Tem 5 Integrción 5.1 Integrl Indefinid Definición. Se denomin primitiv de l función f(x) en un intervlo (, b) tod función F (x) diferencible en (, b) y tl que F (x) = f(x). Dos propieddes importntes que verificn ls primitivs de un función dd f(x) son ls siguientes: 1) Si F (x) es un primitiv de f(x) en (, b), entonces l función G(x) = F (x) + C, con C R constnte, tmbién lo es en (, b). L demostrción es evidente: G (x) = F (x) + 0 = f(x), x (, b). ) Si F (x) y G(x) son primitivs de f(x) en (, b), entonces su diferenci es un constnte: F (x) G(x) = C, x (, b). L demostrción de est propiedd requiere el uso del Teorem del vlor medio 1. Definición. Llmremos integrl indefinid de un función f(x) en un intervlo (, b) l conjunto de tods sus funciones primitivs en dicho intervlo. Lo representremos con l notción hbitul f(x) dx. Propieddes. (f(x) + g(x)) dx = k R, se verific: f(x)dx + kf(x) dx = k g(x)dx f(x) dx 1 Se h(x) = F (x) G(x), x (, b). Obvimente: h (x) = f(x) f(x) = 0, x (, b). Se [x 1, x ] (, b) culquier subintervlo cerrdo de (, b). Aplicmos en [x 1, x ] el Teorem del Vlor medio, por ser h(x) continu en [x 1, x ] y derivble en (x 1, x ), existe c (x 1, x ) tl que: 0 = h (c) = h(x ) h(x 1 ) x x 1 h(x 1 ) = h(x ) y en consecunci h(x) es un función constnte en (, b). 1
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.1.1 Integrles Inmedits Se suelen denominr integrles inmedits ls que resultn evidentes por ser el integrndo l derivd de un función conocid. Evidentemente l inmeditez no constituye un propiedd mtemátic, o dicho con otrs plbrs, un integrl es inmedit si uno se l sbe de memori, y lo sigue siendo mientrs no l olvidemos. En culquier cso, es hbitul sumir que son inmedits ls siguientes integrles indefinids: x p dx = 1 p + 1 xp+1 + C, p 1, e x dx = e x + C, sen x dx = cos x + C, dx sen = cotn x+c, x dx = rccos x+c, 1 x dx x 1 = rccosh x+c, 5.1. Técnics de Integrción Ver péndice l finl del Tem. dx x = ln x + C x dx = 1 ln x + C, > 0, 1 dx cos x dx = sen x + C, cos x = tn x + C dx dx x = rctn x+c, = rcsen x+c + 1 1 x senh x dx = cosh x+c, dx x + 1 = rcsenh x+c, cosh x dx = senh x+c dx = rctnh x+c 1 x 5. Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos tiende infinito y simultánemente cd uno de los sumndos tiende cero. Pr determinr con precisión est ide introduciremos ls siguientes definiciones: Definición. Ddo un intervlo [, b] llmremos prtición de [, b] tod colección de n + 1 puntos P = {x 0, x 1,, x n } tles que = x 0 < x 1 < x < < x n = b. Tod prtición P del intervlo [, b] lo divide en n subintervlos [x k 1, x k ] de nchurs respectivs x k = x k x k 1. Definición. Dd un función f(x) definid en el intervlo [, b], un prtición P = {x 0, x 1,, x n } de [, b] y ddos n puntos ξ = {ξ 1, ξ,, ξ n } tles que ξ k [x k 1, x k ],
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 3 se llm sum integrl o sum de Riemnn de l función f(x) en [, b] correspondiente l prtición P y l elección de puntos ξ l sum siguiente: S(f, P, ξ) = n f(ξ k ) x k = f(ξ 1 ) x 1 + + f(ξ n ) x n k=1 Si suponemos que l función es continu en [, b] entonces, por el teorem de Weierstrss, f(x) lcnz su vlor máximo M k y su mínimo m k en cd subintervlo [x k 1, x k ], podemos entonces construir ls sums de Riemnn correspondientes dichos vlores, obteniendo l sum superior de Riemnn de f(x) en [, b] con respecto l prtición P : y l respectiv sum inferior: U(f, P ) = L(f, P ) = n M k x k k=1 n m k x k k=1 Es evidente entonces que el conjunto de tods ls sums de Riemnn de un función dd en un intervlo, con respecto un prtición concret P, está cotdo superiormente por U(f, P ) e inferiormente por L(f, P ). Definición. Se dice que un función f(x) definid en [, b] es integrble (en el sentido de Riemnn, o simplemente integrble) en [, b] si el supremo de tods sus sums inferiores de Riemnn coincide con el ínfimo de tods sus sums superiores. A dicho número se le denomin integrl definid o integrl de Riemnn de f(x) en [, b] y se denot como: f(x) dx Es posible definir de mner equivlente l integrl definid como el límite de ls sums de Riemnn de l función en el intervlo cundo el número de puntos de ls prticiones considerds tiende infinito mientrs que l nchur máxim de los subintervlos determindos por l prtición tiende cero. L definición de integrl definid se complet ñdiendo que se considerrá tmbién el cso en el que > b de l form: f(x)dx = b f(x)dx mientrs que: f(x)dx = 0 Relmente serí suficiente con que f(x) fuer continu en cd subintervlo de l prtición P.
4 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Propieddes básics 1. Si f(x) es integrble en [, b] entonces está cotd en [, b].. Si f(x) es continu en [, b] entonces es integrble en [, b]. 3. Si f(x) está cotd en [, b] y present en dicho intervlo un número finito de discontinuiddes, entonces es integrble en [, b]. 4. L integrl definid es linel, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrbles en [, b], entonces su sum tmbien lo es y se verific: (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx mientrs que si k es un número rel culquier, entonces: kf(x)dx = k 5. Ddos tres números reles, b y c, se verific: f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx c f(x)dx siempre que ls integrles nteriores existn. 6. Si f(x) g(x), x [, b] y mbs son integrbles en [, b], entonces se verific: f(x) dx g(x) dx 7. Si < b y f(x) es integrble en [, b], se verific: f(x)dx f(x) dx 5..1 Teorem Fundmentl del Cálculo y Regl de Brrow Teorem del Vlor Medio del Cálculo Integrl. Si f(x) es un función continu en el intervlo [, b], entonces existe en [, b] l menos un punto c tl que se verific: f(x)dx = (b ) f(c) Not: l número rel f = 1 b f(x)dx se le llm vlor medio o vlor promedio de f(x) en [, b].
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5 Demostrción: Ddo que f(x) es continu en [, b], por el teorem de Weierstrss lcnz en [, b] su vlor máximo, M y su mínimo, m. Tendremos entonces, utilizndo ls propieddes nteriormente expuests: m f(x) M, x [, b] m dx f(x) dx M dx m(b ) f(x)dx M(b ) y sí: m f(x)dx b Pero l ser M y m lcnzdos en [, b] (supongmos que en los puntos x 1 y x, [x 1, x ] [, b]), tendremos que f(x) lcnz todos los vlores intermedios entre m y M, y por tnto: c [x 1, x ] c [, b] tl que: f(c) = f(x)dx b Q.E.D. Plnteremos continución el Teorem Fundmentl del Cálculo, que relcion dos conceptos prentemente diferentes como son el de integrl indefinid (operción invers o recíproc de l derivción) y el de integrl definid (límite de sums cundo el número de sumndos tiende infinito mientrs que cd sumndo tiende cero): Teorem Fundmentl del Cálculo. Se f(x) un función continu en el intervlo [, b], entonces l función F (x) definid de l form: F (x) = x M f(t)dt en el intervlo [, b] es derivble en (, b) y demás F (x) = f(x). Not: Si f(x) es integrble pero no continu en [, b] entonces sólo podemos segurr que F (x) es continu en [, b], pero l derivbilidd de F (x) sólo está grntizd en los puntos de continuidd de f(x). L función F (x) tiene un significdo geométrico evidente ddo que nos proporcion el áre determind 3 por l gráfic de f(x) entre el punto inicil y un punto concreto x del intervlo [, b]. Regl de Brrow. Si f(x) es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f(x) en [, b], entonces se verific: Demostrciones: f(x)dx = G(x) b = G(b) G() 3 Evidentemente hblmos de áre en sentido figurdo, pues se trt relmente de un áre pr funciones definids positivs en [, b].
