EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: Una Introducción

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3 EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: Una Introduccón

4 Zeferno A. da Fonseca Lopes EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: Una Introduccón

5 Unversdad Rafael Urdaneta Autordades Rectorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Rector Ing. Maulo Rodríguez, Vcerrector Académco Ing. Salvador Conde, Secretaro Lc. Nanc Vllarroel M.L.S. Drectora de Bloteca Fondo Edtoral Bloteca Unversdad Rafael Urdaneta Portada: Luz Elena Hernández Unversdad Rafael Urdaneta, Fondo Edtoral Bloteca Vereda del Lago, Maracao, Venezuela. ISBN: Deposto Legal: lf8556

6 A ms Has: Maranella Rosel Patrca

7 v CONTENIDO Prefaco Capítulo I Conceptos áscos del método de los elementos fntos. Introduccón. Antecedentes hstórcos. Etapas áscas en la formulacón del método de los elementos fntos.. Defncón del prolema su domno 4.. Dscretzacón del domno 4.. Identfcacón de la(s) varale(s) 5..4 Formulacón del prolema 5..5 Estalecmento de los sstemas de referenca 5..6 Construccón de las funcones de apromacón de los elementos 6..7 Determnacón de las ecuacones de los elementos 7..8 Transformacón de coordenadas 8..9 Ensamlae de las ecuacones de los elementos 8.. Introduccón de las condcones de contorno 8.. Solucón del sstema de ecuacones resultante 8.. Interpretacón de los resultados 8.4 Eemplo.. Determnacón del valor de 9.5 Implementacón computaconal del método de los elementos fntos.6 Métodos formulacones de las ecuacones de los elementos.6. El método drecto.6. El método varaconal.6. El método de los resduos pesados.7 Modelos de elementos fntos en la mecánca de los sóldos 4.8 Modelos de elementos fntos en la mecánca de los fludos 4 Capítulo II 7 Formulacón del método de los elementos fntos vía el método drecto. Introduccón 7. Sstemas de resortes lneales 7. Elementos smples de la mecánca estructural 9.. Elemento undmensonal sometdo a carga aal 9.. Elemento de armadura plana.. Elemento de vga de ee recto.4 Formulacón general del método drecto 4.4. Elemento undmensonal sometdo a carga aal 4.4. Elemento de vga de ee recto 7.4. Elemento dmensonal.4.4 Estado plano de tensones

8 v.4.5 Estado plano de deformacones 9.5 Transformacón de coordenadas 4.5. Formulacón drecta 4.5. Formulacón vía matrces de rotacón 4.6 Ensamlae de las matrces de rgdez Reglas del ensamlae Procedmento general del ensamlae 5.6. Característcas de la matrz ensamlada 5.7 Introduccón de las condcones de contorno 54.8 Vector de cargas nodales equvalente en el método drecto 56.9 Eemplos de la mecánca estructural Eemplo.. Elemento undmensonal sometdo a carga aal Eemplo. Elemento de armadura plana 6.9. Eemplo.. Elemento de vga de ee recto Eemplo.4. Placa en estado plano de tensones 7. El método drecto en prolemas no estructurales 76.. Fluo de redes en tuerías Eemplo.5. Red de tuerías 78.. Fluo de redes eléctrcas 8... Eemplo.6. Red eléctrca 8.. Conduccón de calor undmensonal Eemplo.7. Fluo de calor undmensonal 86 Capítulo III 9 Elementos funcones de nterpolacón. Introduccón 9. Elementos undmensonales 9.. Elementos de Lagrange 9... Coordenadas naturales 9... Eemplo.. Dstrucón de temperatura en un elemento undmensonal 96.. Elementos de Hermte 97. Elementos dmensonales 99.. Funcones de nterpolacón de elementos dmensonales 99.. Funcones de nterpolacón del elemento trangular lneal... Eemplo.. Dstrucón de presones en un elemento dmensonal.. Coordenadas naturales para elementos trangulares 4..4 Elementos trangulares de orden superor 5..5 Funcones de nterpolacón del elemento rectangular lneal 8..6 Elementos rectangulares de orden superor

9 v..7 Coordenadas naturales de los elementos rectangulares..8 Elementos serendpt 5..9 Elementos soparamétrcos.. Cálculo de las dervadas de las funcones de nterpolacón... Elementos trangulares... Eemplo.. Cálculo de las dervadas de las funcones de nterpolacón de un elemento trangular 4... Elementos rectangulares Eemplo.4. Cálculo de las dervadas de las funcones de nterpolacón de un elemento rectangular 7.. Integracón numérca 9... Cuadratura numérca sore un elemento trangular patrón... Cuadratura numérca sore un elemento rectangular patrón Capítulo IV Formulacón varaconal del método de los elementos fntos 4. Introduccón. 4. El prolema de rachstochrone 4. La prmera varacón de un funconal Funcones con varas varales dependentes Funcones con varas varales ndependentes Funcones con varas varales dependentes varas varales Independentes El método de Ralegh-Rtz Eemplo de aplcacón del método de Rtz Relacón entre el método de Rtz el método de los elementos fntos Deduccón de las ecuacones de los elementos fntos a partr de un prncpo varaconal Solucón de un prolema de valor de contorno medante un enfoque varaconal Formulacón varaconal de prolemas de la mecánca de los sóldos Ecuacones áscas de la mecánca de los sóldos 5 4..a Ecuacones de equlro eterno Ecuacones de equlro nterno 5 4..c Relacones deformacón-desplazamento d Ecuacones de compatldad e Ecuacones consttutvas f Condcones de contorno Prncpo de la mínma energía potencal Elastcdad trdmensonal 6

