Ingeniería y Universidad ISSN: Pontificia Universidad Javeriana Colombia

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1 Ingeniería y Univeridad ISSN: revitacientificajaveriana@gmail.com Pontificia Univeridad Javeriana Colombia Hay Harb, Abdel Karim; Perilla Galindo, Gabriel; uiz Palacio, Fredy Orlando; Cotrino Badillo, Carlo Eduardo FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO, EN CONFIGUACIÓN DE MEDIO PUENTE, CONTOLADO PO DSP Ingeniería y Univeridad, vol. 9, núm., enerojunio, 2005, pp. 928 Pontificia Univeridad Javeriana Bogotá, Colombia Diponible en: Cómo citar el artículo Número completo Má información del artículo Página de la revita en redalyc.org Sitema de Información Científica ed de evita Científica de América Latina, el Caribe, Epaña y Portugal Proyecto académico in fine de lucro, dearrollado bajo la iniciativa de acceo abierto

2 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO, EN CONFIGUACIÓN DE MEDIO PUENTE, CONTOLADO PO DSP Abdel Karim Hay Harb * Gabriel Perilla Galindo ** Fredy Orlando uiz Palacio *** Carlo Eduardo Cotrino Badillo * *** eumen: Se encuentra un circuito equivalente para eñal pequeña de un rectificador monofáico en configuración de medio puente, con factor de potencia cercano a la unidad. A partir de ea repreentación e obtiene la ecuación para la corriente de entrada en término de la variacione de la tenión de línea y del ciclo de trabajo. Se obtiene la repueta en frecuencia para un controlador proporcional má integral, tanto para el cao continuo como para el dicreto. Lo valore de ditorión armónica total y de factor de potencia obtenido de la imulación del cao dicreto e comparan con lo reultado de u implementación utilizando un DSP. Palabra clave: rectificador, factor de potencia unitario, medio puente, DSP, función de tranferencia, circuito equivalente. Abtract: A mall ignal equivalent circuit for a ingle phae rectifier in half bridge configuration, with power factor cloe to one i developed. From thi repreentation an equation for the input current i preented in term of the line voltage and the duty cycle. The frequency repone i obtained for both a continuou and a dicrete controller of the proportional plu integral type. The value of the total harmonic ditortion and the power factor obtained from the imulation of the dicrete cae are compared with the implementation of a circuit baed on a DSP. Key word: rectifier, power factor, unity power factor, half bridge, DSP, Tranfer function, equivalent circuit. * Ingeniero Electrónico, Pontificia Univeridad Javeriana. Profeor Aociado, Departamento de Electrónica, Pontificia Univeridad Javeriana. Correo electrónico: karim.hay@javeriana.edu.co. ** Ingeniero Electrónico, Pontificia Univeridad Javeriana. Profeor Aitente, Departamento de Electrónica, Pontificia Univeridad Javeriana. Correo electrónico: gabriel.perilla@javeriana.edu.co. *** Ingeniero Electrónico, Pontificia Univeridad Javeriana. Profeor Intructor, Departamento de Electrónica, Pontificia Univeridad Javeriana. Correo electrónico: ruizf@javeriana.edu.co. **** Ingeniero Electrónico, Pontificia Univeridad Javeriana. M.C, EE, State Univerity of New York at Stony Brook. Profeor Aociado, Departamento de Electrónica, Pontificia Univeridad Javeriana. Correo electrónico: ccotrino@javeriana.edu.co. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

