Capítulo T T. La causalidad. INTRODUCCIÓN Hallar la causalidad d los graos consist n dtrminar cuál d las dos variabls qu llvan asociadas todos los graos tin una rlación d dpndncia; una simpr s unción d la otra. Tommos como jmplo l móvil d la igura., qu s ncuntra inicialmnt parado. Si s l aplica una urza F, s pon n moviminto y alcanza una vlocidad V. V F No hay urza. Vhículo parado Figura. S l aplica una urza. El vhículo s pon n marcha y alcanza la vlocidad V. En st jmplo la CAUSA s la urza y al sr aplicada aparc la vlocidad qu, n dinitiva, podría dcirs qu s l EFECTO causado por la urza. Lugo, n st caso: CAUSA Furza EFECTO Vlocidad Vamos ahora un vhículo qu arrastra un rmolqu a una vlocidad V, tal y como s indica n la igura..
V Vhículo Rmolqu Figura. El rmolqu gracias a un nganch s arrastrado por l vhículo a la vlocidad V. Para qu l rmolqu s dsplac a dicha vlocidad s ncsario comunicarl por mdio dl nganch una urza F. En l rmolqu, la CAUSA s la vlocidad conocida V a la qu s dsplaza, mintras qu l EFECTO s la urza qu ncsariamnt hay qu transmitir por l nganch, para consguir qu l rmolqu s muva a la vlocidad V. En mcánica, cuando la CAUSA s surzo, l EFECTO s vlocidad y a la invrsa; cuando la CAUSA s vlocidad, l EFECTO s l surzo. Si CAUSA Esurzo EFECTO Vlocidad Si CAUSA Vlocidad EFECTO Esurzo En los dmás dominios d la ísica l plantaminto s l mismo, no hay más qu sustituir l surzo y l lujo por su signiicado n cada caso particular. Cuando la causa d un grao s l lujo s coloca un trazo, prpndicular al grao, n la part postrior d ést. CAUSA Flujo Figura. Si la causa s l surzo, l trazo s coloca n la part antrior dl grao. CAUSA Esurzo Figura. Causalidad n las unts Cuando la unt s d lujo, la causa simpr s l lujo y cuando la unt s d surzo, la causa s l surzo. S: Funt d lujo Causa lujo S: Funt d surzo Causa surzo Figura. - -
Causalidad n los transormr Dbido a qu st lmnto rlaciona simpr surzos a la ntrada con surzos a la salida, o bin, lujos a la ntrada con lujos a la salida, l transormr no modiica la causalidad y si n l grao d ntrada la causalidad s lujo, n l d salida también lo s y a la invrsa. S tndrán dos posibls casos: Causa lujo Causa lujo Causa surzo Figura. Causa surzo Causalidad n las purtas En las purtas, cualquir lmnto pud sr la causa, y s podrá tnr: K K R R I I Causa Flujo Causa Esurzo Figura. Causalidad n los gyrator Por dinición, l lmnto gyrator rlaciona surzos a la ntrada con lujos a la salida o a la invrsa. En conscuncia, l gyrator cambia la causa n l grao d salida rspcto al d ntrada. S tndrán dos posibls casos. Causa surzo GY Causa lujo Causa lujo GY Figura. Causa surzo - -
Causalidad d las unions Para dinir la causalidad n las unions, basta con rcordar la dinición d cada tipo d unión. En la unión todos los lujos son iguals y, por lo tanto, n cuanto un grao d ntrada n la unión tnga causa lujo, todos los dmás graos tndrán como causa l lujo. Causa lujo Figura. Si s trata d una unión, todos los surzos son iguals y por lo tanto si un grao d ntrada tin como causa l surzo, todos los dmás graos lo tndrán también como causa. Causa surzo Figura. Grao con causa lujo n la dircción dl grao Figura. Sntido A Entra n A con causa surzo B Sntido Figura. Entra n B con causa lujo - -
No s corrcto hablar d la causalidad d un grao, ya qu ést pud rcorrrs n los dos sntidos. La causa asociada a un grao dpnd dl sntido n qu s rcorr. La causa s surzo cuando l trazo prpndicular al grao aparc al inal dl rcorrido, mintras qu la causa s lujo cuando aparc al principio. Tnindo n cunta lo plantado n l apartado antrior, s pudn dar dirnts casos n las unions y. En la igura. y. s rprsnta una unión tipo, con los pasos sguidos n l razonaminto ncsario para dtrminar la causalidad. S conoc la causalidad dl grao, qu ntra n la unión con causa surzo. Figura. Al ntrar l grao con causa surzo, quda dinido l surzo d la unión, y por lo tanto l grao sal dl nudo d unión con causa surzo. Por tnr dinido l surzo d la unión, l grao sal d la unión con surzo conocido o lo qu s lo mismo; causa surzo. Figura. Est jmplo también pud dinirs dicindo qu como n las unions s vriica qu la suma d lujos d ntrada s igual a la suma d lujos d salida, conocidos los lujos d ntrada n grao y grao, su suma s igual al lujo n, sindo por tanto su lujo d salida conocido. En la igura. s rprsnta un caso parcido al antrior pro basado n una unión. - -