10 v 4..a Energía de deformacón Traao realzado por las fuerzas eternas Elastcdad asmétrca a Energía de deformacón Traao realzado por las fuerzas eternas Deduccón de las ecuacones de los elementos fntos, asocadas al prncpo de la mínma energía potencal Elastcdad trdmensonal Elastcdad asmétrca 7 4. Evaluacón de los coefcentes de las matrces locales de rgdez de los vectores de cargas nodales equvalente de los elementos Coefcentes de la matrz de rgdez Coefcentes del vector de cargas nodales equvalente Solucón de prolemas de la mecánca de los sóldos vía el prncpo de la mínma energía potencal Eemplo 4.. Barra undmensonal sometda a carga aal Eemplo 4.. Placa delgada sometda a un estado de carga unforme Eemplo 4.. Placa delgada sometda a una compresón unforme Eemplo 4.4. Clndro sometdo a presón nterna: solucón dmensonal Eemplo 4.5. Clndro sometdo a presón nterna: solucón asmétrca 86 Capítulo V 89 Prolemas de campo escalar 5. Introduccón Prolemas trdmensonales 9 5. Dscretzacón en el tempo Prolemas asmétrcos Conduccón de calor Torsón de arras prsmátcas Fluo a través de medos porosos Campos electrostátcos Solucón de algunos prolemas de campo escalar 5.9. Eemplo 5.. Conduccón de calor en una aleta Trapezodal 5.9. Eemplo 5.. Conduccón de calor en una placa rectangular con condcones esencales de contorno: caso permanente Eemplo 5.. Conduccón de calor en una placa dmensonal con condcones naturales de contorno Eemplo 5.4. Conduccón de calor en una pared adaátca:

11 caso no permanente Eemplo 5.5. Torsón de una arra prsmátca de seccón transversal cuadrada Eemplo 5.6. Torsón de una arra prsmátca de seccón transversal crcular Eemplo 5.7. Torsón de una arra prsmátca de seccón transversal elíptca Eemplo 5.8. Torsón de una arra prsmátca de seccón transversal trangular Eemplo 5.9. Fluo suterráneo de agua en un acuífero Homogéneo Eemplo 5.. Zona acuífera delmtada por los ríos Boconó Masparro Eemplo 5.. Cale coaal rectangular Capítulo VI Formulacón del método de los elementos fntos vía resduos pesados 6. Introduccón 6. Formulacón general del método de los resduos pesados 6.. Método de la colocacón Método de los sudomnos Método de los mínmos cuadrados Método de Galerkn 6 6. Aplcacón del método de los resduos pesados a un prolema de valor de contorno Aplcacón del método de los resduos pesados a un prolema de conduccón de calor undmensonal Formulacón Galerkn/(mef) de prolemas de la mecánca de los sóldos: caso trdmensonal 6.6 Formulacón Galerkn/(mef) de prolemas de la mecánca de los sóldos: caso asmétrco El método de Galerkn/(mef) aplcado a la mecánca de los fludos Ecuacones áscas asocadas a la mecánca de los fludos a Ecuacón de contnudad: caso trdmensonal Ecuacón de contnudad: caso asmétrco c Ecuacones de movmento: caso 6.7.d trdmensonal 4 Ecuacones de movmento: caso asmétrco e Ecuacones consttutvas f Condcones de contorno Formulacón Galerkn/(mef) de las ecuacones de conservacón: modelo U-V-P a Caso trdmensonal 4

12 6.7. Caso asmétrco Formulacón Galerkn/(mef) de las ecuacones de conservacón: modelo penalt a Caso trdmensonal Caso asmétrco Solucón de prolemas de la mecánca de los fludos medante el método de Galerkn/(mef) Fludos newtonanos a Eemplo 6. Fludos de Couette Poseulle Eemplo 6. Fluo deslzante entre dos placas paralelas c Eemplo 6. Conete hdrodnámco d Eemplo 6.4 Fluo a través de una contraccón 6.8.e suave (4:) 64 Eemplo 6.5 Fluo a través de una contraccón arupta (:) Fludos no-newtonanos a.- Eemplo Contraccón plana arupta: Relacón : Hnchamento de fludos vscosos a Mecansmo del fenómeno del hnchamento Cálculo de la superfce lre c 6.8.d 6.8.e Eemplo 6.7. Hnchamento de fludos newtonanos a través de oqullas planas 7 Eemplo 6.8. Hnchamento de fludos no-newtonanos a través de oqullas planas 75 Eemplo 6.9. Hnchamento a través de oqullas crculares 75 Blografía 77

13 PREFACIO El método de los elementos fntos (mef), se ha consttudo con el transcurrr de los años, en una herramenta numérca ndspensale, no sólo en el área de la ngenería de dseño, s no tamén en muchas otras áreas de las cencas en general. Los programas de computacón asados en esta técnca numérca, son amplamente usados en la nvestgacón en la solucón de nnumerales prolemas relaconados con la mecánca del medo contnuo. La motvacón fundamental que me conduo a escrr este lro, fue la de presentar a los estudantes de los últmos semestres ngenería de los cursos de maestría, un teto sore el mef en el cual los conceptos áscos del msmo fuesen tratados del modo más smple posle. Así, aun cuando no se omten los aspectos fundamentales, desde el punto de vsta matemátco, asocados al método, se hace énfass tanto en su nterpretacón físca como en su mplementacón computaconal. El teto está dvddo en ses capítulos, en los cuales se presenta el mef tal como éste se desarrolló, hstórcamente, a través de los años. En el capítulo se hace una reve reseña hstórca del método se ntroducen los prncpos áscos del msmo. En el capítulo, se desarrolla la formulacón del mef vía el método drecto. Para aordar este capítulo, al lector le astará tener los conocmentos áscos del álgera matrcal la mecánca de materales. Los eemplos que se resuelven al fnal de este capítulo, están relaconados con el área antes menconada, así como tamén con la mecánca de los fludos transferenca de calor. La resolucón de dchos prolemas se hace en forma detallada paso a paso, sguendo el msmo procedmento sstemátco de un programa computaconal asado en el mef. En el capítulo, se deducen las funcones de nterpolacón de algunos elementos fntos tanto undmensonales como dmensonales, se resumen los aspectos relaconados con la ntegracón numérca. En el capítulo 4, se estuda la formulacón varaconal del mef asocada a la teoría lneal de la elastcdad. Puesto que esta formulacón está íntmamente lgada al cálculo varaconal, al nco de este capítulo se presenta, en forma resumda, las nocones fundamentales de dcho cálculo. Al fnal de este capítulo se resuelven algunos prolemas relaconados con la menconada teoría. En el capítulo 5, se muestra la solucón de algunos prolemas conocdos con el nomre de campo escalar. Las correspondentes ecuacones de los elementos fntos, se deducen a partr del funconal que goerna este tpo de prolemas, se resuelven algunos prolemas que frecuentemente aparecen en la práctca, tales como los asocados a la conduccón de calor, torsón en arras prsmátcas, fluo de fludos a través de medos porosos campos electrostátcos. En el capítulo 6, se presenta la formulacón general del mef vía resduos pesados, se deducen las ecuacones de los elementos fntos correspondentes a la teoría lneal de la elastcdad a la mecánca de los fludos, medante el método de Galerkn. Al fnal de este capítulo se muestra la solucón numérca de algunos prolemas relaconados con esta últma área de la mecánca, específcamente los asocados con la entrada salda de fluos de fludos vscosos a través de oqullas planas crculares, tamén se presenta una solucón al fenómeno del hnchamento. Es mportante destacar que el únco motvo por el cual el capítulo 4 está enfocado en eclusva, a la teoría lneal de la elastcdad, el capítulo 6 fundamentalmente al campo de la mecánca de los fludos, se dee al hecho que se quso mantener la secuenca del teto en el orden cronológco del desarrollo hstórco del mef pero, por supuesto, las formulacones presentadas en amos capítulos se pueden aplcar, en general, ndstntamente a amas ramas de la cenca.

