SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL

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1 SISTEMAS ELECTÓNICOS DE CONTOL TEOÍA DE FILTOS Introduión Diagrama de Bode Filtro Elétrio Filtro Paivo y Ativo Analógio Conideraione Generale Sobre lo Filtro Dieño de un Filtro Paa bajo Dieño de un Filtro Paa alto Dieño de un Filtro Paa banda Dieño de un Filtro Elimina Banda Tabla de Coefiiente 6 B ELECTÓNICA 0

2 . INTODUCCIÓN El filtro elétrio fue inventado de manera independiente en 95 por George Campbell en Etado Unido y por K. W. Wagner en Alemania. Con el urgimiento de la radio en el periodo 90 90, e reó la neeidad de reduir el efeto del ruido de la etátia en el radiorreeptor. Cuando urgieron la tranmiione regulare de radio en la déada de 90, Campbell y otro dearrollaron el filtro LC utilizando indutore, apaitare y reitenia. A eto filtro e le llama filtro paivo debido a que e omponen de elemento paivo. En la déada de 930, S. Darlington, S. Butterworth y E. A. Guillemin dearrollaron la teoría neearia para dieñar filtro paivo. El filtro paa bajo tipo Butterworth e di a onoer en Wirele Engineering en 930. Cuando e inorporan dipoitivo ativo, de manera típia amplifiadore operaionale, en un filtro elétrio, al filtro e le llama filtro ativo. Pueto que lo indutore on relativamente grande y peado, lo filtro ativo uelen ontruire in indutore utilizando, por ejemplo, ólo amplifiadore operaionale, reitenia y apaitare. Lo primero filtro ativo C prátio e inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y e doumentaron en un erito láio de. P. Sallen y E.L. Key (Sallen y Key, 955).. DIAGAMAS DE BODE E omún uar gráfia logarítmia de la repueta en freuenia en lugar de gráfia lineale. La gráfia logarítmia e denominan Diagrama de Bode en honor de H. W. Bode, quien la utilizó ampliamente en u trabajo on amplifiadore en lo laboratorio de la Bell Telephone durante la déada de 930 y 940. En lo diagrama de Bode e repreenta en forma eparada, el módulo de la funión de repueta en freuenia en ordenada, en una eala lineal expreadaa en deibele, y la freuenia en abia en una eala logarítmia, obteniéndoe aí el diagrama de Bode de amplitud o módulo. El diagrama de Bode de fae e obtiene llevando la fae en ordenada, en grado exageimale en forma lineal, y la freuenia en abia en eala logarítmia. Para repreentar gráfiamente lo reultado, uele empleare papel emilogarítmio, en el ual la magnitud, expreada en deibele y el ángulo de fae, expreado en grado, e repreentan omo ordenada en la eala lineal o retangular, en tanto que la freuenia e repreenta omo abia en la eala logarítmia. El uo de eala logarítmia amplía el intervalo de la freuenia repreentada en el eje horizontal. A ontinuaión e oberva un filtro paa bajo paivo y u funión de tranferenia: Figura.- Filtro paa bajo paivo de º orden. V V OUT IN C. + C. +. C. + τ. 0

3 Donde jω, j - y.c τ El módulo de la funión de tranferenia e: V OUT V IN + ( τ. ω) El módulo V OUT VIN aproximadamente igual a 0, uando ω 0 τ. Eto punto on utilizado en la gráfia de la figura para realizar una aproximaión aintótia del diagrama. La urva aintótia aproximada de la ganania etá formada por do reta, una oinidente on el eje de freuenia, y otra on una pendiente de -6dB/otava (ada dupliaión de freuenia reibe el nombre de otava) o -0dB/déada la ual orta a la otra reta en el punto de abia, llamada pulaión de orte. ω τ uando ω 0, τ, e igual a 0,707 uando El diagrama de fae para el filtro paa bajo o ualquier otra funiónn de tranferenia e alulado egún la iguiente euaión: φ tg ω. τ e tg Im ω τ y e Figura.- Diagrama de Bode de un filtro paa bajo paivo. El diagrama de fae e muho má difíil de aproximar ya que la funión tangente no e lineal. Normalmente el álulo de fae e realiza para la freuenia de orte. Como regla general, todo polo real produe una aída de -6dB/otavaa a partir de u valor ambiado de igno, y todoo ero real produe una elevaión de la pendiente en +6dB/otava a partir de u valor ambiado de igno. 0 3

