Detección de fallas mediante el espacio de paridad continuo en un sistema de tres tanques

Transcripción

1 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema de tre tanque Jeú Víctor Manuel Cid Medina, Eraín Alcorta García, Céar Elizondo González FIME-UANL RESUMEN En ete trabajo e propone una metodología para el dieño de un epacio de paridad para itema continuo. Una diicultad al utilizar procedimiento baado en muetra de la eñale entrada-alida e que e reduce la cantidad de alla que pueden er localizada con repecto al procedimiento equivalente en tiempo continuo. Un primer enoque coniderado en ete trabajo para evitar eta deventaja conite en utilizar un derivador de eñale. Mediante un etimador de la derivada de la entrada y la alida hata de orden n, el equema propueto permite la detección y localización de alla con al meno la mima poibilidade que cuando e utiliza el método baado en obervadore en tiempo continuo. PALABRAS CLAVES Detección de alla, epacio de paridad, itema continuo, tanque. ABSTRACT In thi work, a methodology or the deign o a pace o parity or continuou ytem i propoed. A diiculty when uing procedure baed on ample o the in-out ignal i that i reduced the amount o ault that can be located with repect to the equivalent procedure in continuou time. A irt approach conidered in thi work to avoid thi diadvantage conit o uing a derivator o the ignal. By mean o an etimator o derivate rom the entrance and the exit until o order n, the propoed cheme allow the detection and location o ault with at leat the ame poibilitie that when i ued the method baed on oberver in continuou time. KEYWORDS Detection o ault, pace o parity, continuou ytem, tank. INTRODUCCIÓN En el marco del diagnótico baado en modelo, debido a lo avance de la tecnología, la eñale útile para diagnótico e encuentran recuentemente diponible en orma digital, e decir, la adquiición de dato incluye un proceo de muetreo. Por eto e requiere de método de diagnótico que tomen en cuenta el proceo de muetreo. Uno de lo primero trabajo dicutiendo el diagnótico de itema muetreado ue introducido por (Viwanadham y Minto 1990.), en donde e proponen tre equema que etán orientado principalmente para la Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No

2 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. detección de alla. Recientemente, en (Rank 1998) un equema óptimo (en un entido deinido en ee mimo trabajo) para el diagnótico de itema muetreado ue propueto. La conideración de incertidumbre en el diagnótico de itema muetreado ue analizado en (Zhang et al., 2002). En (Fadali, 2003) e propone un equema baado en obervadore para el diagnótico de alla utilizando la técnica de liting y combinando multi-muetreo. Como reultado e preenta un equema que e robuto a entrada deconocida. En (Izadi et al., 2005a), un equema multi-muetreo con la caracterítica de muetreo rápido para diagnótico e propueto. Lo anterior permite obtener la detección y ailamiento de alla en periodo corto de tiempo, de hecho, má corto que lo propueto hata la echa. Una dicretización de itema que e invariante a la norma para diagnótico de alla ue introducida en (Izadi et al., 2005b) y ue utilizada ademá para analizar el deempeño de dierente método de detección de alla en (Izadi et al., 2007). La conideración de muetreo rápido e utilizó también en el contexto de diagnótico en (Zhong et al., 2006). Una olución baada en obervadore con dieño óptimo y uo de la técnica de lit ue propueta en (Zhong et al., 2007) y otra baada en iltro de Kalman con muetreo no uniorme ue propueto por (Li et al., 2008). En ete cao el iltro e obtenido a partir de medicione. Un repao de lo principale reultado relacionado con el diagnótico de alla de itema muetreado puede er reviado en el trabajo (Zhang y Ding, 2008). Como e reconocido en (Izadi et al., 2007) y en (Zhang y Ding, 2008), lo mejore reultado obtenido hata el momento cuentan con la limitación en el número de alla que puede er ailada (que reulta er menor) con repecto a la contraparte continua. Lo anterior motiva la búqueda de un método de diagnótico baado en modelo que no cuente con la reducción del número de alla que pueden er localizada, e decir, que pueda localizar al meno la mima cantidad de alla que el que ería poible utilizando un procedimiento en tiempo continuo. En ete trabajo e propone el uo de un etimador de la derivada de la entrada y la alida y con eto la contrucción de un epacio de paridad de tiempo continuo. Como valor agregado e tiene que la limitación del número de alla que puede er localizado mediante la utilización de la muetra en el algoritmo de diagnótico e relaja. E decir, con el método propueto e poible localizar al meno el mimo número de alla que cuando e utiliza un equema en tiempo continuo. PRELIMINARES El diagnótico baado en modelo e realiza generalmente en do etapa (Frank, 1990): primero e obtienen eñale que dependen ólo de la alla. Eta eñale on idealmente cero en auencia de alla y dierente de cero en otro cao. El egundo pao conite en una evaluación de lo reiduo para poder extraer la inormación obre la alla. Para realizar eta tarea e utiliza una unción de evaluación, aí como un valor de umbral. El umbral e utilizado para evitar alarma ala cuando el reiduo no e cero y hay auencia de alla. Eta ituación puede ocurrir cuando dinámica no modelada o perturbacione aectan al itema bajo etudio. ESPACIO DE PARIDAD Una de la primera reerencia con un análii en el epacio de etado para epacio de paridad ue coniderado en (Chow y Willky, 1984). Dede el punto de vita entrada-alida e puede reviar en (Gertler, 1998). En ete trabajo utilizaremo una decripción convencional, la cual puede er encontrada en (Frank, 1990), ver también (Ding, 2008). Conidere un itema lineal, invariante en el tiempo y dicreto dado por: x k+ 1 = Ax k + Bu k + E d k + E k (1) ( ) () () () () () = () + () + () + ( ) y k Cx k Du k F d k F k (2) Donde x(k) e el etado de dimenión n, u(k) e el vector de entrada de dimenión p. La matrice A,B,C,D,E d, E,F d y F on contante, conocida y de dimenione apropiada. Suponer que el par (A,C) e obervable y que rango (C)=m. Con la inalidad de obtener un generador de reiduo uponemo primero que (k)=0 y d(k)=0. Expreando y(k-), con n, en término de x(k-),u(k-) y de igual orma y(k-+1) en término de x(k-), u(k-) y u(k-+1), d d 18 Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No. 50