14 Para facltar la mplementacón computaconal de las ecuacones de los elementos fntos, en el teto se ha prvlegado la escrtura por etenso de la sntas matemátca de dchas ecuacones, no se ha hecho uso de la escrtura compacta que usualmente acompaña los lros que aordan este método. Agradezco al Dr Agustín Torres de la empresa Investgacón Desarrollo (INDESCA), del Compleo Petroquímco Ana María Campos del Estado Zula, Venezuela, al Prof. Juan Dama, Ph.D. de la Escuela de Ingenería Mecánca de la Unversdad del Zula, la lectura de algunos capítulos del presente teto sus valosos comentaros sugerencas. Deseo enfatzar, sn emargo, que cualesquera neacttudes o errores que se encuentren en el msmo es de m entera únca responsaldad. Zeferno A. Da Fonseca Lopes

15 I.- CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS..- Introduccón Muchos prolemas de mportanca práctca que frecuentemente aparecen en ngenería, resultan de una compledad matemátca tal que, aunque la deduccón de las ecuacones dferencales que goernan tales prolemas no resulta mu dfícl, su solucón por métodos eactos de análss, aun después de ntroducr algunas hpótess smplfcadoras, no se logra s no para certos prolemas de geometría, condcones de contorno /o sstemas de carga mu partculares. Por esto, aunque este tpo de solucón es la que más nformacón proporcona sore el comportamento de las varales nvolucradas en un prolema dado, se dee recurrr a los métodos numércos, los cuales permten elaorar análss dseños con un alto grado de sofstcacón precsón. Los métodos de los elementos fntos, de dferencas fntas, de volumen de control (en sea asado en dferencas fntas o elementos fntos) de contorno, son apenas algunos, entre una gran gama de métodos numércos que se han vendo desarrollando usando etosamente, en la solucón de muchos prolemas en dstntas áreas de la cenca. Aun cuando todos estos métodos consttuen una mu poderosa herramenta matemátca, no dean de ser métodos apromados, deéndose tener por lo tanto un especal cudado en su utlzacón, a que la caldad de las solucones que se otengan depende de varos factores, entre los cuales se pueden destacar la dstrucón de la dscretzacón espacal de la regón en estudo, el tpo de dscretzacón en el tempo en los prolemas no permanentes, la aplcacón apropada de las condcones de contorno, la correcta nclusón en el modelo de las propedades físcas de los materales que ntervenen en el prolema, etc. El correcto posconamento de estos aspectos requere del sentdo común alguna eperenca del analsta, ndependentemente del método selecconado. La dsponldad, en la actualdad, de numerosos programas computaconales asados en las dferentes técncas numércas menconadas, dan al ngenero la oportundad de otener nformacón mu detallada sore el comportamento de las varales nvolucradas en un determnado prolema. Sn emargo, la estenca de esta posldad, aumenta en vez de reducr, la necesdad de un uco frme de ngenería sore el uso de un programa dado. La nformacón de salda de un computador, aun con las audas gráfcas que esten en el presente, nunca podrá susttur el entendmento el sentdo común del analsta. Vsto gloalmente, la solucón numérca de un prolema dado se puede esquematzar tal como se muestra en la Fg... El sstema real del prolema a resolver, se transforma en un modelo matemátco, medante la nclusón de los prncpos físcos de conservacón que rgen el msmo, la cenca de los materales, hpótess consderadas, etc., asocados al prolema a resolver. Una vez logrado el modelo matemátco antes de otener la solucón apromada deseada, dcho modelo dee ser verfcado, coteando su respuesta en stuacones más restrngdas, de las cuales se puede conocer la solucón eacta, en sea medante métodos eactos de solucón, o vía métodos epermentales. Sólo después de esta etapa de pruea, el modelo matemátco propuesto podrá ser dscretzado, a través de alguna técnca numérca, para fnalmente otener la solucón apromada deseada, medante la solucón numérca del modelo a dscreto. Entre las técncas numércas a menconadas, una de las que más se ha destacado desde hace apromadamente cuarenta años, tanto por su capacdad para modelar domnos rregulares, condcones de contorno, no-lnealdades (geométrcas /o mecáncas), /o sstemas de cargas compleos (característcas éstas que aparecen en la gran maoría de los prolemas de nterés

16 práctco), como por la facldad en la seleccón del mecansmo de apromacón de las varales nvolucradas en un prolema específco, es el Método de los Elementos Fntos (mef). Fg.. Dagrama esquemátco del modelae matemátco de un prolema. proceso deductvo / analítco fuentes de dscrepanca: realdad / modelo matemátco...- Antecedentes Hstórcos La dea de representar un domno medante un conunto de elementos dscretos, no aparece con el mef. En efecto, los antguos matemátcos usaan elementos fntos para predecr el valor de en forma astante apromada. Dcha apromacón la realzaan lmtando un círculo con polígonos (nscrtos o crcunscrtos), de tal modo que los segmentos de rectas (elementos fntos), apromasen la crcunferenca del círculo. De este modo, ellos estaan en capacdad de otener estmacones mu eactas del valor de (cas cuarenta dígtos). Arquímedes (87 a.c.) usó las msmas deas para determnar áreas de fguras planas volúmenes de sóldos aunque, por supuesto, no tenía el conocmento del procedmento de límte. Realmente, fue sólo éste desconocmento lo que mpdó que Arquímedes descurera el cálculo ntegral alrededor de dos ml años antes que lo hceran Newton Lenz. Es mportante entonces destacar que, mentras la maoría de los prolemas de la matemátca aplcada están descrtos en térmnos de ecuacones dferencales, la solucón de éstas medante el mef, utlza deas que son, en mucho, más veas que las usadas para estalecerlas. Muchos han sdo los nvestgadores, tanto en el área de la ngenería, como en el área de la mecánca aplcada que han partcpado en el desarrollo del mef. En 99, Rtz desarrolló un método mu poderoso con el cual se puede otener solucones apromadas, de prolemas

