Probabldad de que Z sea mayor que 3. (c Probabldad de que Z esté etre 0 4 y 3. (d Valor de la varable Z que deja a su zquerda ua probabldad gual a 0 8. DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERALIZADA: N (,, - < <, > 0. La obtecó de probabldades para ua dstrbucó ormal geeralzada requere ua trasformacó de la varable para estadarzarla, lo que se cooce como tpfcacó. - - ( S N (, etoces Z N (0, Z. Z + ( S Z N (0, etoces Z + N (, EE II 49
( - Partmos de que Z y z R - FZ (z P(Z z P z P ( z + F Dervado : f Z (z f ( z + π e z + - - - Z N( 0, Ejemplo: A cotuacó se represeta dstrbucoes ormales co dferete meda e gual desvacó típca, así como dstrbucoes ormales co détca meda y dferete desvacó típca. π e ( z + - z EE II 50
Característcas: Depede eclusvamete de los parámetros y. Fucó geeratrz de mometos: t t t t t + G (t G Z + (t e. GZ ( t e. e e Nota: " Sea ua varable aleatora co fucó geeratrz G (t y defmos la varable Y a+ b., es demostrable que G Y (t e at. G (b.t " Meda: E[] E [. Z + ] E[Z] +. 0 + Varaza: Var( Var( Z +. Var(Z El sguete teorema permte establecer cómo se comporta ua varable obteda medate ua combacó leal de varables ormales. Sea N(,,,...,, varables aleatoras depedetes y sea b -{0},,..., y a. Etoces: (a + b N (a + b, b APROIMACIÓN: B (, p N (.p,.p.q.p > 4 ó.q > 4 EE II 5
Ejemplo : El peso e klos de las cajas de tomates preparadas e u almacé de empaquetados sgue ua N (0,0 5, admtédose sólo las cajas co peso compreddo etre 9 5 y klos. (a Cuál es la probabldad de rechazar ua caja? (b Cuáto debe pesar ua caja de tomates para que el 60 % de las preparadas pese más que ella? Ejemplo : Se sabe que el 0 % de los pacetes que atede u oculsta o tee mopía. S se elge 5 pacetes al azar, cuál es la probabldad de que como mámo 0 o tega mopía? EE II 5
Apromacoes > 4 > 4 50 50.p 5 50 EE II 53
Modelos dervados de la Normal La Ifereca Estadístca se basa e el uso de los deomados estadístcos, que se obtee medate fucoes de varables aleatoras ormalmete dstrbudas que caracterza a la poblacó e estudo. E muchas ocasoes, es posble obteer la dstrbucó de estos estadístcos apoyádoos e las dstrbucoes de las varables e que se basa. Por esta razó, desarrollaremos a cotuacó alguos modelos de dstrbucoes para varables aleatoras cotuas que so fucó de varables aleatoras ormales. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE: Sea,,..., varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas, co meda y desvacó típca, etoces, para Y + +... + se verfca que: Y E[Y] V(Y ~ N(0, Por tato, + +... + ~ N(0, Ejemplo: Supogamos que se laza u dado 00 veces. Estmar la probabldad de que la suma de los resultados obtedos sea al meos de 360. EE II 54
Dstrbucó Ch-cuadrado de Pearso Sea Z, Z,..., Z varables aleatoras depedetes, gualmete dstrbudas segú ua N(0,, etoces dremos que: es decr, que sgue ua dstrbucó Ch-cuadrado co grados de lbertad. APLICACIÓN: S S Característcas: Z ~ χ ( ( S Ŝ y Ŝ etoces ( ~ χ Depede eclusvamete de, que so los grados de lbertad. R R + Preseta ua asmetría postva (a la derecha para valores termedos de. Meda: E[] Varaza: V( EE II 55
La represetacó gráfca de la fucó de desdad depede del úmero de varables que compoe la χ, es decr, de. Alguos casos so: Aplcado el Teorema Cetral del Límte, cuado es sufcetemete grade, se puede apromar a ua ormal: ( ~ χ ~ N -, Se ecuetra tabulada para los dsttos valores de 40, de forma que: P( χ χ ;-α - α Ejemplo: Dada ua varable χ, calcular P (χ 4 57 y tal que P (χ 0 95. EE II 56
