Magnetostática. Capítulo Corriente Eléctrica. J ds Ejercicios y Ejemplos

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1 Capítulo 3 Magnetostática 3.1. Coiente Eléctica En una sesión anteio vimos el concepto de flujo: cantidad de algo que cuza una supeficie po unidad de tiempo. En el caso paticula en que algo denota caga eléctica el flujo se denomina Coiente Eléctica y se denota con la leta. Paa una supeficie oientada S S ˆn la coiente eléctica se escibe: Φ q nq v S J ds en que q es la caga de una patícula, n es la densidad de númeo de las patículas (supuestas iguales) y v es la velocidad de las patículas (supuestas iguales también). La expesión anteio se puede también escibi J S donde J la Densidad de Coiente Eléctica está definida como: J nq v Si la supeficie que cuza la coiente tiene una foma abitaia, entonces se puede discetiza la supeficie en pequeños elementos de supeficie S j (con j 1 N) y paa cada uno de ellos la coiente j que cuza estaá dada po J ds, de modo que la supeficie completa daá una contibución neta j j J j ds j j En el límite que consideamos elementos de supeficie infinitesimales se obtiene el esultado: J ds (3.1) Figua 3.1: Coiente total que cuza una supeficie abitaia Ejecicios y Ejemplos 1. Un alambe diámeto d 1 [mm] sopota una coiente de 1 [A]. Cuál es la densidad de coiente J?. NOTA: Suponga que la oientación de la supeficie S es paalela a la coiente eléctica y en la diección î. Rpta. de acuedo a lo cual J S J S Jî îds JS 1 πd 4 π [A/m ]. Si la densidad de patículas es n electones/m 3 (que coesponde a la densidad en el cobe). Con qué apidez se mueven los electones?. 84

2 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 85 Rpta A pati del esultado J nqv se obtiene v J nq [m/s] una apidez que es muy baja, y que significa que un electón en avanza 1 [cm] toma un tiempo de 106 [s] (casi minutos). Ve nota 1. Oto obsevación impotante, de este ejemplo, es que los electones van lento, peo como son muchos, genean una coiente gande. Veamos cuantos electones hay en una longitud de 1 [cm] del cable en dicha situación: N nvol nπ d 4 lago π electones 3. Un cable de 1 [mm] de diámeto sopota una densidad de coiente dada po un pefil de tipo paabólico con la distancia ρ al eje axial del cable: J J ρ ẑ J 0 ρ a ẑ la constante J [A/m ] es el valo de la densidad de coiente en el bode del cable. J ( ) Cuál es el valo de la densidad de coiente J a distancia ρ a del eje axial del cable?. Cuál es la coiente total que ataviesa el cable?. Rptas. La densidad en ρ a está dada simplemente po: J J ρ ρ a ẑ J 0 a a ẑ 1 4J 0 ẑ [A/m] ẑ Paa obtene la coiente total integamos en anillos concénticos de goso dρ y adio ρ (es deci aea infinitesimal d s πρ dρ ẑ). J d s ρ J 0 ẑ ẑds a a ρ J 0 πρ dρ 0 a 1 J 0 πa 0 393[A] 3.. Consevación de la caga eléctica y Ley de Kichoff Si en el inteio de un volumen V, delimitado po una supeficie S, no se acumula ni decementa caga eléctica, la coiente neta que cuza (en total) la supeficie ceada que contiene dicho volumen es nula. Es deci las contibuciones de flujo de caga saliente se cancelan con las contibuciones de flujo entante. J ds 0 a J Figua 3.: Coiente distibuida paabólicamente 1 NOTA: a pesa que los electones se mueven lento, la onda de coiente se popaga con una apidez cecana a la de la luz: [km/s]. Figua 3.3: Flujo de caga neto nulo.

3 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 86 Podemos hace la siguiente caicatua de esta situación: S c S manto S a { J 1 d 1 J d { S b Figua 3.4: Flujo de caga nulo. Ley de Kichoff Figua 3.5: Unión de dos cables de distinto diámeto Aquí, en la supeficie S C enta una coiente neta C, la cual sale po las supeficies S A y S B. Se tiene 0 J ds S C J ds J ds manto S A J ds S B J ds La contibución sobe el manto es nula pues J es pependicula a la supeficie d s del manto. La contibución sobe las supeficies S A y S B son positivas pues dichos flujos son salientes, mientas que el flujos sobe S C da una contibución negativa, pues dicho flujo es entante. Llamando C al flujo sobe dicha supeficie (con signo menos explicito pues es flujo entante) y A, B a los flujos sobe las otas supeficies queda (ve nota ): 0 C A B estableciendo que en cualquie nudo la suma algebaica de las coientes debe vale ceo, de donde C A estableciendo que en cualguie nudo la suma de las coientes entantes es igual a la suma de las coientes salientes. Esto es una de las leyes de Kichoff paa cicuitos y se conoce como Ley de nudos Ejecicio 1. Una alambe de aluminio de d [m] de diámeto está soldado po uno de sus extemos al extemo de un alambe de cobe de d [m] de diameto. Si la coiente es de 1 [A] y se distibuye unifomemente po el inteio de los alambes, Cuál es la densidad de coiente J en cada alambe?. NOTA: po convención estableceemos que las coientes que llegan al nudo dan una contibución negativa, mientas que las que salen dan una contibución positiva B Rpta. Pimeo obsevemos que po consevación de caga la coiente es la misma en cada tozo de alambe, de modo que si enta una coiente po la izquieda puesto que el aluminio ofece una mayo áea paa que esta coiente se distibuya, la densidad de coiente J allí seá meno que la densidad de coiente en el cobe. Se tiene: J Al πd A/m J Cu πd A/m 3.3. Ley de Ohm Hemos visto que al aplica una difeencia de potencial en un mateial, se genea un campo eléctico al inteio de él. Consideemos la situación de un cable de lago L, y áea unifome en cuyos extemos se aplica potenciales V A y V B espectivamente (con V A V B ). Esta situación es análoga a la que ocue en el inteio de un condensado de placas planas, y se geneaá un campo eléctico al inteio del mateial ente las placas del condensado. Las patículas cagadas positivamente expeimentaan una aceleación a lo lago del campo, y debido a los choques con obstáculos (otas patículas cagadas al inteio del mateial y que confoman la estuctua cistalina misma del mateial) ellas alcanzaán una velocidad final unifome. La velocidad que ellas alcancen tenda la misma diección del campo eléctico si las cagas son positivas. Paa las patículas de caga negativa la aceleación seá en sentido opuesto al campo, y una vez que ellas alcancen una velocidad final dento del mateial su velocidad seá en la diección opuesta al campo, peo la coiente que ellas genean apunta tambien en la diección del campo como vemos a continuación: Suponiendo el campo oientado en la diección ˆx, y suponiendo que las patículas positivas y negativas alcanzan la misma velocidad final la densidades de coiente con que contibuyen las cagas positivas y negativas es-