17 asocados al campo de la mecánca del contnuo. En este método, se asume la forma de las ncógntas nvolucradas en el prolema, en térmnos de unas funcones de apromacón conocdas unos parámetros a determnar. La ntroduccón de estas funcones en el funconal que descre el prolema en estudo, su posteror dferencacón con respecto a los referdos parámetros, produce una ecuacón la cual es gualada a cero. S esten n parámetros desconocdos, se formará un sstema de n ecuacones smultáneas. La solucón de dcho sstema permte determnar dchos parámetros, por lo tanto, otener la solucón apromada del prolema. Este método es smlar a la estmacón de los parámetros de auste en los prolemas de mínmos cuadrados. La lmtacón más severa del método de Rtz, está en el hecho que las funcones de apromacón, deen verfcar las condcones de contorno especfcadas en el prolema en estudo, lo cual restrnge la aplcacón del método a aquellos prolemas con domnos de forma geométrca relatvamente smples. En 94, Courant hzo una mu sgnfcatva etensón del método de Rtz ntroducendo funcones secconalmente contnuas, defndas sore áreas trangulares, lo cual, conuntamente con el prncpo de mínma energía potencal, le permtó estudar prolemas de torsón. En estos prolemas, las ncógntas se selecconaron de tal modo que fueran guales a los valores de las funcones, en los puntos de nterconeón de las áreas trangulares. Por otro lado, la lmtacón del método de Rtz fue elmnada a que las condcones de contorno se satsfacen, ahora, en un número fnto de puntos sore el contorno. El método de Rtz, tal como fue usado por Courant, es déntco al mef el cual fue presentado algunos años después por Clough, a partr de deas dferentes. En efecto, en 96, Clough ntroduo, por prmera vez, el térmno elemento fnto, en su traao The Fnte Element Method n Plane Stress Analss. En este traao se presentó el mef como una etensón de las técncas de análss estructural, en la solucón de prolemas de la mecánca del contnuo. La razón por la cual el mef tuvo una acogda, cas nmedata en 96, está asocada al gran desarrollo, cas smultáneo, del computador dgtal, medante el cual se logra efectuar la gran cantdad de operacones que el mef demanda, en forma rápda precsa; en 94 Courant no contaa con esta poderosa herramenta de cálculo. A medados de los años 6 los nvestgadores, tanto del campo de la mecánca del contnuo, como del análss estructural, superon reconocer que la etensón del método de Rtz propuesta por Courant el mef son, en esenca, déntcos. Este hecho trao como consecuenca, en los sguentes años, un progreso mpresonante de este método. Desde entonces el mef se aplca, con éto, en prolemas trdmensonales, en prolemas no lneales (geométrcos /o físcos), en prolemas no permanentes, en prolemas de muchas otras áreas dstntas al análss estructural tales como, fluo de fludos, transferenca de calor, análss de campos eléctrcos magnétcos, roótca, cencas médcas, etc...- Etapas áscas en la utlzacón del método de los elementos fntos. Independentemente de la naturaleza físca del prolema, el análss del msmo medante el mef sgue los sguentes pasos:.- Defncón del prolema su domno..- Dscretzacón del domno..- Identfcacón de la(s) varale(s) de estado. 4.- Formulacón del prolema. 5.- Estalecmento de los sstemas de referenca.

18 6.- Construccón de las funcones de apromacón de los elementos. 7.- Determnacón de las ecuacones a nvel de cada elemento. 8.- Transformacón de coordenadas. 9.- Ensamlae de las ecuacones de los elementos..- Introduccón de las condcones de contorno..- Solucón del conunto de ecuacones smultáneas resultante..- Interpretacón de los resultados....- Defncón del prolema su domno El análss de un prolema dado vía el mef, tene mplícto tres tpos de apromacón. La prmera se relacona con la defncón del domno (físca geométrca) del prolema, las otras dos están asocadas a la dscretzacón de las ecuacones goernantes, a los algortmos empleados en la solucón del sstema de ecuacones algeracas smultáneas resultante. Las apromacones usadas en la defncón de las característcas físcas de las dferentes regones del domno, depende fundamentalmente del tpo de prolema a resolver. Sn emargo, la defncón geométrca del domno, requere el estalecmento de ees coordenados gloales en referenca a los cuales se descren las coordenadas de certos puntos (nodos), los cuales, a su vez, defnen las ecuacones de las líneas, superfces /o volumen de los elementos. Este sstema coordenado no necesta ser rectangular cartesano, para algunos prolemas específcos, resulta más adecuado utlzar algún tpo de sstema coordenado curvlíneo. El domno puede ser lmtado o no (certos domnos se etenden hasta el nfnto). Para regones lmtadas del domno, la dealzacón se realza medante elementos fntos para las partes de la regón lmtadas, se usan elementos nfntos o elementos de contorno. Muchas veces el domno entero está consttudo de sudomnos, como el caso de prolemas de nteraccón. Las condcones de nterfaz entre sudomnos deen ser defndas, tamén, a pror de la dscretzacón....- Dscretzacón del domno Puesto que usualmente el prolema está defndo sore un domno contnuo, las ecuacones goernantes de un prolema, con ecepcón de las condcones de contorno, son váldas tanto en todo el domno como en cualquer parte de él. Esto permte dealzar el domno a través de regones de tamaño fnto (elementos), nterconectados de dferente forma tamaño, tal como se muestra en la Fg... Esta forma de dscretzacón ntroduce certas apromacones (p.e., corte de las esqunas, líneas curvas por rectas, elementos curvos por planos, etc.). Sn emargo, colocando un número sufcente de elementos (o elementos de orden superor), se podrá reproducr el domno tan apromadamente cuanto queramos. Aun cuando es certo que, en general, reducendo el tamaño de los elementos se otenen meores resultados, tamén es certo que un refnamento ecesvo conduce a grandes sstemas de ecuacones, lo cual puede tornarse mpráctco desde el punto de vsta computaconal. De tal modo que, ncalmente, se dee entonces responder la sguente pregunta: cual es el tpo de elemento más efcente cual será el tamaño adecuado?. Una respuesta parcal a esta pregunta vene dada en la lteratura ao la palara clave de modelae. Algunas técncas relevantes en la dscretzacón del domno son los procesos adaptatvos o refnamentos de mallas generacón automátca de mallas. 4