4 3. FILTOS ELÉCTICOS Se empieza oniderando un filtro ideal. Por onvenienia, e upone que tanto la entrada omo la alida de ete filtro on voltaje. Ete filtro ideal epara u voltaje de entrada en do parte. Una parte e deja paar in modifiaión a la alida; la otra e elimina. En otra palabra, la alida de un filtro ideal e una opia exata de parte de la entrada del filtro. Para entender ómo opera un filtro elétrio, onidéree el iguiente voltaje de entrada: v ent ( t) oω t + oω t + ω t o 3 Eta entrada onite en una uma de eñale enoidale, ada una en una freuenia diferente. (Por ejemplo, lo voltaje periódio pueden repreentare de eta manera utilizando la erie de Fourier). El filtro epara el voltaje de entrada en do parte, utilizando la freuenia omo bae de la eparaión. Hay varia forma de eparar eta entrada en do parte y, por oniguiente, on divero lo tipo de filtro ideale. En la figura 3 e muetran lo diferente tipo de filtro que exiten. Figura 3.- Filtro ideale. Si tomamo omo ejemplo el filtro paa bajo ideal, que aparee en la figura 3, y planteamo u funión de red obtenemo: H ( ω) 0º ω < ω 0 ω > ω A la freuenia ω e la llama freuenia de orte. La freuenia de orte epara el intervalo de freuenia en do banda, la banda de pao, en donde ω < ω y la banda upreora o de orte, en donde ω > ω. Lo omponente de la entrada uya freuenia etán dentro de la banda de pao experimentan una ganania unitaria y un deplazamiento de fae nulo. Eto término e dejan paar, in modifiaión, a la alida del filtro. Lo omponente de la entrada uya freuenia etán en la banda de orte experimentan una gananiaa igual a ero. Eto término e eliminan o uprimen. Un filtro ideal epara u entrada en do parte: lo término uya freuenia etán en la banda de pao y lo término uya freuenia etán en la 0 4

5 banda de orte. La alida del filtro onta de lo término uya freuenia etán en la banda de pao. Deafortunadamente, lo filtro ideale no exiten, en realidad lo filtro prátio on aproximaione a lo ideale. 4. FILTOS PASIVOS Y ACTIVOS ANALÓGICOS Un filtro analógio, omo u nombre lo india, e un filtro que funiona on omponente analógio, por lo que puede er implementado fíiamente on elemento tale omo reitenia, bobina, apaitore y amplifiadore operaionale. Lo filtro paivo on onoido por ete nombre, pueto que para u implementaión e utilizan dipoitivo paivo omo lo on apaitore, bobina y reitenia. La prinipal deventaja de eto filtro e el tamaño de la bobina, la uale llegan a er muy voluminoa a baja freuenia, de allí la neeidad de ontar on filtro in indutore. En lo filtro ativo e inluyen reitenia, apaitore y amplifiadore operaionale, eliminándoe la bobina y obteniéndoe la iguiente ventaja: La bobina e el elemento que má aleja al filtro de u omportamiento ideal, obretodo a baja freuenia, por lo que u eliminaión permite mejorar el omportamiento del mimo. Generalmente tienen muy alta impedania de entrada y muy baja de alida, preentando por lo tanto muy buena apaidad de ailamiento, permitiendo la onexión en aada de élula de filtrado in afetar la repueta, ya que prátiamentee e independiente de la impedania de arga y fuente. Poibilidad de amplifiaión, tanto de tenión omo de orriente, partiularidad importante para eñale de bajo nivel. Fator de alidad relativamente grande, alanzando valore de hataa Q 500. Failidad de pueta a punto y regulaión ontinúa de la banda paante. Por otro lado, lo filtro ativo preentan la iguiente deventaja repeto a lo paivo: Neeidad de una o do fuente de alimentaión que pueden introduir ruido. Limitaión del margen dinámio de alida, para valore mayore a ±0 V de amplitud de la eñal de entrada el amplifiador operaional puede aturare, ademá la orriente de alida e limita a alguno miliampere. Con valore bajo de amplitud de la eñal de entrada el ruido intríneo del amplifiador puede enmaarar la eñal. El margen dinámio etá limitado a uno 0 db. Muy enible a lo ambio de temperatura y al envejeimiento de omponente, que produen un oniderable deplazamiento de lo polo de la funión de tranferenia, on la poibilidad de tornar inetable al iruito. Limitaión del rango uperior de freuenia, no utilizándoelo en general má allá de MHz. En reumen, puede deire que el ampo de utilizaión reervado a lo filtro ativo e el de baja freuenia, donde el filtro paivo reulta muy otoo por la difiultad de ontruir bobina de alto Q. 0 5