3 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. e orma una ventana de tiempo con lo valore paado de la entrada y la alida cuyo tamaño etá en unción del valor de. El procedimiento e igue uceivamente hata llegar a y(k) dando lugar a la iguiente matrice: yk ( ) uk ( ) ( 1) ( 1) () yk + + = ; () = uk y k u k yk ( ) uk ( ) C D 0 0 CA, ; CB D H = O Hu, = ; 0 S 1 CA CA B CB D con la cuale e obtiene la iguiente ecuación, que e conoce como relación de paridad: y() k = HO, x( k ) Hu, u( k ) (3) Note que lo vectore de entrada u (k) y de alida y (k) e orman con la medicione y e uponen conocida. La matrice H O, y H u, on contante y ormada con la matrice del itema, la cuale e uponen conocida. La única variable deconocida e x(k-). La idea báica de la relación de paridad e utilizar el hecho de que i n entonce rango (H O, )=n < # de renglone de H O,, con lo cual exite al meno un vector renglón v 0 de dimenión(+1)m tal que vh (4) O, = 0 Aí el generador de reiduo baado en relacione de paridad etá contruido por: ( ) () () () r k = v y k H u k = (5) u, 0 Lo vectore que atiacen (5) on llamado vectore de paridad y a ee conjunto e le conoce como epacio de paridad de orden -éimo. Al coniderar el eecto de la perturbacione y alla en el reiduo ahora e conidera (k) 0 y d(k) 0, obteniendo, adicionalmente, la iguiente matrice: ( k ) d( k ) ( + 1) ( + 1) () k = ; () = d k k d k ( k) ( k) H H, d, F 0 0 CE F = ; 0 S 1 CA E CE F Fd 0 0 CEd Fd = 0 S 1 CA Ed CEd Fd ESTIMADOR DE LA DERIVADA El etimador de la derivada ue tomado de (Vailjevic y Khalil, 2008), en el cual un obervador de alta ganancia e utilizado como dierenciador y e repreentado por la iguiente ecuacione: i x = A x+ Bu á1 1 á1 ε 0 ε á á 2 A= ε ; B = ε 1 á n 0 án n n ε ε donde el polinomio caracterítico de  e Hurwitz. La unción de tranerencia de u a x cuando ε tiende T n 2 n 1 a cero etá dada por: T() = 1 de manera que aintóticamente conorme ε 0, el itema decrito anteriormente actúa como dierenciador bajo la conideración de que la entrada u e continua y dierenciable. La elección de la variable ε e de uma importancia en el dieño del derivador obre todo en eñale con ruido. De manera experimental e abe que al elegir un valor muy pequeño de ε para una entrada libre de ruido mejora de manera igniicativa la etimación de la derivada, in embargo, i la eñal de entrada etá ujeta a ruido, la etimación no erá tan buena como en el cao anterior debido al eecto que el derivador tendrá obre el ruido de la eñal. En ete cao la elección de ε e vuelve crítica y entonce e buca un valor de ε que proporcione una buena etimación aún i la eñal no etá libre de ruido. El valor de ε utilizado en el ejemplo de la ección V e de 0.3. Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No