19 Fg.. Dscretzacón del domno con dferentes elementos fntos....- Identfcacón de la(s) varale(s) de estado Hasta el momento no se ha hecho referenca a la naturaleza físca del prolema a que las etapas anterores son comunes a cualquer tpo de prolema, a sea éste de transferenca de calor, de la mecánca de los fludos, de la mecánca de los sóldos, etc. A contnuacón, para cada prolema en partcular, la descrpcón matemátca del fenómeno físco conducrá al correspondente prolema de valor de contorno, el cual contendrá las varales de estado asocadas al msmo. Estas varales se relaconarán entre sí a través de las ecuacones consttutvas, las cuales representan una epresón matemátca de una le físca en partcular. La Tala. muestra varos prolemas con las varales de estado asocadas, las correspondentes ecuacones consttutvas. Muchos prolemas reales nvolucra el análss de dos o más tpos de prolemas mostrados en dcha tala, de modo conunto smultáneo Formulacón del prolema Frecuentemente, un prolema físco está formulado a través de un conunto de ecuacones dferencales con sus correspondentes condcones de contorno, o medante una ecuacón ntegral (un funconal) sueto a un requermento estaconaro (mámo o mínmo). En el prmer caso se dce que el prolema físco está referdo a su forma dferencal en el segundo, a su forma varaconal. En amos casos se llega al msmo resultado. En este teto se presentarán las dos formulacones como forma de estalecer las ecuacones de los elementos Estalecmento de los sstemas de referenca Además de los ees gloales de referenca del sstema completo, esten dos mportantes razones para selecconar, adconalmente, un sstema de referenca local para los elementos: la facldad con la que se construen las llamadas funcones de forma de los elementos la facldad con la que se ntegra en el nteror de los msmos, con respecto al sstema local de cada elemento en partcular. Sn emargo, puesto que los elementos se ensamlan en el sstema gloal de referenca, este paso ntroduce una transformacón de coordenadas. 5

20 Tala. Descrpcón matemátca de varos prolemas de valor de contorno. A pesar que todos los cálculos en el mef se pueden realzar drectamente en el sstema gloal, este procedmento es mu complcado para cualquer prolema de nterés práctco, puesto que la transformacón de coordenadas entre cualesquera dos sstemas coordenados está en defnda es una operacón matemátcamente senclla, se deen deducr las ecuacones de los elementos con relacón a su sstema local de referenca el cual puede ser cartesano o curvlíneo, dependendo de la forma de un elemento dado. En la Fg.. se muestra un elemento dmensonal los sstemas gloal local de referenca. Fg.. Sstemas de referenca usados en el método de los elementos fntos. (a) Sstema local de referenca; () Sstema gloal de referenca Construccón de las funcones de apromacón de los elementos Una vez que se han selecconado el sstema coordenado local la(s) varale(s) de estado, éstas pueden ser apromadas de dferentes formas. En el mef, la apromacón tanto del domno del prolema como de las varales nvolucradas en el msmo, se realza medante funcones algeracas. S el elemento es plano o de lados rectos, las coordenadas de los nodos prmaros (los 6

21 que están localzados en los etremos de los elementos), defnrán la forma eacta del msmo. Dedo a esto, la dscretzacón del domno muchas veces se realza medante elementos de lados rectos. Sn emargo, para algunos prolemas estos elementos (p.e., elementos planos utlzados en la dscretzacón de cáscaras), pueden producr errores naceptales la dscretzacón dee ser realzada con elementos de orden superor, como los que se muestran en la Fg..4. Un argumento smlar es váldo para la apromacón de la(s) varale(s) de estado. Estas pueden apromarse medante una funcón lneal o a través de funcones de orden superor (.e., cuadrátcas, cúcas, etc.). El analsta dee decdr s la apromacón físca (varale(s) de estado) la apromacón geométrca (forma del elemento), tendrán el msmo orden, o s por el contraro dará preferenca a una sore la otra en todo el domno, o en alguna parte del msmo. Esto conduce a tres dferentes categorías de elementos. S m n representan dos grados de apromacón dstntos para la forma de los elementos para la(s) varale(s) de estado, respectvamente, se dce que un elemento es: (a) suparamétrco s m n; () soparamétrco s m = n; (c) superparamétrco s m n. La Fg..4 muestra eemplos de estas tres categorías de elementos. Fg..4 Eemplos de elementos fntos suparamétrcos, soparamétrcos superparamétrcos Determnacón de las ecuacones a nvel de cada elemento A esta altura el modelae del prolema (.e., la formulacón dscretzacón del domno con los elementos de forma funcones deseadas), se ha completado. Usando algún modelo matemátco (método de resduos pesados, traao vrtual, métodos de energía, etc.), se dee estalecer, a contnuacón, sore cada elemento, las ecuacones dscretas del prolema contnuo. Este paso nvolucra la determnacón de la llamada matrz de rgdez de cada elemento con respecto a su sstema local de referenca. Esta matrz relacona, por eemplo, en el caso de un prolema de la mecánca de los sóldos, los desplazamentos nodales con las fuerzas nodales o, en el caso de un prolema de conduccón de calor, la temperatura con el fluo de calor. Este paso nvolucra la consderacón de las ecuacones consttutvas, generalmente, el uso de la ntegracón numérca. 7

