Observación de sistemas no lineales mediante métodos de disipatividad y cooperatividad

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1 Congreo Anual 29 la Aociación de México de Control Automático. Zacateca, México. Obervación de itema no lineale mediante método de diipatividad y cooperatividad Jeú D. Avilé, Jaime A. Moreno Intituto de Ingeniería-UNAM Coyoacan DF, 45 México D.F. {JAvileV, JmorenoP}@iingen.unam.mx Teléfono: (52) ext. 889 y 88 Reumen Lo obervadore que preervan el orden on aquello cuyo etimado iempre etán por encima o por debajo de la trayectoria del etado. En ete trabajo e propone una nueva metodología de dieño de obervadore que preervan el orden para una clae de itema no lineale, en auencia y en preencia de perturbacione. La metodología de dieño combina do propiedade itemática: la diipatividad y la cooperatividad. La primera e uada para aegurar la convergencia de la dinámica del error de etimación. La cooperatividad e la propiedad báica de la dinámica del error de etimación que garantiza la preervación del orden en el obervador. El dieño de eto obervadore e puede reducir, en mucho cao, a la olución de deigualdade matriciale lineale (LMI). Palabra clave: Sitema cooperativo; Sitema diipativo; obervadore cooperativo; obervadore intervalo. I. INTRODUCCIÓN Lo itema que preervan el orden han ido etudiado dede hace varia década en matemática y control (Angeli, D. and Sontag, D., 23; Hirch, M.W. and Smith, H.L., 25 ). Eta clae de itema e conocida como monótono, de lo cuale lo itema cooperativo contituyen una ubclae muy importante. Lo itema cooperativo on aquello que u trayectoria preervan el orden parcial en el etado, en la entrada y en la alida para todo tiempo, cuando la eñale de entrada y lo etado iniciale on ordenado (parcialmente). En general, lo itema mónotono han encontrado gran interé en el modelado y control, relativamente poco trabajo han aparecido para propóito de obervación. La primera aplicación aparecida en (Gouzé, J. L. and Rapaport, A. and Hadj-Sadok, M. Z., 2), donde lo obervadore intervalo on introducido y aplicado a una clae de itema no lineale con incertidumbre. Eto itema on principalmente aplicado a lo itema biológico, con el propóito de etimar parámetro o variable no medible. La validación experimental ha ido reportada en (Alcaraz-Gonzalez, V. and Harmand, J. and Rapaport, A. and Steyer,J.P. and Gonzalez-Alvarez, V. and Pelayo-Ortiz, C., 22) para bioreactore altamente incierto. Una combinación de obervadore intervalo y de lo aí llamado obervadore aintótico (Batin, G. and Dochain, D., 99), (Dochain, D. and Perrier, M. and Ydtie, B.E., 992) (ver también (Bernard, O. and Gouze, J.L., 24)) e propueta en (Rapaport, A. and Dochain, D., 25). En (Veloo, A. and Rocha, I. and Ferreira, E.C., 27) una olución alternativa para la obervación de etado de una denidad de fermentación por lote de E. coli e etudiada. En (Moian, M. and Bernard, O. and Gouze, J.L, 29) e expone el dieño de lo obervadore intervalo para variable no medible de bioreactore con incertidumbre. Dicho dieño etá compueto de un conjunto de obervadore intervalo en lo que el error de etimación etá acotado por una cierta ganancia de intonización. A travé de un criterio de optimización e obtiene el mejor etimado, el cual tiene el mejor rango de convergencia y el intervalo generado por lo etimado del obervador intervalo e má etrecho. El dieño e verificado en la etimación de la biomaa de una planta de tratamiento de agua reiduale