3 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO INTODUCCIÓN Lo rectificadore con factor de potencia unitario factor de potencia cercano a la unidad e han convertido en una neceidad, dada la condicione impueta al conumo de energía eléctrica por parte de la compañía uminitradora y lo ente reguladore, para evitar la polución en la rede de ditribución y mejorar u deempeño. El control de eto rectificadore e ha realizado tradicionalmente de forma analógica, por medio de circuito integrado de dedicación excluiva ASIC por u igla en inglé. El dearrollo reciente en el área de lo proceadore digitale de eñale, conocido univeralmente como DSP, por u igla en inglé, con convertidore analógicodigital y manejadore de modulación por ancho de pulo (PWM, por u igla en inglé) y u reducción de coto y aumento de deempeño, inducen a la realización de u control, por medio de DSP. Bhim Singh et al. [2003] preentan un buen compendio de configuracione de rectificadore de ete tipo. Cuando e requiere el manejo de alta potencia a partir de rede monofáica y con la caracterítica de poder regrear energía a la línea, como ocurre en lo ferrocarrile alimentado por CA monofáica [Stihi, Ooi, 988], donde la energía cinética debe er regreada a la catenaria, o cuando la carga que e maneja requiere de conexión al neutro, como en el cao de alguna UPS, la configuración en medio puente preenta ventaja, por er bidireccional, dar continuidad al neutro y colocar un olo elemento activo en erie con la corriente, lo que mejora la eficiencia. En la literatura e dipone de una buena cantidad de análii de divero equema de control en u implementacione analógica [Stihi, Ooi, 988], [Zheren, Smedley, 998], [Eia et al., 996], [Sriram, Sabyaachi, Patra, 2003], [Silva, Borojevic, 995], [Srinivaan, Oruganti, 998]. Se recurre allí a varia técnica para análii de u etabilidad y para la predicción de u comportamiento, entre ella a la de promediación y linealización de la ecuacione y variable de etado [Sriram, Sabyaachi, Patra, 2003], [Silva, Borojevic, 995] haciendo uo del etado cuaietático, [Zheren, Smedley, 998], [Srinivaan, Oruganti, 998]. En el preente artículo, lo efuerzo etán encaminado a obtener la función de tranferencia para la corriente de línea, de un rectificador con factor de potencia unitario, en configuración de medio puente y controlado por un DSP a travé de u unidade de PWM y de converión analógicodigital interna. Con ete fin el preente artículo e ha organizado como e decribe a continuación: en el primer aparte e plantea el circuito objeto del análii y e obtienen la ecuacione de etado para eñal grande, la cuale e linealizan para obtener la correpondiente a eñal pequeña. Se preentan igualmente lo circuito equivalente correpondiente. En el egundo aparte e dearrolla de una forma compacta el circuito equivalente para eñal pequeña, u diagrama de Bode para la malla de corriente y u función de tranferencia. Se propone un compenador proporcionalintegral (PI) y e exponen lo criterio de dieño para ete compenador. Se dearrollan la funcione de tranferencia en malla abierta y cerrada y e obtienen u repueta en frecuencia. 0 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

4 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Adicionalmente e realizan lo análii en tiempo continuo. A partir de lo hallazgo anteriore, en el tercer aparte e efectúa el dearrollo para tiempo dicreto y e comparan lo reultado con lo obtenido para el cao de tiempo continuo. En el cuarto aparte e muetran alguno reultado de la imulación y de la medicione realizada obre una implementación del circuito. Finalmente, en el quinto aparte e exponen brevemente la concluione y poible trabajo futuro.. ECUACIONES DE LAS VAIABLES DE ESTADO Y CICUITO EQUIVALENTE El circuito objeto del análii e puede obervar en la Figura. Para obtener un modelo dinámico del circuito e utiliza la promediación de la eñale durante un periodo de conmutación [Erickon, Makimovic, 2000], [Krein, 998], [Krein et al., 990], [Snader et al., 99]. En el circuito motrado en la Figura, lo interruptore S y S2 no pueden etar cerrado imultáneamente, a fin de evitar un corto circuito entre lo condenadore C y C2 y tampoco pueden etar abierto imultáneamente, para no interrumpir el flujo de corriente de la inductancia L. Por tanto, i e denomina h a la función de conmutación de S y h 2 a la función de conmutación de S2 (la función de conmutación tiene un valor de uno para el interruptor cerrado, y un valor de cero para el interruptor abierto) e tiene que: h h2 () dede el punto de vita de lo condenadore, y h h2 (2) dede el punto de vita de la inductancia. De () y (2) e concluye: h h2 = (3) De manera que i el ciclo de trabajo de S e h, el de S2 e (h). Figura. Circuito objeto de análii. L h Vg S i p C V ~ V i (h) S2 i n C2 2 V2 Fuente: lo autore. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de 2005