4 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 87 taán dadas po: e v ˆx n ev ˆx J n ev ˆx J n donde n y n son las densidades de caga positiva y negativa espectivamente. Se apecia que ambas coientes fluyen en la misma diección ˆx. La coiente total seá J J J n n ev ˆx nev ˆx en que n es la densidad total de potadoes de caga. La Ley de Ohm establece que la velocidad que alcanzan las patículas en el medio mateial es popocional al campo eléctico, y en consecuencia la densidad de coiente J misma es popocional al campo eléctico E, independiente que ésta coiente coesponda a cagas negativas o positivas. Se tiene la popocionalidad (Ley de Ohm): J σe (3.) en que la constante σ llamada conductividad, es una constante cuyo valo depende de las popiedades del medio mateial en que se mueven las patículas. Las unidades de σ son las de densidad de coiente eléctica dividido po las de campo. Es deci: C m V m A Vm El inveso de σ se denomina esistividad ρ 1 σ y su valo depende del mateial y la tempeatua a la cual está sometido el mateial. Algunos valoes típicos (en sistema intenacional de unidades), paa tempeatuas de 0 o [C] son: Resistividad 8 Metales: Al Cu Semiconductoes: Ge 0 45 Si 640 Aislantes: Madea 10 8 a Mica a Un modelo clásico paa la conductividad eléctica En la sección que sigue evisaemos un modelo clásico paa explica la conductividad eléctica. Este modelo tiene la gacia que entega un compotamiento cualitativo que es consistente con gan pate del fenómeno de conductividad que se obseva expeimentalmente. La idea básica es que las patículas se mueven aceleando debido al tabajo del campo E exteno a pati de una apidez inicial v 0 hasta que alcanzan un velocidad final poco antes que choquen con las patículas-obstáculo de la ed cistalina que foman el mateial. Una vez que chocan con estos obstáculos, ellos olvidan la velocidad que alcanzaon debido al tabajo del campo y despues del choque inician nuevamente su vuelo con apidez inicial v 0. Los vuelos están caacteizados po una duación tempoal τ (el tiempo que tanscue ente choque y choque) y una longitud (el camino que ecoen ente choque y choque). Esta longitud es invesamente popocional a la densidad de númeo de los obstáculos del mateial, y tambien invesamente popocional al cuadado del diámeto (o áea de blanco) que ofecen los obstáculos ( 3 ): Cte 1 nd de modo que si la apidez caacteística de las patículas es v 0, entonces el tiempo de vuelo τ estaá dado po: τ 1 Cte v 0 v 0 nd Desde el punto de vista de las diecciones de las velocidades v 0 después de cada colisión, se puede agumenta que el vecto velocidad es nulo en pomedio. Efectivamente, pues las velocidades después de cada choque pueden apunta en cualquie diección, y al pomedia sobe diecciones de las velocidades iniciales de muchas paticulas colisionando se tiene: v pomedio 0 0 Sin embago, la apidez v 0 pomedio es finita, y no nula. La aceleación que expeimentan las patículas ente choque y choque está dada exclusivamente po la acción del campo eléctico: a qe m y luego, usando la Ley de Newton, e integando en el tiempo, la función velocidad instantánea está dada po: v t v 0 at v 0 qe m t Esta expesión se puede pomedia, paa obtene la velocidad caacteística que tienen las patículas duante su vuelo: v pomedio qe 0 m τ donde se ha usado que el pomedio de v 0 es nulo y el pomedio del tiempo de vuelo de las patículas es τ. 3 NOTA: la Cte es un númeo del oden de 1.0

5 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 88 Reemplazando el valo explícito de τ Cte v 0 nd esulta: v pomedio qe Cte mnd v 0 de donde se ve que la velocidad caácteistica que alcanzan las patículas es popocional al campo eléectico: v pomedio q Cte mnd E v 0 y a pati de éste esultado y usando que J nq v se obtiene la Ley de Ohm: J pomedio σe con conductividad σ dada po: q σ Cte md v 0 Una obsevación impotante aquí es que la conductividad es invesamente popocional a las apideces v 0 postcolisionales. Po oto lado se sabe que estas apideces son popocionales a la aiz de la tempeatua T caacteística a la cual está sometido el mateial (ve nota 4 ), de modo que la conductividad σ satisface: q σ Cte d mk B T Po oto lado la densidad de coiente J que cicula ente los extemos satisface la Ley de Ohm J σe, y luego, al incementa E en un facto α la densidad de coiente J también lo hace en el mismo facto. Sigue de esto que la coiente total J d s que cuza desde A hacia B tambien es popocional a V. Es deci, hay una popocionalidad ente V y la coiente V R (3.3) La constante de popocionalidad R se dice o denomina esistencia eléctica, y despejando R de la expesión anteio se puede escibi una definición explícita de ella: R V E d J d s (3.4) Las unidades de la esistencia son las de potencial dividido po coiente: Volts/Ampee lo que se denomina Ohm y se abevia Ω Ejecicios y Ejemplos 1. Resistencia de un alambe de lago L, áea unifome A y conductividad σ unifome en su inteio. Y mostando con esto que la conductividad disminuye si se aumenta la tempeatua T, o equivalentemente la esistividad ρ 1 σ aumenta con la tempeatua. Ota obsevación impotante es que la expesión paa σ depende de q, de modo que la conductividad es positiva independiente del signo de las cagas que se mueven. X L J E Figua 3.6: Alambe ecto unifome Z 3.4. Resistencia Eléctica A pati de la Ley de Ohm se puede conclui un esultado impotante que elaciona la difeencia de potencial V ente dos puntos con la coiente que cicula ente los puntos. Considee un mateial conducto de foma abitaia a cuyos extemos se ha aplicado una difeencia de potencial V. En su inteio se genea un campo electico E y se satisface: BA V E d Se apecia que si se incementáa el campo eléctico en todo el espacio en un facto α la difeencia de potencial tambien se incementaía en ese mismo facto. 4 NOTA: v 0 k B T m en que k B J/ o K Desaollo. Supondemos que el inteio del alambe se genea un campo eléctico unifome E E ˆx en todo el inteio del mateial. ntegando desde el extemo A hasta el extemo B el campo eléctico se obtiene paa la difeencia de potencial: V EL E d E ˆx ˆxdx