En ete trabajo la obervación de etado para bioproceo bajo parámetro de proceo con incertidumbre y/o con entrada de proceo e reuelta, in requerir el conocimiento de la dinámica del proceo. El objetivo de ete trabajo e dar eguimiento a la línea de invetigación iniciada en (Gouzé, J. L. and Rapaport, A. and Hadj-Sadok, M. Z, 2). La principal idea e aociar la metodología de dieño del obervador diipativo, introducida por (Moreno, J. A., 24) con la idea báica de hacer que el itema del error de obervación ea cooperativo, a fin de que el obervador preerve el orden y converja a lo valore reale, en el cao libre de perturbacione o incertidumbre. Para el cao perturbado, la preervación de la cooperatividad erá importante y la convergencia erá debilitada en lo práctico: el error de obervación e Entrada-Etado etable (ISS) con repecto a la eñal perturbante. Ademá, e introduce la clae de obervadore cooperativo para itema in perturbacione. La extenión de eto obervadore cooperativo a un ambiente o modelo con incertidumbre conduce en una manera natural al concepto del obervador intervalo. E importante notar que el uo de obervadore cooperativo no e retrictivo a la clae de itema cooperativo. Eto pueden er aplicado a una amplia clae de proceo no lineale. El procedimiento de dieño de eto etimadore cuando no etán preente perturbacione en lo itema, conite en tomar la dinámica del error y decomponerla en un ubitema lineal e invariante en el tiempo con una no linealidad variante en el tiempo conectada en reatroalimentación. Si la no linealidad e diipativa con repecto a una función de uminitro cuadrática, entonce la parte lineal debe er dieñada para er diipativa con repecto a una función de uminitro relacionada para garantizar que el lazo cerrado ea exponencialmente etable (Moreno, J. A., 24). Aimimo, i la dinámica del error de obervación e un itema cooperativo entonce, el ordenamiento de la trayectoria de dicho error e aegurado y por conecuencia, el etimado del obervador acota dinámicamente al etado, ya ea por encima o por debajo, dependiendo del orden del error inicial. Lo obervadore que preervan el orden auna-

2 Congreo Anual 29 de la Aociación de México entonce, de Control la trayectoria Automático. del etado Zacateca, México. do con la convergencia a cero en el error de etimación, e definen en ete trabajo como obervadore cooperativo. Eta metodología e extiende para manejar itema no lineale con perturbacione. Para aegurar la cooperatividad en la dinámica de lo errore de etimación e neceario utilizar un par de obervadore. Eto obervadore forman un obervador intervalo. El dieño de eto obervadore puede en la mayoría de lo cao reducire a lo algoritmo de deigualdade matriciale lineale (LMI), lo cuale on muy bien comportado y on una herramienta etandar en la teoría de control. Una ventaja para cierta aplicacione e el hecho que durante el periodo de convergencia no e poible confiar en la etimación dada por el obervador. La deciione tomada en bae de tal etimación pueden conducir a un mal comportamiento en control. Eta ituación incluo e el peor cao cuando la incertidumbre y/o pertubacione etán preente. Pueto que no e poible contruir un obervador in error, una alternativa en mucha aplicacione ería tener una etimación de una variable del etado que ete iempre por arriba o por debajo del valor verdadero. Eto permitiría, por ejemplo, enviar una eñal de alarma cuando la temperatura de un reactor nuclear e aproxima a alcanzar u valor máximo ante de que