MATEMATICA 4 er Cuatrimestre de 205 Práctica 4. Sea (z ) ua sucesió de úmeros complejos. Probar a) z coverge (absolutamete) si y sólo si las series Re(z ) y Im(z ) coverge (absolutamete). b) si z coverge absolutamete, etoces z z. 2. a) Sea α C, α <. Cuáto vale lim α? Demostrarlo. b) Idem para α >. Qué se puede decir e el caso α =? c) Probar que la serie z 3. a) Probar que z = coverge si z < diverge si z >. z z para z <. b) Sea z = re iθ co 0 < r <. Usar a) para verificar que r cos(θ) = r cos θ r2 2r cos θ + r 2, r se(θ) = r se θ 2r cos θ + r 2 4. Estudiar la covergecia de las series uméricas cuyo térmio geeral es: a) 2i ( 3 b) 2) 3 c) d)! ( ) g) se 2 e) f) h) ( ) log 2 5 2 i) 2 j) i k) i l) ei 2 9
Producto de Cauchy Dadas las series a y b, se llama producto de Cauchy de ambas a la serie de térmio geeral c = a k b k. k=0 Si ambas series coverge, siedo a = A y b = B, y al meos ua de ellas lo hace absolutamete, etoces el producto de Cauchy coverge a AB. 5. (opcioal) Sea a = b = ( ) +. Verificar que a = b coverge (codicioalmete) y que el producto Cauchy de ambas series diverge. 6. Aalizar la covergecia putual y uiforme de las siguietes sucesioes de fucioes e los cojutos idicados: a) ex ex e (2, 5] b) x x e (, + ) c) z e z < + d) z e C e) + 2 se(2x π) e R + 3 7. Mostrar que coverge putualmete pero o uiformemete e (0, ). Probar + x que esta sucesió coverge uiformemete sobre todo itervalo [a, b] (0, ). Criterio de Weierstrass Sea X C y para cada N sea u : X C ua fució tal que u (x) M para todo x X. Si M coverge, etoces u coverge uiformemete e X. Criterio de Dirichlet Si (a ) es ua sucesió decreciete de úmeros reales positivos que coverge a 0 y existe M > 0 tal que z k M para todo N, etoces la serie a z k= coverge. 0
8. Calcular el radio de covergecia de cada ua de las siguietes series de potecias, y estudiar el comportamieto e el borde del disco de covergecia a) ( + 2i) z b) d) a 2 z (a C) g)!z 2 j) e) h) (z + 2) ( + ) 3 4 k) z + ( + i) c)! (2 i) 2 z f) z 2 2 i) ( ) (z i) 4 ( 2 + ) 5 2 z! l) a z (a C) ( ) (z + 3) ( + )2 z(+) 9. Probar que la serie z es covergete sobre los putos del borde de su disco de 2 covergecia, pero que esto o es verdadero para la serie de las derivadas. 0. Observar que los coceptos de covergecia uiforme y absoluta so idepedietes, probado: a) La serie 0 z coverge absoluta pero o uiformemete e z <. e ix b) La serie coverge uiformemete pero o absolutamete e [δ, 2π δ], 0 < δ < 2π. c) La serie z 2 coverge absoluta y uiformemete e z. 0. a) Determiar el cojuto de valores z para los cuales la serie ( ) (z +z + ) coverge y hallar su suma. b) Idem para (z 2 + ), ( ) z y + z e z. 2. Hallar las regioes de covergecia y covergecia absoluta de las series: a) d) ( + )z b) e iz + e) ( ) + z 2 3 ( z + z ) c) 2 + z Sobre el borde estudiar úicamete para z =, i, i
3. Expoecial: e z = z! a) Probar que es etera y calcular su derivada. b) Probar que e z+z = e z e z para todo z, z C. c) Calcular: e z, Arg e z, Re(e z ), Im(e z ), e z d) Probar que e z 0 para todo z C y calcular /e z. e) Aalizar la existecia de lim z ez. f) Mostrar que e z tiee período 2πi. g) Hallar todos los z C tale que e z = ±. h) Mostrar que e z e z z e z para todo z C. 4. Fucioes trigoométricas se z = ( ) (2 + )! z2+ cos z = a) Probar que se z, cos z so eteras y calcular sus derivadas. b) Probar que i) cos z = eiz + e iz 2 ii) se z = eiz e iz 2i iii) cos 2 z + se 2 z = iv) e iz = cos z + i se z v) cos(z + w) = cos z cos w se z se w se(z + w) = se z cos w + se w cos z c) Verificar que ambas tiee período 2π. d) i) Hallar todos los z C tales que se z = 0. ii) Idem para cos z. 5. Fucioes hiperbólicas a) Verificar sh z = ez e z 2 ch z = ez + e z 2 ( ) (2)! z2 i) se(iz) = i sh z, cos(iz) = ch z ii) sh(iz) = i se z, ch(iz) = cos(z) iii) sh Im z se z ch(im z), sh Im z cos z ch(im z) Deducir que se z, cos z o so acotadas e C. 2
iv) se z = se(re z) ch(im z) + i sh(im z) cos(re z) cos z = cos(re z) ch(im z) i sh(im z) se(re z) b) Probar i) se z 2 = se 2 (Re z) + sh 2 (Im z) ii) cos z 2 = cos 2 (Re z) + sh 2 (Im z) c) Caracterizar los cojutos {z C : se z = 8} y {z C : cos z = i}. d) Estudiar la periodicidad de sh z y ch z. e) Hallar los ceros de ambas fucioes. f) Hallar el desarrollo e serie de potecias de ambas fucioes. 6. Logaritmo a) Dado w C {0}, hallar todos los z C tales que e z = w. b) Sea A C abierto y coexo, y sea f, g : A C cotiuas y tales que e f(z) = z y e g(z) = z para todo z A. Probar que existe u k Z tal que g(z) = f(z) + 2kπi para todo z A. c) Sea A = C R 0 i) Probar que A es abierto y coexo, y que para cada z A existe u úico θ z ( π, π) tal que z = z e iθz. ii) Sea f : A C dada por f(z) = l z + iθ z. Probar que es ua rama del logaritmo. iii) Ver que f es holomorfa e A y hallar f. iv) Sigue siedo válidos estos resultados si se reemplaza el cojuto A por B = C {re iθ 0 /r R 0 } dode 0 < θ 0 2π? iv) Escribir todas las ramas del logaritmo e fució de la dada e ii). d) Sea ϕ, ψ dos ramas del logaritmo. Es cierto que ϕ(e z ) = ψ(e z ) = z para todo z? Estudiar si se coserva o o para los úmeros complejos las demás propidades del logaritmo real. e) Calcular: l i, l, l( + i), e l i. 7. Describir los siguietes cojutos a) {z C/e z = i} b) {z C/e z = i} c) {z C/e z R} d) {z C/ cos z = } e) {z C/ cos z = cos z 0 } 3
8. Desarrollo e serie de la rama pricipal del logaritmo ( ) Sea f la rama pricipal de l( + z), y sea g(z) = z. a) Calcular el radio de covergecia de g. b) Calcular f (z) y g (z) para z detro del círculo de covergecia de g. c) Deducir que f(z) = g(z) para z <. 9. Ramas de la Raíz Cuadrada Sea ϕ(z) el úico úmero del itervalo [ π, π) tal que z = z e iϕ(z). Defiimos las fucioes: f(z) = z e i ϕ(z) 2 y g(z) = ϕ(z) i( z e 2 +π) a) Probar que f(z) 2 = g(z) 2 = z para todo z C. b) So cotiuas e C? c) Sea A = C R 0. Probar que f y g so cotiuas e A. d) Si se reemplaza el itervalo [ π, π) por [0, 2π), quié debería ser A? e) Dóde so holomorfas f y g? f) Mostrar que Re(f) 0. 20. Sea G C abierto coexo, y sea f : G C ua rama del logaritmo. Fijamos b C, y cosideramos la fució g : G C dada por g(z) = e bf(z). a) Probar que si b Z, etoces g(z) = z b. b) Si G es u abierto coexo dode está defiida ua rama del logaritmo y b C, defiimos z b = e b l z. Probar que esta fució es holomorfa e G. c) Calcular i i cosiderado la rama pricipal del logaritmo. Hallar los demás valores cosiderado las restates ramas. Idem para : ( ) 3 5 y π. d) Sea G C abierto y coexo, y sea f, g : G C ramas de z a y z b, respectivamete. Es cierto que i) f g es ua rama de z a+b? ii) f/g es ua rama de z a b? iii) si f(g), g(g) G, etoces f g y g f so ramas de z ab? e) Sea G = {z C : z 4i < 4}. Calcular ua rama de (z ) 3 para z G 4