Dstrbucó t de Studet Sea Z ~ N (0,, Y ~ χ dos varables aleatoras depedetes, la varable aleatora defda como: Z dremos que se dstrbuye como ua t de Studet co grados de lbertad. ( APLICACIÓN: Característcas: Depede eclusvamete de los grados de lbertad,. R R Meda: E [t ] 0 Varaza: Sólo este para >, y vale: V (t - Se ecuetra tabulada segú los dsttos valores de, de maera que: (t t α - α t ;-α - ; α P ;- Y Z Z t o també : t χ χ S S ~ t Ŝ Nota: Al ser smétrca, se verfca que: t EE II 57
La represetacó gráfca de la fucó de desdad es bastate parecda a la de la ormal estádar, auque meos aputada (platcúrtca. Ejemplo: Calcular: (a P (t 0 3 69 (b t 0,0 9 (c t 0,0 4 EE II 58
Dstrbucó F de Sedecor Sea dos varables aleatoras U ~ χ y V ~ χ depedetes, etoces se dce que la varable defda como: se dstrbuye segú ua F de Sedecor co grados de lbertad y. APLICACIÓN: Característcas: Depede de los parámetros y, que so los grados de lbertad. R R +. U V ~ F, χ S F, o també F, χ S Para valores pequeños de y preseta ua asmetría postva. S se altera el orde de y, se verte la varable. Ŝ Ŝ EE II 59
La represetacó gráfca de la fucó de desdad es bastate smlar a la de la Ch-cuadrado, tal y como se muestra a cotuacó: Meda: Este sólo s >, y su valor es: E( Varaza: Este sólo s > 4, y su valor es: V(. ( Se ecuetra relacoada co la t de Studet: t Z χ χ χ. ( +. ( 4 F, EE II 60
Se ecuetra tabulada para los dsttos valores de y, de maera que: P (F F - α F,, Nota: Para otros valores, usar:, ;-α,-α F,, α Ejemplo: Obteer: (a P(F,0,9 (b F 7,9;0,9 (c F 5,8;0,0 Dstrbucoes de probabldad cotuas más otables Varable Parámetros Meda Varaza Uforme a, b a + b (b a Normal, Ch-cuadrado t de Studet 0 F de Sedecor,. ( +. (. ( 4 EE II 6
Estadístca Empresaral II Tema 4 Modelos probablístcos multvarates EE II - Carlos G. García Gozález - ULL 6
Itroduccó E gra catdad de feómeos de la vda real hay que aalzar varos caracteres a la vez, ya sea dscretos o cotuos, por lo que es ecesaro asocarle ua varable aleatora multdmesoal. Por ello, vamos a estudar alguos ejemplos de famlas de dstrbucoes de probabldad multvarates, cocretamete, la dstrbucó multomal y la dstrbucó ormal multvarate. EE II 63
Dstrbucó multomal Es la geeralzacó de la dstrbucó bomal al caso - dmesoal, es decr, cuado e cada prueba de Beroull se cosdera k sucesos ecluyetes A, A,..., A k, asocados a u k epermeto, co probabldades p, p,..., p k, sedo p Cosderamos k varables aleatoras,,..., k, de maera que: : Número de veces que se preseta el suceso A al realzar pruebas depedetes : Número de veces que se preseta los sucesos A, A,..., A k al realzar pruebas depedetes ~ M (, p,..., p k k R {(,,..., k {0,,...,} / + +... + k Fucó de probabldad } P(,..., k k!!... k p! p... p k k EE II 64
Característcas: Depede del úmero de pruebas depedetes y de p,..., p k. Fucó geeratrz de mometos: G(t t.. t k (p e t + p e t +... + p k e t k Fucó de probabldad de las dstrbucoes margales: P - ( p ( p + p +... + p + p +... + p p ( - p - Medas y varazas de las dstrbucoes margales: Covarazas: + p p q Cov(, p j p p q p j p p Ejemplo: Tres empresas cotrola la totaldad de las vetas de paeles solares e el mercado de Teerfe, de forma que la empresa A cotrola el 60 %, B el 30 % y C el 0 %. S elegmos 4 compradores, cuál será la dstrbucó de probabldad de las posbles compras? EE II 65 h k k k k q k