S conoc inicialmnt la causalidad dl grao, qu sal d la unión con causa surzo y por lo tanto ntra n la unión con causa lujo. El grao ha dinido l lujo d la unión y por lo tanto l grao sal con lujo conocido o lo qu s lo mismo: causa lujo. Al igual qu l grao, l grao sal d la unión con lujo conocido. Figura. Est jmplo también pud dinirs d la siguint orma: - Grao. Entra n la unión con surzo conocido. - Grao. Entra n la unión con surzo conocido. Como n las unions, s vriica la igualdad d las sumas d surzos; conocidos los surzos d ntrada s conocido l surzo d salida, y por lo tanto l grao sal con surzo conocido o lo qu s lo mismo: causa surzo.. EJEMPLOS DE CAUSALIDAD Primr jmplo En l diagrama d graos qu s rprsnta n la igura., s van a sguir uno a uno los pasos ncsarios para dtrminar la causalidad, ririéndos simpr a la ntrada o salida d la unión considrada. - -
I R I I S: R K R R I Figura. GRAFO. Entrada surzo por sr unt d surzo. GRAFO. Por sr purta d inrcia s l asocia como variabl indpndint l momnto, qu din, como s ha visto n capítulos antriors, l lujo d la unión n la qu s ncuntra. Por lo tanto ntrada lujo. GRAFO. Sal lujo, ya qu l grao ha dinido l lujo d la unión. GRAFO. En las purtas rsistncia s pud dinir cualquir causalidad. Como l grao no din la causalidad d la unión, s toma ntrada surzo para dinirla. GRAFO. Como l grao ha dinido l surzo d la unión, sal surzo. GRAFO. Entra lujo por sr purta d inrcia. Simpr qu puda lgirs, las purtas d inrcia s colocan con ntrada lujo sobr la unión. GRAFO. El grao ha dinido l lujo d la unión y por lo tanto, sal lujo. GRAFO. Sal lujo. El transormr no modiica la causalidad. GRAFO. En las purtas rsort s dinía como variabl indpndint l dsplazaminto, lo qu prmitía conocr l surzo n l grao como producto d K por l dsplazaminto. Por lo tanto, ntra n la unión con surzo. GRAFO. Sal surzo, ya qu l grao ha dinido l surzo d la unión. GRAFO. Sal surzo. Los transormr no modiican la causalidad. GRAFO. Sal surzo, ya qu l grao din l surzo d la unión. GRAFO. Sal surzo, por l mismo motivo qu n l caso antrior. GRAFO. Entra lujo por sr purta d inrcia. GRAFO. Sal lujo, ya qu l grao ha dinido l lujo d la unión. GRAFO. Sal lujo. Los transormr no modiican la causalidad. GRAFO. Por sr purta rsistncia y no star dinido l surzo d la unión, s toma ntrada n surzo. GRAFO. Sal surzo. El grao lo ha dinido n la unión. GRAFO. Entra lujo, por sr purta d inrcia y no star prviamnt dinido l lujo d la unión. GRAFO. Sal lujo, l grao ha dinido l lujo d la unión. GRAFO. Sal lujo. Igual qu l grao. GRAFO. Sal lujo. Igual qu l grao. I R - -
GRAFO. Entra surzo por sr purta rsistncia n una unión, cuyo surzo no stá dinido todavía. GRAFO. Sal surzo. El grao ha dinido l surzo d la unión. GRAFO. Sal surzo. Los transormr no modiican la causalidad. GRAFO. Ya había sido dinido antriormnt. GRAFO. Ninguno d los graos y dinn l lujo d la unión, ya qu ntran con surzo. Por lo tanto ntra con lujo. En st jmplo qu s ha dsarrollado rsulta muy important rpasar las dcisions qu s han tomado para dinir la causa n las purtas inrcia, rsort y rsistncia. Como s vrá más adlant, simpr qu s puda, la causalidad n stas purtas db sr la siguint: I R Figura. K Sgundo jmplo S prtnd hallar ahora la causalidad n l diagrama d graos rprsntado n la igura.. Para ncontrar la causa d cada grao no s ncsario comnzar por l primro, como s hacía n l jmplo antrior, más aún, n la práctica sul comnzars por una purta d inrcia. S S I K I Figura. El primr paso consistirá n asignarl causa a una purta d inrcia, por jmplo la dl grao. Al no xistir ningún condicionaminto s toma causa d salida surzo, o lo qu s lo mismo, causa lujo n la ntrada d la unión. Al tnr una ntrada d lujo conocido sobr sta unión, todos los dmás graos saln d lla con lujo conocido. R - -