6 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 89 Po oto lado la coiente está dada po J d s σ E d s σea de modo que usando la definición de esistencia queda: R E d J d s EL L σea σa En téminos de la esistividad ρ 1 σ se puede eescibi: R ρl A. Resistencia de un pa de conductoes cilindicos de lago L, adios inteio a y exteio b concénticos y que ente ellos hay mateial con esistividad σ 0 unifome. Se aplica una difeencia de potencial V ente el cilindo inteio y el cilindo exteio. Desaollo. Si el cilindo inteio está a potencial V A y el cilindo exteio a potencial V B con V A V B se induce una densidad de coiente J que fluje desde el conducto inteio hacia el conducto exteio y que exhibe la simetía adial del cilindo (ve figua) J J ˆ en que ˆ es un vecto adial en coodenadas cilíndicas (NOTA: Paa este poblema hemos denotado la coodenada cilíndica adial con paa que así libea el símbolo ρ paa la esitividad). V a b a J V b Figua 3.7: Resistencia ente dos cilíndos concénticos Po consevación de caga la coiente total sobe cualquie supeficie concéntica es constante y de valo, en paticula paa una supeficie cilíndica de adio intemedio ente a y b se tiene: J ˆ d s J πl de donde sigue que J está dado po: J πl A continuación usando la Ley de Ohm sigue una expesión paa el campo E E ˆ como función de la posición en el inteio del mateial E J 1 σ 1 σ πl πσl Ahoa que conocemos E podemos hace explícitamente la integal V E d b 1 ˆ ˆ d a σ πl b 1 πσl a d πσl ln b a Finalmente esulta la esistencia: R V ρ πl ln b a en que hemos usado la esistividad ρ 1 σ Cicuitos de Coiente Contínua La f.e.m (fueza electomotiz ε) es la difeencia de potencial que es capaz de establece un agente químico ente los polos de una bateía. Ella es esponsable que se geneen coientes al inteio de un cicuito. Cuando los cicuitos son puamente esistivos las coientes esultan constante en el tiempo. En este apunte estudiaemos los cicuitos de coiente estacionaia.

7 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Cicuito Simple. Consideemos una bateía de f.e.m ε que es aplicada a una esistencia R. R i V= - e E + - bateía R Bateia Figua 3.9: Bateía con esistencia intena Resistencia E V= V R Figua 3.8: Bateía y esistencia Al hace la integal ceada de camino del campo eléctico desde el polo positivo (bone positivo de la bateía), hacia el polo negativo de ella, pasando po la esistencia y cuzando el inteio de ella 5 debe cumplise que: E dl 0 de donde bateia E dl esistencia E dl 0 ε V R 0 ε R 0 es deci la suma de las caidas (o difeencias) de potencial en cada segmento incluyendo la bateía debe se nula. Sigue que ε R Resistencia ntena. En una bateia eal debe considease adicionalmente la existencia de una pequeña esistencia intena R i. 5 Note que en el cálculo anteio la caida de potencial de la bateía (fem) da una contibución negativa ya que el camino de integación es conta la diección del campoe. No así en la esistencia en que hemos supuesto que la coiente va de la egión de mayo potencial a la de meno potencial. Se tiene entonces de donde ε V R V Ri Ri R i ε R R i Coiente Máxima. Cuál es la máxima coiente que se puede establece en este cicuito?. Si la esistencia extena es una esistencia vaiable, la coiente máxima max se obtiene paa R 0 max ε ε R R i R i Potencia disipada. Qué potencia disipa la bateía (R i ) en ese caso?. La potencia disipada es: P R i ε R i ε R i R i Po oto lado si la esistencia extena no es nula la potencia caloífica disipada po la esistencia extena R es P R (como veemos más adelante). Puesto que se obtiene que ella vale: P R ε R R R i ε R R i expesión paa P que tiene un máximo como función de R. Una pegunta que suge es paa qué valo de R se maximiza la potencia disipada po R?. Exigiendo dp dr 0 se obtiene: R R max R i (la esistencia extena debe se igual a la esistencia intena) y la potencia disipada po la esitencia R esulta, en dicho caso, P max ε R R i ε R i 4R, e i igual a la potencia disipada po la esistencia intena en la bateía.

8 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Regla páctica Una egla páctica, y equivalente a la de Kichoff paa los nudos, paa cuando hay vaias esistencias en un sistema y se quiee calcula las coientes al inteio de cada segmento del cicuito es intoduci loops ceados de coiente. Cada loop contibuye con su popia coiente ( 1,,... ). La diección de ciculación de dichas coientes se escoge en foma abitaia. En cada loop la caida neta de potencial debe se nula. El signo con que contibuyen las esistencias a la caida de potencial depende si se intega a favo de la coiente (signo más) o si se intega en conta (signo menos). dem paa la contibución de las bateías. R 1 R R? G R 3 Figua 3.11: Puente de Wheastone Ejemplo: esistencias en paalelo. R 1 R Figua 3.10: Resistencias en paalelo Este cicuito se usa paa detemina el valo de una esistencia desconocida R en témino de los valoes de 3 esistencias vaiables conocidas R 1, R, R 3. Lo que se hace paa detemina R es vaia los valoes de R 1, R, y R 3 hasta que la coiente que indica el galvanómeto G se anule. En dicha situación se tiene: R 1 1 R G R 0 R 1 R 3 R G 0 de donde sigue la popoción: R 1 R R R 3 que implica: R R 1 R 3 R Resistencias en Seie y Paalelo Muchas veces cuando hay vaias esistencias en seie y paalelo y no se quiee calcula el detalle de la coiente en cada segmento del cicuito, peo si la coiente neta que enta o sale de la bateia, es posible eemplaza el cicuito po uno equivalente. R 1 1 R 1 R 0 R R 1 ε 0 de este sistema de ecuaciones esulta 1 ε R 1 ε R 1 ε 1 R 1 1 R Oto ejemplo: puente de Wheastone. Resistencias en Seie Paa dos esistencias en seie Va { R 1 R { V 1 V Vb Figua 3.1: Resistencias en seie

9 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 9 se tiene V V 1 V R 1 R R 1 R de modo que la esistencia efectiva o equivalente del sistema es R eff R 1 R (3.5) Siempe que un cicuito se pueda dividi en subconjuntos de esistencias que están todas en seies o todas en paalelo es posible usa el método ecién descito, en tantos pasos como sea necesaio, paa calcula la esistencia total. Sin embago no siempe es posible esto como po ejemplo en el cicuito siguiente (el mismo cicuito que el Puente de Wheastone) que no está constituido ni po subcicuitos con esistencias en paalelo ni po subcicuitos con esistencias en seie. Va Resistencias en Paalelo Si las esistencias están en paalelo R 1 R R 5 1 R 1 R 3 R 4 R Figua 3.13: Resistencias en paalelo Vb Figua 3.14: Puente de Wheastone se tiene que la caída de voltaje ente los extemos de cada esistencia debe se la misma e igual a ε de modo que: ε 1 R 1 ε R Peo puesto que la coiente total que sale de la bateía es: 1 (Ley de Kichoff) sigue: 1 ε ε R 1 R 1 1 ε R 1 y la esistencia efectiva esulta 1 R eff R 1 R 1 1 R (3.6) Ejecicio popuesto: Se conecta una esistencia R 1 a una bateia de fem ε V 0 y se encuenta que la coiente es 0. Cuando se agega una nueva esistencia (en seie) se encuenta que la coiente disminuye a un nuevo valo 3 0. Cuánto vale el cuociente R 1 R?. Si las esistencias se ponen ambas en paalelo, Qué facción de la coiente 0 es la coiente en cada esistencia?. Cuánto vale la coiente (total) que llega a la bateia en téminos de 0? Efecto Joule Hemos visto que al inteio de un conducto las patículas cagadas se mueven libemente hasta que chocan con alguna ota patícula o obstáculo. Ente choques las patícu-