6 Figura 4.- Filtro paa bajo de egundo orden paivo y ativo. 5. CONSIDEACIONES GENEALES SOBE LOS FILTOS El iruito C que e implementar. oberva en la figura 5, ontituye el filtro paa bajo má imple de Su funión de tranferenia e la iguiente: Figura 5.- Filtro paa bajo paivo de orden. ). C +. C +.. C La funión de repueta en freuenia del iruito e obtiene reempleando por j ω. Aí: jω ) + jω.. C Con el objeto de analizar el problema de una forma má general, normalizaremo la variable de freuenia ompleja por la iguiente definiión: De donde: n ω jω f j jω ω f n La freuenia de orte del iruito de la figura 5 viene dada por: f. π.. C. 0 6

7 Por lo tanto manera: n.. C. y la funión de tranferenia puede reeribire de la iguiente ) + n Para el valor aboluto de la funión de tranferenia, e deir para la relaión de amplitud en la eñale enoidale de entrada obtenemo: A ( jω ) + Ω Para Ω >>, e deir para f >> f, A /Ω; eto orreponde a una reduión de ganania de -0dB por déada de freuenia o -6dB por otava. Si e requiere un dereimiento má pronuniado de ganania, e pueden onetar n filtro paa bajo en aada, omo e oberva en la figura 6. Figura 6.- Filtro paa bajo paivo de uarto orden. La expreión de la funión de tranferenia queda, en forma general, de la iguiente forma: n ) (+ α. ).(+ α. )...(+ α. n n n n donde lo oefiiente α, α, α 3 on reale y poitivo. Para Ω >>, A e proporional a /Ω n ; la ganania diminuye entone n x 0 db por déada. Se puede ver que la funión de tranferenia poee n polo negativo reale. Éta e la araterítia de lo filtro paa bajo C paivo de orden n. Si e onetan en aada filtro paa bajo de idéntia freuenia de orte deaoplado, e tiene: ) α α... α n α n - Cada filtro pao bajo individual tiene entone una freuenia de orte que e igual a la del filtro ompleto multipliadaa por el fator /α. En la figura 7 e muetra la repueta en freuenia de un filtro paa bajo de 4 orden, que e obtuvo de la onexión en aada de uatro filtro paa bajo de orden. La atenuaión de ada filtro individual e de -0 db/déada (urva ), mientra que la atenuaión total del filtro llega a -80 db/déada (urva ). Hay que tener en uenta que en el ejee de la abia e utiliza la freuenia normalizada Ω, e deir Ω f/f. 0 7

8 Nota: Curva : filtro paa bajo de orden, Curva : fil tro paa bajo de 4 orden, Curva 3: filtro paa baj o de 4 orden ideal. Figura 7.- epueta amplitud-freuenia un filtro paivo C paa bajo de 4 orden. La funión de tranferenia de un filtro paa bajo tiene la forma general: ) (+ a + b ).(+ a A 0 + b )...(+ a + b ) n n Donde a n y b n on reale y poitivo. Para n de orden impar, el oefiiente b e ero. Exiten diferente apeto teório para lo uale la repueta en freuenia puede er optimizada. Cualquiera de tale apeto ondue a un grupo diferente de oefiiente a n y b n. Al originare polo omplejo onjugado, éto no e pueden obtener on elemento paivo C. Una manera de obtener polo omplejo onjugado e el uo de rede LC. En freuenia alta, la realizaión de la bobina neearia no preenta uualmente difiultade, pero en el margen de bajaa freuenia uelen er neearia indutania grande que, ademá de er difíile de obtener, tienen mala propiedade elétria. Sin embargo, el uo de bobina en baja freuenia e puede evitar por la adiión de elemento ativo (por ejemplo amplifiadore operaionale) a la rede C. Tale iruito e llaman filtro ativo. En lo iguiente apartado e va a analizar brevemente la repueta en freuenia de la optimizaione má importante, uyo dieño e implementaión e expliaran má adelante. 5. FILTO PASA BAJO DE BUTTEWOTH Lo filtro paa bajo de Butterworth tienen una repueta horizontal o plana de amplitud- freuenia todo lo anha poible y deienden bruamente ante de la freuenia de orte. Su repueta muetra un oniderable obreimpulo que aumente en lo filtro del orden má alto. 0 8