22 ..8.- Transformacón de coordenadas Una vez determnadas las matrces de rgdez de todos los elementos que conforman la dscretzacón del domno del prolema, antes de proceder al ensamlae de todas estas matrces, para así otener el comportamento de todo el sstema, es necesaro realzar la transformacón de coordenadas, que permta transformar las matrces de rgdez de los elementos, desde sus respectvos ees coordenados locales, al sstema gloal de referenca Ensamlae de las ecuacones de los elementos El ensamlae de las matrces de las ecuacones de los elementos, se realza de acuerdo con la confguracón topológca de los msmos, después que éstas han sdo transformadas al sstema gloal de referenca. Dcha confguracón se otene a través del estalecmento de una relacón entre la numeracón local de los nodos de los elementos, la numeracón gloal de los msmos. El ensamlae se efectúa consderando úncamente los nodos de las nterfaces, los cuales son comunes a los elementos adacentes. La matrz resultante se denomna matrz gloal del sstema....- Introduccón de las condcones de contorno En este paso se ntroducen las condcones de contorno en la matrz gloal del sstema, con lo cual esta matrz se podrá reducr o condensar a su forma fnal, aun cuando en algunos casos se prefere, para no añadr nuevos algortmos a la solucón del prolema, dear el sstema gloal con su tamaño ncal. Esten algunos algortmos más refnados que permten ntroducr las condcones de contorno en el paso anteror (.e., durante el ensamlae), con lo cual se reduce tanto el tempo de eecucón como la memora requerda, pero dchos algortmos requeren una programacón mu destra. Los valores prescrtos (conocdos) de la funcón (o el de sus dervadas) en los contornos, son las llamadas condcones de contorno esencales. Usualmente, estos valores son cero o constantes (equvalente a especfcar los desplazamentos, las velocdades, la temperatura, etc., en los nodos), o como una funcón de la carga (en el caso de soportes elástcos que aparecen en algunos prolemas de la mecánca de los sóldos)....- Solucón del sstema de ecuacones resultante Independentemente de la naturaleza del prolema, el paso fnal en la solucón de un prolema medante el mef, lo consttue la resolucón del sstema de ecuacones smultáneas resultante. Dedo a la naturaleza determnístca del mef, los procedmentos de solucón de dchos sstemas se pueden clasfcar en dos grupos: (a) los métodos drectos, tales como los métodos de Gauss de factorzacón de Cholesk, los cuales son los más utlzados para sstemas de ecuacones pequeños o moderados () los métodos teratvos, tales como los métodos de Gauss-Sedel el de Jaco, los cuales a su vez, son más apropados para sstemas de grandes órdenes. En estos métodos, el tempo de solucón es consderalemente menor que en los métodos drectos. Sn emargo, no son adecuados en prolemas con múltples sstemas de cargas, como los que frecuentemente se encuentran en la mecánca de los sóldos. Cuando el sstema de ecuacones es no-lneal, los procedmentos de solucón más utlzados son el método de Pcard, 8

23 el método de Newton-Raphson varacones del método de Newton (Broden, quas-newton, etc.)....- Interpretacón de los resultados Con la resolucón del sstema de ecuacones se otenen los valores apromados de la(s) varale(s) en los puntos dscretos (nodos) del domno. Generalmente, estos valores son nterpretados usados en el cálculo de otras cantdades físcas, tales como los esfuerzos, deformacones, el fluo de calor, etc., en todo el domno, o en certas partes del msmo. Estos cálculos posterores se conocen con el nomre de pos-procesamento. La comparacón de los resultados otendos con la evdenca epermental u otros resultados numércos es, tal vez, una de las tareas más mportantes del mef, a que dee darse respuesta a las sguentes preguntas: Cuan uenos son los resultados?. Qué hacer con ellos?. La respuesta a la prmera requere de la estmacón del error la segunda nvolucra la naturaleza físca del prolema. Las respuestas a estas preguntas permtrán decdr s el análss ha llegado a su fn, o s por el contraro, se requere la repetcón de algunos de los pasos descrtos. En algunos casos, el nuevo análss comenza en el msmo paso (.e., redefncón del prolema con nuevos parámetros físcos, nueva dscretzacón con dferentes tpos formas de elementos, etc.). Sn emargo, en la práctca, para la maoría de los prolemas, se otenen resultados confales comparando dferentes análss (asados en dferentes dscretzacones), del msmo prolema. Los procesos adaptatvos la generacón automátca de mallas permten, automátcamente, ncrementar la eacttud de un prolema dado, una vez estmado el error del análss ncal. Estos doce puntos completan los pasos necesaros para el análss de un sstema medante el mef. Estos conceptos áscos serán ahora ntroducdos a través del sguente eemplo..4.-eemplo.. Determnacón del valor de Consdérese el prolema de determnar el valor de. Para tal fn se lmtará un círculo de rado R, medante un polígono nscrto (o crcunscrto), de n lados, de tal modo que los lados del polígono apromen la crcunferenca del círculo, tal como se muestra en la Fg.e.. Fg.e. Dscretzacón del domno. (a) Polígono nscrto. () Polígono crcunscrto. 9

24 Supóngase que se puede determnar la longtud de cada uno de los lados del polígono. El perímetro apromado de la crcunferenca será, entonces, la suma de los lados del polígono usado en su representacón, a partr de lo cual se puede estmar el valor de. A pesar de lo trval del eemplo, su análss permtrá lustrar varas (aunque no todas) deas del mef los pasos en él nvolucrados. a.- Dscretzacón del domno Como a se menconó, en prmer lugar se representa la regón contnua (.e., la crcunferenca), por un conunto fnto de n su-regones (elementos fntos), que en este caso son los segmentos de recta que representan cada lado del polígono. El conunto de elementos se denomna malla de elementos fntos o smplemente malla. En este eemplo se utlzó una malla de ses (n = 6) segmentos de recta se analzaron dos dscretzacones dferentes, tal como se muestra en la Fg.e.. Puesto que todos los elementos tenen el msmo tamaño (no necesaramente sempre es así), la malla se dce unforme..- Ecuacones de los elementos A contnuacón se aísla un elemento típco (p.e., el lado e o e ), se calculan sus propedades (en este caso, su longtud). Es aquí cuando se usa, a nvel de cada elemento genérco e, la ecuacón que goerna el prolema para determnar la propedad requerda (en este caso, la longtud del elemento). Sea, entonces l e la longtud del elemento e en la malla sea l e la longtud del elemento e, en la malla. Luego, se tendrá: l e R sen n l e R tg n c.- Ensamlae de las ecuacones de los elementos fntos del prolema El perímetro apromado P de la crcunferenca, se otene ensamlando, sumando, la contrucón de cada uno de los elementos que componen la malla. En este caso, el ensamlae está asado en que la suma de la longtud de cada elemento, es gual a la longtud total del ensamlae; es decr: n P P l e e n l e e Puesto que en este caso la malla es unforme, l e o l e es gual para cada uno de los elementos de la malla por lo tanto se tene: P n n R sen n P n n R tg n