10 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 93 las ganan una cieta enegía debido al tabajo del campo. Ésta enegía ganada es pedida en cada nuevo choque de las patículas, donde es tansfeida a los obstáculos del mateial. La enegía tansfeida se tansfoma esencialmente en vibación de ellos en tono a una posición de equilibio (enegía cinética de vibación) o enegía témica, implicando una tempeatua. Pate de la vibaciones (enegía témica) se tansmite de obstáculo en obstáculo hasta llega a las paedes del mateial, donde es eliminada hacia el exteio en foma de calo. Es posible calcula exactamente la enegía calóica que se disipa haciendo uso de un agumento muy simple: Pimeo calculmos la enegía que ganaía una patícula de caga q debido al tabajo del campo, ente los extemos A y B del mateial. Esta es: W BA q BA V y toda ella se disipaía finalmente en las colisiones. En un intevalo de tiempo t la cantidad de caga total que cuzaía desde el punto A hasta el punto B seá Q t, de modo que el tabajo neto sobe todas las patículas hecho duante ese intevalo de tiempo es: W total BA Q BA V t BA V el tabajo total po unidad de tiempo o potencia esulta en consecuencia: P W total BA t BA V usando que V R queda finalmente P BA V R V R (3.7) Paa un conducto geneal de foma cualquiea se puede obtene una expesión equivalente que entega la potencia disipada en téminos de la densidad de coiente y el campo eléctico. Veamos. Pimeo escibamos la difeencia de potencial infinitesimal en la longitud dl de un pequeño paalelepípedo infinitesimal: dv E dl y la coiente infinitesimal d que cuza en el áea del paalelepipedo: d J ds La potencia disipada po el pequeño paalepipedo estaá dada po el poducto de la coiente po la difeencia de potencial, quedando: si el paalelepipedo se escoge oientado en la diección de la coiente esta expesión que se puede escibi como dp JE d σe d en que d es el volumen infinitesimal del paalelepípedo y se ha hecho uso de la Ley de Ohm (3.). Finalmente basta intega sobe el volumen total del mateial paa obtene una expesión integal paa la potencia total disipada: P σe d J E d (3.8) De acuedo con esto la enegía disipada po unidad de volumen seía: dp J E (3.9) d Ejecicio popuesto: Considee el poblema del pa de cilíndos concénticos de adios a y b y mateial de conductividad σ visto anteiomente. Use la expesión integal paa la potencia disipada ecién obtenida y las expesiones paa J y E deducidas en la solución de dicho poblema, e integando en el volumen ente los cilíndos concénticos calcule la Potencia total disipada. Demueste que el esultado coincide del que se obtiene usando P R. dp dv d J ds E dl

11 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Fueza magnética Se ha encontado expeimentalmente que la fueza sobe una caga eléctica q (en pesencia de imánes po ejemplo) depende no sólo de la posición en el espacio (F qe ), sino también de la velocidad v con que se mueve la patícula. Expeimentalmente se obseva que en pesencia de imanes la aceleación que expeimenta el objeto cece linealmente con la magnitud v de la velocidad (ma n Ctev) y también depende linealmente de la magnitud y de la caga que sufe la fueza y del signo de ella. Oto aspecto que se obseva es que dicha fueza no hace tabajo, es deci no cambia la apidez del objeto. Es posible postula entonces que además de la fueza eléctica una caga sufe una fueza de oto oigen (que diemos magnético) y que depende de la velocidad de la patícula: F F v F elec. F magnet. v Ley de Fueza Magnética Cuál es la ley de dicha fueza? que se: un vecto lineal en la caga q. Es clao que tiene una función lineal en el vecto velocidad v, lo que ya sugiee que la foma de la fueza es F q v peo, a la vez no debe hace tabajo, es deci la integal W F d 0 paa cualquie camino de integación. Esto excluye la posibilidad que dicha fueza sea colineal con v, peo admite que dicha fueza sea pependicula a la velocidad v. Una foma de asegua todo esto es estableciendo que la fueza magnética obedece una ley de la foma: F q v B (3.10) en que inteviene el poducto cuz ente la velocidad v y un nuevo vecto B llamado campo de inducción magnética o densidad magnética 6 6 De esta foma se asegua que W F d F v dt q v B v dt Fueza de Loentz El efecto conjunto de la fueza eléctica y del campo magnético se denomina fueza de Loentz: F q E v B (3.11) Unidades del Campo de nducción Magnética De esta ultima expesión se ve que, en el sistema intenacional de unidades, puesto que las unidades de E son [N/C]=[V/m], entonces las unidades de B son [V seg/m ]=1 [Webe/m ]= 1[Tesla] que se abevia [T]. La conección con el sistema CGS de unidades es 1 [T] = 10 4 [Gauss]. Magnitudes típicas son: imanes de laboatoio:.5 [T] = 5000 [Gauss], imanes supeconductoes: 5 [T] = [Gauss] campo magnetico de la Tiea: [T] = 0.5 [Gauss] Movimiento de cagas en un campo de inducción magnética El campo de inducción magnética puede se a su vez una función de la posición, e incluso del tiempo: B B t. La deteminación de B la ealizaemos más adelante cuando veamos la llamada Ley de Biot-Savat y la Ley de Ampee (una Ley integal análoga a la Ley de Gauss). Po ahoa nos contentaemos con infoma que, puesto que B es una función de la posición, en las egiones que haya mayo intensidad de campo magnético (mayo densidad de líneas de campo magnético) la aceleación seá más gande (luego el movimiento se cuvaá en foma más intensa), mientas que en las egiones en que la aceleación es poco intensa (meno densidad de líneas de campo) el movimiento se cuvaá poco, como muesta la figua de a continuación