9 Figura 8.- epueta amplitud-freuenia de un filtro paa bajo de Butterworth. 5. FILTO PASA BAJO DE CHEBYSHEV Lo filtro paa bajo de Chebyhev tienen una aída en u ganania aún má abrupta que lo filtro paa bajo de Butterworth. Sin embargo, en lo filtro paa bandaa la ganania varía y tiene una ondulaión o rizado de amplitud ontante. Para un orden dado, la atenuaión por enima de la freuenia de orte e má auada uanto mayor ea la ondulaión permitida. El obreimpulo en la parte inlinada de u repueta e inluo mayor que en lo filtro de Butterworth. Figura 9.- epueta amplitud-freuenia de un filtro paa bajo de Chebyhev. 0 9

10 5.3 FILTO PASA BAJO DE BESSEL Lo filtro paa bajo de Beel dan la óptima repueta de onda uadrada. La ondiión ubyaente e que el retardo de grupo e ontante en el margen de freuenia má amplio poible, e deir, el delizamiento de fae en ete margen de freuenia e proporional a éta, La repueta amplitud-freuenia de lo filtro de Beel no deiende tan bruamente omo lo filtro de Butterworth o Chebyhev. La figura 7 muetra la repueta amplitud-freuenia de lo tre tipo de filtro derito, iendo todo ello de 4 orden, mientra que en la figura 8 e oberva u repueta de fae. Se puede ver que el filtro paa bajo de Chebyhev tiene la má abrupta traniión dede la banda de pao a la banda de detenión. Eto e ventajoo, pero tiene el efeto adiional de una ondulaión en la banda de pao de la repueta amplitud-freuenia. Como eta ondulaión e redue gradualmente, el omportamiento del filtro de Chebyhev e aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra parte, lo filtro de Beel ólo preentan un depreiable obre impulo. Figura 0.- Comparaión de la repueta amplitud-freuenia de un filtro paa bajo de 4 orden. 0 0

11 Figura.- Comparaión de la repueta de fae de un filtro paa bajo de 4 orden. 6. DISEÑO DE UN FILTO PASA BAJO La iguiente euaión repreenta la forma general de la funión de tranferenia de un filtro paa bajo. ) (+ a + b ).(+ a + b Como ya e había menionada anteriormente, en un filtro de orden el oefiiente b iempre e ero, por lo que la euaión anterior la podemo reeribir de la iguiente forma: La etapa de y orden ontituyen lo bl oque báio para la ontruión de filtro de un orden mayor. La figura muetra de que manera e ontruyen lo filtro de orden uperior, utilizando báiamente filtro de y orden. Solo e muet ra hata un filtro de 6 orden, pero el mimo riterio e utiliza para filtro de orden uperior. A 0 A0 ) + a )...(+ a + b ) n n 0

12 Figura.- Conexión en aada de filtro de y orden par a la obtenión de filtro de orden uperior. 6. FILTO PASA BAJO DE ODEN La figura 3 y 4 muetran un filtro paa bajo de orden en u onfiguraión no inverora e inverora, repetivamente. Figura 3.- Filtro paa bajo de orden en onfiguraión no inverora. 0

13 Figura 4.- Filtro paa bajo de orden en onfiguraión inverora. La funión de tranferenia de eto iruito e: + 3 ) + ω.. C. y - ) + ω.. C. El igno negativo india que le amplifiador inveror produe un ambio de fae de 80 en la eñal de entrada. E deir que a la alida obtendremo la eñal de entrada invertida. Comparando lo oefiiente de de amba funione de tranferenia obtenemo: A a ω.. C y A0 - - y a ω. C. Para el dieño del iruito, tendremo omo dato la freuenia de orte (f ), la ganania del iruito (A 0 ) y el valor de C que erá definido de antemano. Con eto dato olo no reta alular y. a. π. f. C 3.( 0 -) A y El oefiiente a e obtiene por tabla (ver apartado 0). Para lo filtro de orden de todo lo tipo, ete oefiiente toma el valor, in embargo, para filtro de un orden uperior ete oefiiente toma valore diferente a. Ejemplo. Dieño de un filtro paa bajo de orden on ganania unitaria. a. π. f. C Dieñar un filtro paa bajo de orden on una freuenia de orte f khz y C 47 nf. y - A 0 a. π. f. C 3. π..0 Hz.47.0 F 3,38k Ω 0 3