4 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. ESPACIO DE PARIDAD PARA SISTEMAS CONTINUOS De manera imilar a como e realizó el epacio de paridad para itema dicreto e poible el dieño del epacio de paridad para itema continuo. Se conidera el iguiente itema lineal e invariante en el tiempo: x()= t Ax t + Bu t + E d t + E t (9) () () d () () () = () + () + () + () y t Cx t Du t F d t F t (10) Al igual que para el cao dicreto x(t) e el etado de dimenión n, u(t) e el vector de entrada de dimenión p. La matrice A,B,C,D,E d,e,f d y F on contante, conocida y de dimenione apropiada, también e upone que el par (A,C) e obervable y que rango (C)=m. El dearrollo que e igue, en ete cao, para obtener el generador de reiduo e muy imilar al cao dicreto, olo que aquí e utilizan la derivada de la entrada y la alida del itema en intante deinido de tiempo, en lugar de medicione anteriore de la entrada y la alida como e analizó. La upoicione que e hicieron en el cao dicreto on idénticamente utilizada y removida para el cao continuo, generándoe aí un conjunto de matrice que también on idéntica a la obtenida para el cao continuo. De ete modo la relación de paridad para el cao continuo, al coniderar perturbacione y alla, etá dada como: y() t = HO, x() t Hu, u() t + H, () t + Hd, d() t (11) Y el generador de reiduo como: r t = v ( H t + H d ( t )) (12) () (), d, EJEMPLO DE APLICACIÓN Como ejemplo para la contrucción de un epacio de paridad continuo, e conidera un itema de tre tanque interconectado como el que e muetra en la igura 1, una decripción detallada puede er encontrada en (Ding, 2008). El modelo no lineal e obtiene aplicando directamente la leye de Torricelli, tomando en cuenta lo lujo de entrada y alida de cada tanque. Para el dieño del epacio de paridad e utiliza un modelo linealizado alrededor de un punto de operación h 1 =45cm,h 2 =15cm y h 3 =30cm y etá dado d Fig. 1. Sitema de tre tanque. por: xt ()= Ax() t + Bu() t (13) y() t = Cx() t (14) Donde el vector de etado x(t) correponde al nivel de cada tanque y también on la alida del itema. La matrice de ditribución on: A = ; B = ; C = El epacio de paridad e llevado a cabo mediante el procedimiento vito en la ección IV. Se conideran únicamente do derivada de la entrada y la alida, logrando obtener un generador de reiduo baado en 91 x 61 x la relación de paridad, donde y() t R, u( t) R 9 6 y H,2 x u R. Tomando en cuenta la dimenione de eta matrice, e claro que el vector de paridad tiene la iguiente dimenione v 19 x R. La implementación e llevada a cabo mediante Matlab Simulink obteniendo lo reultado que e muetran eneguida. En la igura 2 e aprecia la alida de cada uno de lo tanque in coniderar el eecto de la alla. Lo nivele de cada uno de ello e localizan perectamente en el valor deeado de acuerdo al punto de operación epeciicado anteriormente. En la igura 3 e aprecia la eñal reidual obtenida. De eta última e puede notar que depué de un tiempo tranitorio, relativamente pequeño, la variable de reiduo tiende a un valor muy cercano a cero, lo cual igniica que el generador de reiduo obtenido tiene un buen uncionamiento y entonce e conidera un itema con alla en el enor uno y bomba uno, que correponden al primer tanque. 20 Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No. 50

5 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. Fig. 2. Nivel de cada tanque. Fig. 4. Salida del itema con alla en enor uno. mantenga en u punto de operación. Aí el generador reidual tiene un valor dierente de cero jutamente en el egundo en que ocurre la alla tal como e muetra en la igura 5. Fig. 3. Señal de reiduo para un cao in alla. El itema lineal tomando en cuenta el eecto de poible alla en actuadore y enore e el que e muetra a continuación: xt = Axt+ But+ E t (15) () () () () y() t = Cx() t + F () t (16) Donde x [ ] R [ ] x = 0, = 33 x 0 R y = 5 E B F I El generador de reiduo que e obtiene en ete cao tiene la orma de la ecuación (12) y e implementa de la mima manera que para el cao in alla. Lo reultado de imulación e preentan a continuación. Como puede apreciare en la igura 4, la alla ocurre en el enor uno en el egundo 10 y e maniieta por medio de un cambio en el nivel del tanque uno, el cual hace que el itema no e Fig. 5. Reiduo cuando hay alla en enor uno. Cuando la alla ocurre en una de la bomba, el generador de reiduo reponde ante la mima en el intante en que dicha alla e preenta. Una alla en la bomba uno ocurre en el egundo 40 apareciendo inmediatamente en la alida como e ve en la igura 6, en tanto que el generador de reiduo que e aprecia en la igura 7 releja el eecto de dicha alla obre el itema. Cabe mencionar que el generador de reiduo puede er dieñado de tal orma que ea enible o robuto a determinada alla, e decir, iendo robuto a la alla uno no erá alterado el valor del generador de reiduo aunque e preente una alla en el enor uno, mientra que el reto de la poible alla í erán detectada en cao de preentare. Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No