12 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 95 Calcule la fueza inicial que expeimenta el potón. Hacia dónde se diige esa fueza?. Rpta. F e v B ev 0 B 0 ŷ ẑ ev 0 B 0 ˆx Algunos instantes más tade, debido a la acción de la fueza magnética, el potón se mueve con velocidad en diección ˆx. Hacia donde apunta ahoa la fueza?. Rpta. { { B Débil B ntenso Figua 3.15: Cuvatua de la tayectoía de una patícula cagada en pesencia de un campo de inducción magnética B que vaía con la posición. F e v B ev 0 B 0 ˆx ẑ ev 0 B 0 ŷ La diección de la fueza (aceleación) de la patícula se muesta en la figua siguiente paa los dos puntos de la tayectoia que se ha estudiado Movimiento de una caga en un campo de inducción magnético B unifome Consideemos pimeo el siguiente ejemplo patícula: 1. Un potón incide sobe una egión donde hay un campo magnético B B 0 ẑ (con B [T]), con velocidad v v 0 ŷ (con v [m/s]) como muesta la figua. q F a V A Y C Z F c X V q=e A Figua 3.16: Patícula cagada que incide sobe una egión con densidad magnética B unifome X Y C Puesto que la aceleación tangencial es nula (apidez no cambia) sólo hay aceleación nomal (que es la que apunta al cento de cuvatua). Radio de gio bajo un campo B unifome De estos ejemplos se ve que si el campo B es unifome la fueza magnética esulta, en este caso, constante en magnitud. Es deci la magnitud de la aceleación nomal a N ev 0 B 0 Cte, mientas que la aceleación tangencial tiene magnitud nula a t 0 (pues dv dt 0). Se concluye que el movimiento es cicula, y con aceleación puamente nomal a n v 0 R qv 0 B 0 m

13 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 96 de donde esulta que el adio de gio R (o adio de cuvatua) es R vm qb 0 (3.1) que en nuesto ejemplo esulta dl{ V B R vm qb [cm] A pati de a n w R qv 0 B 0 m y usando el esultado anteio paa R la apidez angula de gio esulta: w qb 0 m (3.13) Expesión que se conoce como la fecuencia de otación de Lamo, y que es independiente de la apidez v 0 con que se lanza inicialmente el potón Fueza Magnética sobe un distibución de coiente Si consideamos un elemento de caga dq que se mueve con velocidad v la coiente infinitesimal asociada dj dq v expeimente una fueza: df dq v B dj B (3.14) En el caso de una distibución lineal, supeficial y volumetica de caga se tiene d dj λ vd dq v σ vds KdS ρ Q vdv JdV (3.15) en que hemos intoducido las densidades de coiente lineal ( λ v), supeficial (K σ v) y volumética (J ρ v). Cable con Coiente Puesto que una coiente no son mas que cagas en movimiento con cieta velocidad v entonces es posible conclui que, en pesencia de un campo B, un cable expeimenta una fueza magnética que es la supeposición de las fuezas magnéticas que expeimentan las patículas que genean la coiente eléctica. Es deci la fueza que expeimentan los elementos de coiente dj d. Figua 3.17: Fueza sobe un elemento de cable que lleva coiente total La fueza magnética po unidad de longitud se puede escibi entonces: df d B (3.16) y en un cable de foma cualquiea la fueza total sobe el segmento completo de cable seá: F magnet. cable Bd (3.17) Asi po ejemplo paa la situación de la figua siguiente (suponiendo que el cable esta sujeto po sus extemos) si se aplica una coiente y hay además un campo B como muesta la figua, la defomación del cable seá la poducida po la fueza que esulta del poducto B, y su diección queda establecida de acuedo a la egla de la mano deecha paa este poducto. V B B Figua 3.18: Defomación de un cable que lleva coiente en pesencia de un campo de inducción magnética B

14 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Ejemplo 1. Se intoduce una espia cuadada de lago L en una egión con campo magnético unifome de magnitud B y paalelo a la supeficie que contiene la espia (ve figua). Detemina la fueza sobe cada segmento de la espia. Paa el toque se obtiene: τ df d B Es deci finalmente τ d B (3.19) Z Y B Expesión que en el caso de campo unifome se puede mosta (ve nota 7 ) es equivalente a τ m B 0 (3.) { L X L{ Figua 3.19: Fueza sobe una espia cuadada plana Rpta. B Bî. Luego F F F 1 3 F ˆx B ˆxd 0 ŷ B ˆxd BLˆk ˆx B ˆxd 0 ŷ B ˆxd BL Nota: Obseve que la fueza total sobe la espia en este caso esulta nula Fueza y Toque sobe una espia ceada. El momento magnético m Si la densidad magnética B es unifome (B B 0 ) se tiene F d B 0 d B 0 0 (3.18) puesto que la integal de camino es ceada y donde se ha apovechado que d d ya que la coiente es tangente a la tayectoia del cable. y en donde la cantidad m vale m d (3.3) y se conoce como momento magnético, y en el caso de una espia plana esulta: m A ˆn (3.4) en que A es el áea de la espia (no impota su foma) y 7 La demostación consiste en pimeo difeencia la expesión d B 0 usando queb 0 es unifome y despeja d B 0, esto es: d B 0 d B 0 d B 0 de donde esulta d B 0 d B 0 d B 0 (3.0) A continuación considea la identidad: a b c a c b b c a y las dos que se obtienen pemutando ciclicamente:a b,b c,c a. Es deci: bc a b a c c a b y c a b c b a a b c paa demosta, sumando miembo a miembo, que se obtiene: a b c b c a ca b 0 de donde, si identificamosa, b d yc B 0 esulta: d B 0 d B 0 B 0 d 0 Esta última pemite despeja d B 0 d B 0 d B 0 expesion que eemplazada en la Ec. 3.0 y tas despeja d B 0 entega: 1 d B 0 d 1 B 0 d B 0 Po ultimo integando en un camino ceado se obtiene: d B 0 1 d B 0 (3.1) donde se ha usado que la integal sobe un camino ceado de una difeencial exacta d es ceo.

15 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 98 ˆn la oientación de la espia de acuedo a la egla de la mano deecha (asumiendo que la diección positiva de gio es la diección en que gia la coiente electica ). Note que las unidades de m son las de Ampee-meto cuadado.

