Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Universidd de Chile Progrm Acdémico de Bchillerto Mtemátic II Gí de estdio Primer pre Mtemátics II Integrles de fnciones eponenciles logrítmics Fnciones eponencil logrítmic Sólidos de revolción lrgo de n crv Frcciones prciles
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Clclr integrles por prtes qe involcrn eponenciles logritmos. loglog i d Solción: Se integr por prtes d log v loglog dv log ii coslog d Solción: Tmién por prtes hcemos l trtmos de l sigiente form, d v coslog dv sinlog De nevo por prtes, d v sinlog dv coslog log d cos log sin log cos log cos d
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl iii e d Solción: d e dv e v, esto es porqe si integro cmio de vrile e e, l hcer el iv log d Solción: d v dv log log Ahor deemos resolver d v log dv log d, por prtes de nevo
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Clclr ls sigientes integrles por cmio de vrile trigonométrico o eponencil ests integrles involcrn eponenciles logritmos. Pr ls sigientes integrles será necesrio recordr: sec d ln csc d ln sec tn csc cot i d Solción: d ii d iii Solción:
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl iv d Solción: v d Solción: Lego st clclr l integrl de sec d, sndo integrl por prtes. sec d sec tn dv sec v tn
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl sec sec d sec sec tn sec sec d sec tn d sec tn sec sec sec tn secd sec tn lnsec tn d d d Reemplzndo, sec sec d d sec d sec d sec tn lnsec tn sec tn lnsec tn lnsec tn Devolviéndonos en el cmio de vrile vemos l geometrí. Lego, sec cos sin tn Ls sigientes integrles sponen sstitciones de distintos tipos. Lo qe no se pede sstitir es l gdez de ingeni, pero eiste n regl generl segir: sstitúse n epresión qe prezc con frecenci o de modo prominente; si precen dos epresiones dificltoss, inténtese epresrls en términos de lgn epresión nev. Y no se olvide qe, por lo generl reslt útil epresr directmente en fnción de, pr hllr l epresión decd qe h de ponerse en vez de d.
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl i e d Solción: d Por frcciones prciles, 0 ii e d Solción: L sstitción e llev n integrl qe eige todví otr sstitción; esto está ien, pero ls dos sstitciones peden hcerse l vez. d Por frcciones prciles, Reemplzmos, en ls frcciones nteriores.
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl 0 d ln ln d d e ln e ln e d iii Solción: iv e d Solción: Por ltimo no qe tiene cmio de vrile, rcionlizción, cmio de vrile trigonométrico, etc. v d Solción:
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Esto v pr los qe qieren integrr más rjido
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Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Aplicciones de l Integrl: sólidos de revolción Volúmenes, lrgo de crvs, etc. L ección descrie n elipse centrd en el origen del plno de coordends. Clcle el solido de revolción de l elipse nteriormente descrit el áre qe encierr l ección. Solción: Pr resolver este prolem ocpremos l forml pr encontrr el sólido de revolción. Solido f d Lego, podemos escriir de l sigiente form l ección ± Lego, si representmos f qe es gráficmente lo sigiente: f - Reemplzndo en l forml pr sólido de revolción tenemos,
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl [ ] d d d f Volmen Ahor, pr clclr el áre qe encierr l ección de l elipse solo st integrr f mltiplicrlo por, pes f solo nos d l mitd sperior. d d d f Áre El próimo pso es hcer n cmio de vrile trigonométrico. sin sin cos sin sin d d d d cos sin Usndo sin cos sin cos cos cos sin d d Ahor sndo l propiedd trigonométric cos cos
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl cos d cos cos d sin d sin cos sin cos 0 0 [ ] Pero como hemos solo clcldo l mitd del áre deemos mltiplicr dos el resltdo. Áre f d Notr qe l circnferenci es n cso prticlr de l elipse, cndo. Solción: Como el circlo gir en torno l eje verticl deemos despejr l invers de o se l invers de f, qe ásicmente es despejr.