lo alcance realmente, i la temperatura etimada etuviera por arriba de la temperatura real. II. PRELIMINARES En ete trabajo do tipo de propiedade erán uada para el dieño de lo obervadore que preervan el orden: i) la cooperatividad e una propiedad para preervar el orden (Angeli, D. and Sontag, D., 23; Hirch, M.W. and Smith, H.L., 25 ) y erá fundamental para lo obervadore cooperativo, y ii) la diipatividad (Willem, J.C., 972) (ver también (Haan K. Khalil., 22) y (Moreno, J. A., 24)) erá uada para aegurar la propiedade de convergencia del error de etimación. Alguno reultado relevante de eto tópico erán mencionado aquí. II-A. Sitema Cooperativo El ímbolo define un orden parcial en el epacio de vectore o matrice. Para vectore x y x i y i, x,y R n, e decir, cada componente de x e mayor o igual a la correpondiente en y. Para matrice i {,...,n} y M N M ij N ij, M,N R n m, i,j {,...,n}. Particularmente, repreenta la no negatividad de lo vectore y matrice, tal que, x x i, i {,...,n} ó M M ij, i,j {,...,n}, repectivamente. Lo itema cooperativo, lo cuale on una clae epecial de lo itema monótono (Angeli, D. and Sontag, D., 23; Hirch, M.W. and Smith, H.L., 25 ) on aquello que u trayectoria preervan el orden parcial en el etado, en la entrada y en la alida para todo tiempo, cuando la eñale de entrada y lo etado iniciale on ordenado (parcialmente). Definición : Sea el itema no lineal { ẋ = f (t,x,u), Σ NL y = h (t,x,u) x() = x donde x R n e el etado, u R m e la entrada, y y R p e la alida del itema. El itema Σ NL () e cooperativo i dado, x x 2, u (t) u 2 (t), t () x ( t,t,x,u (t) ) x ( t,t,x 2,u 2 (t) ), t t y la trayectoria de alida h x ( t,t,x,u (t) ) h x ( t,t,x 2,u 2 (t) ) on ordenada. Lo itema cooperativo pueden er caracterizado por, Propoición : (Angeli, D. and Sontag, D., 23). El itema Σ NL () e cooperativo i y ólo i la iguiente condicione [ ] on atifecha:. fi x j e Metzler ( fi x j, i j), [ fi ] 2. u j, [ ] h 3. i x j. Lo itema cooperativo lineale e pueden caracterizar fácilmente: Propoición 2: (Angeli, D. and Sontag, D., 23). Conidere el itema lineal invariante (LTI) en tiempo continuo { ẋ = A(t) x + B (t) u, x() = x Σ L : (2) y = C (t)x, donde (x,u,y) R n R m R p on lo vectore de etado, entrada y alida, repectivamente. El itema (2) e cooperativo i y ólo i,. A e Metzler (a ij, i j), 2. B, 3. C. En lo itema lineale, la propiedad de cooperatividad y poitividad on equivalente, i para cualquier x y u (t) entonce x(t,t,x,u(t)) y h x(t,t,x,u(t)). Sin embargo, para lo itema no lineale eto no neceariamente ocurre. II-B. Método Diipativo Conidere la función de uminitro cuadrática [ ] T [ ] [ ] y Q S y w (y,u) = u S T R u donde Q R p p, S R p m, R R m m con Q y R imétrica. Definición 2: El itema (LTI) Σ L (2) e etado etrictamente diipativo (SSD) con repecto a una función de uminitro w (y,u) (3), o en forma corta (Q,S,R)-SSD, i exite una matriz P = P T > y una contante ɛ > tal que e atiface la deigualdad diipativa: [ ] [ ] PA + P + ɛp PB C B T T QC C T S P S T. C R (4) Definición 3: Una no linealidad etática variante en el tiempo y = f (t,u) (5) continua a tramo en t y localmente Lipchitz en u, tal que f (t,) = e diipativa con repecto a la función de uminitro w (y,u) (3) ó en forma corta (Q,S,R)-D, i para todo t y u R m, (3) w (y,u) = w (f (t,u),u). (6)