Dstrbucó multormal La dstrbucó multormal es ua geeralzacó al caso multdmesoal del modelo ormal estudado e los modelos probablístcos cotuos udmesoales. Estudaremos el caso bdmesoal y el -dmesoal, obteedo las dstrbucoes ormal bvarate y ormal multvarate (o -varate. DISTRIBUCIÓN NORMAL BIVARIANTE (, ~ N (, Σ Ua varable aleatora bdmesoal cotua, sgue ua dstrbucó ormal bvarate, s su fucó de desdad vee dada por:, e π ρ ( + ρ ρ _ f( sedo ρ EE II 66
Para alguos valores del coefcete de correlacó leal ρ se obtee la sguete represetacó gráfca de la fucó de desdad: Característcas: Meda: E[] Matrz de varazas-covarazas: V( Σ EE II 67
S la varables y so correladas, etoces so depedetes. Las dstrbucoes margales de ua dstrbucó ormal bvarate so dstrbucoes ormales uvarates. ~ N(, y ~ N(, Ejemplo: Sea e Y las desvacoes horzotal y vertcal (sobre u plao, respectvamete, de la estacó espacal MIR respecto al puto de aterrzaje de éste e el océao Pacífco. S e Y so dos varables aleatoras depedetes cada ua, co dstrbucó ormal bvarate y medas y 0 y varazas guales, cuál es la máma desvacó típca permsble de e Y, que cumpla co el requsto de la Ageca Espacal Rusa de teer ua probabldad de 0,99 de que el vehículo aterrce a o más de 500 mllas del puto elegdo, tato e dreccó vertcal como horzotal? EE II 68
DISTRIBUCIÓN NORMAL -VARIANTE: (,,..., ~ N (, Σ f r ( sedo Σ ( π e (( '(A ' A ( ( Σ ( π M, y A ua matrz regular de orde tal que A.A' Σ e [( ' Σ ( ] Característcas: Meda: M Matrz de varazas-covarazas: Σ L L L L L L L EE II 69
Las dstrbucoes margales de ua dstrbucó ormal multvarate so dstrbucoes ormales uvarates. Dada ~ N (, Σ, y B m ua matrz cualquera, etoces: B. ~ N m (B., B.Σ.B Ejemplo: Para ua seleccó de persoal, se hace u eame a los caddatos que costa de tres partes que se calfca por separado, de forma que las putuacoes de cada ua sgue apromadamete ua dstrbucó ormal multvarate co vector de medas y matrz de covarazas sguetes: 60 8 8 3 65 Σ 8 64 3 40 3 3 8 (a S se ege para aprobar cada parte por lo meos 50 putos, Cuál es la probabldad de aprobar cada parte? (b S para aprobar el eame es sufcete obteer 50 putos de meda etre las tres partes, qué probabldad hay de aprobar?. EE II 70
Estadístca Empresaral II Tema 5 Muestreo Aleatoro EE II - Carlos G. García Gozález - ULL 7
Ifereca Estadístca ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PROBABILIDAD INFERENCIA ESTADÍSTICA Es la ecargada de la recoplacó, estudo, clasfcacó e terpretacó de u grupo de datos, s sacar coclusoes e ferecas para u grupo mayor. Es la herrameta matemátca utlzada por la Estadístca para modelzar los feómeos reales. Es la relacoada co el proceso de utlzar datos procedetes de u determado subcolectvo o muestra, para tomar decsoes para el grupo más geeral del que forma parte esos datos. La Ifereca Estadístca se ecargará de ferr o ducr propedades descoocdas de ua poblacó (parámetros o tpo de dstrbucó, a partr de la formacó proporcoada por ua muestra. EE II 7
Para medr el grado de certeza de las coclusoes a las que se llegue, se ecestará utlzar alguos coocmetos sobre los dferetes modelos probablístcos ya estudados. La Ifereca Estadístca puede clasfcarse e fucó de su objetvo y del tpo de formacó a utlzar: CLASIFICACIÓN (segú su objetvo CLASIFICACIÓN (segú el tpo de formacó Métodos paramétrcos: So aquellos e los que se supoe que los datos provee de ua dstrbucó coocda, cetrádose las ferecas e sus parámetros. Métodos o paramétrcos: So aquellos e los que o se supoe coocda la dstrbucó poblacoal, troducédose hpótess muy geerales respecto a ellas (cotudad, smetría,... Ifereca Clásca: Se caracterza porque los parámetros so cosderados como valores fjos descoocdos, sedo la úca formacó estete sobre ellos la coteda e la muestra. Ifereca Bayesaa: E ella, los parámetros so cosderados como varables aleatoras, permtédose troducr formacó a pror sobre los msmos, además de la obteda a partr de la muestra. EE II 73