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl 0 ± ± ± Nestro represent l crv qe está desde hci l derech, constite l mitd de l circnferenci, represent l crv l izqierd de l otr mitd de l circnferenci. Si hcemos rotr tendremos n pstill sólid, o se con el heco relleno, pero si hcemos rotr tmién se lo restmos l pstill nterior otendremos l don o nemático qe qeremos. d f Volmen [ ] sin sin cos sin 0 0 d d d d d d d d d Reemplzndo el cmio trigonométrico, d d cos Ocpndo cálclo ejercicio nterior, _ cos Toro Volmen d
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl. Clclr el volmen del sólido generdo l girr l región limitd por f g en torno l rect, como se mestr en l figr sigiente. Solción: f f-g - Comenzremos por hllr los pntos de corte de f g. Iglndo fg. ± Pr clclr el rdio el lto del rectánglo mrillo, deemos restr ls dos ecciones. R f g V R d d d 5 5 6 5 Definición de lrgo de n crv: represent n crv sve en el instnte [ ] Si l fnción f longitd de rco de f entre viene ddor por: Dis tn ci [ f ] d, l
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl. Un ojeto volnte sle del origen sciende por el eje. Al mismo tiempo n persegidor prte del pnto,0 se dirige en todo momento hci él con velocidd dole qe l s. L ección de trectori del persegidor es, Cánt distnci recorrido el ojeto el ojeto en el instnte de ser cptrdo cnto recorrido s persegidor? Solción: Lo primero qe deemos hcer es clclr l distnci recorrid por el persegidor lego clclr l distnci recorrid por el ojeto. ` 0 0 0 0 d d Pr clclr l distnci recorrid por el ojeto st tomr f0/, esto implic qe el ojeto recorrido / por el eje. En cmio s persegidor recorrido /. Notr qe el persegidor llev el dole de l velocidd del ojeto, por ello otenemos qe el persegidor recorre e dole de l distnci qe recorre el ojeto.
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl. Clcle l longitd de l crv de cosh Solción:, pr [, ] Ocpemos Dis tn ci [ f ] d, lego f cosh f sinh [ sinh ] d, deemos ocpr qe cosh sinh cosh sinh Entonces tenemos, sinh sinh [ sinh ] d cosh d sinh sinh 5. L figr mestr n líne telefónic qe celg entre dos postes, en en. Tom l form de n ctenri, c ección es c cosh Y i Clcl l longitd del cle en términos de ls constntes positivs, c. ii Dos postes telefónicos están 50 pies de distnci l longitd del cle entre ellos es de 5* pies, si el pnto más jo del cle dee estr 0 pies de ltr respecto l selo, Cn lto dee sjetrse el cle? Solción: - 0 L demostrción de est propiedd es stnte simple, solo se dee considerr los sinh cosh como n eponencil.
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl i Es el cálclo qe hemos hecho repetitivmente, lo do de inmedito. Dis tn ci [ f ] d sinh ii El ojetivo es encontrr c cosh tengo ls sigientes ecciones: 50 5 Distnci entre los postes c 0 El pnto más jo del cle dee estr 0 pies de ltr, primer derivd igl cero, segnd mor qe cero, implic mínimo locl. f c cosh f sinh 0 0 0 0 f 0 cosh > 0 Lo qe implic qe es n mínimo f 0 c 0 5 sinh 5 sinh 5 rcsin h Resolción de l integrl de lrgo de n crv. 5 5 rcsin h 5 c 0 5 rcsin h c cosh
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl 5 5 5 5 0 coshrcsin h 5 5 rcsin h rcsin h Notr qe 5 define l ltr del poste, pes s se se encentr en 5. 5. Un crisis económic hce qe los ingresos nles de n compñí hn descendido de $7.000 en 988 $6.000 en 990. Si los ingresos sigen n comportmiento eponencil de decrecimiento, Cál se s vlor en 99? Solción: Considerremos t igl cero, en el ño 988. kt Lego, sremos el modelo eponencil ce, donde medimos t en ños. Por condición inicil C, semos qe c 7. 000. Lego, el ño 990 represent el ño t 990 988, pes hemos considerdo 988 como t 0. Sigiendo 6. 000 cndo t, lego tenemos 6.000 7.000e 0,85 e k / ln ln0,85 k ln0,85 k 0,08 k Finlmente, en el ño 99 t 99 988 ingresos de l compñí sen igles, podemos esperr qe los 7.000e k 7.000e 0,08 58.678 Se dee tener clro qe lo qe se reselve en este tipo de prolems son ls ecciones diferenciles de l form k. 6. Ls vents S en miles de niddes de n prodcto nevo, despés de estr en el mercdo drnte t ños, vienen dds por n fnción eponencil S ce k t Hllr S en fnción de t, si se hn vendido 5000 niddes despés de ño, el pnto de strción el mercdo es de 0000. Cánts niddes se hn vendido en 5 ños? c Dijr n grfic de est fnción de vents. Solción:
Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl k t Usremos el modelo eponencil s ce por condición inicil se define C., donde medimos t en ños, L strción se pede interpretr como el lim S limce t t k t, n nálisis conveniente stnte ceptdo es scr el máimo de l fnción vents S, el resltdo de ese nálisis es el limite descrito nteriormente. k ce t lim c, lego como l strción es n dto c 0. 000. t Tmién semos por enncido qe en el ño se hn vendido 5000 niddes, qe se trdce e k 6 ln6 k Finlmente S, es igl l fncións t 0000e ln6 En solo st reemplzr t 5, en l fnción vents s. ln 6 5 S 5 0000e 0965 Se dee tener clro qe este prolem específico es resolver l ección k diferencil de l form. t
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