6 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Demostrremos en primer lugr el Teorem Fundmentl del Cálculo: Dd l función f(x) continu en [, b], definiremos entonces en [, b] l función: F (x) = x f(u)du Consideremos h > 0 tl que x y x + h pertenezcn mbos l intervlo [, b], tendremos entonces (plicndo ls propieddes básics de ls integrles) que: F (x + h) F (x) = x+h f(u)du x f(u)du = x+h x f(u)du Aplicndo continución el Teorem del Vlor Medio en el intervlo [x, x + h], existirá un vlor c [x, x + h] tl que: x+h x f(u)du = f(c)(x + h x) = f(c) h Pero entonces l derivd de F (x) en el punto x se re-escribe de l form: F F (x + h) F (x) (x) = lim = lim f(c) h 0 h h 0 y ddo que f(x) es continu en [, b] y, en consecuenci, en [x, x + h], tendremos que h 0 nos llev que x c x + h x c x, y en definitiv, l ser f(x) continu: Q.E.D 4. lim f(c) = lim f(c) = f(x) F (x) = f(x) h 0 c x Demostrción de l regl de Brrow: Dd l función continu f(x) en [, b], si G(x) es un primitiv de f(x) en [, b] tendremos que, ddo que F (x) definid nteriormente tmbién lo es, mbs deben diferencirse tn sólo en un constnte C, de est form: En prticulr: G(x) F (x) = C, x [, b] G() F () = C G() G(b) F (b) = C G(b) f(x)dx = C f(x)dx = C restndo mbs expresiones, y considerndo que f(x)dx = 0, tendremos: Q.E.D. f(x)dx = G(b) G() 4 Estrictmente hblndo hemos demostrdo tn sólo que l derivd por l derech de F (x) es f(x). Es trivil completr l demostrción en el otro sentido.
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 7 5.3 Integrles Impropis En l construcción y definición de integrl definid o integrl de Riemnn hemos prtido de un función f(x) definid en un intervlo finito [, b] y demás cotd en el mismo. Ls integrles impropis se definen precismente pr contemplr l posibilidd de integrr en intervlos infinitos, por un ldo, e integrr funciones no cotds, por otro. Integrles Impropis de Primer Especie Un integrl impropi de primer especie es un integrl extendid un intervlo no finito. Pr definirl utilizremos l siguiente expresión: f(x)dx = lim b f(x)dx Si dicho límite existe y es finito diremos que l integrl impropi de primer especie f(x)dx es convergente, en cso contrrio será divergente. De mner nálog se definen ls integrles impropis de primer especie siguientes: f(x)dx = lim f(x)dx ; k f(x)dx = lim f(x)dx k k Integrles Impropis de Segund Especie Un condición necesri pr que f(x) fuer integrble en [, b] er que estuvier cotd en [, b]. Si f(x) es integrble en [, b ε] y no está cotd en un entorno de b, definimos l integrl impropi de segund especie: f(x) dx = lim ε 0+ ε f(x) dx L integrl será convergente si el límite existe y es finito. Ejemplos: Un integrl impropi de primer especie convergente: y otr de segund especie: 1 0 0 dx x + 1 = lim b (rctn b rctn 0) = π dx 1 x = lim ε 0+ (rcsen(1 ε) rcsen 0) = π