14 Cuando la ganania del amplifiador e unitaria, la onfiguraión no inverora del amplifiador operaional e redue a una onfiguraión eguidor de tenión, omo e oberva en la iguiente figura: Figura 5.- Filtro paa bajo de orden no inveror, on ganania unitaria. 6. FILTO PASA BAJO DE ODEN Exiten do topología para lo filtro paa bajo de orden, la Sallen -Key o red on fuente ontrolada, la ual iempree tiene ganania poitiva en la banda paante y no invierte la fae a freuenia baja. La otra topología de filtro e la llamada de auh o de realimentaión múltiple, en la ual la ganania en freuenia ero, A 0 e negativa, y por lo tanto, produiendo un defaaje de 80 entre la alida y la entrada a freuenia menore que la de orte. A ontinuaión analizaremo en detalle la topología Sallen-Key. 6.. Topología Sallen-Key La topología Sallen-Key general, para un filtro paa bajo, e puede obervar en la figura 5 y u funión de tranferenia e muetra a ontinuaión: ) + 0 ω C.( + ) + (- A0 ).. C ]. + ω.[... C. C Si el iruito de la figura 5 lo modifiamo de manera tal que u ganania ea unitaria, obtenemo el iruito de la figura 6, uya funión de tranferenia e la iguiente: ) ) + ω. C.( + ). + ω.. Si omparamo la funión de tranferenia anterior, on la funión de tranferenia general de un filtro paa bajo, podemo obtener lo oefiiente A 0, a y b. a b Definiendo C y C ditinto, lo valore de y e obtiene reolviendo el itema de do euaione on do inógnita dado por a y b. A. C. C. A 0 ω. C.( + ) ω... C. C., a. C ± a. C 4. π. f - 4. b. C. C. C. C 0 4

15 Para obtener valore reale dentro de la raíz, C debe atifaer la iguiente ondiión: C 4. b C. a Figura 6.- Filtro paa bajo de orden de topología Sallen- Key. Figura 7.- Filtro paa bajo de orden de topología Sallen- Key on ganania unitaria. Ejemplo. Dieño de un filtro paa bajo de orden on ganania unitaria. Dieñar un filtro paa bajo de Chebyhev de orden on una freuenia de ort e f 3 khz y un ripple de 3 db en la banda paante. En primer lugar, de la tabla, obtenemo lo oefiiente a y b para un filtro de Chebyhev on 3 db de ripple.,0650 Si definimo C nf podemo determinar el valor de C omo igue: C a,0650 Con el valor de C y C podemo determinar el valor de y. a b, b 4.,9305 C..0 nf. 50nF 0 5

16 , (, π ) - 4., ,6kΩ, (, π ) - 4., ,30kΩ Con eto valore el iruito queda formado de la iguiente manera: Figura 8.- Filtro paa bajo de Cebyhev de orden on ganania unitaria. Tabla.- Coefiiente para un filtro de orden. En la topología Sallen-Key, puede dare el ao epeial en el que y C C C. En tal ao, la funión de tranferenia queda de la iguiente forma: A0 ) + ω.. C.(3 A ). + (.. C). 0 ω on A Comparando eta funión de tranferenia on la funión de tranferenia general de un filtro paa bajo, podemo obtener lo oefiiente a y b. a ω.. C.(3 A0 ) b ( ω.. C). Dando un valor a C y reolviendo el itema de euaione anterior obtenemo el valor de b. π. f. C y A 3 - a b 3 0 Q 0 6

17 El iruito de la figura 9, permite ambiar el tipo de filtro ajutando el valor de 4, e deir variando la relaión 4 / 3. Figura 9.- Filtro paa bajo de orden on ganania unitaria. 6.3 FILTO PASA BAJO DE ODEN SUPEIO Para neeidade en que la araterítia de un filtro de orden no ea lo ufiientemente abrupta en la región de atenuaión de la banda deberán empleare filtro de un orden uperior, que pueden lograre onetando en aada filtro de orden para n par, y agregando a la aada uno de primer orden para n impar. La repueta en freuenia del filtro total e igual al produto de la repueta en freuenia de lo filtro individuale. Diho eto, podríamo etar tentado a alular un filtro de egundo orden, y, por ejemplo, para n 6, onetar en aada tre eione idéntia, eto no e orreto porque el filtro reultante tendrá una freuenia de orte diferente a la de lo filtro individuale omo puede demotraree i en un diagrama logarítmio umamo tre repueta iguale. Aquí e donde apareee la optimizaión de la repueta freuenial on lo ditinto tipo de filtro que onduen a grupo diferente de oefiiente para lo filtro individuale de tal modo que el produto de la repueta freueniale de por reultado la repueta on la freuenia de orte y araterítia deeada. Ejemplo 3. Dieño de un filtro paa bajo de 5 orden on ganania unitaria. Dieñar un filtro paa bajo de Butterwoth de 5 orden on una freuenia de or te f 50 khz. En primer lugar hay que obtener el valor de lo oefiiente para un filtro de Butterworth de 5 orden. a i b i Filtro a b 0 Filtro a,680 b Filtro 3 a 3 0,680 b 3 0 7