3 La condicione de ector cláica para no linealidade cuadrada etán definida en (Haan K. Khalil, 22). Lema : (Moreno, J. A., 24). Conidere la interconexión en retroalimentación Ξ L : Si exite una (Q, S, R) tale que f (t, y) e (Q, S, R)- D, y el ubitema lineal de Ξ L e ( R,S T, Q ) -SSD, entonce el punto de equilibrio x = de Ξ L e global y exponencialmente etable. Eto itema on bien comportado bajo perturbacione: Propoición 3: Sea el itema ẋ = Ax + Bu + b, x() = x Ξ NL : y = Cx (8) u = f (t,y) donde b e una eñal de entrada. Suponga que la condicione del Lema anterior on atifecha. Bajo eta condicione, el itema Ξ NL e entrada etado etable (ISS) con repecto b.. Prueba. Conidere la función definida poitiva V (x) = (x) T Px, donde P e una olución de la deigualdad matricial (4). Entonce V ɛv + 2ePb ( θ)ɛv θɛ(x) T Px + 2xPb; θ (,) ( θ)ɛv + λ + M x 2(2 b 2 θɛ x 2 ) ( θ)ɛv x 2 2 θɛ b 2. De eta deigualdad, e puede concluir ISS con δ (r) = 2 θɛ r. III. OBSERVADORES QUE PRESERVAN EL ORDEN En (Moreno, J. A., 24) un método baado en la teoría de dipatividad para dieñar obervadore no lineale e propueto. Para la mima clae de itema e extiende el método para hacer el obervador no ólo convergente ino también que preerve el orden. Conideramo el primer cao para itema in perturbacione y depué, una modificación e introducida al obervador para aegurar la propiedad de preervar el orden a pear de la perturbación. Sitema in perturbacione: Obervador Coopera- III-A. tivo Conidere el itema no lineal ẋ = Ax + Gf (σ) + ϕ(t,y,u), Π S : σ = Hx, x() = x y = Cx donde x R n e el etado, y R q e la alida medible, σ R r e una función lineal del etado (no neceariamente medible), u R p e la entrada, f (σ) R m e una función no lineal localmente Lipchitz en σ, y ϕ e una función no lineal conocida localmente Lipchitz en (u, y) y continua a tramo en t. Se propone un obervador de orden completo (Moreno, J. A., 24) para el itema Π S (9) de la forma Π O : Congreo Anual 29 de la Aociación de México dondede x Control R n eautomático. el etimado de Zacateca, x del Π S (9), México. y L R n q y N R r q on la matrice de dieño. El error de etimación del etado e puede definir por e x x, el error de etimación de la alida como ỹ ẋ = Ax + Bu, x() = x ŷ y, y el error de etimación funcional como σ σ σ. y = C (7) Por lo tanto, la dinámica del error de obervación etán u = f (t,y) dada por (9) x = A x + L(ŷ y) + Gf ( σ + N (ŷ y)) + ϕ(t,y,u), σ = H x, x() = x ŷ = C x () ė = (A + LC) e + G[f ( σ + N (ŷ y)) f (σ)] ỹ = Ce () σ = He con e() = e = x x. Note que en la dinámica (), σ + N (ŷ y) = Hx + He + NCe = σ + (H + NC) e. Se define a z (H + NC) e = σ + Nỹ como una función del error de etimación e, y a una nueva no linealidad φ(z,σ) f (σ) f (σ + z) (2) La dinámica de () pueden reecribire como ė = A L e + Gυ, e() = e Π E : z = H N e (3) υ = φ(σ,z) donde A L A + LC y H N H + NC. Definición 4: El obervador e cooperativo i la iguiente do propiedade on atifecha:. E convergente, e decir, para toda condicion inicial x, la trayectoria de la planta del error de etimación convergen aintóticamente a cero. 2. El itema de error Π E (3) e cooperativo. Eta condición implica que i x x = x(t) x(t), t i x x = x(t) x(t), t E decir, en el obervador que preerva el orden, la etimación iempre etá por encima o por debajo de la trayectoria verdadera de la planta. Ahora bien, dearrollando analíticamente lo do punto de la definición anterior e tiene, i.