PRACTICA No. 4 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES OBJETIVO Representar gráficamente el límite de una función. Solucionar límites indeterminados de la forma 0/0 y /. Distinguir las diferencias que hay al calcular los límites: unilaterales, bilaterales, al infinito y los ites infinitos. Identificar las discontinuidades removibles o evitables y las discontinuidades esenciales. Utilizar el comando it del toolbo symbolic de Matlab para obtener el límite de una función. MARCO TEORICO El límite de una función origina el estudio del cálculo del valor de una función en la proimidad de un número. Ejemplo: Sea f ( ) = 1 0 0.5 0.50 0.75 0.90 0.99 0.999 1.0001 1.001 f().5 4 4.5 4.8 4.8 4.98 5.000 5.000 De la tabla se puede apreciar que cuando se aproima a 1, f() se aproima a 5. Por lo que esto último se puede epresar como f ( ) = 5 cabe mencionar que cuando se 1 evalúa la función f(1)=0/0, se obtiene una forma indeterminada, por lo que se puede concluir que el límite nos indica el valor al cual nos aproimamos en y cuando se aproima a 1. Limites de una función. Definición: Sea f una función en todo número o de algún intervalo abierto de I que contenga a a ecepto, posiblemente en el número a mismo. El límite de f() cuando tiende a a es L y se escribe: f ( ) = L Cuando se evalúa el límite de una función pueden presentarse las siguientes situaciones: 1.- Si la función a la que se le va a evaluar su ite es un polinomio de n grado, su ite se haya por sustitución directa, ejemplo: X 10 = () () - 10.- Si la función es de tipo racional y al hacer la sustitución directa se obtiene la indeterminación 0/0, para evaluar el ite de esta función podemos tener las siguientes alternativas: Pag. 1
a) Por factorizacion (siempre y cuando la función sea factorizable) b) Por la regla L Hospital c) Racionalizando (siempre y cuando la función tenga radicales). Regla del L Hospital Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto, ecepto posiblemente en el numero a del intervalo, entonces: f ( ) g( ) = f '( ) f ''( ) = =... g'( ) g''( ) Si el ite de f ( ) = 0 y g( ) = 0. Se observa que por sustitución directa se obtiene la indeterminación 0/0 NOTA: Para aplicar esta regla, la derivada de la función del numerador se obtiene independientemente de la derivada de la función del denominador. Tipos de Límites LIMITES UNILATERALES a) f ( ) = L. El límite de f() cuando se aproima a número por la derecha es L. EJEMPLO: Sea 4 4 4 5 6 f() 1 0 1 Esta función solamente tiene el límite unilateral por la derecha, ya que para valores menores a 4 se tiene en f() a un número imaginario. b) f ( ) = L. El límite de f() cuando se aproima a número por la izquierda es L. Ejemplo: Sea 0 1 4 f() 1 0 1 Esta función solamente tiene el límite unilateral por la izquierda, ya que para valores mayores a se tiene en f() a un número imaginario. LIMITE AL INFINITO Considérese la función f definida como f()= 1 Hagamos una tabulación de manera que los valores de crezcan sin límite Pag.
0 1 4 5 f () 0 1 8/5 18/10 /17 50/6 De la tabulación anterior, se observa que al incrementar el valor de, f() tienden a crecer sin límite, a través de valores de positivos y el valor de la función más y más se aproima al número lo anterior lo podemos epresar como: = 1 NOTA: Para obtener el límite al infinito de una función cuando se procederá a dividir todos los términos de la función entre la variable de mayor eponente, una vez hecho esto, el valor del ite se hallara aplicando los teoremas ya mencionados. LIMITES INFINITOS Sea f la función definida por f()= ( ) aproime a por la derecha. si se realiza la tabulación cuando se 5/ 7/ 9/4 1/10 01/100 001/1000 f() 1 7 48 00 0000 000000 f() Por lo que ( ) =. Y cuando se aproime por la izquierda X 1 / 5/ 7/4 19/10 - f() 1 7 48 00 f() De lo anterior se puede concluir que: f ()= NOTA: Si al calicular un ite de infinito, los ites unilaterales resultan ser y respectivamente, entonces el caso ite bilateral será infinito y sin signo. Continuidad de Funciones. DEFINICIÓN.- Se dice que la función f es continua en el numero si y solo si las condición es igual se cumplen a) f(a) EXISTE b) f() EXISTE c) f()=f(a) Si una o más de estas condiciones no se cumplen para el número ha, se dice que la función f es discontinua en a. Eisten dos tipos de discontinuidades: a) DISCONTINUIDAD REMOVIBLE O EVITABLE f() Pag.
Se presenta cuando no se cumple la ª. condición o no eiste la primera condición,pero la función si tiene ite. Se evite al replantear la función, es decir simplificándola. b) DISCONTINUIDAD ESENCIAL Se presenta cuando la función no tiene ite, es decir, al buscar el ite de la función el resultado es infinito. PRE-LECTURA Apuntes del curso de Matemáticas 1. Manual de Matlab e interfases graficas. http://fcqi.tij.uabc.m/docentes/esqueda/matlab6conatec.pdf PRE-EVALUACION 1. Revisión de conceptos a) Si f ( ) = 6, entonces la recta = 6 es una asíntota de la gráfica de y= f(). Si f ( ) = 6 de la gráfica de y= f(). f = f b) Si ( ) 4, entonces ( ) ( ) = c) Si f ( ) = L y f ( ) = L c c, entonces la recta = 6 es una asíntota., entonces. d) Una función f es continua en c si = ( c) f.. Emplear la regla de L Hospital para calcular los siguientes ites indeterminados. a) 1 4 π ar tan b) e 1 ( e e ) cos c) 0 4 1 1 d) 1 1 ln 1 tan e) 0 1 f) π 1 sen 1 Pag. 4
d) sec tan 1 cos π 4 4 1 1 d) 0 sen tan5 d) π tan π d) π cot cos. Evaluar los siguientes ites 1 a) 1 1 ( ω )( ω ω 6) b) ω ω 4ω 4 1 c) 1 4, si 1 < 4. Sea h ( ) = a) h( ), b) h ( ), c) h ( ) es continua?, si 1 1 1 1. La función h() MATERIAL Manual de Matlab e interfases graficas. http://fcqi.tij.uabc.m/docentes/esqueda/matlab6conatec.pdf Matlab Archivo: ite_final.m PROCEDIMIENTO 1. Ejecutar la interfaz grafica de operaciones con funciones, de la siguiente forma: >> ite_final.m. Introducir las funciones realizadas en la pre-evaluación para evaluar su respectivo 5 límite. Por ejemplo al introducir la función f ( ) = y, se estaría evaluando 1 5 7 al =, como se muestra en la siguiente figura: 1 Pag. 5
En esta gráfica se observa una línea horizontal que nos indica el valor del límite de la función.. Compare los resultados obtenidos en la pre-evaluación y registre sus observaciones. EVALUACION DE RESULTADOS 1. Hubo cambios en los resultados obtenidos?. El uso de la interfaz grafica (op_funcion.m) simplificó las operaciones con las funciones realizadas?. Eplique su respuesta.. Dibuje una carátula en la interfaz gráfica ite_final.m donde se muestren cambios que facilite al usuario verificar en forma adecuada las operaciones realizadas en este taller 4. De qué forma mostraría en la interfaz gráfica a los diferentes tipos de límites. Proponga cambios en la carátula de la interfaz gráfica ite_final.m OBSERVACIONES CONCLUSIONES Pag. 6