Muchas veces teresa estmar algua característca, cotrastar algua hpótess o tomar algua decsó respecto a ua poblacó co u determado modelo probablístco; para ello, se procede utlzado la formacó obteda a partr de la muestra. Este plateameto es de gra mportaca e el mudo empresaral y ecoómco, campos e los que la toma de decsoes lleva asocado u coste o beefco determado, y o se puede cotar co toda la formacó estete debdo a problemas de tempo, moetaros, etc. El esquema a segur a partr de ahora es el sguete: INFERENCIA ESTADÍSTICA MUESTREO ESTIMACIÓN CONTRASTE DE HIPÓTESIS Putual Por Itervalos de Cofaza Paramétrco No paramétrco EE II 74
Muestreo CONCEPTOS: Los coceptos fudametales que debemos platear al troducros e la Ifereca Estadístca so: Poblacó: Es cualquer coleccó fta o fta de dvduos o elemetos, que o tee que ser ecesaramete seres vvos. Muestra: Es u subcojuto de la poblacó, elegdo de forma represetatva. A partr de ellos podemos defr: Muestreo: Es el procedmeto medate el cual se obtee las muestras a partr de la poblacó. Tamaño muestral: Se trata del úmero de dvduos que forma la muestra, deotádose medate. EE II 75
CONVENIENCIA Y LIMITACIONES DEL MUESTREO: U ceso completo de los elemetos de ua poblacó sólo será ecesaro e alguos casos cocretos, ya que, e geeral, ua buea muestra puede sumstrar formacó poblacoal más precsa y a u coste muy feror al del ceso. Cuádo covee realzar u muestreo? - Cuado la poblacó es demasado grade. - Cuado la poblacó es sufcetemete homogéea desde certo puto de vsta, carecedo de setdo eamar toda la poblacó. Cuáles so las vetajas del muestreo? - Ecoomía: El coste de e el muestreo es feror al de u ceso. - Caldad: Al cosderar ua muestra, se cuda más la precsó de cada observacó asocada a cada elemeto. Cuádo o se acoseja realzar u muestreo? - Cuado se eceste formacó sobre todos los elemetos de la poblacó. - Cuado la formacó deba etederse a grupos o áreas muy pequeñas de la poblacó. EE II 76
Muestra aleatora Partremos de ua poblacó de tamaño N de la que os teresa ferr algua de sus característcas o tomar algua decsó sobre la msma. Para ello, recabaremos formacó sobre ella a través de ua muestra de tamaño. (,,..., observacoes sucesvas e depedetes de ua varable. Muestra geérca: S cosderamos todos los posbles valores de la muestra, s partcularzar guo, etoces (,,..., será ua varable aleatora -dmesoal, deomada muestra geérca. Muestra específca: Es la obteda asgádole uos valores partculares a la muestra geérca. Muestra aleatora: Se deomará así cuado la forma de seleccoarla permte coocer la dstrbucó de probabldad de la muestra geérca. Ua muestra aleatora puede ser tomada co reposcó (cada elemeto aalzado se devuelve a la poblacó, luego cada etraccó será depedete de las aterores o s reposcó (los elemetos seleccoados o so devueltos, luego cada etraccó depederá de los elemetos seleccoados e las aterores. EE II 77