- Convergencia del obervador: Para aegurar que el error de obervación e convergente, el iguiente teorema proporciona la condicione uficiente para la etabilidad aintótica del origen de la dinámica del error, haciendo uo de la teoría de diipatividad: Teorema : (Moreno, J. A., 24). Suponga que la no linealidad φ (2) e (Q,S,R)-D, e decir, w (φ,z) = φ T Qφ + 2φ T Sz + z T Rz, (4) Suponga ( que exiten la matrice L y N, tal que Π E (3) e R,S T, Q ) -SSD, e decir, exiten la olucione P = P T >, ɛ >, L, N tale que e atiface: [ PAL + L P + ɛp + HT N RH ] N PG HN T ST G T P SH N Q (5) Bajo eta condicione el obervador () e global y exponencialmente etable para Π S (9), lo cual implica que exitan la contante k > y ϱ > tale que para toda condición inicial e e atiface: e(t) k e exp( ϱt) (6) ii.- Cooperatividad del error de obervación: El obervador () dieñado de acuerdo con el Teorema

4 e convergente, Congreo pero Anual no tiene 29 la de la propiedade Aociación que de México de Control Automático. Zacateca, México. preervan el orden. Para aegurar la cooperatividad, el itema de error Π E (3) tiene que er un itema cooperativo. Conforme a la caracterización dada en la Propoición, una condición necearia y uficiente para atifacer eta propiedad e que la matriz Jacobiana ( f (z) M(z) A L + G ) H N, z R r (7) tiene que er Metzler, e decir, que todo lo elemento fuera de la diagonal on no negativo. Combinando lo punto anteriore, el iguiente algoritmo proporciona la condicione uficiente para el dieño de un obervador cooperativo: Teorema 2 (Obervador Cooperativo): Conidere el itema Π S (9), el obervador Π () y la dinámica del error de etimación Π E (3). Suponga que la no linealidad φ (2) e (Q,S,R)-D, e decir, atiface a (6). Si e atiface que. La matrice P = P T >, L, N y una contante ɛ > exiten, tal que e cumple (5), y 2. M (z) e Metzler z R r. Entonce, Π () e un obervador cooperativo, global y exponencialmente etable. Nota : Obérvee que para obtener imultáneamente un etimado por encima y otro por debajo de la trayectoria del etado, e requiere contruir do obervadore cooperativo e inicializarlo adecuadamente. Pero e tiene la ventaja que con un ólo dieño e pueden dearrollar lo do obervadore cooperativo, lo cual e debe a la propiedad de imetría que tiene ete etimador. Nota 2: Note que el dieño del obervador cooperativo impone una condición adicional con repecto a un obervador diipativo convergente. Por lo que, e epera que: i) la clae de itema para lo cuale un obervador cooperativo puede er dieñado e un ubconjunto de la del obervador convergente, y ii) la propiedade dinámica de un obervador cooperativo on má retrictiva que para un imple obervador convergente. El etudio de eto tema e un importante tópico para la invetigación a futuro. III-B. Sitema con perturbacione: Obervador Intervalo Conidere iguiente itema no lineal Ψ S : ẋ = Ax(t) + Gf (σ) + π (t,x) + ϕ(t,y,u), σ = Hx(t), x() = x y = Cx(t) (8) donde π (t, x) R e una perturbación que repreenta la variable exógena y/o la incertidumbre del itema. Adicionalmente, e aume que la cota de la perturbación on conocida, tale que π (t,x) atiface t, x,y π + (t,y) π (t,x) π (t,y), t, x,y (9) Si el obervador Π O () e uado para la planta, entonce la dinámica del error de etimación reultante ė = A L e + Gυ, e() = e Π p E : z = H N e (2) υ = φ(σ,z) no convergerán a cero, i la perturbación no e devananeciente. Ademá, pueto que en general π (t, x) no e una eñal entrada ordenada, la dinámica del error no erán cooperativa. Para olventar eto problema, lo obervadore intervalo on propueto. Eto difieren de lo obervadore cooperativo por el hecho que u convergencia e práctica, y on coniderado cooperativo. Eto ignifica que con un ólo obervador e puede aegurar