18 A partir de eto oefiiente y epeifiando el valor de lo apaitore, alulamo el valor de la reitenia en ada etapa. eordemo la onfiguraión de un filtro paa bajo de orden. Figura 0.- Filtro paa bajo de orden on ganania unitaria. Si etableemo el valor de C en nf. a. π. f. C 3,8 kω 3,6 kω 3. π F Figura.- Filtro paa bajo de orden on ganania unitaria. Para la egunda etapa definimo C 80pF. b C C F.,6nF, 5nF a,68 Con C y C alulamo el valor de y on la iguiente fórmula:, a. C ± a. C 4. π. f - 4. b. C. C. C. C,68.,5. 0,68.,5.0 - (,68., π , (,68., π ,5. 0 ) ) ,5.0.,5.0,87kΩ 4,4kΩ 0 8

19 Para el álulo de la terera etapa e proede de la mima manera que en la etapa anterior, on la diferenia de que lo oefiiente a utilizar erán a 3 y b 3 en lugar de a y b. Para eta etapa definimo C 330pF y obtenemo C. 4. b - 4. C C F. 3,46nF 4, 7nF a 0,68 Con C 330pF y C 4,7nF, lo valore de y on: La figura muetra el iruito definitivo.,45kω, 47kΩ 4,5kΩ 4, 53kΩ Figura.- Filtro paa bajo de Butterworth de 5 orden on ganania unitaria y f 30kHz. 7. DISEÑO DE UN FILTO PASA ALTO Lo filtro normalizado paa bajo pueden er onvertido en filtro normalizado paa alto ambiando la variable normalizada n por / n. Ete ambio de variable ignifia en el gráfio de Bode, por enima de la freuenia de orte, dibujar la imagen epeular de la repueta amplitud-freuenia del filtro paa bajo, omo e oberva en la figura 3. La ganania A 0 en baja freuenia e onvierte en A o ganania en alta freuenia. Figura 3.- epueta amplitud-freuenia de un filtro paa alto omparada on la de un filtro paa bajo. 0 9

20 La funión de tranferenia general de un filtro paa alto queda de la iguiente forma: ) ) a b (+ + A a b ).(+ + Como uedía en lo filtro paa bajo de orden, en un filtro paaa alto de orden el oefiiente b e ero, por lo que la euaión anterior la podemo reeribir de la iguiente forma: A ) a + 7. FILTO PASA ALTO DE ODEN an )...(+ La figura 4 y 5 muetran un filtro paa alto de orden en u onfiguraión no inverora e inverora, repetivamente. b + n ) Figura 4.- Filtro paa alto de orden en onfiguraión no inverora. Figura 5.- Filtro paa alto de orden en onfiguraión inveror a. La funión de tranferenia de eto iruito e: + 3 ) + ω.. C. y ) + ω.. C. 0 0

21 El igno negativo india que le amplifiador inveror produe un ambio de fae de 80 en la eñal de entrada. E deir que a la alida obtendremo la eñal de entrada invertida. Comparando lo oefiiente de de amba funione de tranferenia obtenemo: A + 3 El oefiiente a e el mimo para ambo iruito. a y A ω.. C Para el dieño del iruito, tendremo omo dato la freuenia de orte (f ), la ganania del iruito (A ) y el valor de C que erá definido de antemano. Con eto dato olo no reta alular y.. π. f. a. C - 3.( A -) y -. A 7. FILTO PASA ALTO DE ODEN Para un filtro paa alto de orden e utilizan la mima do topología q ue para lo filtro paa bajo de orden, la Sallen -Key o red on fuente ontrolada y la topología llamada de auh o de realimentaiónn múltiple. 7.. Topología Sallen-Key La topología Sallen-Key general, para un filtro paa alto, e puede obervar en la figura 6 y u funión de tranfereniaa e muetra a ontinuaión: ) +.( C + C ω. +.. C. C ω... C. C.. ) +. C α ( α) on α Figura 6.- Filtro paa alto de orden de topología Sallen -Key. 0