8 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.4 Aplicciones de ls Integrles l cálculo de áres, volúmenes Áres. y longitudes Funciones explícits en Coordends Crtesins. Dd un curv y = f(x), el áre determind por dich curv, ls rects x =, x = b (con < b) y el eje de bsciss nos viene dd por l integrl definid: A = f(x) dx En el cso de que l vrible despejd se l x, es decir un ecución explícit de l form x = g(y), l expresión: A = d c g(y) dy nos proporcion el áre determind por el eje de ordends, ls rects y = c, y = d y l gráfic de g(y). Expresiones en prmétrics: El áre delimitd por l curv c expresd en ecuciones prmétrics, c y el eje OX entre ls bsciss x(t 1 ) y x(t ) es, A = t Expresiones en coordends polres: t 1 y(t) x (t) dt { x = x(t) y = y(t) El áre delimitd por l curv c expresd en ecuciones polres r = r(θ) y ls rects rdiles θ = θ 1 y θ = θ es dd por, A = 1 Longitud de rco de un curv: θ Expresiones en coordends crtesins: θ 1 r (θ)dθ L longitud de l curv y = f(x) entre ls bsciss x = x 1 y x = x viene expresd medinte l fórmul: x L = 1 + (f (x)) dx x 1
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 9 Expresiones en prmétrics: { x = x(t) L longitud de l curv c entre ls bsciss x(t 1 ) y x(t ) es clculd y = y(t) por: t L = (x (t)) + (y (t)) dt Expresiones en coordends polres: t 1 L longitud de l curv r = r(θ) entre ls coordends ngulres θ = θ 1 y θ = θ viene dd como: θ L = (r(θ)) + (r (θ)) dθ Volúmenes de revolución (lrededor del eje OX): Expresiones en coordends crtesins: θ 1 El volumen generdo por l curv y = y(x) l girr lrededor del eje OX entre ls bsciss x 1 y x corresponde l fórmul: Expresiones en prmétrics V = π x x 1 (f(x)) dx El volumen de revolución respecto del eje OX de l curv (x(t), y(t)) delimitdo por ls bsciss x(t 1 ) y x(t ) es ddo por: V = π t Expresiones en coordends polres: t 1 (y(t)) x (t) dt El volumen de revolución de l curv r = r(θ) sobre el eje OX delimitdo por ls vribles ngulres θ 1 y θ es V = π 3 θ θ 1 r 3 (θ) senθ dθ Áres de revolución (lrededor del eje OX): El áre generdo por l curv c l girr lrededor del eje OX puede ser clculdo según ls siguientes expresiones:
10 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Expresiones en coordends crtesins: El áre lterl referido nteriormente de l curv y = f(x) entre ls bsciss x 1 y x será: x A L = π f(x) 1 + (f (x)) dx x 1 Expresiones en prmétrics: En ecuciones prmétrics, el áre lterl limitd por ls bsciss x(t 1 ) y x(t ) viene dd por: t A L = π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt t 1 Expresiones en coordends polres: L expresión en coordends polres es: θ A L = π r(θ) sen θ (r(θ)) + (r (θ)) dθ θ 1
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 11 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l función dd f(x), un polinomio de interpolción que proxime f(x) en [, b]. Se trt por tnto de tod un fmili generl de métodos, según el polinomio de interpolción que se considere (puede elegirse diferente grdo, diferentes puntos pr interpolr, etc.). Pr el cso de ls interpolciones linel y cudrátic, estos métodos se denominn Método de los Trpecios y Método de Simpson, respectivmente. Método de los trpecios Como se h comentdo, el Método de los trpecios es un Método de Newton-Côtes bsdo en l interpolción linel. L ide esencil por tnto, de cr integrr f(x) desde el punto (, f()) hst (b, f(b)), es proximr f(x) por su polinomio de interpolción linel en [, b] (ver figur). f(x) P 1 (x) = x b b f() + x f(b), x [, b] b y sí: I = f(x) dx P 1 (x) dx = b (f() + f(b)) f x P 1 x b x b x En definitiv se trt de proximr el vlor de l integrl I por el áre del trpecio que determinn ls rects x =, x = b, el eje de bsciss y l rect que une los puntos: (, f()) y (b, f(b)).