una etimación por arriba o por abajo del etado. Lo obervadore intervalo on imilare a lo introducido en (Gouzé, J. L. and Rapaport, A. and Hadj-Sadok, M. Z, 2), excepto que la propiedad de la convergencia práctica e introducida aquí. Un obervador intervalo conite de do itema dinámico Ψ O + Ψ O x + = A x + + Gf ( σ + + N + (ŷ + y)) + L + (ŷ + y) + π + (t,y) + ϕ(t,y,u) σ = H x +, x + () = x + ŷ = C x + (2) x = A x + G f ( σ + N (ŷ y)) + L (ŷ y) + π (t,y) + ϕ(t,y,u) σ = H x, x () = x ŷ = C x (22) donde x + y x on lo etimado uperior e inferior de x. La matrice de dieño de ambo obervadore on L + R n q, N + R r q y L R n q, N R r q. Note que en Ψ O + la cota uperior, y en Ψ O la cota inferior de la perturbación (9) on introducida. Eto permite aegurar la propiedade de cooperatividad de la dinámica del error. Cuando e + x + x y e x x (y la otra variable on definida imilarmente), la dinámica del error de obervación etán dada por Ψ E + Ψ E ė + = A + L e+ + Gv + + b + z + = H + N e+, e + () = e + v + = φ + (z +,σ) ė = A L e + Gv + b z = H N e, e () = e v = φ (z,σ) (23) (24) donde A + L A + L+ C, H + N H + N+ C, A L A + L C, H N H + N C y la no linealidade φ + (z +,σ) y φ (z,σ) etán definida en una forma imilar a (2). Lo errore de incertidumbre b + π + (t,y) π (t,x) (25) b π (t,x) π (t,y) (26) actúan como entrada de lo itema (23) y (24). El iguiente Teorema etablece la condición uficiente para el dieño de un obervador intervalo. Puede er coniderado como una generalización del Teorema 2 de lo obervadore cooperativo, en el cao cuando la perturbacione no etán preente. Teorema 3: Conidere el itema perturbado Ψ S (8), el obervador Ψ O + (2). Se aume que la π (t,x) etá acotada por (9). Suponga ademá, que la no linealidad φ + (z +,σ) e (Q,S,R)-D, e decir, (6) e cumple. Si e atiface que:. Exiten la matrice P + = (P + ) T >, L +, N + y una contante ɛ > tale que e cumpla (5), y 2. M(z) (7) e Metzler z R r.

5 Congreo Anual 29 de la Aociación de México de Control Automático. Zacateca, México. Entonce, Ψ E + (23) e ISS con repecto a b + tal que e + (t) k e + () exp( ϱt) + δ up ( b + ) (27) con k > y ϱ >. Ademá, Ψ E + cooperativo, e decir, e + () = e + (t), t e + () e + (t), t. e un itema Por lo tanto, la trayectoria de Ψ O + (2) etán iempre por encima de la trayectoria reale de la planta, e decir, x + x = x + (t) x(t), t a pear de la perturbacione. Si el Teorema anterior e atifecho y Ψ E (24) también cumple con la condicione, entonce Ψ O + (2) y Ψ O (22) forman un obervador intervalo para el itema Ψ S porque e cumple: x + x x x + (t) x(t) x (t) (28) Note que el dieño de la matrice L +, N + y L, N no depende de la perturbación, por lo que el dieño puede er realizado como en el cao cooperativo. IV. DISEÑO COMPUTACIONAL El dieño de lo obervadore cooperativo o intervalo e reducido a la olución de do deigualdade de matrice (ver Teorema 2): i) Para la convergencia, e deben de encontrar la matrice L, N, P = P T > y la contante ɛ >, tal que (5) e atifecha, y ii) para la cooperatividad, la matrice L, N deben er hallada con la finalidad que la condición M(z) (7) e Metzler ea también atifecha. La deigualdad matricial (5) ha ido etudiada en (Moreno, J. A., 24), y también puede reducire, en mucho cao, a una LMI. También e fácil ver que la condición M(z) (7) e Metzler puede reducire a una LMI en la variable L, N. Por ejemplo, cuando f(z) e una función ecalar, la condición que M e Metzler puede er repreentada como un conjunto de deigualdade lineale en