5 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Si e denomina x al promedio móvil de x durante un periodo de conmutación, e pueden plantear la iguiente relacione fundamentale [Erickon, Makimovic, 2000], [Krein, 998]: ip = h i (4) i = ( h) i (5) n v = h v ( h) v (6) g 2 d i L = v h v ( h) v dt d v C h i v dt 2 (7) = (8) d v2 C = ( h) i v2 (9) dt Donde e ha coniderado que C = C2 = C y que = 2 =. La relacione (7), (8) y (9) decriben al circuito de la Figura 2. Allí lo tranformadore ideale on capace de tranformar tanto corriente directa como corriente alterna. Figura 2. Circuito tranformado. L i Vg o h : o C V ~ V o (h) : o C V2 En ete circuito ha deaparecido la dicontinuidad impueta por lo interruptore, y i la frecuencia de conmutación e lo uficientemente alta para que la variable de etado i, v y v 2 no tengan variacione apreciable durante un periodo de conmutación, entonce etarán adecuadamente decrita por u promedio i, v y v 2. La variación continua de h en el tiempo e hace evidente i e conidera en el circuito de la Figura 2 que la tenión obre lo condenadore e contante e igual a V: v = v 2 = V (0) t x = xdτ, T T = Periodo de conmutación. t T 2 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

6 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Entonce: ( ) ( ) v = V h V h = V 2h () g Y para que i tenga la mima forma de onda y la mima fae que v, iendo éta una eñal inuoidal, e tiene que: ( ω ) i = IM Seno t (2) Y por tanto: d i L = v vg = v V2 ( h ) (3) dt Eto quiere decir que aunque en el circuito de la Figura 2 y en la ecuacione (7) a (9) e ha eliminado la dicontinuidad, el circuito igue iendo no lineal. Se requiere, por tanto, linealizarlo, para lo cual e recurrirá al método de excitar la variable (eñale) y obtener la ecuacione y el correpondiente circuito equivalente para eñal pequeña. Al reemplazar la expreión v ˆ = V v, i = I iˆ, v = V vˆ, v2 = V ˆ 2 v2, h= H hˆ (4) en la ecuacione (7) a (9), donde la variable en mayúcula repreentan el punto de operación en un intante dado y la variable con careta ( x ˆ) repreentan una pequeña variación alrededor de él, i e conidera que el producto de do de eta pequeña variacione e puede depreciar, in alterar apreciablemente el reultado, e obtiene el conjunto de ecuacione (5): di ( iˆ ) L = ( V ˆ ) [( ˆ)( ˆ ˆ ˆ v H h V v) ( H h)( V2 v2)] dt dv ( vˆ ) ˆ ˆ = ( )( ) ( ˆ ) dt dv ( vˆ ) ˆ ˆ = ( )( ) ( ˆ ) dt C H h I i V v 2 2 C H h I i V2 v2 (5) En el punto de operación e cumple el conjunto de ecuacione (6): di L = V HV ( H) V dt dv = dt dv dt C HI V 2 2 C = ( H) I V2 (6) Y por lo ya expueto, el conjunto de ecuacione (7) e conidera como cierto: Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