25 Se dee notar que en un caso general, el ensamlae de los elementos está asado en la dea que la solucón es contnua en los contornos nter-elementos. En el eemplo anteror, las condcones de contnudad no se presentan a que las ecuacones usadas son algeracas. Adconalmente, el ensamlae de los elementos está sueto a condcones de contorno /o ncales. Las ecuacones dscretas asocadas con la malla de elementos fntos, se resuelven sólo después de ntroducr dchas condcones. En este caso, por la msma razón anteror, tampoco se presentan dchas condcones. d.- Convergenca de la solucón La convergenca de la solucón de un prolema vía el mef, depende de la ecuacón dferencal a resolver del elemento usado. La palara convergenca se refere a la eacttud (dferenca entre la solucón eacta la solucón mef), cuando se ncrementa el número de (n) P elementos. En este caso, es fácl mostrar que en el límte, cuando n,, del msmo R modo, P n) (. En efecto, sea n, luego: R n n De gual modo, sea n, luego: P sen lm lm n sen lm R n n n n P lm R tg lm n lm n n que La Fg.e. muestra la convergenca de la solucón de amas dscretzacones a medda n. 4,,9,7,5,,,9,7,5 Malla Malla Sol. Eacta 5 5 Número de lados del polígono. Fg.e. Convergenca de la solucón del valor de.

26 Fnalmente, se dee notar que de las tres posles fuentes de error presentes en la solucón de un prolema medante el mef: () errores dedo a la apromacón del domno; () errores dedo a la apromacón de la solucón; () errores dedo al cálculo numérco (p.e, errores dedo a la ntegracón numérca, redondeo, etc.), en este eemplo, úncamente está presente el prmer tpo de error. La estmacón de estos errores, en general, no es una tarea fácl..5.- Implementacón computaconal del método de los elementos fntos La mplementacón computaconal de los pasos descrtos en la seccón anteror se realza, en forma general, a través de tres undades áscas: el pre-procesador, el procesador, el posprocesador. Las funcones prncpales de estas undades son, respectvamente, () entrada /o generacón de los parámetros del prolema, () ensamlae resolucón del sstema de ecuacones () mpresón grafcacón de la solucón. El éto de cualquer programa computaconal de elementos fntos, depende de la efcenca de cada una de las tres undades menconadas. En la Fg..5 se resume las operacones que se realzan en dchas undades. Fg..5 Esquema general de la mplementacón computaconal del método de los elementos fntos..6.- Métodos formulacones de las ecuacones de los elementos fntos Como a se ha menconado, el mef consste en el reemplazo de un conunto de ecuacones dferencales, por un conunto equvalente, pero apromado, de ecuacones algeracas, donde cada una de las varales es evaluada en los puntos nodales. En la evaluacón de estas ecuacones algeracas pueden usarse dferentes tpos de apromacones, los métodos de elementos fntos se clasfcan, usualmente, de acuerdo al método usado. Desafortunadamente, no este un método en partcular que sea apropado para todos los tpos de prolemas encontrados en la práctca, de tal modo que deen eamnarse dferentes métodos para poder selecconar el más convenente para un prolema dado.

27 En este teto se analzarán tres métodos: el drecto, el varaconal los resduales. Esten otros, menos comunes, pero escapan al oetvo prmaro de dcho teto El método drecto El mef se desarrolló, al nco de la década de los años cncuenta, a partr del llamado método drecto asocado al cálculo estructural, el cual fue amplamente usado en la solucón de dversos prolemas estructurales relaconados con la ndustra aeronáutca. Medante este método se analzaron elementos estructurales retculares. Las relacones entre los desplazamentos las fuerzas que los orgnan, se epresaron medante un conunto de ecuacones, dando orgen a lo que se do en llamar matrz de rgdez de cada elemento estructural, se desarrollaron técncas para realzar el ensamlae de estas matrces en una matrz gloal, que epresara el comportamento de toda la estructura en estudo. Práctcamente, todos los parámetros empleados en esta apromacón pueden nterpretarse medante prncpos físcos. Desafortunadamente, este método es dfícl de aplcar en prolemas dmensonales trdmensonales, los cuales son, precsamente, los casos donde el mef es más útl. Esta lmtacón es por lo tanto mu severa reduce, drástcamente, su rango de aplcacón El método varaconal El método varaconal está relaconado con un ente matemátco llamado funconal. El funconal asocado a un prolema dado, puede otenerse en sea a partr de alguna epresón de energía (usualmente este es el caso en los prolemas de la mecánca de los sóldos), o desde un prolema de valor de contorno. Una vez otendo el funconal asocado a un prolema dado, el método varaconal consste en mnmzar el valor del funconal con respecto a cada uno de los valores nodales de la(s) varale(s) del prolema. Entre las ventaas de este método se nclue la famlardad de las técncas de energía (en prolemas de la mecánca de los sóldos), su fácl etensón a prolemas dmensonales trdmensonales. Entre las desventaas, se nclue la nestenca del funconal para certa clase de prolemas (p.e., los relaconados con el fluo de fludos vscoelástcos), la dfcultad de determnarlo, aun cuando esta, para otros prolemas. La nestenca del funconal para algunos prolemas, olga a que se dea recurrr a otros métodos El método de los resduos pesados El método de los resduos pesados es el más general de las tres técncas. Este método está asocado al prolema de valor de contorno de un prolema dado, consste en re-escrr la ecuacón dferencal que goerna el prolema, de tal modo que el lado derecho del sgno de gualdad sea gual a cero. De este modo, cuando se susttue la solucón eacta en esta ecuacón, el resultado será, lógcamente, gual a cero. Pero dedo a que en general la solucón eacta no se conoce, se dee emplear alguna solucón apromada. La susttucón de esta solucón apromada en la ecuacón dferencal, conduce a un error resdual r, dstnto de cero. Este error r es entonces multplcado por una funcón de peso W el producto es ntegrado sore toda la regón del domno. El resultado es el error resdual R, el cual dee hacerse gual a cero. Luego, para cada valor nodal, este una funcón peso W un resduo R, amos desconocdos, lo cual permte formular un conunto de ecuacones algeracas gloales. La seleccón de las funcones peso W