S S I K I Figura. Al conocr la causa dl grao, s conocida también la dl, por prtncr ambos a un lmnto transormr. Por otra part, l grao ntra n la unión con causa lujo, o lo qu s lo mismo; lujo conocido, dinindo l lujo d la unión. R S S I K I Figura. Por st motivo, tanto l grao como l saldrán con lujo conocido (igura.). En st caso no s ha podido lgir la causa dl grao, qu s una purta d inrcia, ya qu vnía impusta por l rsto d los graos. Más adlant s studiará la rprcusión d st hcho. Por último, la unt d lujo S, grao ntra n la unión con lujo conocido, al igual qu l grao. Como las unions s dinn como: suma d lujos d ntrada igual a suma d lujos d salida, conocidos los lujos d ntrada n y, s conoc l d salida dl grao (igura..) R S S I K I R - -
Figura.. SIGNIFICADO DE Supongamos qu s tin una palanca d masa dsprciabl sobr la qu s sitúan dos masas; m y m n los xtrmos, uno d los cuals dscansa n un rsort d rigidz K. En la igura. s rprsnta l squma dl modlo, así como su diagrama d graos. Para hallar la causalidad s cominza, por jmplo, por la unión d la izquirda. GRAFO. Entra n la unión con causa surzo por sr unt d surzo. GRAFO. Al no star dinido l lujo d la unión, pud lgirs la causa d la purta inrcia. Entra n la unión con lujo conocido. GRAFO. Como l grao ha dinido l lujo d la unión, l grao sal con lujo conocido. GRAFO. Lo mismo qu l, por sr graos d un lmnto transormr. GRAFOS,,. Todos saln d la unión con lujo conocido, ya qu al ntrar l grao con lujo conocido, s din l lujo d la unión. m m K a b S: -m g I:m b/a S: -m g I:m Figura. Obsrvando n la igura., pud obsrvars qu los graos y corrspondints a las purtas d inrcia tinn causas dirnts; l primro tin causa surzo y l sgundo, lujo. Vamos cuál s l signiicado d sta discrpancia. En los primros capítulos s dic qu, como variabls indpndints dl sistma, s lign los momntos asociados a las purtas d inrcia. Como la dinición d stas s qu su lujo s igual K - -
al momnto dividido por su inrcia, lgir como variabl indpndint l momnto s lo mismo qu dinir l lujo. S: -m g I:m P b/a S: -m g I:m P K X Figura. P = Momnto tomado como variabl indpndint = P /m I:m Figura. Si s rcurda ahora l razonaminto qu s hac para dtrminar la causa d una purta d inrcia, s llga a la conclusión d qu dinir como variabl indpndint l momnto d st grao, s lo mismo qu dtrminar qu su causa d ntrada n la unión s lujo, o bin, qu su causa n la dircción dl grao s surzo. La otra purta d inrcia (grao ) tin la causalidad contraria, lo qu coincid con l hcho d qu st grao stá n una unión cuyo lujo vin dinido por l rsto dl sistma. Por lo tanto, podmos concluir con qu si una purta d inrcia no din l lujo d la unión a la qu prtnc, tampoco podrá dinirs su momnto como variabl indpndint dl sistma. Volvindo sobr l squma dl modlo, igura., s v qu s trata d un mcanismo qu solamnt tin un grado d librtad, s dcir, solamnt hac alta una variabl para dinir la posición dl mcanismo n l timpo. Como por otra part, xistn dos masas qu s traducn n l diagrama d graos como dos purtas inrcia, solo una d llas pud llvar asociado l momnto como variabl indpndint, mintras qu la otra s dic qu s una variabl dpndint. - -
En conclusión: Solamnt s asignará l momnto como variabl indpndint a las purtas d inrcia con causa surzo n la dircción d su grao. Los concptos pudn vrs más claros calculando los lujos y surzos asociados a cada grao n st jmplo. Tomamos como variabls indpndints l momnto P, asociado al grao, y l dsplazaminto x asociado al grao. Cálculo d lujos = P / m = P / m. (-b/a) = - P b/ m a = - P b/ m a = - P b/ m a Dinindo únicamnt l momnto P s han obtnido los lujos n todos los graos. Así, l lujo n la purta d inrcia dl grao quda dinido n unción dl momnto P y no s ncsario dinir como variabl l momnto n sta purta d inrcia. Cuando una purta d inrcia tin por causa lujo n la dircción d su grao, s supon conocido l surzo asociado a lla, con un valor igual a la primra drivada dl momnto. D sta orma, los surzos n cada grao son los siguints: Cálculo d los surzos = = - = + - = P& (-b/a) = - b ( P& = - m = K = - = - = m g m P& x g g + b ( P& + K + K x x + K Las cuacions dirncials dl sistma son: x& = - P b/ m a P& = = - m g + b (P& + K + m + + x m m + g g)/a m g)/a g)/a La sgunda cuación no pud rsolvrs, ya qu n l sgundo mimbro aparc una drivada. Para vitar l problma srá ncsario ponr P& n unción d & P Sobr l grao l lujo val: = - P b/ m a Y también pud ponrs: P = m. Sustituyndo: P = - m P b/ m a - -