16 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Ley de Biot-Savat Hemos estudiado, el movimiento de cagas bajo un campo magnético dado. La pegunta que suge a continuación es Cómo se calculan dichos campos B?. La espuesta a esta pegunta fue dada po Biot y Savat el siglo antepasado, quienes establecieon que cualquie coiente es capaz de poduci un campo magnético en el espacio. Cietas coientes son claamente de oigen eléctico debido al movimiento de taslación de las cagas, otas coientes están elacionadas con la otación de los electones de valencia de las moléculas así como del spin quantico (epase su cuso de química) popio de las patículas, y son esponsables del magnetismo de los imanes natuales. Biot-Savat, estudiaon el campo magnético geneado po un cable cuvado. Esencialmente se estableció que un segmento d, ubicado en un punto, de un cable que pota coiente contibuye al campo magnético en un punto con una intensidad db dada po: db µ 0 d 3 esultado que eobtendemos más adelante de manea más diecta mediante la llamada Ley Cicuital de Ampee, en los otos dos estudiaemos situaciones que no pueden esolvese usando la Ley de Ampee: Campo de inducción magnética exacto de un solenoide de tamaño finito sobe su eje axial y campo geneado po una espia cicula sobe su eje axial. Si se considea el cable completo se debe intega en la vaiable de posición que descibe la cuva en el espacio que ocupa dicho cable, de modo que el campo de inducción magnética en el punto está dado po: B µ 0 d 3 (3.5) Expesión que es conocida como Ley de Biot-Savat. Esta expesión se puede escibi en foma más compacta intoduciendo los elementos infinitesimales de coiente dj dj d linea de coiente KdS coiente supeficial Jd coiente volumética Si la coiente está distibuida ocupando un volumen entonces hacemos el eemplazo: dj d Jdv, en que dv es el elemento de volumen que ocupa la densidad de coiente J, queda: B µ 0 J dv 3 (3.6) Cuando la coiente está distibuida sobe una supeficie (coiente supeficial K) el eemplazo es: d KdS. La expesión paa B esulta: B µ 0 K ds 3 (3.7) En la sección de a continuación veemos 3 ejemplos de aplicación de esta ley (de Biot-Savat) paa detemina el campo magnético. En el pimeo (cable ecto infinito) un

17 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Ejemplos 1. Un cable de lago infinito con coiente oientada en la diección positiva del eje Z cuza el plano de las XY po el oigen. Calcula el campo magnético en un punto de coodenada z 0 a distancia (sobe el plano de las XY). Figua 3.0: cable ecto infinito que lleva coiente Solucion: Los puntos del cable sólo tienen coodenadas sobe el eje Z, luego están descitos po: z ẑ. En consecuencia un elemento de longitud d sobe dicho cable se escibe: d dz ẑ El punto esá dado po: x ˆx yŷ 0ẑ. La difeencia que figua en la expesión de Biot-Savat queda, en este caso: x ˆx yŷ z ẑ, y su módulo (que también figua en dicha expesión) es: x y z. El poducto cuz ente d y esulta: dz ẑ x ˆx yŷ z ẑ xŷ yẑ dz. La integal es simple y se puede hace en foma explícita se obtiene: B x y 0 dz ρ z z 3 ρ ρ z 1 µ 0 z xŷ y ˆx xŷ y ˆx µ 0 µ 0 πρ xŷ y ˆx ρ ρ z 1 Po último eemplazando x ρ cosφ y y ρ sinφ en que φ es el ángulo de las coodenadas cilíndicas medido desde el eje de las X hacia el vecto de posición esulta: B µ 0 cosθŷ sinθ ˆx π en que el vecto ˆφ cosφŷ ρ sinφ ˆx es un vecto unitaio que indica la diección del campo de inducción magnética y que coesponde a un vecto que cicula en tono del oigen. El campo B se escibe finalmente: B µ 0 πρ ˆφ (3.8) esultado que es impotante y que ud debe ecoda. Reemplazando lo anteio en la Ley de Biot-Savat se tiene: B x y 0 µ 0 dz xŷ y ˆx x y z 3 Hacemos uso a continuación de que: x e y están fijos (así como los vectoes unitaios) y eemplazaemos po ρ a la distancia x y, queda: xŷ B x y 0 µ 0 y ˆx dz ρ z 3 Figua 3.1: Campo B cicula en tono al cable ecto

18 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 101. Campo de una espia cicula sobe su eje axial Z Y X La integacion de sinφ y cosφ en un peiodo π es nula. Resulta a B z µ 0 πa µ 0 a a z 3 ẑ z 3 ẑ El campo a lo lago del eje es máximo paa z 0, decece paa z y z como 1 z 3. El campo fuea del eje es más difícil de calcula. En la figua siguiente se bosqueja las lineas de campo B Figua 3.: Espia cicula Solución: Escogemos un sistema de coodenadas en que el plano XY que contiene a la espia y el eje Z coincide con el eje axial de la espia. Los puntos del cable solo tiene coodenadas sobe un ciculo en el plano XY, luego están descitos po acosφ ˆx asinφŷ de modo que, difeenciando, el elemento de longitud d sobe dicho cículo (cable) esulta: d asinφ ˆxdφ acosφŷdφ El punto donde inteesa calcula el campo está descito po zẑ La difeencia, que figua en la expesión de Biot-Savat, queda, en este caso: zẑ acosφx asinφŷ y su módulo (que también figua en dicha expesión) es: a cos φ a sin φ z a z 1 El poducto cuz ente d y esulta: d a sinφ ˆx cosφŷ dφ zẑ acosφx asinφŷ a z cosφ ˆx sinφŷ aẑ dφ Reemplazando, hasta aquí, se obtiene: B π aẑ z cosφ ˆx sinφŷ dφ µ 0 a a z 3 0 Figua 3.3: Lineas de campo de la espia cicula Se apecia que las líneas de campo son cuvas ceadas en tono a la coiente que cicúla. En consecuencia todas las líneas de campo pasan po el inteio de la supeficie que delimita la espia conductoa y van a da su vuelta po el exteio. Las líneas de campo mas cecanas al eje z van a da la vuelta mas lejos y po lo tanto se epaten en todo el espacio exteio. Se puede afima entonces, debido a la alta densidad de lineas de campo en el inteio de la espia y la coespondiente baja densidad de lineas de campo en el exteio de la espia (ya que el mismo númeo de líneas tiene un espacio infinito donde epatise) que el campo ceca del anillo y hacia su inteio es muy intenso, mientas que afuea y lejos del anillo dicho campo es débil.

