MEDIDAS DE DISPERSIÓN CON GEOMETRIA DINÁMICA RESUMEN

Transcripción

1 XI Cogreso Galego de Estatística e Ivestigació de Operaciós A Coruña, de outubro de 03 MEDIDAS DE DISPERSIÓN CON GEOMETRIA DINÁMICA José Alexadre Martis, Assumpta Estrada Roca, Maria Mauel Nascimeto 3, Carles Comas 4 UDI-IPG, Istituto Politécico da Guarda, Guarda, Portugal, jasvm@ipg.pt Uiversitat de Lleida, Lleida, España, aestrada@matematica.udl.cat 3 CM-UTAD, Uiversidade de Trás-os-Motes e Alto Douro, Vila Real, Portugal, mms@utad.pt 4 Uiversitat de Lleida, Lleida, España, carles.comas@matematica.udl.cat RESUMEN Dado que las medidas de dispersió so cruciales e la eseñaza de la Estadística, presetamos alguas aplicacioes diámicas utilizables para su exploració de esos coceptos e las clases. E la primera parte de este trabajo resaltamos la importacia de utilizar la visualizació como estímulo para itroducir y explorar la variació estadística usado la tecología actual dispoible. Además, al mejorar la motivació de los alumos e clase, se subsaa dificultades y errores relacioados co su iterpretació y compresió. Co la ayuda del software de geometría diámica (SGD), Cabri-Géomètre II Plus, se preseta tres aplicacioes, que desde u puto de vista didáctico permite visualmete estimular, motivar y facilitar la familiarizació co los coceptos estadísticos de dispersió. Las aplicacioes presetadas podrá ser implemetadas por cualquier profesor co coocimietos básicos de Cabri-Géomètre u otro software de geometría diámica. Esperamos que su utilizació permita ua mayor iteracció e las clases de estadística y e especial las relacioadas co las medidas de dispersió. Keywords: Educació, Estadística, dispersió, visualizació, simulació, SGD.. INTRODUCCIÓN La eseñaza de la Estadística es u tema actual que requiere iovacioes y cambios e las formas tradicioales de formació, producció y comuicació de la iformació. Segú (Darius, Michiels y Raeymaeers, 00, p.) co el uso de herramietas tecológicas surge uevas posibilidades de eseñaza, co las cuales es posible proporcioar a los alumos ua experiecia diferete, que permita u apredizaje más eficiete y eficaz. La Estadística es ua parte de la Matemática dode es posible desarrollar la visualizació diámica de muchos coceptos (Martis y Nascimeto, 009). Además si teemos e cueta las eormes potecialidades de la exploració grafica y visual del etoro tecológico actual, es atural cosiderar la visualizació como u aspecto extraordiariamete importate tato e la costrucció y la trasmisió de coceptos, como e el descubrimieto de uevas relacioes, Guzmá (00). Evidetemete la visualizació es ua compoete más e la cotiua tetativa de mejorar la eseñaza de la estadística, siedo ecesaria ua gra labor de reflexió e ivestigació para adecuarla a la eseñaza de coceptos específicos. Co este trabajo se pretede por u lado, presetar ua respuesta diámica y visual al apredizaje de las medidas de dispersió a través de la utilizació del software de geometría diámica Cabri Géomètre II Plus y por otro facilitar el trabajo a los profesores, mostrado ideas y camios que pueda cotribuir a la mejora de la calidad de la eseñaza de la estadística a través de la utilizació de recursos tecológicos adecuados. E ese setido, co la ayuda fudametal de Cabri, se preseta uas aplicacioes, que pretede visualmete estimular, motivar y facilitar la iteriorizació de los coceptos de variaza así como alguas de sus propiedades, y que además ayuda a reforzar el trabajo cooperativo gracias a su compoete lúdica, ta importate hoy e día para uestros estudiates más jóvees.

2 . MEDIDAS DE DISPERSIÓN A pesar de la importacia de la variació estadística, su tratamieto e los programas escolares se reduce a dar ua pequeña iterpretació basada e la búsqueda de ua medida que idique la dispersió de los datos (Barros & Ferades, 00, y Estepa & Pio, 03); después de lo cual se procede a deducir las fórmulas correspodietes: desviació media, variaza y desviació estádar. El problema es que al aplicar la fórmula para ecotrar el valor de la variaza o desviació estádar, o se refleja e modo alguo el cocepto de variació. Alguas de las explicacioes para esta situació sugeridas por Shaughessy (997) so: El cálculo e iterpretació o so muy fáciles. La carecia de modelos didácticos para dar sigificado a las medidas de variació, a diferecia de modelos que sirve para motivar los coceptos de medidas cetrales (balaza, puto de equilibrio, etc.). Por todo esto, deberíamos cosiderar a la variació estadística como u cocepto cetral de la ivestigació cietífica y os debe llevar a ua reflexió profuda sobre el papel que debe jugar esta oció e la eseñaza y apredizaje de la estadística. El cocepto de variació debe ser revalorado y utilizado e los programas de estadística y además el maestro debe prepararse para este cambio. E esta líea, se preseta a cotiuació e el etoro Cabri diferetes experiecias o actividades sobre la relació etre las frecuecias y el valor de la variaza, la represetació gráfica del cocepto de variaza y la idea de variaza como ua media... Variaza y frecuecia E primer lugar se pretede, para el caso de las variables cotiuas, relacioar el histograma co el valor de la variaza y ver su evolució. Para ello se costruye u histograma e el que es posible alterar diámicamete las frecuecias y se puede comprobar, por el área del círculo asociado, el valor de la variaza correspodiete. Así, se puede explorar distitas variacioes e las frecuecias y observar lo que sucede (Figura ). E particular, tiee iterés experimetar situacioes co medias semejates ó co diferetes asimetrías y variazas muy distitas. Co estos experimetos es posible eteder la complejidad e iterdepedecia que ecierra el cocepto de variaza, y además estimular la ituició y la capacidad crítica de los alumos respecto a la dispersió y sus medidas estadísticas. Figure : Variaza y frecuecia.. Represetació gráfica de la variaza E la siguiete aplicació se pretede, visualizar, a través de cuadrados (co sus áreas y las medidas de sus lados), el valor de la variaza y su evolució. Para ua variable discreta (co 5 valores). Para ello se parte de la fórmula de la variaza: σ ( x) x /.