Como lo qu s ncsita ncontrar s la rlación ntr P& y P&, s driva la última xprsión. P& = - m b P& / m a Y sustituyndo n las cuacions dirncials dl sistma. P& Y, n dinitiva: P& = ( - = - m m x& = - P b/ m a g + b (- m b P& / m a + K x& = - P b/ m a g + b (K + m g)/a)/( - b + m m g)/a / a m. APLICACIÓN DE A CASOS CONCRETOS Un jmplo clásico n dond la causalidad rsulta imprscindibl s n los mcanismos ngranados. En la igura. s rprsnta un sistma ormado por lmntos d momntos d inrcia J, J y J, unidos mdiant js d rigidcs torsionals K y K. El sistma gira y las rudas stán ngranadas ntr sí. Como xcitación s supon conocida la vlocidad dl j d ntrada. w ) k J w k w R J R w Figura. El diagrama d graos d st sistma s raliza d la orma habitual. J - -
K I:J K I:J -R /R I:J S:w w w w Figura. Vamos, por parts, cómo s obtin la causalidad. K I:J S:w w Figura. El grao quda dinido por sr una unt d lujo, mintras qu para l grao, s pud lgir la causa y s hac d tal orma qu dina l lujo d la unión. D sta orma, s toma lujo conocido d ntrada n la unión. K I:J S:w Figura. Conocido l lujo d la unión (rprsnta la vlocidad angular w ) son conocidos todos los lujos d salida n los rstants graos d la unión. Por lo tanto, los graos y saln con lujo conocido. En la unión, s conocn los lujos d ntrada dinidos por los graos y, y como n st tipo d unions s vriica qu la suma d los lujos d ntrada s igual a la suma d los lujos d salida, s sab también l valor dl grao. Igual qu n l primr caso, la unión asociada a la vlocidad angular w, no tin dinido l lujo, por lo qu podmos lgir la causa d la purta inrcia. S toma la causa dl grao, d tal orma qu dina con su ntrada l lujo d la unión. w - -
K I:J w Figura. K I:J w Figura. Conocido l lujo d la unión, son conocidos los lujos d salida d los graos y. En la unión son conocidos los lujos d ntrada d los graos y, por lo qu su suma s igual al lujo d salida dl grao. Al conocr la causa dl grao, stá dinida la dl grao, por prtncr ambos a un lmnto transormr. A su vz, l grao din l lujo d la unión qu rprsnta la vlocidad angular w. Dinido l lujo d la unión, stá dinido l lujo d salida dl grao. -R /R I:J w Figura. En la igura., s rprsnta l diagrama d graos con la causalidad dinida. Como pud obsrvars, d las trs purtas inrcia, dos tinn causa surzo n la dircción dl grao, mintras qu la dl grao tin causa lujo. Siguindo l critrio mantnido n l jmplo antrior, solo srán variabls indpndints los momntos asociados a los graos y, y admás, sgún la causalidad, l sistma tndrá dos grados d librtad. - -
X P x P K I:J K I:J P S:w w w Figura. -R /R Si s analiza l sistma n la igura., s obsrva qu l primr grado d librtad podría sr l qu din la posición d la ruda J, y l sgundo, l qu din la d la ruda J. Como la ruda J stá ngranada a la ruda J, dinida la posición d J, lo stá también la d J. Es dcir, l sistma solamnt tin dos grados d librtad como la causalidad dtrminaba. Vulv a dmostrars n st jmplo la gran importancia d la causalidad, qu s capaz d dinir los grados d librtad dl sistma ligindo las variabls indpndints. El rsto d variabls qu son dpndints srán dinidas n unción d las indpndints, plantando dinitivamnt las cuacions dirncials dl sistma. Para hallar los lujos y surzos n cada grao, s asocia al grao un surzo igual a la primra drivada d su momnto, qu dnominamos & P. Esto s hac por sr l grao una purta d inrcia con causa lujo n la dircción d su grao. Los lujos y surzos son los siguints: Flujos = - R - - = w = P = w / R = P = P / J - P - P = - R / J / / J J P / J / R J I:J Esurzos = - R = = - = = - = K = = = K = / R = K = K = P& = - R + R - K P& P& / R / R - -