19 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Campo exacto de un solenoide finito sobe su eje axial. { { } { B z µ 0 na ẑ L dz L a z z 3 integal que ya conocemos del ejemplo 1 (cambiando z po z z ), luego queda B z µ 0 na ẑ µ 0 nẑ z z a a z z 3 z L a z L z L a z L L L El campo expeimenta un máximo B max en el inteio en el punto z 0 dado po: Figua 3.4: Solenoide finito B max µ 0 nẑ L a L Solución: Aquí nos apovechaemos que ya conocemos el campo de una espia cicula sobe su eje axial. La contibución al campo sobe un punto de coodenadas z (donde se quiee calcula el campo), de una espia ubicada a altua z (una de las espias del solenoide) es de acuedo a la figua y el esultado del ejemplo anteio B z µ 0 a a z z 3 ẑ Paa obtene el campo neto B debemos suma (intega) sobe todas las espias del solenoide. Si definimos po n N L al númeo de espias po unidad de lago, la coiente en un elemento dz esulta d ndz de modo que la contibucion, sobe el punto z en el eje, de esa espia de goso dz, coiente d y ubicada a altua z, es db µ 0 da a z z 3 ẑ µ 0 na dz a z z 3 ẑ y el campo total B se obtiene integando desde z L a z L. expesión que se puede escibi intoduciendo el coeficiente η a L (coeficiente que mide la azón de aspecto ente goso y lago del solenoide): B max µ 0 N L ẑ 1 1 4η Si el solenoide es muy lago (η a deviene B max µ 0 Kẑ L 0) este valo en que K n N L coesponde a una coiente supeficial. Si hacemos el cambio z el eje se puede escibi B z 1 µ 0 Nẑ L z L el campo exacto sobe z 1 η z 1 z 1 η z 1 Un gáfico de la intensidad B z B 0 (en que B 0 B z z 0 ) paa distintos valoes de la azón de aspecto η es el que se muesta en la figua siguiente:

20 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad B(z)/B z/l Figua 3.5: Campo paa el eje axial del solenoide en los casos η 0 5, η 0 1, y η 0 01 donde se apecia que si la azón de aspecto es pequeña (solenide lago en elación a su diámeto) entonces el campo en el inteio del solenoide es muy unifome, justo en el bode (z= ) toma la mitad del valo en el cento y el campo mismo es pácticamente nulo fuea del solenoide. 4. Popuesto paa más adelante (cuando se haya estudiado la Ley Cicuital de Ampee): Paa el poblema del campo exacto de un solenoide sobe su eje axial, haga la integal de camino Bdz de la expesión obtenida paa B z desde el punto z L hasta z L y compae su valo con µ 0 N (la integal sobe un camino ceado, de acuedo con la Ley de Ampee). A pati de esto detemine la intensidad de la integal B dl del campo magnético fuea del solenoide. Qué tan pequeña esulta la integal sobe el exteio? (o en otas palabas: qué tan poco intenso es el campo afuea?). 1

21 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Ecuaciones paa B estático En esta sección estudiaemos las ecuaciones difeenciales que satisface el campo B paa el caso estacionaio en el tiempo. Estas ecuaciones, que deduciemos más adelante, son B 0 (3.9) B µ 0 J (3.30) y expesan que: No existen cagas magnéticas Las fuentes de B son las coientes geneadas po las cagas en movimiento (o más bien equivale a la foma difeencial de la Ley de Biot-Savat). Esta situación es análoga a lo que ocue paa el caso del campo E en que se tenía E ρ ε 0 (3.31) E 0 (3.3) ecuaciones que expesaban espectivamente la Ley de Coulomb (o equivalentemente la ley de Gauss) y el hecho que la fueza eléctica es consevativa Ecuación de la divegencia de B La intepetación de que no existen cagas magnéticas sigue diectamente de compaa la ecuación (3.9) con la ecuación (3.31) y obseva que en el caso del campo eléctico figua la densidad de caga eléctica, mientas que en el caso magnético no figua ninguna densidad de caga. Esto se intepeta como la no existencia de cagas magnéticas. Ota consecuencia que sigue de esta ecuación es que las líneas de campo de inducción magnética son líneas ceadas sobe si mismas o empiezan y teminan en infinito como muesta la figua de a continuación. Esto se puede visualiza en la figua de a continuación en que se ha gaficado a la izquieda una situación típica de campo electico en tono a una caga puntual y a la deecha una situación típica de campo magnético. Figua 3.6: Divegencia del Campo eléctico vesus Divegencia del Campo magnético. Note que el campo eléctico divege en tono a la caga, mientas que este compotamiento no se exhibe en el campo magnético que mas bien cicula en tono a la coiente La demostación que B 0 sigue de estudia la ley de Biot-Savat aplicada a una distibución de caga distibuida continuamente en el espacio: B µ 0 J µ 0 3 dv J 3 dv expesión que se puede eescibi usando la identidad a b b a a b, queda: B µ 0 J 3 J 3 dv J Si a continuación hacemos uso de que 0, y de la identidad 1 obtenemos: B µ 0 0 J 1 dv lo que completa la demostación ya que la identidad Φ 0 asegua B 0. Vecto Potencial magnético A Como B 0 y al mismo tiempo se tiene la identidad A 0 entonces debe existi un campo vectoial A tal que B A (3.33) Esta situación es análoga a la del campo E que satisface E 0, de donde sigue que existe un potencial escala V tal que E V (pues V 0).

22 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 105 El campo A ecién popuesto se dice el vecto potencial magnético asociado al campo B. Expesión explícita paa el vecto potencial magnético Tabajando la Ley de Biot-Savat es posible escibi una expesión explícita paa el campo A y que seá de utilidad. B µ 0 J 3 J dv µ 0 1 donde hemos hecho uso de que 1. Si además hacemos uso que aplicado a lo que da J Φ f Φ y donde el témino con es nulo, se obtiene B µ 0 J f Φ f 1 J dv 1 J J se puede elimina pues µ 0 J dv J dv de donde finalmente identificamos (via B A) A µ 0 J dv (3.34) Si la distibución de caga no es volumetica, sino supeficial o lineal, podemos hace uso de este mismo esultado pevio intoduci la coiente infinitesimal dj J dv, tenemos A µ 0 dj (3.35) Es impotante hace nota aquí el paecido de la expesión integal paa calcula A ecién obtenida con la expesión integal paa calcula el potencial eléctico A µ 0 J V 1 ε 0 dv ρ q dv Po oto lado habiamos visto que el potencial satisfacía la ecuacion de Poisson V ρ q ε. De la compaación anteio paa las expesiones integales de V y de A sigue que, 0 paa cada una de las componentes catesianas del vecto A se satisface una ecuación tipo Poisson. Es deci se tiene de donde sigue: A x µ 0 A y µ 0 A z µ 0 J x dv J y dv J z dv A x µ 0 J x A y µ 0 J y A z µ 0 J z o equivalentemente (en notación vectoial) la ecuación de Poisson paa A: A µ 0 J (3.36) Ecuación del oto de B o Ley de Ampee Aplicando oto a la expesion B A y haciendo uso de la identidad A A A sigue que: B A A peo es posible mosta que A 0 (ve nota 8 ) de modo que se tiene B A 8 NOTA: Que efectivamente se puede toma A 0, se veifica al constata que si escogemos oto potencial vectoiala tal que A A Ψ este tambien satisface A A B (ya que Ψ 0), de modo quea está deteminado salvo el gadiente de una función escala. O en otas palabas hay un gado de libetad escala en la definición dea. Este gado de libetad escala se puede fija imponiendo una ecuación escala sobea tal como lo es A 0. En todo caso la expesión integal paaa dada más aiba efectivamente satisface A 0 (esto último sin demostación).