7 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO hi ˆˆ = 0, hv ˆˆ = 0, hv ˆˆ 2 = 0 (7) Al combinar (5), (6) y (7) e obtienen la ecuacione (8), (9) y (20): diˆ L vˆ [ Hvˆ ( H) vˆ ] ( V V ) hˆ 2 2 dt = (8) ˆ ˆ ˆ ˆ dv C = Hi v Ih (9) dt ˆ2 ( )ˆ ˆ ˆ 2 dv C = H i v Ih (20) dt Ete último conjunto de ecuacione e lineal e invariante en el tiempo, i e conidera que I, V, V 2 y H on contante. Eta conideración exige que el circuito ea uficientemente rápido como para que alcance u etado final, in que eta variable e hayan modificado apreciablemente; dicho de otra forma, análii en etado cuaietático. La ecuacione (8) a (20) decriben un circuito como el de la Figura 3 a continuación. Figura 3. Circuito en etado cuaietático. L (VV2) h i o H : o I h C V ~ V o (H) : o I h C V2 Fuente: lo autore. E de anotar que aquí la variable v ˆ, î, ˆv y ˆv 2 on la pequeña variacione alrededor del punto V, I, V y V SIMPLIFICACIÓN DEL CICUITO, FUNCIÓN DE TANSFEENCIA Y DIAGAMA DE BODE Para obtener la función de tranferencia del rectificador, e implificará el circuito de la Figura 3. Para tal fin e reflejarán la fuente de corriente y la impedancia formada por lo condenadore y la reitencia al primario de lo tranformadore. El reultado e muetra en la Figura 4. 4 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

8 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Figura 4. Circuito en etado cuaietático implificado. LS i Z = (2H 2 2H )Z 0 ~ V [ (VV2) (2H)IZ 0] h Donde: Z0 = = // (/CS) (2) CS Del circuito de la Figura 4 e obtiene: ( ) ( ) vˆ ˆ V V2 2H IZ0 h iˆ = LS Z (22) E conveniente cancelar la influencia de v ˆ en î, debido a que u variacione úbita producen variacione igualmente úbita en î. Para lograrlo, ĥ incluirá do componente: una, h, que cancele a v ˆ ˆ en (22) y la otra, h, que produzca la acción de control obre ˆr î. En tale condicione: vˆ ( ) ( ) ˆ V V2 2H IZ0 h ( V V2) ( 2H ) IZ0 iˆ = hˆ r (23) LS Z LS Z Con el fin de cancelar la influencia de v ˆ e debe cumplir: ( ) ( ) vˆ ˆ V V2 2H IZ0 h = 0 LS Z Y por tanto: ( ) ( 2 ) (24) V V2 H IZ0 iˆ = hˆ r (25) LS Z El diagrama en bloque del circuito completo, incluyendo el controlador y la eñal de referencia v ˆr e puede ver en la Figura 5. Como ete circuito e lineal, e poible analizar independientemente lo controladore A y F, decomponiendo la eñal de control h aí: hˆ= hˆ hˆ (26) r Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

9 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Figura 5. Diagrama de bloque del circuito completo. LS Z = (2H2 2H )Z0 ~ V i [(VV2) (2H)IZ0] h h Vr ~ A F PWM /Vt Lo controladore A y F, al igual que el Modulador de Ancho de Pulo (PWM, por u iniciale en inglé) e implementan por completo en el DSP. Se puede obervar que el PWM e ha reemplazado por u ganancia equivalente /Vt, donde Vt e la amplitud pico a pico de la onda triangulo portadora [Erickon, Makimovic, 2000], [Krein, 998]. De (24) e obtiene: ( ) ( ) vˆ = V V 2H IZ hˆ 2 0 (27) Y de la Figura 5: hˆ F = vˆ V (28) t Al combinar (2), (27) y (28) e obtiene: I F ( V V2) (2H ) = CS V (29) t Pueto que, la carga, en general e variable, e hace neceario eliminar (o al meno minimizar) u influencia. Eto e logra i: CS >> (30) La relación (30) debe cumplire para el valor mínimo de (carga máxima) y para el mínimo valor de interé de la frecuencia (normalmente la fundamental de la tenión de alimentación CA) y (29) e convierte en: I F ( V V2) (2H ) CS V (3) t Teniendo en cuenta que I normalmente etá limitada por algún medio, y que (2H ), para la frecuencia de interé ( f 60Hz) no e difícil deducir que e cumple: 6 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