Las cuatro cuacions dirncials dl sistma son: x& = w - P P& x& P& = K = P = K / J - P - K + R / J P& / J / R En la última cuación aparc & P, qu no s variabl dl sistma y db ponrs n unción d P&, para d sta orma podr rsolvr la cuación. El momnto n l grao pud sr dinido como P, qu srá igual al producto d la inrcia J por l lujo n. P = J. Como ya ra conocido l valor d, sustituyndo s tndrá: P = - J. R. P / R. J Y como lo qu intrsa s la rlación ntr & P y P&, drivando la última xprsión: P& = - J. R. P& / R. J Sustituyndo n la cuación: P& = K. x - R. J. R. P& / R. R. J Y dspjando P& : P& = K. x /(+ R. J / R. J) Las cuatro cuacions dirncials dinitivas dl sistma son: P& = K x& P& x&. x = P = K = w / J. x - P /(+ R - P - K / J. J / J. x / R. J ) Otros jmplos Sa l sistma rprsntado n la igura., n l qu dos rudas d momntos d inrcia J y J stán unidas mdiant un rsort torsional. Una d las rudas stá ngranada a una crmallra d masa M qu s dsplaza con rozaminto, comprimindo un rsort d rigidz K. S supon conocido l par N(t) n l j d ntrada. En la igura., s prsnta también l diagrama d graos dl sistma con la causalidad ya rsulta. Obsrvando l sistma pudn dtrminars los grados d librtad. El primro d llos para dinir la posición n l timpo d la ruda J, y l sgundo para dinir l d la ruda J. Como la - -
crmallra stá ngranada con la ruda J, la posición d sta din prctamnt la d la crmallra. Estamos pus, ant un sistma d dos grados d librtad, lo qu s dduc también d la causalidad dl diagrama d graos, ya qu solamnt las purtas d inrcia y tinn por causa surzo n la dircción d su grao. Nuvamnt s v cómo la causalidad s capaz d distinguir las variabls indpndints d las dpndints. Para stablcr las cuacions dirncials s sigun los pasos habituals, con la única dirncia d qu a la purta d inrcia con causa lujo n su dircción s l asocia como surzo la primra drivada d su momnto. - -
N(t) J w K w r J V M Rozaminto ntr crmallra y guía K P X P Rozaminto ntr crmallra y guía I:J K I:J R P S:w r I:m Figura. K x - -
Flujos = P / J = P / J - = P / J - P / J = r P / J Esurzos = N(t) = = - = = N(t) - K = K = K R = r R P / J = P& = + + = P& + r R P / J + K = r = r P& + r R P / J + r K = - = K - r P& - r R P / J - r K Las cuacions dirncials dl sistma srán: x& = P / J - P / J x& = r P / J P& = K P& - r P& = N(t) - K - r R P / J - r K Para hallar la rlación ntr P y P, como d costumbr s hac: P = M = M r P / J Y drivando: P& = M r P& / J Sustituyndo n la última d las cuacions dirncials s tin: P& = K - r M P& / J - r R P / J - r K Y dspjando, s obtin dinitivamnt: & = (K - r R P / J - r K ) (/( + r M/ J )) P - -
. CAUSALIDAD EN LAS PUERTAS RESORTE Vamos a studiar la importancia y l signiicado d la causalidad n las purtas rsort al igual qu lo hmos hcho con las purtas inrcia. Obsrvmos l jmplo d la igura., dl qu s conoc la urza variabl n l timpo F(t) qu s jrc sobr l punto A, y s dsprcian todas las masas xcpto la d la carga M. En la igura., s rprsnta también l diagrama d graos con su causalidad. S va a comntar solamnt la causalidad d las unions más importants, ya qu l rsto dl diagrama d graos no planta ningún problma. Al sr l grao unt d surzo, din l surzo d la unión, por lo qu l rsto d graos saln con causa surzo. A K F(t) M K R a b c X P I:M -b/a K x S:F(t) -c/a R S:-M g(t) Figura. Como los graos y ntran con surzo conocido n la unión, ninguno d llos din l lujo d la unión y n conscuncia, s pud lgir causa n la purta d inrcia. S toma con - -
causa d ntrada; lujo, con lo qu s din l lujo d la unión y por lo tanto, los graos y tinn lujo conocido. En la igura., pud vrs cómo cada uno d los rsorts dl sistma tin un tipo d causa. En l caso d la dl grao, la causa d salida d la unión s surzo, lo qu signiica qu l surzo d la unión ya staba dinido por otro grao. Si st rsort tin surzo conocido, no tin sntido dinir como variabl indpndint su dsplazaminto asociado. En dinitiva, s tndrá qu solamnt pudn asociars variabls indpndints n las purtas rsort qu tngan como causa l lujo n la dircción d su grao. No obstant, todo lo antrior s ntind mucho mjor si s calculan los lujos y surzos d los graos. Flujos = P /M = - b = - c /a = - b P /a = - c P /a M /a M = - b P = - c P /a M /a M D la unión, solo s conoc l lujo dl grao, con lo qu, n principio, no s pudn dinir los lujos n los graos y. Para dsbloquar la situación s asocia a la purta rsort (grao ) una variabl qu s l lujo n st grao x &, analizando postriormnt si s o no variabl indpndint. = x& K + = P /M + x& = x S toma como variabl S :F(t) Figura. Esurzos = = F(t) Como s comntaba antriormnt, l surzo n l rsort, grao, no s hac n st caso igual a K, ya qu l surzo n st grao vin dado por l rsto dl sistma. Siguindo con los surzos: = F(t) = K. x - -