22 Si el iruito de la figura 6 lo modifiamo de manera tal que u ganania ea unitaria (α ), y C C C obtenemo la funión de tranferenia que e muetra a ontinuaión. ) C ω ω.. Si omparamo la funión de tranferenia anterior, on la funión de tranferenia general de un filtro paa alto, podemo obtener lo oefiiente A, a y b. b a A Definiendo previamente el valor de C, a partir del itema de euaione anteriore podemo enontrar el valor de y. ω.. C ω... C π. f. C. a a 4. π. f. C. b. C. Figura 7.- Filtro paa alto de orden de topología Sallen- Key on ganania unitaria. 7.3 FILTO PASA ALTO DE ODEN SUPEIO Al igual que lo filtro paa bajo, lo filtro paa alto de orden uperior on dieñado onetando en aada etapa de filtro de º y º orden. Lo oefiiente utilizado on lo mimo que para lo filtro paa bajo, lo que e obtienen por tabla (apartado 0). Ejemplo 5. Dieño de un filtro paa alto de 3 orden on ganania unitaria. Dieñar un filtro paa alto de Beel de 3 orden on una freuenia de orte f khz. Lo oefiiente del filtro e obtienen por tabla (ver eión 0). 0

23 a i b i Filtro a 0,756 b 0 Filtro a 0,996 b 0,477 A partir de eto oefiiente y epeifiando el valor de lo apaitore, alulamo el valor de la reitenia en adaa etapa. Si etableemo el valor de C en 00nF.. π. f. a C.,05k Ω,k Ω Hz.0, F π Para la egunda etapa definimo C 00nF. π. f. C a. a 4. π. f. C b. La figura 4 muetra el iruito definitivo. 3,8 kω 3,6kΩ Hz.00.0 F.0,756 π 0,9996,67k Ω,65kΩ Hz.00.0 F.0,477 π Figura 8.- Filtro paa alto de Beel de 3 orden on ganania unitaria y f khz. 8. DISEÑO DE UN FILTO PASA BANDA Un filtro paa banda puede er implementado onetando en erie un filtro paa bajo y un filtro paa alto on freuenia de orte f y f, repetivamente. Aimimo, lo filtro normalizado paa bajo pueden er onvertido en filtro normalizado paa banda ambiando la variable normalizada n por:. + Ω En ete ao, el filtro paa bajo e tranformado en la mitad uperior de la banda paante del filtro y luego e epejado para formar la mitad inferior de la banda paante, omo e puede obervar en la figura

24 Figura 9.- Tranformaión de un filtro paa bajo en un filtro paa banda. La freuenia de orte del filtro paa bajo, e tranforma entone en la freuenia de orte inferior y uperior del filtro paa banda. La diferenia entre amba freuenia e definida omo el anho de banda normalizado: Ω Ω Ω En analogía on un iruito reonante, el fator de alidad Q e definido omo la relaión entre la freuenia media o mitad (f m ) y el anho de banda (B). f m Q B f m f f Como e dijo anteriormente, la forma má imple de implementar un filtro paa banda e onetando en aada un filtro paa bajo y un filtro paa alto, lo que e un riterio valido para la implementaión de filtro de banda anha, e deir on un bajo valor de Q. Para valore de Q > 5 e reurre a iruito reonadore. Por otro lado, i onetamo en aada un filtro paa bajo de º orden on un filtro paa alto de º orden, obtendremo un filtro paa banda de º orden, de la mima forma, i onetamo filtro paa bajo y paa alto de º orden, obtendremo un filtro paa banda de 4º orden. 8. FILTO PASA BANDA DE ODEN Ω Ω Ω Para obtener la repueta de un filtro paa banda de º orden, apliaremo la tranformaión ante menionada obre la funión de tranferenia de un filtro paa bajo de º orden. A0 ( ) + reemplazando por. + Ω De eta manera obtenemo la funión de tranferenia de un filtro paaa banda de º orden. 0 4

25 Cuando dieñamo un filtro paa banda, lo parámetro a tener en uenta para el dieño on la ganania en la freuenia mitad (A m ) y el fator de alidad Q, el que repreenta la eletividad del filtro paa banda. Por lo tanto, reemplazando en la euaión anterior A 0 por A m y Ω por /Q obtenemo: 8.. Topología Sallen-Key A0. Ω. ) + Ω. + Am Q ) + + Q El iruito paa banda, de topología Sallen-Key, que e oberva en la figura 9 tiene la iguiente funión de tranferenia: G.. C. ωm. ) +. C. ω.(3 G). + m. C. ω. m Figura 30.- Filtro paa banda de topología Sallen-Key. Si omparamo la funión de tranferenia anterior, on la funión de tranferenia general de un filtro paa banda, podemo obtener la iguiente euaione: Freuenia media: Ganania interna: f m. π.. C G + Ganania en la freuenia media: A m G 3 G 0 5