3 E cotexto geométrico, la variaza surge como la media aritmética de las áreas de los cuadrados que tiee sus lados iguales a la distacia etre cada uo de los datos y la media aritmética correspodiete. Basádoos e esta iterpretació geométrica, la aplicació represeta, Figura, a la izquierda de la media de los datos y para cada uo de los datos de valor iferior a la media, los cuadrados que tiee la medida de sus lados iguales a la distacia etre la media aritmética y cada uo de los datos co valor iferior a la media. Lo mismo pasa para los datos superiores a la media, pero e este caso está situados a la derecha de la misma. Fialmete se preseta u cuadrado de área igual a la media de las áreas de los cuadrados referidos y que tiee la medida del lado igual al valor del desvío padró. Co esta aplicació se puede visualizar el coteido geométrico del cocepto de variaza evideciado que es muy sesible a variacioes de los datos y que su valor depede mucho la dimesió de estos valores. Figura : Represetació gráfica de la variaza.3. La variaza como ua media E este puto, se pretede visualizar el valor de la variaza y su evolució, para variables discretas partiedo de la idea e la que se la cosidera como la media aritmética del cuadrado de las diferecias etre los valores de los datos y la media aritmética de esos datos. Para eso se recuerda aquí la propiedad de la media aritmética de que, la suma de las diferecias etre los valores de los datos y la media es cero, ó sea, ( x) 0 x. i Etoces, cosiderado yi ( xi x), i, K, ua ueva serie de datos, se puede afirmar que la variaza de los datos x i s es igual a la media de los datos y i s, ó sea, σ ( x x) y y y, por cosiguiete, 3

4 ( i ) ( yi y) 0 y σ. Así, tal como se puede observar e la Figura 3, e que y i (V i ) y e que σ V solo cuado Vsomav0, co esta aplicació de Cabri Géomètre se experimeta, e simultáeo, la obteció de la media y de la variaza de los datos, usado la misma propiedad de la media para las dos series de datos relacioadas. Figura 3: La variaza como ua media 3. CONCLUSIONES Las aplicacioes presetadas, que cualquier profesor co coocimietos míimos de Cabri- Géomètre ó de otro software de geometría diámica puede implemetar, habrá cumplido los objetivos iiciales si, a través del potecial de la geometría diámica, pudiera ser cosiderados, o sólo, como ejemplos versátiles, capaces de estimular y facilitar la asimilació, iterpretació y compresió de del cocepto de dispersió, y e particular el de la variaza y de alguas de sus propiedades, sio tambié como elemetos capaces de promover ua mayor iteractividad e el aula. Otros ejemplos podría ser mostrados, pues hay, co certeza, muchas posibilidades de explorar estas aplicacioes pudiedo profudizarlas, perfeccioarlas y/ó añadirles otras potecialidades, teiedo como motivació la mejoría de la eseñaza de la estadística, y e especial e lo que toca a la eseñaza de la variació estadística, bie como la curiosidad, la imagiació, la reflexió y la volutad. AGRADECIMIENTOS Trabajo apoyado por el Proyecto EDU (MICIIN, España), y por el Cetro de Matemática de la UTAD (CM-UTAD) y por el proyecto PEst-OE/EGE/UI4056/0 de la UDI/IPG fiaciado por la Fudação para a Ciêcia e a Tecologia (FCT, Portugal). REFERENCIAS Barros, P. & Ferades, J. (00). Dificuldades de aluos (futuros professores) em coceitos de estatística e probabilidades. I I. Lopes, J. Silva y P. Figueiredo (Orgs.), Actas do ProfMat 00 (pp. 97-0). Vila Real: Associação de Professores de Matemática. Darius, P., Michiels, S. y Raeymaeers, B. (00). Applets for Experimetig with Statistical Cocepts. I Phillips, B. (Ed.), Proceedigs of the 6th Iteratioal Coferece o Teachig Statistics. Cape Tow, South Africa. 4

5 Estepa, A. & Pio, J. (03). Elemetos de iterés e la ivestigació didáctica y eseñaza de la dispersió estadística. Números Revista de Didáctica de las Matemáticas. Sociedad Caaria Isacc Newto de Profesores de Matemáticas, Vol. 83, pp Guzmá, M. (00). El ricó de la pizarra esayos de visualizació e aálisis matemático elemetos básicos del aálisis. Madrid, Spai: Edicioes Pirámide. Martis, J. & Nascimeto, M. (009), Estadística co software de Geometria, School of Mathematics of the Techological Istitute of Costa Rica (Ed.) Actas del I Ecuetro de Didática de la Estadística, la Probabilidad y el Aálisis de Datos (I EDEPA). Cartago, Costa Rica. Shaughessy, J. M., (997), Missed Opportuities i Research o the Teachig ad Learig of Data ad Chace. I Biddulph, F. ad Carr, K. (Eds.) People i Mathematics Educatio, Mathematics Educatio Research Group of Australia, Waiato, New Zealad, Vol., pp