1 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Si recordmos l expresión del error de l interpolción linel, suponiendo que f(x) es continu y derivble dos veces en el intervlo [, b]: f(x) = P 1 (x) + ε(x) ε(x) = f (ξ) (x )(x b), ξ b Tendremos entonces que: I = f(x)dx = b (f() + f(b)) + E donde el error de l integrción numéric E será, obvimente: E = ε(x)dx = f (ξ) (x )(x b) dx Integrndo en est últim expresión y denominndo h = b se concluye fácilmente en que: E = h3 1 f (ξ) E h 3 1 M siendo M el vlor máximo que lcnce l derivd segund de l función en el intervlo ddo [, b]. Método de los Trpecios compuesto Si el intervlo en el que se reliz l integrl es grnde, el Método de los Trpecios Simple suele ser muy impreciso. Pr mejorr l exctitud, es posible subdividir el intervlo en otros más pequeños y plicr en cd uno de ellos el Método simple. De est mner, el Método de los Trpecios compuesto o generlizdo consiste en tomr un prtición P = {x 0, x 1,..., x n } de [, b], (x 0 =, x n = b), equiespcid, es decir: x i+1 x i = h, i = 1,..., n. Tendremos sí que: h = b n Teniendo en cuent ls propieddes básics de l integrl definid: f(x) dx = x1 x 0 f(x)dx + x y plicndo cd integrl el Método simple: x 1 f(x)dx +... + xn x n 1 f(x)dx f(x) dx h (f(x 0) + f(x 1 )) + h (f(x 1) + f(x )) +... + h (f(x n 1) + f(x n )) = = h (f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) +... + f(x n 1 )) + f(x n ))
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 13 Tenemos por tnto l expresión finl pr el Método de los Trpecios Generlizdo: ( ) f(x) dx h n 1 f() + f(x i ) + f(b) En lo que respect l error de integrción, será evidentemente igul l sum de los errores de cd un de ls plicciones del método simple: E = E 1 + E +... + E n = h3 1 f (ξ 1 ) h3 1 f (ξ )... h 1 f (ξ n ) si denominmos M l máximo de l función f (x) en [, b] tendremos finlmente: i=1 E h 3 1 nm = (b ) h M 1 Tomremos hbitulmente E definido no negtivo, por lo que es frecuente escribir directmente: E h 3 1 nm = (b ) h M 1 obvindo el vlor bsoluto pr E. Ejemplo: Clculr el vlor proximdo de l integrl, 1 0 xdx (x + 1)(x + ) utilizndo l regl de los trpecios compuest con n = 8 subintervlos. Evlur exctmente el vlor de l integrl y compárese con el vlor proximdo obtenido. De form exct: I = 1 x 0 (x + 1)(x + ) dx = x (x + 1)(x + ) = A x + 1 + B A(x + ) + B(x + 1) = x + (x + 1)(x + ) { x = 1 A = 1 x = A(x + ) + B(x + 1) x = B = = 1 0 ( 1 x + 1 + ) dx = log(x + 1) + log(x + ) x + = log 9 log 4 = 0.1177830 10 = log (x + ) (x + 1) Método de los Trpecios, con n = 8. Dividimos el intervlo [0, 1] en 8 subintervlos y clculmos los correspondientes vlores del integrndo: 1 0 =
14 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 0. 0.15 0.5 0.375 0.5 0.65 0.75 0.875 1.0 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) 0. 0.058 0.08888 0.11483 0.13333 0.1465 0.15584 0.16319 0.16666 Finlmente, plicmos l fórmul ntes deducid: I h [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 ) + f(x 7 )) + f(x 8 )] 0.15 [0 + (0.058 + 0.0888 + 0.11483 + 0.1333 + 0.1465 + 0.15584 + 0.16319) + 0.1666] 0.117166 que d un buen proximción l resultdo excto. En l próxim sección completremos este ejercicio medinte el uso del Método de Simpson y comprobremos que proporcion un mejor ún proximción. Si relizmos el mismo cálculo con un número diferente de subintervlos, se obtienen los siguientes resultdos: n I n n = 1 