23 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 106 Haciendo uso de la ecuación de Poisson paa A esulta B µ 0 J (3.37) que es ota de las impotantes ecuaciones de Maxwell Ley Cicuital de Ampee ntegando B sobe un cicuito ceado cualquiea y aplicando el teoema de Gauss y la Ley de Ampee ecién obtenida es posible deduci una Ley integal conocida como la Ley Cicuital de Ampee B d B ds µ 0 J ds es deci: B d µ 0 µ 0 J ds J ds (3.38) Se puede escibi en foma abeviada esta Ley definiendo: que cuza J ds (en que que cuza es la coiente neta que cuza la supeficie delimitada po el camino de integación) y definiendo la cantidad Γ B B d que se denomina Ciculación del campo de inducción magnético, de modo que la Ley Cicuital de Ampee se escibe usualmente: Al evés, la expesión Γ B µ 0 que cuza (3.39) B µ 0 J se puede entende como la vesión difeencial de la Ley Cicuital de Ampee. Las ecuaciones de Maxwell: B 0 (3.40) B µ 0 J (3.41) más condiciones de contono (bode) contienen la descipción completa del magnetismo estático en un medio no mateial.

24 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad Ley de Ampee. Revisitada! Hemos visto que cagas en movimiento en pesencia de campos magneticos expeimentan una fueza magnética con ley: F mag. q v B y que esta ley aplicada a lineas de coiente en pesencia de campos magneticos conduce a una ley de fueza, po unidad de longitud, paa un cable sumegido en un campo de inducción magnética B. dada po df dl B en que la diección de es la diección de la coiente electica a lo lago del cable conducto. La pegunta de cómo se calcula o obtiene el campo de inducción magnética B? tiene una espuesta que pasa po un expeimento impotante debido a Ampee. Reducida a su aspecto fundamental esta expeiencia consiste en que dos alambes paalelos ectos y muy lagos expeimentan una fueza atactiva si las coientes van en el mismo sentido peo epulsiva si van en sentido contaio. Si una de las coientes se inteumpe no se mide fueza de atacción o epulsion. 1 Si cambiamos de posición el cable dejando fijo el 1 (es deci movemos el cable en foma paalela al 1 y manteniendo la misma distancia ente cables), puesto que la fueza es atactiva, el campo magnético povocado po el 1e cable debe tene una diección que cambia a lo lago de un cicuito de adio como se indica en la figua. F B B Figua 3.7: Fueza ente cables Puesto que la fueza que expeimentan los cables la sufen en definitiva las cagas en movimiento al inteio de ellos (coientes), paa explica este fenómeno se plantea que esta fueza es de oigen magnético. Concentémonos en la fueza que sufe el cable debido al 1 paa el caso de dos cables que tienen coientes en la misma diección y sepaados una distancia. El campo magnético B que siente el cable paa povoca la fueza de atacción de este cable hacia el 1 tendía que tene una componente en la diección que indica la figua (el campo magnético seía geneado po el cable que hemos indicado con 1; el cable que sufe la fueza lo hemos indicado con ). 9 De estas obsevaciones se deduce que una coiente en el cable 1 genea un campo magnetico que cicula en tono de ella y cuya diección sigue la egla de la mano deecha: 9 En el caso de que el do cable tenga coiente opuesta es clao que este mecanismo implica una fueza epulsiva ya que al cambia de diección el poducto B cambia de signo.

25 30017 Electomagnetismo. ngenieía de Ejecución en Electicidad 108 Figua 3.8: Regla de la mano deecha paa la ciculación del campo B Decimos que: el campo magnético cicula en tono a la coiente del cable Oigen elativista de la fueza magnética: una expesión paa B Deduciemos a continuación una expesión explícita paa B en el caso de fueza ente cables paalelos. Genealizando este esultado e-obtendemos la llamada Ley de Ampee o Ley cicuital de Ampee. Consideemos cables que tiene coiente en la misma diección y de la misma magnitud como muesta la figua. v=0 + B λ=0 cable cable 1 Supongamos que conocemos la velocidad V de una caga de pueba (electón) que se mueve en el inteio del cable y sufe el campo magnético povocado po la coiente en el cable 1 (esta coiente es povocada po los electones que están en este cable y que se mueven con la misma velocidad de la caga de pueba). (velocidad que debe se la misma con que se mueven los electones que estan en el cable 1 que povoca el campo magnético). Po su pate los iones del cable 1 los supondemos quietos y también supondemos que no hay campo electico povocado po el cable 1, es deci la densidad lineal total de caga (electonica e ionica) en el cable 1 es nula: λ λ λ 0 En oto sistema de coodenadas que se mueva con velocidad V especto del pimeo la caga de pueba estaá quieta y luego de acuedo a un obsevado en este sistema no expeimentaa fueza magnética. Sin embago el obsevado en este sistema de coodenadas no puede evita ve la aceleación de atacción que sufe el cable en que se mueve la caga de pueba y que povoca que el cable tiendan a acecase al 1. Esta aceleación de atacción también la sufen todas las cagas en movimiento en dicho cable y eso es lo que hace movese al cable completo. Supongamos que sujetamos el cable y el 1 y evitamos que este se aceque hacia el. ntentemos calcula la fueza que sufe la caga de pueba. Paa ello consideamos que vista desde el do sistema de coodenadas la caga de pueba esta quieta de modo que esta fueza tiene que se de oigen electostático (fueza de Coulomb). La unica manea que esto sea así es que un obsevado en dicho sistema de coodenadas mida una densidad de caga no nula paa el cable 1, densidad que povoca un campo electico epulsivo que (como la caga del electon es negativa) hace la fueza de atacción. Paa calcula dicha densidad no nula haemos uso de un esultado de la teoía de elatividad especial de Einstein que dice que un segmento mateial de lago L que esta quieto en un sistema en eposo se ve mas coto desde un sistema en movimiento. Su lago L medido en un sistema en movimiento esta dado po: L L 1 V c en que c es la apidez de la luz. También haemos uso del supuesto que la caga total positiva que hay en dicho segmento de cable es la misma que hay en el segmento coespondiente en el oto sistema. La misma suposición paa la caga negativa. En el 1e sistema en que los N iones estan en eposo la caga total ionica es Nq y el lago del segmento de cable que ellas (en eposo) ocupan es L, de modo que la densidad lineal de caga coepondiente es λ Nq L. En este mismo sistema la densidad lineal de caga total es λ 0 de modo que paa la densidad lineal electónica se tiene λ λ En el do sistema en que los iones estan movimiento se mide la misma caga peo el lago ocupado po ellas es mas pequeño (segmento en movimiento): L 1 V c. La densidad de caga de los iones en este