Dseño del muestreo Los dseños muestrales se platea e fucó de las característcas de la poblacó e estudo y a las pretesoes del msmo. Para evaluar u dseño muestral os basaremos e los sguetes crteros: Fabldad: El error del muestreo es la dfereca etre el valor del estadístco obtedo medate ua muestra aleatora y el valor del parámetro poblacoal correspodete. Se mde medate la fabldad o precsó del muestreo, que está relacoada co la varaza del estadístco (a mayor varaza, meor fabldad. Efectvdad: Vee asocada al costo del muestreo. Se cosdera que u dseño es efectvo s permte obteer el mayor grado de fabldad co el meor costo posble. Se cosdera como estadístco a cualquer fucó obteda a partr de los datos de la muestra. Puede defrse como la varable aleatora udmesoal que es fucó de la muestra geérca (,,...,. Estadístco g(,,..., EE II 78
Los prcpales dseños muestrales so:.- MUESTREO ALEATORIO SIMPLE: Es aquél e el que todas las muestras de elemetos tee la msma probabldad de ser escogdas. Por tato, los elemetos de la poblacó tedrá la msma probabldad de ser seleccoados para formar parte de la muestra..- MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO: Se dvde la poblacó e k subpoblacoes o estratos, obtedos cluyedo e cada uo de ellos elemetos parecdos etre sí. De esta maera se obtedrá estratos homogéeos teramete pero co ua gra heterogeedad etre ellos. Detro de cada estrato se obtee ua muestra aleatora smple, de maera que, uedo todas estas submuestras se obtee la muestra. m* m m... mk 3.- MUESTREO POR CONGLOMERADOS: Se va a dvdr la poblacó e M coglomerados (que sea heterogéeos teramete, obteedo ua muestra de m de ellos. Se aalza todos los elemetos que los compoe. m* C C... Cm EE II 79
4.- MUESTREO BIETÁPICO: Es ua modfcacó del ateror, e la que, ua vez seleccoados los coglomerados, se realza u muestreo aleatoro smple e cada uo de ellos. m* m m... m co m C,,...,m m 5.- MUESTREO POLIETÁPICO: Se trata de ua geeralzacó del ateror que se realza e k etapas, combado muestreos por coglomerados co muestreos aleatoros smples. 6.- MUESTREO BIFÁSICO: E este tpo de muestreo se toma ua muestra, de forma rápda, seclla y poco costosa, a f de que su formacó srva de base para la seleccó de otra más pequeña, relatva a la característca de estudo. 7.- MUESTREO POLIFÁSICO: Es ua geeralzacó del caso ateror que se lleva a cabo e más de dos fases. 8.- MUESTREO SISTEMÁTICO: Esta forma de muestreo se puede emplear cuado los membros de la poblacó está ordeados. Cosste e seleccoar la muestra tomado valores cada k elemetos. EE II 80
9.- MUESTREO DIRIGIDO: Suele ser de gra utldad s el vestgador está be famlarzado co la poblacó y puede elegr de forma coherete elemetos represetatvos para tegrarlos e la muestra. E la práctca, es frecuete el empleo de métodos mtos y dseños complejos, obtedos como combacó de los propuestos aterormete. Ejemplos:.- Se quere hacer u estudo sobre la poblacó formada por los estudates de Empresarales, obteedo formacó sobre: (a Opó acerca de la LOU. (b Lmpeza de los baños del cetro. Idcar alguos tpos de muestreo que podría llevarse a cabo..- Se pretede realzar ua vestgacó sobre la opó de los habtates de Teerfe sobre el coflcto bélco e Afgastá. Idcar algú tpo de muestreo que podría realzarse. EE II 8