El rsort dl grao tin como causa n la dircción d su grao l lujo y como simpr, s l asocia su dsplazaminto como variabl indpndint dl sistma. = = K = - b /a = - b K /a = + - - = = - c R = - c P /a = c P = F(t) - M g + b K = - M g R R / a / a M M /a - c P R / a M Para plantar las cuacions dirncials dl sistma, quda analizar si la variabl x asociada al grao, s variabl indpndint o dpndint. Si s obsrva la igura., s v qu l sistma tin dos grados d librtad; uno para posicionar l punto A y l otro para posicionar l rsto dl mcanismo. En conscuncia, la variabl x s indpndint y todas las purtas rsort llvarán asociadas variabls indpndints; n unos casos, l dsplazaminto y n otros, l lujo. K Variabl indpndint tomada X Dsplazaminto K Variabl indpndint tomada X Flujo Figura. Las cuacions dirncials dl sistma srán las d los lujos n las purtas rsort, y las d los surzos n las purtas inrcia. = x& = P& = x& = F(t) - M g + b K = - b P /a M /a - c Quda por aclarar l hcho d qu aun sindo un sistma d dos grados d librtad, l númro d cuacions dirncials d primr ordn no sa cuatro sino trs, dbido a qu l punto A no tin asociada ninguna masa y por lo tanto no pud plantars l surzo n la purta inrcia qu rprsntaría a sta masa. Para podr rsolvr la primra d stas cuacions, hay qu rcordar qu l surzo n una purta rsort s igual al producto d su rigidz por su dsplazaminto. Sa x l dsplazaminto n l grao. = K. x Sustituyndo por su valor: F(t) = K. x P R / a M - -
D dond: x = F(t)/ K Y drivando: x& = F& (t)/ K Dinitivamnt, las cuacions dirncials dl sistma srán: x& = F(t)/ & K x& = - b P /a M P& = F(t) - M g + b K /a - c P R / a M. CAUSALIDAD EN LAS PUERTAS RESISTENCIA Utilicmos como jmplo ahora, l squma léctrico rprsntado n la igura.. La ralización dl diagrama d graos y d la causalidad no orc ningún problma, así qu cntrarmos la atnción n la causa d las purtas rsistncia. Como d costumbr, s toman como variabls indpndints l momnto asociado a la purta d inrcia y l dsplazaminto asociado a la purta rsort. Para vr la dirncia qu supon la dirnt causalidad d las purtas rsistncia, vamos a comnzar calculando los lujos y surzos n los graos. - -
L R Funt d tnsión E V K R P I:L K x S :F(t) R R Figura. Flujos = P /L El grao s una purta rsistncia con causa d salida lujo, lo qu signiica qu l rsto dl sistma din l lujo d st grao, ya qu él no hac más qu tomar l d la unión a qu prtnc. = P /L Como no s pud dinir l lujo n los graos y, s pasa a calcular los surzos. Esurzos = = R = V = K = P R /L = - - = V - P R /L - K - -
Una vz calculados los surzos, s vulv a los lujos para trminar d dinirlos. = / R = K / R - = P /L - K / R Ya s había comnzado a analizar l comportaminto d las purtas rsistncia, cuando s dinía l lujo dl grao. Cuando s llga al surzo n st grao, s din como l producto d su coicint por l lujo. Simpr qu la causa d salida n una purta rsistncia sa l lujo, s cumplirá lo antriormnt xpusto. R Flujo dinido por l sistma Esurzo = R Flujo Figura. En l caso d la purta rsistncia, grao, la causa d salida s surzo, lo qu signiica qu l surzo asociado a su grao vin dinido por l sistma. A dirncia d las purtas d inrcia, la causalidad n las purtas rsistncia no din ningún tipo d variabls indpndints o dpndints, y s utiliza solamnt n la dinición d los lujos y surzos d los graos. R Esurzo dinido por l sistma Flujo = Esurzo/R Figura.. EL PÉNDULO Estudiarmos l péndulo rprsntado n la igura.. Pos longitud l y masa concntrada n l xtrmo m. - -
x M = Par d xcitación B I m x z z I cosb MFT X I:m P S :M -I cosb MFT z I:m P S :m g Figura. Evidntmnt, l sistma tin un único grado d librtad aunqu n l diagrama d graos aparcn dos purtas d inrcia qu inducirían a tomar dos variabls indpndints. La causalidad s la ncargada d dscubrir qu una d las variabls s indpndint y la otra dpndint. Como d costumbr, s toma como variabl indpndint l momnto P asociado a la purta d inrcia qu tin como causa n su dircción l surzo. La otra purta d inrcia srá variabl dpndint y s l asocia la drivada dl momnto. Cálculo d lujos y surzos = P /m /l cos B = P /m l cos B. ( - l snb) = - P m l cos B l snb = - P tan B m - -