la variable L, N, M ij = A ij + L i C j + f(z) G i[h j + NC j ], z R r i j, i,j {,...,n} (29) Al reolver eta última expreión exite el inconveniente que M etá en función de la variable z, lo que ocaiona que e tengan que reolver infinita LMI. Particularmente, e ha etudiado el cao en que f(z) e un ecalar, y el reultado e que únicamente un par de LMI deben er reuelta (una LMI reemplazando K = máx f(z) by f(z) y otra LMI reemplazando K 2 = mín f(z) by f(z) ) para aegurar la preervación del orden en lo etimado del obervador (cooperativo o intervalo). Sin embargo, falta por completar ete etudio para el cao má general con el objeto de hacer un práctico dieño de lo obervadore que preervan el orden. V. EJEMPLO El itema cláico de tre tanque e uado como una aplicación de lo obervadore que preervan el orden (ver Fig. ), para ilutrar u comportamiento y propiedade. Ete itema puede er vito como un prototipo de mucha aplicacione de proceo indutriale. V-A. Figura. Sitema de tre tanque Dieño del obervador cooperativo Para ete dieño Π S, Π, Π E + and Π E on coniderado. x =.47 m, x 2 =.276 m y x 3 =.8 m on la condicione iniciale. Lo flujo de entrada on Q 5 m3 = 4.75 y Q 5 m3 2 = El área de cada tanque e =.539 m 2. Lo flujo Q, Q 23 y Q 2 etán determinado por la válvula V, V 2 y V 3, repectivamente. Eta válvula etán repreentada por, V : ρ(x ) K x tanh (x ), V 2 : ρ(x 2 ) K 2 x 2 tanh (x 2 ), y V 3 : f (σ) K 23 σ tanh (σ). Ademá, Q 3 e gobernada por ρ(x 3 x ) = K 3 (x 3 x ). Por lo tanto, la matrice de Π S, Π, Π E + and Π E etán dada por A = B = ( K 3) K 3 K 3 K 3, C =, G = [, ], H = [ Adicionalmente, ϕ = ρ(x ) ρ(x 2 ) ]. Donde K =.865 4, K 3 =.55 4, K 2 = y K 23 = φ + (σ,z + ) = K 23 [ σ tanh (σ) σ + z + tanh (σ + z + )] e (Q,S,R)- D = (, , ) [ ] -D, e decir, φ +, (lo mimo para φ ). La olucione del obervador cooperativo on obtenida atravé del toolbox LMI de Matlab. Por lo que, la matrice de dieño on: -5 6 L = 6-6 y N = [ ].68 tal que la deigualdade de diipatividad (5) y cooperatividad (7) on atifecha. En la Figura 2, el obervador cooperativo e comparado con un etimador no cooperativo. En dicha Figura e muetra que la trayectoria de lo etimado del obervador cooperativo repetan el orden, e decir, acotan por encima o por debajo a la variable de etado y ademá convergen a dicha variable. En cambio el obervador no cooperativo no lo hace y u etimado cruzan a la trayectoria del etado, aunque converjan a la variable de etado. T

6 V-B. x (m) x3 (m) Congreo Anual 29 de la Aociación de México de Control Automático. Zacateca, México. x x + x x no cooperativo T (eg) x + 3 x 3 x 3 no cooperativo x2 (m) T (eg) T (eg) Figura 2. Comportamiento del Obervador Cooperativo Dieño del obervador intervalo Para ete dieño Ψ S, Ψ, Ψ E + y Ψ E on coniderado. Lo flujo de entrada on Q 5 m3 = 7 y Q 5 m3 2 =4.5. La matrice A, G, C, H, y la no linealidade f(σ), ρ(x ) y ρ(x 2 ) etán en el ejemplo anterior. Para ete obervador, la olucione también on obtenida del dieño de arriba, e decir, L = L + = L, N = N + = N, P = P + = P y ɛ = ɛ + = ɛ. Entonce (5) y (7) e atifacen. Adicionalmente, un flujo de entrada en el tercer tanque e coniderado (de π(t,x) R 3 de (8); π =, π 2 = y ólo e tomado en cuenta π 3 ). Tal flujo no e mayor que π 3 + =.22 y menor que π3 =.. Por lo que, e atiface (9). La Figura 3 muetra el comportamiento del tercer etimado del obervador intervalo y de un obervador no cooperativo. Lo etimado del obervador intervalo acotan por encima y por debajo a la variable