26 Fator de alidad: Q 3 G La onfiguraión Sallen-Key tiene omo ventaja que el fator de alidad (Q) puede er variado a travé de la ganania interna (G) in modifiar la freuenia media (f m ). Como deventaja podemo deir que el fator de alidad Q y la ganania A m no pueden er ajutada independientemente. Se debe tener uidado uando el valor de G e aproxima a 3, ya que la ganania A m paa a er infinita, lo que provoa que el iruito omiene a oilar. Para el dieño del filtro definimo la freuenia media (f m ) y el valor de C y a partir de eto valore alulamo el valor de. Debido a la dependenia entre Q y A m, exiten do poibilidade para el álulo de. Definir el valor de la ganania en la freuenia media: O definir el valor de Q:. π. f A m. C. m + Am. Q Q 9. DISEÑO DE UN FILTO DE ELIMINACIÓN DE BANDA Un filtro de eliminaiónn de banda o upreión de banda puede implementare onetando a un umador analógio un filtro paa bajo on freuenia de orte f y un filtro paa alto on freuenia de orte f. Al igual que para un filtro paa banda, el diagrama de Bode de un filtro de eliminaión de banda e puede hallar a partir de la repueta en freuenia de un filtro paa bajo utilizando una adeuada tranformaión de freuenia. Para ete ao e reemplaza la variable normalizada n por: Ω + Donde Ω tiene la mima definiión que para un filtro paa banda, referido aquí a la banda que uprime. Al igual que en el ao de un filtro paa banda, la tranformaión de freuenia duplia el orden del filtro. Aí, apliando la tranformaión a un filtro paa bajo de º orden da por reultado la funión de tranferenia de un filtro upreor de banda que tiene la iguiente expreión: A0.( + ) ) + Ω. + En ete ao, el filtro paa bajo e tranformado en la mitad inferior de la banda uprimida del filtro y luego e epejado para formar la mitad uperior de la bandaa uprimida, omo e puede obervar en la figura

27 Figura 3.- Tranformaión de un filtro paa bajo en un filtro elimina banda. Tomando la funión de tranferenia anterior y reemplazando Ω por / /Q no queda: A0.( + ) ) +. + Q 9. FILTO ELIMINA BANDA EN T PAALELO En la figura 3 e oberva una red T paiva uyo fator de alidad Q 0,5. Para inrementar el valor de Q, el filtro paivo e implementado dentro del lazo de realimentaión de un amplifiador, onvirtiéndoe aí en un filtro elimina banda ativo, omo e oberva en la figura 33. Figura 3.- Seión T paiva. 0 7

28 Figura 33.- Filtro elimina banda ativo. La funión de tranferenia del iruito de la figura 3 e la iguiente: k.( + ) ) +.( k). + Si omparamo la funión de tranferenia anterior, on la funión de tranferenia general de un filtro elimina banda, podemo obtener la iguiente euaione: Freuenia media: Ganania interna: Ganania en la freuenia media: f m. π.. C G + A 0 G Fator de alidad: Q.( G) La onfiguraión anterior tiene omo ventaja que el fator de alidad (Q) puede er variado a travé de la ganania interna (G) in modifiar la freuenia media (f m m). Como deventaja podemo deir que el fator de alidad Q y la ganania A m no pueden er ajutada independientemente. Para el dieño del filtro definimo la freuenia media (f m ) y el valor de C y a partir de eto valore alulamo el valor de.. π. f m. C 0 8

29 Debido a la dependenia entre Q y A m, exiten do poibilidade para el álulo de. Definir el valor de la ganania en la freuenia media: O definir el valor de Q: A0 ) (.. Q 0 9

30 0. TABLAS DE COEFICIENTES PAA LOS DIFEENTES FILTOS Tabla.- Coefiiente de Butterworth. 0 30

31 Tablaa 3.- Coefiiente de Chebyhev para 0,5 db de ripple. 0 3

32 Tabla 4.- Coefiiente de Chebyhev para db de ripple. 0 3

33 Tabla 5.- Coefiiente de Chebyhev para db de ripple. 0 33

34 Tabla 6.- Coefiiente de Chebyhev para 3 db de ripple. 0 34

35 Tabla 7.- Coefiiente de Beel. 0 35