0.08333 n = 0.108333 n = 3 0.11349 n = 4 0.11535 n = 5 0.116 n = 10 0.11739 n = 100 0.1177791 Método de Simpson El Método de Simpson es un método de Newton-Côtes de segundo orden, es decir bsdo en integrr un polinomio de interpolción de segundo grdo, de l form siguiente: Dd l función f(x) en [, b], tomremos como tercer punto pr l interpolción el punto medio de dicho intervlo, es decir: x m = +b b, y denominremos h = l seminchur del intervlo. De est form el polinomio de interpolción de grdo que ps por (, f()), (x m, f(x m )) y (b, f(b)) será: P (x) = f() + f(x m) f() (x ) + f() + f(b) f(x m) h h (x )(x x m ) No es difícil clculr l integrl de P (x) entre y b, de mner que se obtiene: f(x) dx P (x) dx = h 3 (f() + 4f(x m) + f(b))
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 15 fórmul del Método de Simpson (o Método de Simpson simple). L evlución del error de integrción d lugr un curioso resultdo. Suponiendo que l función f(x) es derivble l menos cutro veces en el intervlo considerdo, podemos desrrollr por l fórmul de Tylor l función f(x) en x = x m hst tercer orden (resto de Tylor de orden 4): f(x) = P 3 (x) + R 4 (x) = con = f(x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) De est mner tendremos: R 4 (x) = f (4) (ξ) (x x m ) 4 4! f() = f(x m h) = f(x m )+f (x m )( h)+ f (x m ) (x x m ) + f (x m ) (x x m ) 3 + R 4 (x) 3! ( h) + f (x m ) 3! ( h) 3 + f (4) (ξ) ( h) 4 4! f(b) = f(x m + h) = f(x m ) + f (x m )h + f (x m ) h + f (x m ) h 3 + f (4) (ξ) h 4 3! 4! Con un breve cálculo se concluye en l expresión (pr l fórmul del Método de Simpson): h 3 (f() + 4f(x m) + f(b)) = h ( 6f(x m ) + f (x m )h + 1 ) 3 1 f (4) (ξ)h 4 = = hf(x m ) + f (x m ) h 3 + 1 3 36 f (4) (ξ)h 5 Por otro ldo, si integrmos el desrrollo de Tylor tendremos (simplificndo los resultdos): = f(x)dx = (P 3 (x) + R 4 (x)) dx = ( f(x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) = hf(x m ) + f (x m ) 3 h 3 + f (4) (ξ) h 5 60 (x x m ) + f ) (x m ) (x x m ) 3 + R 4 (x) dx = 3! Finlmente el error de integrción no es más que (tomndo nuevmente el error como definido positivo): E = f(x)dx h 3 (f() + 4f(x m) + f(b)) de mner que: E = f (4) (ξ) 60 h 5 f (4) (ξ) h 5 = 36 1 90 f (4) (ξ) h 5
16 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Si denominmos M 4 l máximo que lcnce l derivd curt de l función en el intervlo [, b], tendremos finlmente: E 1 90 h5 M 4 hemos demostrdo por tnto que el error puede cotrse por el máximo de l derivd curt de l función. Un consecuenci inmedit de este resultdo es que si tenemos que integrr un polinomio de grdo 3, l integrción exct por l regl de Brrow y l proximd por el Método de Simpson (independientemente de l nchur del intervlo) coinciden, el error es exctmente cero. Un explicción gráfic de este sorprendente resultdo (no olvidemos que Simpson se bs en integrr un polinomio de grdo, diferente por tnto l integrndo, polinomio de grdo 3), l observmos en l Figur 6.1. x m b Figur 5.1: Gráfic de un polinomio de grdo 3 en un intervlo [, b] y del correspondiente polinomio de grdo dos (en gris) que interpol los puntos de bscis, x m y b. Puede observrse como el error de interpolción (por defecto) entre y x m es idéntico l error (por exceso) entre x m y b. Método de Simpson Compuesto De mner completmente nálog lo expuesto pr el Método de los Trpecios, es posible generlizr (mejorndo l precisión) el Método de Simpson por medio de l subdivisión del intervlo ddo en otros más reducidos. De est form si prtimos el intervlo [, b] en n subintervlos de nchur h = b n tendremos l prtición: {x 0, x 1,..., x n }. De cr plicr el Método de Simpson simple pso pso observmos inmeditmente que n debe ser un número pr pr conseguir que todo [, b] quede incluido en l integrción