Dstrbucoes asocadas al muestreo E la Ifereca Estadístca tervee dstrbucoes dferecadas que precsa ser eplcadas: Dstrbucó poblacoal: Se trata de la dstrbucó de probabldad que preseta la varable estudada para los dvduos de la poblacó. F( P( Dstrbucó de la muestra geérca: Es la dstrbucó de probabldad de la varable aleatora -dmesoal (,,..., (muestra geérca: F(,,..., F(.F(...F( E el caso de ua muestra aleatora smple, las varables so..d. que la. Dstrbucó de la muestra específca: Al tomar la muestra geérca uos valores cocretos, se obtee la muestra específca, que posee ua dstrbucó de frecuecas asocada (y o de probabldad. Dstrbucó del estadístco: Es la dstrbucó de probabldad de la varable aleatora udmesoal dada por el estadístco g(,,...,. EE II 8
EE II 83 Estadístcos: característcas y dstrbucoes Supogamos que se ha etraído ua muestra de observacoes de ua poblacó co meda y varaza para la varable. Represetaremos los elemetos de la muestra por (,,...,, dode cada uo de los membros tedrá meda y varaza. MEDIA MUESTRAL: Se trata de ua v.a. udmesoal, al ser fucó de las varables aleatoras. E[ ] E E[] V( - E( - ] ( -. E[( + - E( - ( -. ( + - ( E - ( E E - E - E ( V ( j j j j Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ y j depedetes Cov(, j 0
E caso de poblacoes ftas de tamaño N, la varaza de la meda muestral se verá afectada por u factor de correccó, obteedo: V(. N - N - Ejemplo: Sea 4 lotes A, B, C y D de 0 latas de atú, cada uo de los cuales tee, 3, 4 y 5 udades defectuosas, respectvamete. Se elge al azar de los 4 lotes. Calcular el úmero medo muestral de udades defectuosas, obteedo su meda y su varaza..- Dstrbucó de la meda muestral de ua poblacó ormal. ~ N (, (A Co varaza poblacoal coocda: S el tamaño muestral o es ua fraccó muy pequeña del tamaño poblacoal N, o podremos asumr la depedeca de los. ~ N (,,,,..., S ~ N (,, etoces Por lo tato, se obtee que: ~ N, - Luego, Z ~ N (0, ~ N., Σ N, EE II 84
Ejemplo: Se tee ua máqua de lleado para vacar 500 gramos de gofo e ua bolsa. Supógase que la catdad de gofo que se coloca e cada bolsa es ua varable aleatora ormalmete dstrbuda co meda de 500 gramos y desvacó típca gual a 0 gramos. Para verfcar que el peso promedo de cada bolsa se matee e 500 gramos se toma ua muestra aleatora de 5 de éstas e forma peródca y se pesa el cotedo de cada bolsa. El gerete de la plata ha decddo deteer el proceso y ecotrar el fallo cada vez que el valor promedo de la muestra sea mayor de 50 gramos o meor de 490 gramos. Obteer la probabldad de deteer el proceso. (B Co varaza poblacoal descoocda: descoocda Usaremos como apromacó la cuasvaraza: ŝ ( - Σ S ~ N, ( - ~ N ( 0, ( ( + [( ( ] ( + ( ( ( [ ] ( ( + ( ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( + Habrá que determar la dstrbucó de: - ŝ - Σ ( - -.( - Σ ( - - EE II 85
Dvdedo ambos membros por la varaza, se obtee que: ( ( ( Z ~ χ - Etoces: ( - ( - - ( - ( - - ( - ( - ( - ( - ( - Z χ- - χ- - t - Por tato: - ŝ t - E el caso de que el tamaño muestral fuera lo sufcetemete grade, podría aplcarse el Teorema Cetra de Límte y platear que: - ŝ Z ~ N (0, EE II 86
Ejemplo: E u estudo publcado e el daro El País, se asegura que, para u coche compacto partcular, el cosumo de gasola e carretera es de ltro cada 5 klómetros. Ua orgazacó depedete de cosumdores adquere uo de estos coches y lo somete a prueba co el propósto de verfcar la cfra dcada por el daro El País. El coche recorró ua dstaca de 00 klómetros e 5 ocasoes. E cada recorrdo se aotó el úmero de ltros ecesaros para realzar el vaje. E los 5 esayos, la cuasdesvacó típca tomó u valor de,5 klómetros por ltro respectvamete. S se supoe que el úmero de klómetros que se recorre por ltro es ua varable aleatora dstrbuda ormalmete, co base e esta prueba, cuál es la probabldad de que la meda muestral sea feror a la poblacoal?.- Dfereca de las medas muestrales de dos poblacoes ormales depedetes. (A Co varazas poblacoales coocdas: Sabemos que: ~ N (, ~ N (, ~ N, ~ N, - N So dos varables aleatoras defdas para dos poblacoes depedetes. ( -, + EE II 87