del etado, a pear de la perturbacione o incertidumbre en el itema (π 3 ). Aimimo, el tercer etimado de Π O + (obervador intervalo) indica cuando el tercer tanque etá a punto de derramare, alertando al equema de control del itema de eto evento para que ete pueda realizar la correccione necearia para evitar daño en dicho itema. Por otro lado, en la mima Figura e muetra que el etimado del obervador no cooperativo puede producir una eñal de alarma de que el tercer tanque etá a punto de derramare, in er cierto, y ólo produce eñale de alerta fala. VI. CONCLUSIONES Una metodología nueva de dieño de lo obervadore que preervan el orden para una clae de itema no lin- x3 (m) x 3, x+ 3 x 3 no cooperativo Altura del tanque x x + x x no cooperativo Altura del tanque T (eg) Figura 3. Comportamiento del Obervador Intervalo eale con o in perturbacione e propueta. La metodología de dieño e baa en la conjunción del método de diipatividad con la propiedad de cooperatividad; amba propiedade on aplicada a la dinámica del error de etimación. El dieño e computacionalmente imple en mucho cao, pueto que eto e reduce a la olución de un problema LMI, para lo cual exiten método numérico altamente eficiente. VII. AGRADECIMIENTOS Agradezco al Dr. Jaime A. Moreno por el apoyo brindado para la realización de ete proyecto. Ete trabajo fue apoyado en parte por DGAPA-UNAM, el proyecto PAPIIT IN227, y CONACyT, proyecto REFERENCIAS Angeli, D. and Sontag, D. (23). Monotone Control Sytem. IEEE Tranaction Automatic, Vol. 48, no., pp Alcaraz-Gonzalez, V. and Harmand, J. and Rapaport, A. and Steyer,J.P. and Gonzalez-Alvarez, V. and Pelayo-Ortiz, C. (22). Software enor for highly uncertain WWTPS: a new approach baed on interval oberver. Water Re. no. 36, pp Batin, G. and Dochain, D. (99). On-Line Etimation and Adaptive Control of Bioreactor. Elevier, Amterdam. Bernard, O. and Gouze, J.L. (24). Cloed loop oberver bundle for uncertain biotechnological model. Journal of Proce Control. Vol. 4 (3), pp Dochain, D. and Perrier, M. and Ydtie, B.E. (992). Aymptotic oberver for tirred tank reactor. Chem. Eng. Sci. Vol. 47, pp Gouzé, J. L. and Rapaport, A. and Hadj-Sadok, M. Z. (2). Interval oberver for uncertain biological ytem, Ecol Modelling. Vol. 33, no. -2, pp Hirch, M.W. and Smith, H.L. (25). Monotone Dynamical Sytem. Handbook of differential equation: ordinary differential equation. Vol. II, Elevier B. V., Amterdam pp , 25. Moian, M. and Bernard, O. and Gouze, J.L (29). Near optimal interval oberver bundle for uncertain bioreactor. Automatica 45, pp Moreno, J. A (24b). Oberver deign for nonlinear ytem: A diipative approach. Proceeding of the 2nd IFAC Sympoium on Sytem, Structure and Control SSSC24. Haan K. Khalil. (22). Nonlinear Sytem. New York, USA. Prentice Hall, Third edition, 22. Rapaport, A. and Dochain, D. (25). Interval oberver for biochemical procee with uncertain kinetic and input. Mathematical Biocience. no. 922, pp Rapaport, A. and Gouzé, J.L. (23). Parallelotopic and practical oberver for non-linear uncertain ytem. International Journal of Control. Vol. 76, no. 3, pp Veloo, A. and Rocha, I. and Ferreira, E.C. (27).Etimation of bioma concentration uing interval oberver in an E. coli fed-batch fermentation. th International IFAC Sympoium on Computer Application in Biotechnology. Cancún, México. Willem, J.C. (972). Diipative dynamical ytem, part I: General theory. Archive for Rational Mechanic and Analyi.Archive for Rational Mechanic and Analyi 45. pp