= - = P& = m g = P& - m g = - l snb = - (P& - m g) l snb = - = M = M + (P& - m g) l snb = /l cos B = (M + l (P& - m g) snb)/(l cos B) La cuación dirncial dl sistma srá: dp /dt = = (M + l (P& - m g) snb)/(l cosb) En sta cuación s ncsario ponr P& n unción d & P. Para llo, volvindo sobr l lujo n l grao, pud ponrs: = P /m Y por l cálculo dsarrollado: = - P snb/m cosb Igualando ambas xprsions: P /m = - P snb/m cos B P = - P tagb Drivando ambos mimbros d la cuación, sustituyndo st valor y dspjando, s obtin dinitivamnt la cuación dirncial n P dl sistma.. MOTORES DE EXCITACIÓN SERIE En l caso d los motors d corrint continua con xcitación n sri, la rsistncia y la bobina d xcitación R y L, stán n sri con la rsistncia y la bobina d la armadura R a, L a. En l motor s considra la inrcia J d la part giratoria y también l rozaminto R n los cojints. La igura., mustra l squma dl motor y su diagrama d graos. La intnsidad d xcitación i, modiica la razón dl lmnto gyrator y, n la práctica, pud ponrs qu: T = A i En dond: T = Razón dl lmnto gyrator. A = Constant qu dpnd d las caractrísticas constructivas dl motor. - -
L R La Ra E R W I:L P R S :M T(i) MGY I:J P I:La Ra R Figura. Como la razón dl lmnto gyrator s variabl, s ha rprsntado como MGY. Por otra part, como la razón dpnd d la intnsidad i s añad una lína d puntos, qu partindo d la unión qu rprsnta sta intnsidad, llga hasta la razón T(i ) dl gyrator. Mdiant la causalidad s obsrva qu la inrcia dl grao tin causalidad lujo n la dircción d su grao, s dcir, l lujo d st grao quda dinido por l rsto dl modlo. Como ya s ha comntado antriormnt, si l lujo s conocido no pud lgirs como variabl indpndint dl sistma l momnto asociado a sta purta d inrcia. El hacrlo signiicaría qu s ha tomado como variabl indpndint l lujo qu ya stá dinido por l rsto dl sistma, lo cual pud obsrvars n la causalidad. Ectivamnt: Momnto = Inrcia x Flujo - -
La inrcia s una constant, lgir l momnto como variabl indpndint s lo mismo qu dtrminar qu l lujo s variabl indpndint. Para calcular los lujos y surzos s toman como variabls indpndints los momntos asociados a las purtas d inrcia d los graos y, ya qu n llas la causalidad s surzo. Siguindo los pasos habituals s hallan los lujos y surzos, hacindo = & P y tomando & P como variabl auxiliar. El lujo dl grao tin d valor: = P / L Aunqu también pud dinirs como: = P / La Igualando ambas xprsions d : P / La = P / L d dond P = P La / L Y como L a y L no dpndn dl timpo, la primra drivada d P val: P& = P& La / L Sustituyndo st valor n s obtinn dinitivamnt las cuacions dirncials dl modlo qu n orma matricial son: d/dt P P = - (R z + R)/(L a + L) T(i )/ L - L T(i )/J (L + Lz) - R/J P P + E. L /(L a + L ).. GRUPO DIFERENCIAL Un caso spcial y d gran aplicación d los ngranajs plantarios, lo constituy l grupo dirncial d los automóvils. En la igura. s rprsnta un squma d st mcanismo. En síntsis, consist n un ngran cónico sobr una caja d ngranajs plantarios. La caja arrastra n su moviminto dos rudas dntadas qu s dnominan satélits qu a su vz, al girar hacn movrs a las rudas dntadas acopladas a los js d salida. Estos js s dnominan palirs. El mcanismo dirncial toma un par d ntrada y lo transorma n dos pars d salida qu actúan n una dircción prpndicular al d ntrada y n ambos sntidos. Para acilitar l studio dl dirncial s comnzará analizando un mcanismo quivalnt rprsntado n la igura.. - -
m V m W V F m V Figura. Está ormado por una ruda dntada d radio r y masa m, qu ngrana con dos crmallras. Sobr l cntro d la ruda dntada, qu pud girar librmnt, s aplica una urza F. La ruda dntada quival a uno d los satélits dl dirncial y la urza F s la acción d la caja dl dirncial sobr l j dl satélit. A su vz, las crmallras quivaln a las rudas dntadas dl xtrmo d los palirs. Al principio, la vlocidad d dsplazaminto dl conjunto d las trs pizas srá V. Pro si una d las dos crmallras cambia su vlocidad, por aparcr una rsistncia o imponérsl una vlocidad dirnt, cominza a girar l satélit con una vlocidad ω. En st caso las vlocidads V y V d las crmallras srán: V = V + ω r V = V - ω r En cuanto a las urzas jrcidas sobr las dos crmallras (quivalnts a los pars qu actúan sobr los palirs), s tin: Tomando momntos rspcto al cntro o, d la ruda dntada: ( F - F) r = I ω& - -