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 17 numéric. Tendremos entonces: f(x) dx = x x4 xn f(x)dx + x f(x)dx +... + f(x)dx x n y los puntos x 1, x 3,..., x n 1 representrán el ppel de puntos medios en cd un de ls plicciones sucesivs del método simple. De form explícit se obtiene: donde I y P representn ls sums: I = P = n 1 i=1, impres n i=, pres f(x) dx h (f() + 4I + P + f(b)) 3 f(x i ) = f(x 1 ) + f(x 3 ) +... + f(x n 1 ) f(x i ) = f(x ) + f(x 4 ) +... + f(x n ) De cr l estimción del error, en cd uno de los psos deberemos considerr E h 5 90 M 4 De est form, el error de integrción en el Método compuesto vendrá ddo por: E h 5 90 ( M 1 4 + M 4 +... + M n 4 ) h 5 n 90 M 4 donde se denot M4 i los máximos de l derivd curt en cd plicción del método simple y M 4 l máximo de l derivd curt en todo [, b]. Concluimos por tnto en l expresión: E b 180 h4 M 4 Ejemplo 1. Clculr el vlor proximdo de l integrl 1 0 x dx (x + 1)(x + ) utilizndo l regl de Simpson compuest con n = 8. Recordemos l tbl de vlores utilizds en l sección nterior l relizr este ejercicio medinte el método de los trpecios:
18 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 0. 0.15 0.5 0.375 0.5 0.65 0.75 0.875 1.0 f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) 0. 0.058 0.08888 0.11483 0.13333 0.1465 0.15584 0.16319 0.16666 de mner que I h 3 [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x 3 ) + f(x 5 ) + f(x 7 )) + (f(x ) + f(x 4 ) + f(x 6 )) + f(x 8 )] 0.15 [4(0.058 + 0.11483 + 0.1465 + 0.16319) + (0.0888 + 0.1333 + 0.15584) + 0.1666] 3 0.117773 que l ser comprdo con el vlor excto 0.1177830 y el obtenido por l regl de los trpecios 0.117166 nos permite concluir que este método es más preciso que el nterior. Comprndo de mner generl los dos métodos tendremos: n I(Trpecios) I(Simpson) n = 1 0.08333 n = 0.108333 0.116667 n = 3 0.11349 n = 4 0.11535 0.117689 n = 5 0.116 n = 6 0.117763 n = 8 0.117776 n = 10 0.11739 0.11778 n = 100 0.1177791 0.117783 Ejemplo. Teniendo en cuent que no es conocid un primitiv de l función f(x) = e x, clcúlese el vlor de l integrl definid con un error menor 0.003. 1 0 e x dx L función con l que debemos trbjr es e x. Aplicndo l fórmul de Simpson cometemos un error ddo por h4 E (b ) 180 M 4 M 4 f (4) (x), x [0, 1] Clculremos ls derivds correspondientes: f (x) = xe x f (x) = (1 + x )e x f (x) = 4(3x + x 3 )e x f (iv) (x) = 4(4x 4 + 1x + 3)e x
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 19 Se puede observr que f (iv) (x) es creciente en [0, 1] de modo que el máximo vlor de dich función coincide con el vlor en x = 1, esto es, f (iv) (1) = 4e 1 (4 + 1 + 3) < 4 3 19 = 8, por lo que considerremos que M 4 8. Por ello, E(N) (b )5 19 8 = 180N 4 15N 4 E(1) 1.666 E() 0.0791 E(3) 0.0156 E(4) 0.0049 E(5) 0.000 de modo que pr que el número de subintervlos se pr hemos de tomr N = 6 x i x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 = 0. 1/6 1/3 1/ /3 5/6 1. f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) = 1. 