10 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... (2H ) I ( V V2) >> (32) CS Con lo cual: V F t ( V V2) Si e cumple (33), entonce: ( ) ( 2 ) V V H IZ iˆ vˆ hˆ 2 0 0* r LS Z (33) (34) Al definir X = (2H 2 2H ) (35) Y depreciando de aquí en adelante la influencia de v ˆ en (34) e tiene: i ˆ = [( V V2) (2H ) IZ0] h ˆ r LS XZ0 (36) ˆ ˆ A h ( ˆ r = i vr) V (37) Y i combinan (36) y (37): t ˆ vˆ r i = [( V V2) (2H ) IZ0] LS XZ [( V V2) (2H ) IZ0] 0 LS XZ 0 A V t A V t (38) Eta e la función de tranferencia para malla cerrada, y por tanto la función de tranferencia en malla abierta erá: G iv ˆ, ˆ r ( S) = [ V V2 H IZ0] ( ) (2 ) LS XZ V 0 t (39) En (39) varían H, X, I y Z 0. Mientra que V y V 2 e pueden coniderar contante por er la tenión regulada de alida CD. Pueto que: 0 H (40) 0.5 X (4) Depué de reemplazar Z 0 por u equivalente dado por (2), (39) e puede reecribir como en (42), con el fin de comparar u denominador con la forma etándar decrita en (43): Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

11 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO G iv ˆ, ˆ r ( V ) ( S) = VX I S (2 H )( C V V ) LC 2 L S S X X V2 C 2 t (42) fd ( S) = 2 S S (43) 2 ω n Qωn De (42) y (43) e concluye: X ω n = (44) LC XC Q= (45) L En la Figura 6 e puede obervar el diagrama de Bode de Gˆ ( ) iv, ˆ r S. En eta repueta en frecuencia, como en la otra de ete artículo, e han deplegado gráfica para: H [0,5.5,], = [52.5,25,250,2500], I = [2], V = V 2 = [23], L =[0.0], V t = [3.3], C = [0.0047] y = [0.8]. Como el cero de eta función puede etar en el emiplano derecho del plano complejo, lo que puede inetabilizar el itema, y debido al alto Q, la fae cae abruptamente en lo alrededore de w n. Eto e decribe en la ecuación ( ) (2 ) I fn S = S H C ( V V2 ) (46) Figura 6. Diagrama de Bode de la función de tranferencia de malla abierta. 8 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

12 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... E apreciable en la repueta en frecuencia de Gˆ ( ) iv, ˆ r S que e cuenta con poca ganancia y con una fae que etá acotada entre 80 o (condición inetable) y 0 o para la frecuencia baja. Se hace neceario adicionar un integrador en el compenador que aporte ganancia para la frecuencia baja y acote la fae entre 90 o y 90 o. Con el fin de no alterar el margen de fae en ω n e neceario incluir ademá un cero ante de ea frecuencia, por tanto e implementa un compenador ProporcionalIntegral (PI). En la Figura 7 e puede obervar el efecto que tiene ete tipo de compenador en la ganancia de malla abierta G 0a. La frecuencia del cero e ha ecogido como ω 0 = (0 LC ), con el fin de no afectar apreciablemente la fae en la frecuencia alta y K i = 5ω 0. El compenador PI etá decrito por: K A S Donde, i e define: i a = Kp (47) K p ω 0 = (48) Ki Puede er expreada como en (49): S ω0 Aa = Kp (49) S Y, entonce, la ganancia para malla abierta etará definida por (50): G = A Gˆ( S) (50) oa a i Figura 7. Diagrama de Bode de función de tranferencia de malla abierta con compenador. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

