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1 Re e Revistas Científicas e América Latina, el Caribe, España y Portugal Sistema e Información Científica Francisco J Arteaga B, Atilio Morillo P, Luis Obeiente Estabilización e un sistema e suspensión magnética aplicano una forma canónica Hamiltoniana e pasivia y linealización eacta por realimentación Revista INGENIERÍA UC, vol, núm, iciembre,, pp 5-58, Universia e Carabobo Venezuela Disponible en: Revista INGENIERÍA UC, ISSN Versión impresa: 6-68 farteaga@gmailcom Universia e Carabobo Venezuela Cómo citar? Fascículo completo Más información el artículo Página e la revista wwwrealycorg Proyecto acaémico sin fines e lucro, esarrollao bajo la iniciativa e acceso abierto

2 REVISA INGENIERÍA UC Vol, N o, 5-58, Estabilización e un sistema e suspensión magnética aplicano una forma canónica Hamiltoniana e pasivia y linealización eacta por realimentación Francisco J Arteaga B, Atilio Morillo P, Luis Obeiente Universia e Carabobo, Escuela e Ingeniería Eléctrica, Unia e Investigación en Automatización Inustrial, Valencia, Venezuela Centro e Investigación e Matemática Aplicaa, División e Postgrao e Ingeniería, Universia el Zulia, Maracaibo, Venezuela farteaga@uceuve, amorillo7@cantvnet, lobeien@uceuve Resumen El objetivo e este trabajo es el iseño e controlaores no lineales para la estabilización en torno a un punto e equilibrio e un sistema electroinámico con una inámica sencilla pero que aún así requiere e un tratamiento no lineal, como lo es el sistema e suspensión magnética constituio por un electroimán Se proponen os acciones e control: la primera, erivaa e aplicar la técnica e linealización eacta meiante realimentación el estao; y la seguna, obtenia como resultao e utilizar un proceimiento e pasivización basao en la escripción el sistema en una forma canónica Hamiltoniana e pasivia que sintetiza la manera como los términos isipativos y no isipativos e la energía influyen en la inámica el sistema Palabras clave: Sistema e suspensión magnética, linealización eacta, pasivización, forma canónica Hamiltoniana Stabilization of a magnetic suspension system by application of a Hamiltonian canonical passivity form an eact feeback linealization technique Abstract he purpose of this work is to esign nonlinear controllers for stabilizing an electroynamic system, with a simple ynamic but still requiring a non linear treatment, aroun an equilibrium point wo control actions are propose for a magnetic suspension system forme by an electromagnet he first one, erive from applying the eact linealization technique by state feeback he secon one is obtaine as a result of a passivization proceure base on a system escription in a Hamiltonian passivity canonical form that synthesizes the way in which issipative an non issipative energy terms influence the system ynamics Keywors: Magnetic suspension system, eact linealization, passivization, Hamiltonian canonical form INRODUCCIÓN En este trabajo se abora el problema e controlar la altura e una esfera e acero, respecto a un nivel e referencia, meiante su suspensión o levitación en contra e la fuerza e la gravea, por meio el uso e un electroimán Las variables e estao consieraas para moelar el sistema han sio la altura e la esfera meia hacia abajo, su velocia, y la corriente en la bobina el electroimán; mientras que la acción e control es ejercia por el voltaje suministrao al sistema Una escripción el sistema físico y la eucción el moelo matemático puee encontrarse en los trabajos realizaos por Barie, Chiasson [] y Harley, Wölfle [] Se iseñaron os controlaores en espacio e estao, los cuales parten e bases teóricas 5 Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre

3 Arteaga, Morillo y Obeiente iferentes, y eplotan propieaes isímiles el sistema, y por lo tanto, conucen a esquemas e control iferentes Se utiliza, en primer lugar, el esquema e control e linealización eacta por realimentación FLC La técnica e FLC se istingue por su sencillez algorítmica, pero son bien conocias sus esventajas Por ejemplo, su alta sensibilia ante las perturbaciones e los parámetros y su requerimiento e conocimiento perfecto e los estaos En tal sentio, resulta apropiao utilizarla conjuntamente con otros métoos, a fin e eaminar la efectivia e los mismos en cuanto a superar las eficiencias e incertiumbres en el moelo [-5] El seguno controlaor usao es resultao el enominao enfoque e control basao en pasivia, enotao como PBC La pasivia es una propiea funamental e una amplia familia e sistemas físicos, y puee efinirse en términos e la isipación y transformación e la energía el sistema En relación a la isipación e la energía, el PBC puee ser entenio como una etensión e los llamaos métoos e moleao e la energía e inyección e amortiguamiento [6], [7] Esta técnica consta e os etapas básicas: una etapa e moleao e la energía, la cual consiste en moificar la función e energía e forma tal que la nueva función posea un mínimo global en el punto e equilibrio eseao; una etapa e inyección e amortiguamiento, la cual consiste en moificar las propieaes e isipación el sistema a fin e hacer el punto e equilibrio asintóticamente estable Para una iscusión completa e este tópico se puee consultar Ortega [7] Las coniciones geométricas para que un sistema inámico sea pasivizao por realimentación alreeor el origen respecto a una eterminaa función e almacenamiento e energía V y una salia fijaa el sistema han sio establecias por Byrnes [8] Sin embargo, para un sistema que en principio no sea pasivo, puee aplicarse el proceimiento e pasivización esarrollao por Sira-Ramirez [9] En este métoo, partieno e una función e energía V típicamente una función cuarática que satisface una cierta conición e transversalia, meiante un cambio e coorenaas e la entraa, se obtiene una epresión canónica Hamiltoniana e pasivia el sistema que facilita la aplicación e la técnica PBC, alreeor e un punto e equilibrio, no necesariamente el origen Esta forma canónica revela la manera como los términos isipativos y no isipativos e la energía influyen en la inámica el sistema El resto el trabajo está organizao como sigue En la Sección se escribe el moelo matemático el sistema e suspensión magnética constituio por un electroimán En la Sección se analiza el sistema ese la perspectiva e la linealización eacta y se iseña el control FLC En la Sección 4 se aplica el proceimiento e pasivización e Sira-Ramirez [9], se empieza por eterminar la conición pasivizable el sistema y sintetizar la función e realimentación que logra pasivizarlo; luego, basánose en la citaa forma canónica Hamiltoniana el sistema pasivizao, se aplican los métoos e moleao e energía e inyección e amortiguamiento, esembocano finalmente en un compensaor inámico auiliar para alcanzar la estabilización asintótica alreeor el punto e equilibrio eseao Finalmente, la Sección 5 contiene las conclusiones el trabajo MODELO MAEMÁICO El sistema e suspensión magnética consiste e una esfera e acero que se suspene meiante la acción el campo magnético generao por un electroimán e corriente controlaa por realimentación a través e una meición óptica e la posición e la esfera La ecuación e movimiento e la esfera es: m && y ky& mg F y, i one m es la masa e la esfera, y > la posición vertical meia hacia abajo, k es el coeficiente e fricción viscosa, g es la aceleración e gravea, F y, i es la fuerza generaa por el electroimán, la cual epene e la corriente i La inuctancia el electroimán epene e la posición e la esfera, y puee moelarse entre varias alternativas semejantes como: L L y L y / a Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre 5

4 one L, L y a son constantes Este moelo representa el caso en el que la inuctancia tiene su máimo valor cuano la istancia al electroimán e la esfera es mínima, y ecrece a un valor constante a meia que la bola se aleja a hasta y Obsérvese que L y,para too y omano: E, yi Lyi como la energía almacenaa en la bobina, la fuerza F y, i viene aa por: La ecuación que gobierna el subsistema eléctrico está aa por: v & φ Ri 5 one v es la fuente e tensión en el circuito y φ L y i es el flujo magnético De manera que: v Ly yi & y L y i & Ri 6 e one se obtiene: & E Li Fyi, y a y / a L / i v Ri y i a y a Ly & 4 7 Ω Estabilización e un sistema e suspensión magnética {,, R / >, } > Un fácil cálculo muestra que los puntos e equilibrio el sistema vienen aos por: mg a,,,, * * * R R al para un valor fijao u v * e la variable u, y una posición eseaa R El objetivo e control es estabilizar el sistema en torno a un punto e equilibrio eseao *, y para ello se asumirá un conocimiento perfecto el estao DISEÑO DEL CONROL FLC El sistema e suspensión magnética 8 puee epresarse en la forma afín aa por: & f g u y h one f y g son los campos vectoriales efinios por: 9 Introucieno las variables e estao y,, u v, reemplazano en y en 7, y&, i obtenemos el sistema: & k La & g m m a La y & R u L a one el vector e estao varía en la región e operación el sistema: 8 k La f g m m a La R L a g L 5 Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre

5 Arteaga, Morillo y Obeiente y es la función e salia y h h Es obvio que el grao relativo el sistema respecto a la salia y es, por lo tanto, e acuero a resultaos bien conocios véase, por ejemplo, [8], eiste un ifeomorfismo : U Ω U, one U es un entorno e un punto e equilibrio el sistema, y un cambio e coorenaas afín y epeniente el estao, epresao por: u α β υ con β, tal que en las coorenaas efinias por el sistema original es equivalente a un sistema lineal epresao en la forma canónica e Brunovsky: β La ma L En el sistema lineal y controlable 6 obtenio se puee hacer: υ kz z k * * con una ganancia k e moo que sea Ac Bck Hurwitz Por ejemplo, puee utilizarse un regulaor lineal cuarático LQR para la elección e k Con el control υ k * el sistema 8 se estabiliza en el punto e equilibrio * 8 9 z& A z Bυ c 4 4 DISEÑO DEL CONROL PBC que En este caso, un fácil cálculo muestra z viene ao por: z z k z g La m m a 5 En esta sección se iseñará el control por pasivización, aplicano el proceimiento esarrollao por Sira-Ramirez y aplicao a iferentes tipos e procesos eléctricos, químicos, etc [9-] A Pasivización el sistema El sistema e suspensión magnética 8 puee escribirse en la forma general & f g u y h mientras que 4 viene aa por: z& z υ 6 con: kla k k α g m m m a La RLa ma a ml 4 La a ml 7 observano que los campos vectoriales f y g son: k La f g m m a La R L a g L Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre 5

6 mientras que la salia es: y h Estabilización e un sistema e suspensión magnética De one se obtiene que el campo vectorial f posee la escomposición natural respecto e la función e almacenamiento V: Como se estableció en la sección previa, el sistema es e fase mínima y la salia el sistema tiene grao relativo La región e operación el sistema ya escrita en 9 es: Ω tal como se estableció en la Sección, con y aemás acotaos superiormente por las coniciones físicas el sistema Consiérese la función e almacenamiento e energía es fácil ver que: {,, R / >, } > L V Ω gv en L Por lo tanto, el sistema es pasivizable con función e almacenamiento e energía V Es ecir, eisten funciones escalares α y β en Ω con β en Ω, tales que el cambio e coorenaas ao en la ecuación : u α β υ hace que el sistema en lazo cerrao 8-4 sea pasivo respecto a la función e almacenamiento V y a la rata e suministro efinia por s uy, uy La erivaa e V, respecto al tiempo a lo largo e las trayectorias e 8, es: k R La V& g m L ma L a u L a L 4 5 f f f f n I con: k f m R L La fn g ma La L a f I one las componentes f, f n y f I satisfacen: R L k Lf V en m Ω En forma resumia, la erivaa e V, respecto al tiempo a lo largo e las trayectorias el sistema 8, se epresa como: La ma L V g f n La L a L f I V en Ω no negativa en Ω inefinia en Ω V& L V L V L V u f f n g ó Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre

7 Arteaga, Morillo y Obeiente Consiérese la transformación e coorenaas e la entraa epeniente el estao: h Lf V δh n u υ L V LV LV g g g one es una nueva función e control y δ es un escalar estrictamente positivo Substituyeno caa término ya calculao en 5, se obtiene u υ PBC δ L υ L L Esta función u PBC es e la forma 4, por lo tanto es una realimentación que hace pasivo al sistema en lazo cerrao 8-4, es ecir al sustituir en la epresión para υ aa en, se obtiene: V& υ la cual es la epresión iferencial e la pasivia e acuero a Byrnes [8] B Forma canónica el sistema pasivo Substituyeno u PBC en el sistema e suspensión magnética 8, obtenemos el sistema en lazo cerrao: g L La LaL a m a & k La & g m m a R g L a & L ma δ v Este sistema en lazo cerrao puee epresarse en la forma canónica Hamiltoniana V V R & I M υ 4 one I, R son matrices tales que I I, R R que satisfacen las ecuaciones δh V f g R fi V g V I g fn V g V I Basánose en estas consieraciones se obtienen las matrices g g g La I ma g La m a k R m R δ L Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre 55

8 Estas matrices satisfacen las coniciones 5 y las ecuaciones 6 con: V 8 C Moleao e la energía e inyección e amortiguamiento Done: Consiérese la función e energía moificaa V V,,, es un vector e estaos auiliar que representa el estao que se esea alcanzar Es ecir: V [ ] Derivano V respecto el tiempo a lo largo e las trayectorias el sistema, se obtiene: que se interpreta como un compensaor inámico con: y así: Estabilización e un sistema e suspensión magnética Se tenrá en efinitiva que: V& R m R R R De one se sigue que V, es una función e Lyapunov para el sistema y, por lo tanto, el vector t converge asintóticamente hacia la trayectoria auiliar t D Compensaor inámico m V& a b con: a b i inf λmin R > Ω sup λma R > Ω m m V & & [ & ] R I M υ 4 En la ecuación 44, que efine el compensaor inámico, poemos sustituir los valores e R, R, y, con lo cual se obtiene la i I M ecuación iferencial 49 Agregano ahora un término que representa la inyección e amortiguamiento e la forma R i, tal que Rm R Ri sea una matriz semiefinia positiva para too Ω, se obtiene V & [ R R I i R R M υ & I i Ahora se puee imponer que el vector auiliar satisfaga la ecuación iferencial orinaria & R R M υ I i ] 4 44 La ecuación 49 obtenia es un sistema lineal epeniente el tiempo respecto a la variable auiliar Con ella se ispone e suficiente liberta para sintetizar el control e realimentación eterno υ ípicamente se impone a una componente particular e un valor e equilibrio constante eseao, en corresponencia con el punto e equilibrio original * consierao En este caso se puee particularizar usano las variables auiliares ξ y η como se muestra en la ecuación 5 Con lo cual se obtiene finalmente la ecuación algebraico-iferencial 5 que prouce υ 56 Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre

9 Arteaga, Morillo y Obeiente & & & R R m ma ma L & g g ξ η * R ξ & g g g k La g La R δ R g α k La m m a * η ξ η η * 5 CONCLUSIONES Se alcanzó el iseño e los controlaores anunciaos para el sistema e suspensión magnética, tanto el basao en la linealización eacta, como el basao en la metoología PBC En el iseño e ambas propuestas, para mayor simplicia se asumió la isponibilia total el estao, sin embargo un análisis más realista ebería contemplar la inclusión e observaores para meir algún estao inobservable, como lo es la velocia, por ejemplo El iseño el controlaor PBC resultó ser mucho más interesante, ya que este se basa en aspectos estructurales e la física e los subsistemas eléctrico y mecánico que conforman el sistema completo, especialmente en la relación entre el almacenamiento e energía y su isipación En este punto se R g La R δ υ ξ η m a L R ξ, η, * υ * eplota la escripción el sistema en forma canónica Hamiltoniana e pasivia, la cual sintetiza la manera como los términos isipativos y no isipativos e la energía influyen en la inámica el sistema Una etapa inmeiata que haría falta esarrollar para proseguir este trabajo, es la realización e simulaciones computacionales en ambiente Matlab-Simulink, por ejemplo, que permitan la comprobación e la eficiencia e las acciones e control sintetizaas, así como e su robustez ante la incertiumbre e los parámetros y ante la presencia e perturbaciones Las simulaciones también permitirían una comparación el esempeño e ambos controlaores entre si, así como frente a otras propuestas conocias Aicionalmente sería muy pertinente analizar el problema e seguimiento e trayectorias en el caso el control basao en pasivia AGRADECIMIENOS Los autores epresan su reconocimiento a la Dirección e Investigación e la Faculta e Ingeniería e la Universia e Carabobo por el financiamiento otorgao para la actual realización e este proyecto e investigación REFERENCIAS [] Barie W an Chiasson J: Linear an nonlinear state-space controllers for magnetic levitation International Journal of Systems Science, Vol 7, No [] Hurley, W G an Wölfle, W: Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension System, IEEE rans On Eucation, Vol 4, No [] Isiori, A: Nonlinear Control Systems: An Introuction Springer-Verlag, Secon eition, Berlin, 989 [4] Khalil, H: Nonlinear Systems, Macmillan Pub Co, New York, 99 [5] Slotine J J an Li W: Applie Nonlinear Control, Prentice-Hall, New Jersey, USA, 99 [6] Ortega, R, Van Der Shaft, A, Maschke, B an Escobar, G: Energy-Shaping of Port-Controlle Hamiltonian Systems by Interconnection, Proceeings of the 8 th Conference on Decision an Control, Phoeni, Arizona, USA, December Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre 57

10 [7] Ortega R, Loira A, Nicklasson P J, an Sira- Ramírez H, Passivity Base Control of Euler Lagrange Systems Mechanical, Electrical, an Electromechanical Applications Springer Verlag, Lonon, 998 [8] Byrnes C I, Isiori A, an Willems J C, Passivity, Feeback Equivalence an the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems IEEE rans on Automatic Control, Vol 6 99, 8-4 [9] Sira-Ramírez H an Ángulo M I: Passivity Base Control of Nonlinear Chemical Process, International Journal of Control, Vol 68, No 5 997, Estabilización e un sistema e suspensión magnética [] Sira H, Pérez R, Ortega R, an García M: Passivity-base Controllers for the Stabilization of DC-to-DC Power Converters, Automática, Vol 997, [] Camacho O, Rojas R, Pernía A, y Pérez M, Control basao en pasivia para procesos químicos, Revista écnica Ingeniería Universia el Zulia, Vol 5, No, - [] Morillo A y Arteaga F, Sistema e Suspensión Magnética Controlao por Voltaje: Linealización Eacta y Pasivización, IV Congreso e Automatización y Control, Méria, Venezuela, -4 Noviembre, 58 Rev INGENIERÍA UC Vol, N o, Diciembre