F r F F I Figura. Cuando ω& =, o bin cuando s considra dsprciabl su inrcia I, s dcir; I =, s cumpl qu: F = F Por tanto, los pars n los palirs son iguals solamnt n régimn stacionario (ω = ct), o cuando I s dsprciabl. En la práctica, s sul considrar qu I. I:I (satélit) m m I;m W W /r r I:m (satélit) F F I:m I:m (crmallra) (crmallra) v S:F Figura. En la igura., s rprsnta l Bond-Graph d st mcanismo quivalnt, qu s análogo al d una barra con masas n sus xtrmos. Hacindo la causalidad s compruba qu hay dos grados d librtad V y ω. Calculando los lujos n los graos y s tin: - -
= V - ω r = V + ω r Y n cuanto a los surzos, hacindo dsprciabl tanto la masa como la inrcia dl satélit (m = ; I = ), s tin: = + Como I = = = = =, = = Y n dinitiva: = = = = + /r /r + Como = por sr m = = / En conclusión: = = / S cumpl lo qu ya s había dmostrado, s dcir, qu a cada crmallra l llga l mismo surzo, d valor; la mitad d F, simpr y cuando s considr qu I = m =. En l mcanismo dirncial sto signiica qu para I = m =, los pars transmitidos a los palirs son iguals y d valor: la mitad dl par d ntrada n l mcanismo. La causalidad dl Bond-Graph dl modlo pud ralizars d otra orma: tal y como s mustra n la igura.. En st caso, los dos grados d librtad dl mcanismo son los dsplazamintos d las dos crmallras y por lo tanto, ω y V son variabls dpndints d V V. - -
I:I W /r r I:m I:m I:m v S: Figura.. BOND-GRAPH DEL DIFERENCIAL REAL Para trasladar todo lo dsarrollado al dirncial, hay qu convrtir los movimintos d traslación dl mcanismo quivalnt n los movimintos d rotación dl dirncial ral. W Palir Ruda Satélit w r Satélit Caja dl dirncial Ruda W Palir rd w = Vlocidad angular d ntrada al grupo cónico r = Radio dl satélit wr = Vlocidad angular d la caja d ngranaj rd = Radio ruda dntada dl palir Figura. - -
Para llo, s añad un transormr d razón r d a la ntrada y otro d razón /r d n cada lado d la salida. En la igura., s rprsnta l Bond-Graph rsultant. Como s obsrva n la igura., l dirncial tin dos satélits y su mcanismo quivalnt sría l rprsntado n la igura., qu rsulta sr hiprstático. I:Ia I:I ruda I:I ruda w :/rd /r r :/rd w r I:m w r V :rd wr rd wr Figura. La acción qu jrc cada satélit sobr la crmallra dpnd no solo d la urza F sino también d la dormación qu puda surir la barra qu un las dos rudas. Esta barra s quivalnt n l dirncial a la propia caja dl mismo. Si s dsprcia la dormación d sta caja, l mcanismo dl dirncial s modliza con un único satélit qu tndrá la masa inrcia d la suma d los dos satélits dl dirncial ral. F Figura. - -
En la igura., s rprsnta l Bond-Graph complto dl dirncial. w rd A la ruda izquirda :/rd w w r /r wr rd I:IG d los satélits w r wr rd w r w A la ruda drcha :/rd w rd wr rd :rd wr wr I: Inrcias caja dirncial : rlación grupo cónico w S: Par d ntrada Figura. Comprobmos ahora la simulación dl dirncial. Para llo, rcordmos qu las caractrísticas undamntals d st mcanismo son: wr = (w + w)/ Y n cuanto a los pars: N = N = N ntrada/ En l Bond-Graph dl dirncia al qu s ha llgado, s cumpl qu: - -
wr rd - ω r = w rd wr rd + ω r = w rd Sumando ambas cuacions quda así:.wr. r d = (w + w). r d Y dinitivamnt: wr = (w + w)/ En cuanto a los surzos, s tndrá qu: = = /r Por otra part: = + =. r Sustituyndo stas dos xprsions n la inicial s tin: = = ( + )/r = ( +. r)/r = /r + Y como = = /r + Por otra part, s cumpl qu: = + = + Por tanto: = /r + = /r + - ; = - = - ( + /r)/ ; = ( + /r)/ = ( - /r)/ Si s supon dsprciabl la inrcia d los satélits, s dcir, I =, l valor d srá también prácticamnt nulo. En st caso s cumpl qu: = = / O lo qu s lo mismo; los pars n la salida son iguals n ambos palirs y su valor, la mitad dl par d ntrada.. GENERALIZACIÓN A LOS ENGRANAJES PLANETARIOS El Bond-Graph d los ngranajs plantarios n gnral s pud obtnr ácilmnt siguindo un procdiminto análogo al mplado con l dirncial. En la igura. s prsnta l squma d un ngranaj plantario y su Bond-Graph. - -
B Satélit r w Corona w r A r w w r Portasatélits Plantario I:I plantaria w I:Iw satélits W I:I corona w :/r /r r :/r w r w r Vo = w r :r w I:I portasatélits Figura. - -