13 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Figura 8. Diagrama de Bode de función de tranferencia de malla cerrada. En la Figura 7 e hace evidente que para la implementación analógica, el margen de fae de que e dipone e de 90 0, o muy cercano a él, y por tanto la ganancia podrá er incrementada para aumentar el ancho de banda, hata donde lo permitan lo efecto paráito (por ejemplo, ruido de conmutación). La Figura 8 muetra la repueta para malla cerrada decrita por (38). Para eta repueta de frecuencia, y la ubiguiente, e ha tomado como variable de entrada vˆ r / (valor deeado de corriente de línea). Si la ganancia de malla G 0a e uficientemente grande, entonce la ganancia en malla cerrada erá aproximadamente igual a uno y de (38) e tiene que iˆ vˆr, por tanto i v ˆr e una muetra de la tenión de línea, î erá proporcional a ella y coincidirán en fae y en forma de onda y el factor de potencia e aproximará a la unidad. La Figura 8 muetra una ganancia en malla cerrada próxima a uno (0 db) en un rango amplio de frecuencia. 3. ANÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN EN TIEMPO DISCETO Cuando la implementación e realiza en tiempo dicreto, como en un DSP, urgen do diferencia importante con repecto al cao analógico, como e puede ver en la Figura 9. La primera tiene que ver con el PWM: una vez cargado el regitro de comparación, u valor e mantiene hata el próximo ciclo, eto involucra un retenedor de orden cero (ZOH, por u igla en inglé). La egunda, con el tiempo de cálculo del compenador y que conlleva el retardo de un periodo de muetreo (z para er tranformada z). 20 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

14 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Figura 9. Diagrama de bloque de implementación en tiempo dicreto. i r Compenador PWM PI /z ZOH /Vt ectificador Vr El bloque proporcionalintegral, PI, de la Figura 9 puede er expreado como: Tz PI = K p Ki (5) z Donde T (50µ ) e el periodo de muetreo. Si e hace uo de (48) eta expreión puede ecribire como: z ω0t PI = K p ( ω0t ) (52) z Que junto con el retardo, /z, de la mima Figura 9, componen el compenador A d : z ω0t Ad = Kp( ω0t) zz ( ) (53) Por otra parte, el retenedor de orden cero, ZOH, junto con /V t deben er incluido en la tranformación de la función Gv ( ˆr ) (ver ecuación (42)), del entorno continuo, S, al entorno dicreto, z. Por la exitencia allí de ZOH, la tranformación e realiza por el método del retenedor de orden cero. Si e define K ( V V ) C 2 = VX, t I ωc = (2 H ) C V V 2, ωn a = 2, 2Q b= ωn (2 Q), (54) at p= e co( bt), 2 at ω n en( bt ) y = e a ω b c Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

15 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Se obtiene la función de tranferencia p y e z y p G ( z) = Kω ( y p) z 2 pz e 2aT iv ˆ, ˆ c r 2 2aT G ( z ), para tiempo dicreto:, iv ˆ ˆ r (55) El diagrama de Bode correpondiente a (55), e puede ver en la figura 0. Figura 0. Diagrama de Bode de implementación en tiempo dicreto. Allí e puede obervar el fuerte retardo de fae que introduce el retenedor de orden cero (ZOH) en el rango alto de frecuencia (hata 80 o en la mitad de la frecuencia de muetreo: /(2T) = 0kHz). La ganancia en malla abierta erá: G = A G () z, (56) od d iv ˆ ˆ r Si e adiciona el compenador (53), el diagrama de Bode de la función de malla abierta (56) e puede apreciar en la Figura. 22 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

16 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Figura. Diagrama de Bode de la función de malla abierta en tiempo dicreto. Se puede obervar ahora en la Figura que el retardo de fae e ha incrementado hata 360 o, debido al retardo adicional de un ciclo de muetreo para el cálculo de A d. El efecto de ete fuerte retardo de fae erá limitar la ganancia que puede aceptar el circuito, ante de volvere inetable, lo que puede imponer una eria limitante a u deempeño en alguno cao. La ganancia en malla cerrada etá dada por (57) y u repueta de frecuencia e puede obervar en la Figura 2. ˆ vˆ r God i = G od (57) Figura 2. Diagrama de Bode de función de tranferencia de circuito de malla cerrada. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