28 da orgen a dferentes crteros de resduos pesados (Galerkn, mínmos cuadrados, colocacón, sudomno). El más amplamente usado es el método de Galerkn. A pesar que el método de los resduos pesados es una apromacón netamente matemátca, que mu pocas veces se le puede asocar algún sgnfcado físco a los parámetros nvolucrados en la solucón de un prolema dado, presenta la ventaa que puede aplcarse a cualquer prolema del cual se conozca su respectvo prolema de valor de contorno que, una vez que se entende la técnca, los detalles matemátcos son relatvamente fácles de realzar. En partcular, en el área de la mecánca de los fludos, este método es usado en cas la totaldad de los prolemas, a que las ecuacones de Naver-Stokes algunas relacones consttutvas, tales como las asocadas a los fludos vscoelástcos, no admten funconales..7.- Modelos de elementos fntos en la mecánca de los sóldos En la solucón de los prolemas asocados a la mecánca de los sóldos se pueden emplear dferentes modelos de elementos fntos, los cuales dependen del prncpo varaconal utlzado del tpo de comportamento localzado de las varales sore cada elemento. Los tres prncpos varaconales más frecuentemente utlzados son: el prncpo de mínma energía potencal, el prncpo de mínma energía complementara el prncpo de Ressner. La(s) varale(s) nvolucrada(s) en un prolema dado dctamnan el prncpo varaconal a usarse. Cuando se utlza el prncpo de mínma energía potencal, se dee asumr la forma de los desplazamentos en el nteror de cada elemento. Por este motvo, este modelo rece el nomre de modelo de elementos fntos de desplazamentos, o modelo compatle. Cuando se usa el prncpo de mínma energía complementara, se supone la forma del campo de esfuerzos por este motvo a este modelo se le conoce con el nomre de modelo de elementos fntos de las fuerzas, o modelo de equlro. El prncpo de Ressner permte el desarrollo de los llamados modelo de elementos fntos hírdos del modelo mto. En estos modelos se adoptan smultáneamente, los campos de desplazamentos de esfuerzos. Para un prolema en partcular, un prncpo puede ser más apropado que otro pero, dedo a su fácl mplementacón, el modelo compatle es el más amplamente usado, motvo por el cual consttue la ase de la maoría de los programas computaconales comercales en el área de la ngenería. En este teto, úncamente se aordarán los aspectos teórcos computaconales de este modelo. Sn emargo, es mportante resaltar que muchos de los conceptos que serán presentados, en partcular las técncas computaconales utlzadas en la mplementacón del msmo son, en muchos casos, drectamente aplcales a los otros modelos descrtos. En la Tala. se resumen los modelos de elementos fntos descrtos..8.- Modelos de elementos fntos en la mecánca de los fludos En la maoría de los prolemas relaconados con la mecánca de los fludos, es mu dfícl o mposle formular la solucón de los msmos a través de algún prncpo varaconal, a que como se do anterormente, las ecuacones de Naver-Stokes algunas relacones consttutvas, no admten funconales. Así que, en esta área, el método de los resduos pesados es el más amplamente usados. En partcular, en la solucón de los prolemas de fludos vscosos vscoelástcos, los dos modelos de elementos fntos más usados son: el modelo U-V-P el modelo Penalt. 4

29 En el modelo U-V-P, se resuelven smultáneamente, las ecuacones de contnudad de cantdad de movmento. Las ncógntas prmaras presentes son las componentes de la velocdad la presón. La prncpal ventaa de este modelo radca en que la presón, dedo a que es una ncógnta prmara, se otene drectamente de la solucón del sstema de ecuacones algeraco resultante de la dscretzacón. Sn emargo, dedo a que la presón las componentes de la velocdad requeren dferentes grados de apromacón, el algortmo del montae de la matrz gloal del sstema de ecuacones se hace mu complcado. Adconalmente, dedo a la presenca de ceros en la dagonal prncpal de la matrz gloal del sstema, dcho sstema no es postvo defndo, por lo que el método de solucón del sstema de ecuacones algeraco resultante, dee nclur la técnca de pvoteo. Un forma de contornar estas dfcultades es a través del modelo Penalt. Tala. Modelos de elementos fntos usados en la mecánca de los sóldos. 5

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31 II.- FORMULACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS VÍA EL MÉTODO DIRECTO..- Introduccón El método drecto puede verse como una etensón del método de rgdez, amplamente usado en el análss estructural, motvo por el cual es convenente ncar el estudo de los conceptos esencales de esta formulacón, consderando eemplos sencllos de dcho análss. Este enfoque tene la ventaa de poder presentar los aspectos fundamentales del mef sn mucha manpulacón matemátca, con lo cual se puede lograr un sentmento ntutvo de dcho método, antes de aordar tópcos más avanzados del msmo. Así, en la formulacón de estos prmeros eemplos, apenas se hará uso de algunos razonamentos físcos medante los cuales se estalecerán las ecuacones de los elementos (prevamente selecconados), en térmnos de las varales asocadas al prolema. Luego, comnando estas ecuacones, se formarán las ecuacones gloales que harán de epresar el comportamento de todo el sstema. Dedo a esto, este método tamén rece el nomre de apromacón drecta del mef. A pesar que el método drecto permte una nterpretacón clara fácl del mef, su utldad está severamente lmtada a que es dfícl o mposle de aplcar cuando se utlzan elementos compleos /o se analzan prolemas complcados. En estos casos se dee consderar los fundamentos matemátcos del mef...- Resorte elástco-lneal Uno de los elementos más smples que puede eamnarse desde el punto de vsta del mef, es el sstema formado por resortes lneales. En la Fg.. se muestra un resorte elástco-lneal, el cual oedece la le de Hooke; es decr, s una fuerza f está aplcada en el etremo lre del resorte produce un desplazamento, entonces estrá una relacón fuerza-desplazamento, la cual es lneal está dada por: f (.) Fg.. Un resorte lneal con un etremo fo una fuerza aplcada en su etremo lre. En esta ecuacón, es la rgdez del resorte. El resorte de la Fg.. está fo en un etremo sólo puede tener el desplazamento ndcado en dcha fgura. Consdérese ahora un resorte elástco-lneal, de etremos, el cual forma parte de un sstema de resortes (en equlro), tal como se muestra en la Fg... En este caso, dedo a la accón de los resortes adacentes, actuarán las fuerzas f f en los etremos del resorte, sendo los correspondentes desplazamentos. Los etremos del resorte son los nodos del 7