1.0817 1.1175 1.8403 1.5596.006.7188 Finlmente: I h 3 [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x 3 ) + f(x 5 )) + (f(x ) + f(x 4 )) + f(x 8 )] 1/6 [1 + 4(1.0817 + 1.8403 +.006) + (1.1175 + 1.5596) +.7188] 3 1.468 Ejemplo 3. Un cuerd vibr doptndo l form, y = sen x entre ls bsciss x = 0 y x = 4 en un instnte t 0. Clcúlese proximdmente l longitud de l cuerd, utilizndo un método numérico con n = 8. Ddo que tenemos que clculr l longitud de l función f(x) = sen x, entre x = 0 y x = 4, plicremos l fórmul L = 4 1 + (f (x)) dx = 1 + cos xdx que nos proporcion l integrl que debemos estimr numéricmente medinte l regl de Simpson con n = 8 como propone el enuncido. g(x) = 1 + cos x 0 x i x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 0. 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 g(x i ) g(x 0 ) g(x 1 ) g(x ) g(x 3 ) g(x 4 ) g(x 5 ) g(x 6 ) g(x 7 ) g(x 8 ) = 1.4141 1.33047 1.13663 1.005 1.08313 1.8134 1.40715 1.3700 1.19468
0 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 I h 3 [g(x 0) + 4 (g(x 1 ) + g(x 3 ) + g(x 5 ) + g(x 7 )) + (g(x ) + g(x 4 ) + g(x 6 )) + g(x 8 )] 0.5 [1.4141 + 4(1.33047 + 1.005 + 1.8134 + 1.3700) + (1.13663 + 1.08313 + 1.40715) + 1.19468] 3 4.96667 Es posible clculr de form precis, por otros métodos, este resultdo, obteniéndose: 4.966615, por lo que deducimos que el Método de Simpson proporcion un vlor muy correcto en este cso. Ejemplo 4. Un gricultor dese conocer l superficie proximd de un prdo limitdo por un crreter, dos cminos perpendiculres ell y l riber de un río, de mner que si colocmos unos ejes crtesinos sobre l crreter (eje OX) y uno de los cminos (eje OY, bscis x = 0), el segundo cmino será l rect verticl x = (uniddes en cientos de metros). Se tomn vris medids desde l crreter hst l riber, obteniéndose ls siguientes coordends pr los puntos de l riber: (0, 1.5), (0.5, 1.8), (1,.1), (1.5, 1.75), (, 1.3). Clculr proximdmente el áre de dicho terreno utilizndo ls regls de los trpecios y de Simpson. Determinr el áre si extendemos el terreno hst l bscis x =.5 sbiendo que el río en tl cso ps por el punto (.5, 1.1). En este cso desconocemos l función de form explícit, teniendo en cuent tn solo los vlores de l tbl que nos hn sido fcilitdos. Se tiene: x i x 0 x 1 x x 3 x 4 = 0. 0.5 1.0 1.5.0 f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) = 1.5 1.8.1 1.75 1.3 de modo que usndo el método de los trpecios podemos escribir I 1 h [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 )) + f(x 4 )] 0.5 [1.5 + (1.8 +.1 + 1.75) + 1.3] 3.4333 mientrs que si usmos el método de Simpson se lleg I h 3 [f(x 0) + 4 (f(x 1 ) + f(x 3 )) + (f(x )) + f(x 4 )] 0.5 [1.5 + 4(1.8 + 1.75) + (.1) + 1.3] 3 3.5333 Si se ñde un nuevo punto, l tbl qued dd por x i x 0 x 1 x x 3 x 4 x 5 = 0. 0.5 1.0 1.5.0.5 f(x i ) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x 4 ) f(x 5 ) = 1.5 1.8.1 1.75 1.3 1.1
CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 1 Ahor l regl de los trpecios proporcionrá: I h [f(x 0) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 )) + f(x 5 )] 0.5 [1.5 + (1.8 +.1 + 1.75 + 1.3) + 1.1] 4.15 mientrs que si el método de Simpson no es plicble de form direct ddo que estmos considerndo un número impr de subintervlos en este cso. Lo que podemos hcer es considerr l regl de Simpson pr los 4 subintervlos primeros y estimr el quinto subintervlo medinte l regl de los trpecios. Así qued I = I + I = 3.5333 + 0.5 (1.3 + 1.1) 4.13333