17 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Al comparar la Figura 8 y 2 e puede obervar que la magnitud no e afecta tanto como la fae, debido a lo retardo inherente al proceo digital. La repueta de frecuencia de la Figura 2 induce a penar que e puede lograr un circuito etable para cualquier combinación de la variable, i e utiliza un compenador Proporcional Integral, tanto en u implementación analógica, como en la digital. 4. SIMULACIÓN Y MEDICIONES Como parte de ete análii e imuló el circuito de la Figura y e obtuvieron reultado que concuerdan con lo etablecido anteriormente. Al incrementar la ganancia e obtuvo una ocilación de alta frecuencia que e uperponía a la corriente de 60 Hz. Sin embargo, la ganancia, K p, (52), (53), en la imulacione pudo aumentare hata 0, ante de que aparecieran la ocilacione de alta frecuencia. En la medicione obre el circuito contruido, el límite de ganancia etuvo 3 db por debajo de ee nivel. Una poible caua para eto e la autoinducción de ruido producida por la conmutación, que podría excitar la ocilacione, cuando e dipone de poco margen de etabilidad. Lo reultado de la imulación e pueden ver en la Figura 3 a 7. En la Figura 3 e aprecia la comparación de la corriente de línea con la tenión de referencia, con la que cai coincide y con una muetra de la tenión de línea, intencionalmente un poco má grande para mejor comparación. La coincidencia en fae de la eñale (coincidencia en el cruce por cero) que e puede ver en la Figura 3 e la caracterítica que tiene má peo en el factor de potencia. Figura 3. eultado de la imulación. Comparación de la corriente de linea con la tenión de referencia. 24 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

18 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... Lo reultado arrojado por la imulación, repecto a ditorión armónica y al factor de potencia, e pueden ver en la figura 4 (potencia) y 5 (ditorión armónica). La ditorión armónica total menor que el 3% y el valor porcentual pequeño de la potencia reactiva permiten predecir el cumplimiento, con márgene amplio, de la norma actualmente vigente [IEEE59, 992]. Figura 4. eultado de la imulación. Comportamiento de la potencia. Figura 5. eultado de la imulación. Comportamiento de la ditorión armónica. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

19 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Lo etado tranitorio iniciale de la Figura 4 y 5, incluyen el de la eñale y el de lo medidore incluido en la imulación, que requieren de algún tiempo para producir una información creíble. En la Figura 6 y 7 e pueden ver la medicione efectuada obre el circuito implementado con DSP. Eta medicione confirman lo dicho por el análii y por la imulación: forma de onda de la corriente imilar a la de la tenión y factor de potencia muy cercano a la unidad (Figura 6) y baja ditorión introducida por el rectificador (ditorión total de la corriente cai igual a la de la tenión, Figura 7). Figura 6. eultado de potencia en el circuito implementado con DSP. Figura 7. eultado de medición de corriente en el circuito implementado con DSP. Fuente: lo autore. En la implementación del compenador controlador del circuito e utilizó la tarjeta de dearrollo EZDSP TMS320F2407A de Texa Intrument y fue codificado en lenguaje ANSI C. Para la adaptación de la tenione del rectificador a lo nivele requerido por la unidad de converión analógicodigital del DSP e utilizaron amplificadore diferenciale implementado por medio de amplificadore operacionale OPA2350 PA, que permiten excurión de la eñale, tanto de entrada como de alida, prácticamente hata lo nivele de u fuente de ali 26 Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