6 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. De igual manera, en la igura 10 y 11 e aprecia la alida del tanque uno y la eñal de reiduo repectivamente. Fig. 6. Falla en la bomba uno. Fig. 8. Salida del tanque uno en la preencia de ruido. Fig. 7. Reiduo cuando hay alla en bomba uno. Lo reultado preentado anteriormente etán ujeto a la conideración de que la alida on ideale o etán libre de ruido, lo cual en cao real no e verdad. Por lo anterior a continuación e toma en cuenta una componente pequeña de ruido en la alida imulando el eecto que e preentaría en lo nivele de lo tanque al momento de er llenado por la bomba uno y do en un cao real. En la igura 8 puede vere como el nivel del tanque uno e ve ligeramente aectado por un poco de ruido. En la mima igura también e aprecia un incremento de nivel en el egundo10, que e traduce en una alla del enor en ete intante de tiempo. La igura 9 muetra la eñal de reiduo para el cao mencionado anteriormente, que a pear de tener batante ruido e apreciable un cambio en el egundo 10. Fig. 9. Señal de reiduo ante la alla en tanque uno. Fig. 10. Salida en tanque uno con alla en bomba uno. 22 Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No. 50

7 Detección de alla mediante el epacio de paridad continuo en un itema... / Jeú Víctor Manuel Cid Medina, et al. Fig. 11. Señal de reiduo ante la alla en bomba uno. CONCLUSIONES En ete trabajo e conidera el dieño de epacio de paridad para itema continuo mediante la etimación de derivada de eñale. Se utiliza un obervador de alta ganancia propueto recientemente como etimador de derivada de eñale, el cual cuenta con buena propiedade repecto al ruido. El dieño de epacio de paridad para itema continuo e emejante al que e realiza en el cao dicreto, ólo la implementación e ditinta. Con el procedimiento utilizado e logran lo reultado de localización in la limitacione que e tienen cuando e dicretizan la ecuacione continua. REFERENCIAS 1. Chow, E. Y. y A. S. Willky (1984). Analytical redundancy and the deign o robut ailure detection ytem. IEEE Tran. On. Autom. Control AC-29(7), Ding, S.X.(2008). Model-baed ault diagnoi technique. Springer. 3. Fadali, M. S. (2003). Oberver-baed robut ault detection o multirate linear ytem uing a lit reormulation. Computer and Electrical Engineering 29, Frank, P.M. (1990). Fault diagnoi in dynamic ytem uing analytical and knowledge-baed redundancy a urvey. Automática 26, Gertler, J. (1998). Fault detection and diagnoi in engineering ytem. Marcel Dekker. New York. 6. Izadi, I., Q. Zhao y T. Chen (2005a). An optimal cheme or at rate ault detection baed on multirate ampled data. Journal o Proce Control 15, Izadi, I., Q. Zhao y T. Chen (2007). Analyi o perormance criteria in ampled-data ault detection. Sytem & Control letter 56, Izadi, I., Q. Zhao y T. Chen (2005b). Norm invariant dicretization or ampled-data ault detection. Automática Li, W., S. L. Shah y D. Xiao (2008). Kalman ilter in non-uniormly ampled multirate ytem: or di and beyond. Automatica 44, Rank, M. L. (1998). Robut and oprimal control: robut ampled-data H2 and ault detection and iolation. Phd thei. Technical Univerity o Denmark. Denamark. 11. Vailjevic, L. K. y H. K. Khalil (2008). Error bound in dierentiation o noiy ignal by high-gain oberver. ytem & Control Letter 57, Viwanadham, N. y K. D. Minto (1990). Fault diagnoi in multirate ampled data ytem. En: 29th IEEE Conerence on Deicion and Control. Honolulu, Hawaii. pp Zhang, P., S. X. Ding, G. Z. Wang y D. H. Zhou (2002). Fault detection or uncertain ampleddata ytem. En: Proceeding o the 4th World Congre on Intelligent Control and Automation. Shangai, P. R. China. pp Zhang, P., S.X. Ding (2008). On ault detection in linear dicrete-time, periodic, and ampleddata ytem. Journal o control Science and Engineering Zhong, M., H. Ye, S. X. Ding y G. Wang (2007). Oberver-baed at rate ault detection or a cla o multirate ampled-data ytem. IEEE Tranaction on Automatic Control 52(3), Zhong, M.-Y., Ch.F. Ma y Y.-X. Lui (2006). Fa trate ault detection ilter or multirate ampled-data ytem. Acta Automatica Sinica 32(3), Ingeniería, Enero-Marzo 2011, Vol. XIV, No