EE II 88 Por tato: Ejemplo: El Servco Caaro de Salud está realzado u estudo sobre el cosumo de cgarrllos e la Provca de Sata Cruz de Teerfe y e la Provca de Las Palmas de Gra Caara. Por trabajos realzados aterormete, cooce que las varazas poblacoales so, respectvamete, 00 y 64. E cuato a los cosumos medos e ambas provcas, o los cooce por lo que toma dos muestras de tamaño 49 y 36. Dcha etdad pesa que el cosumo medo de cgarrllos e la Provca de Sata Cruz de Teerfe es gual al de la Provca de Las Palmas de Gra Caara Cuál es la probabldad de que el cosumo medo muestral e Sata Cruz de Teerfe supere al de Las Palmas de Gra Caara? (B Co varazas poblacoales descoocdas: S las muestras so grades ( > 30: S las muestras so pequeñas: N (0, Z ~ + - ( - - ( Z Ŝ + Ŝ - - ( - ( t Ŝ + Ŝ - - ( - ( - +
EE II 89 NOTA: E este segudo caso, las varazas so estmadas co poca formacó, lo que les cofere ua relatvamete baja fabldad. E el caso de que las varazas poblacoales fuera supuestamete guales, el resgo asumdo o sería ecesvo, ya que ambas poblacoes está dspersas de maera semejate. Pero s fuera dsttas, los resgos de las ferecas que se pretede realzar co este estadístco sería, cuado meos, preocupates. Varazas supuestamete guales: Dado que las varazas poblacoales se supoe guales, se cosdera que sus estmadores (cuasvarazas també lo deberá ser, auque, dada las aleatoredad de las muestras, o es ormal que ocurra, por lo que sustturemos las cuasvarazas muestrales por ua meda poderada de las msmas. Varazas supuestamete dsttas: E este caso, se teta compesar el resgo asumdo modfcado la dstrbucó del estadístco, reducedo los grados de lbertad del msmo medate la Apromacó de Welch. t +. Ŝ - ( - - ( Ŝ + Ŝ - - ( - ( - + p - + -.Ŝ + ( -.Ŝ ( Ŝ sedo p f t Ŝ + Ŝ - - ( - ( - + Ŝ + + Ŝ Ŝ + Ŝ f WELCH: Apromacó de sedo la
Ejemplo: El gerete de la refería de CEPSA e Teerfe pesa modfcar el proceso para producr gasola a partr de petróleo crudo. El gerete hará la modfcacó sólo s la gasola promedo que se obtee por este uevo proceso (epresada como porcetaje del crudo aumeta su valor co respecto al proceso e uso. Co base e u epermeto de laboratoro y medate el empleo de dos muestras aleatoras de tamaño, ua para cada proceso, presetado la catdad de gasola del proceso e uso ua cuasdesvacó típca de,3, y para el proceso propuesto, de,7. El gerete pesa que los resultados proporcoados por los dos procesos so varables aleatoras depedetes ormalmete dstrbudas co varazas guales. Cuál es la probabldad de que la catdad de gasola meda muestral sea mayor para el uevo proceso? Ejemplo: La empresa Agroma desea estmar el úmero total de horas/hombre perddas debdo a accdetes de sus obreros y téccos e u mes determado. Por epereca, sabe que la dspersó es dstta para esos dos tpos de trabajadores, auque o cooce las varazas poblacoales, y cosdera que las medas poblacoales cocde. Para ello se tomó ua muestra de 8 obreros y 0 téccos. Obreros 8 0 6 7 9 8 4 6 0 4 5 0 3 6 4 8 0 Téccos 4 0 8 3 5 4 7 8 Cuál es la probabldad de que el úmero medo muestral de horas/hombre perddas sea mayor e el caso de los obreros que para los téccos? EE II 90