20 FUNCIÓN DE TANSFEENCIA PAA UN ECTIFICADO CON FACTO DE POTENCIA UNITAIO... mentación; aí, e puede utilizar para ello únicamente la fuente de alimentación del DSP (3,3 V) y no e requieren proteccione para la entrada del DSP. Para la medición de la corriente de línea e empleó el circuito integrado AHP7800, baado en tecnología SigmaDelta, el cual dipone de acoplamiento óptico entre u entrada y u alida. La eñale de control e acoplan a lo MOSFETS IF2807 por medio de lo manejadore de compuerta A CONCLUSIONES Y POSIBLES TABAJOS FUTUOS E poible realizar un rectificador con factor de potencia cercano a la unidad y con bajo contenido armónico, en configuración de medio puente, controlado por un DSP, que poea caracterítica acorde con la norma vigente al repecto. Sin embargo, la aparición de retardo de fae adicionale con repecto a u implementación análoga, limita la ganancia de malla que e puede uar y produce defae en el intervalo alto de frecuencia. Para la implementación de baja potencia que e realizó en ete trabajo, lo inconveniente que e derivan de ea limitacione no on grande, debido a que e pueden uar frecuencia de conmutación relativamente alta (20 khz para ete cao), pero en implementacione de alta potencia, donde e haga neceario reducir la frecuencia de conmutación, con el fin de diminuir la pérdida que ella produce, podría limitare everamente la ganancia máxima diponible, con lo cual e demejorarían u caracterítica tanto de contenido armónico como de factor de potencia. Como alternativa de implementación e podría realizar la converión analógica a digital en un punto en el tiempo, má cercano a la carga de lo regitro de comparación de lo PWM. Eta técnica reduciría el retardo de cálculo y podría diminuir notoriamente el retardo de fae introducido, permitiendo mayor ganancia en el circuito. Para ello e requiere mayor velocidad de cómputo en el DSP, pero ella aumenta cada día, haciendo má viable la alternativa digital. AGADECIMIENTOS Lo autore agradecen a la Vicerrectoría Académica de la Pontificia Univeridad Javeriana la financiación del proyecto de invetigación del cual e deriva el preente artículo. EFEENCIAS Eia, M. O. et al. Fat Controller for a UnityPowerFactor PWM ectifier. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 996, 6. Erickon,.W., Makimovic, D. Fundamental of Power Electronic. Second Edition, Norwell: Kluwer Academic, Hiti, S. Modeling and Control of ThreePhae PWM Converter. Tei de Doctorado. VPEC Virginia Power Electronic Center, Virginia Polytechnic Intitute and State Univerity, 995. Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de

21 ABDEL KAIM HAY HAB, GABIEL PEILLA GALINDO, FEDY OLANDO UIZ PALACIO, CALOS EDUADO COTINO BADILLO Hiti, S., Borojevic, D. obut Nonlinear Control for Boot Converter. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 995, IEEE. IEEE59. Guide for Harmonic Control and eactive Compenation of Static Power Converter. IEEE, 992. Krein, P.T. Element of Power Electronic. New York: Oxford Univerity Pre, 998. Krein, P.T. et al. On the Ue of Averaging for the Analyi of Power Electronic Sytem. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 990, Sander, S.. et al. Generalized Averaging Method for Power Converion Circuit. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 99, Singh, B. et al., A eview of SinglePhae Improved Power Quality AC DC Converter. En: IEEE Tranaction on Indutrial Electronic, 2003, Srinivaan,., Oruganti,. A Unity Power Factor Converter Uing Half Bridge Boot Topology. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 998, Sriram, V. B., Sabyaachi, S., Patra, A. Indirect Current Control of a SinglePhae VoltageSourced BootType Bridge Converter Operated in the ectifier Mode. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 2003, Stihi, O., Ooi, B.T. A SinglePhae ControlledCurrent PWM ectifier. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 988, Zheren, L., Smedley, K. M. A Family of ContinuouConductionMode PowerFactorCorrection Controller Baed on the General PuleWidth Modulator. En: IEEE Tranaction on Power Electronic, 998, Ing. Univ. Bogotá (Colombia), 9 (): 928, enerojunio de