UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS AUTOR: Br. SANTOS RAUL LEZCANO CHICLAYO ASESOR: Mg. GUILLERMO RAMÍREZ LARA Trujillo - Perú 2014

2 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Y UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO AS FACULTAD DE CIENCIAS FI SICAS Y MATEMA TICAS CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC ESCUELA ACADE MICO PROFESIONAL DE MATEMA TICAS CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIO N A LA TEORI A DE LA PRODUCCIO N TESIS PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN IO TE MATEMA TICAS AUTOR: BI BL Br. SANTOS RAUL LEZCANO CHICLAYO ASESOR: Mg. GUILLERMO RAMI REZ LARA Trujillo - Peru 2014

3 CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC AS Y Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Jurado Dr. Amado Mendez Cruz Presidente Vocal BI BL IO TE Dr. Jose Diaz Leiva Mg. Guillermo Ramı rez Lara Asesor

4 Dedicatoria Al dueño de mi vida, Dios, mi Señor. A los seres que más amo en el mundo, mis padres, Genaro y Balbina. A mis dos grandes apoyos: mis hermanos Paulino y Sara.

5 Agradecimiento A DIOS Nuestro señor por hacerme un hombre de bien. A mis Padres Genaro y Balbina que con su empeño, dedicación y comprensión supieron guiarme a lo largo de mi vida. A mis Hermanos Paulino y Sara con quienes escribí una de las más bellas páginas de mi vida. Al Profesor Mg. Guillermo Ramírez Lara, por su apoyo y orientación en el desarrollo de esta Tésis. A todos mis Maestros por su ayuda y dedicación que me brindaron en el transcurso de mis estudios.

6 Presentación Señores miembros del jurado: Presento ante ustedes el informe final de Tesis intitulado CORRESPONDENCIAS Y UNA APLICACIÓN A LA TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN, con el propósito de optar el Título Profesional de Licenciado en Matemáticas, en cumplimiento del reglamento de Grados y Títulos de la Universidad Nacional de Trujillo para aprobar el informe de Tesis. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación. El Autor

7 Lista de Símbolos Γ : X Y : Correspondencia de X a Y. Γ + : Inversa superior de Γ. Γ : Inversa inferior de Γ. R n : Espacio vectorial n-dimensional. R n + : El conjunto de los vectores n-dimensionales con componentes no negativos. = : Implica. : Si y sólo si. [x, y] : Intervalo cerrado. : Inclusión de conjuntos.

8 Índice general Jurado III Dedicatoria IV Agradecimiento V Presentación VI Lista de Símbolos VII Resumen X Abstract XI Introducción XII I. Preliminares El espacio vectorial R n Conjuntos convexos Propiedades de los conjuntos convexos Funciones convexas Funciones Cuasiconvexas II. Correspondencias Conceptos sobre correspondencias Conceptos de convexidad para correspondencias

9 ÍNDICE GENERAL ix 2.3. Conceptos de continuidad para correspondencias Correspondencias de producción Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X R m Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X Conclusiones 36 Referencias Bibliográficas 38

10 Resumen Este trabajo es un estudio sobre algunos aspectos de la teoría de Correspondencias y una de sus aplicaciones a la teoría de la producción económica cuando existe una gama de insumos disponibles y su objetivo es definir las llamadas correspondencias de producción e investigar sus propiedades asi como las interpretaciones geométricas y económicas de las correspondencias de producción de entrada y salida.

11 Abstract This work is an application of some aspects of the correspondences theory and one of its applications to economic production theory when there exist is a range of inputs available; its subject is define so called production correspondences, explore their proprieties and also give the economic and geometric interpretations of the properties of the imput and output correspondences. KEY WORDS: Production correspondences, imput and output production correspondences, convex and quasiconvex correspondences

12 Introducción El concepto de correspondencia que es una generalización del concepto usual de función, fue introducido por Hahn en los años de en su libro Reelle funtiones. Luego el tema de las correspondencias se perdió por muchos años hasta su descubrimiento por C. Berge quien en [3] presentan varias aplicaciones entre ellas su Teorema del maximo. Sin embargo a la fecha existe un gran interés por las correspondencias habiendose logrado un desarrollo sistemático de la teoria de correspondencias debido fundamentalmente a sus aplicaciones en diferentes campos de la matemática: optimización, teoría de optimización, teoría de juegos, lógica difusa y economía matemática, etc. Las clásicas funciones de producción sólo tienen sentido en un contexto macroeconómico, pero no sirven para planificar la producción en caso que haya toda una gama de insumos; para esto es conveniente trabajar con correspondencias de producción en lugar de funciones de producción. En este trabajo estudiamos estructuras de producción en las que hay toda una gama de insumos. Estas estructuras tienen la propiedad de que un vector de insumos x dado es capaz de producir cualquier vector de productos seleccionado de un conjunto dado P (x). El punto de partida está en considerar estos conjuntos de producción P (x) como lo más importante, es decir, considerar una correspondencia P como la función de producción, aunque ésta no representa, en ningún sentido, el máximo producto alcanzable que es como se define una función de producción. En el capitulo I presentamos los fundamentos matemáticos relacionados con las correspondencias, correspondencias continuas, cerradas, convexas y cuasiconvexas.

13 Introducción xiii En el capitulo II presentamos las definiciones de las correspondencias de producción de entrada y de salida y establecemos sus propiedades e interpretaciones económicas y geométricas.

14 Capítulo I Preliminares 1.1. El espacio vectorial R n Revisemos alguna terminología y notación en el espacio R n donde trabajaremos exclusivamente. Con R denotaremos el conjunto de los números reales y con R n, n N, el conjunto de todas las n-uplas de números reales, es decir, R n = R R R = {x = (x 1, x 2,..., x n )/ x i R, i = 1,..., n} El número real x i se llama la i - ésima componente de x = (x 1, x 2,..., x n ). En particular, R 1 = R es el conjunto de los números reales (recta real), R 2 es el conjunto de todo los pares ordenados de números reales (plano Euclideano), R 3 es el espacio ordinario tridimensional. En R n definimos dos operaciones: la suma y la multiplicación escalar, de la siguiente manera: Sean x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n y λ R. La suma de x e y, x+y, se define por x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), La multiplicación de x por un escalar λ, λx, se define por λx = (λx 1, λx 2,..., λx n ).

15 1.1 El espacio vectorial R n 2 Decimos que dos n-uplas x, y R n son iguales, x = y, si y sólo sí, tienen exactamente las mismas componentes, es decir x = y x i = y i para i = 1, 2,..., n. Es fácil ver que las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas anteriormente satisfacen las siguientes propiedades. Sean x, y, z R n, y λ, µ R. Entonces (A1) x + y = y + x (A2) x + (y + z) = (x + y) + z (A3) Existe un elemento 0 R n tal que x + 0 = x x R n. (A4) x R n,existe un elemento x R n tal que x + ( x) = 0 (M1) λ(x + y) = λx + λy (M2) (λ + µ)x = λx + µx (M3) λ(µx) = (λµ)x (M4) 1.x = x Definición La terna (R n, +, ), donde las operaciones + y, de suma y multiplicación escalar, respectivamente, satisfacen las propiedades (A1)-(A4) y (M1)-(M4) se llama espacio vectorial (lineal) real. Los elementos R n se llaman entonces vectores n-dimensionales o simplemente vectores o puntos. Las operaciones de suma y multiplicación escalar determinan la estructura vectorial de R n, pero no son suficientes para definir los conceptos de distancias y ángulos. Para esto es necesario introducir el concepto de producto interno (o producto escalar) en R n.

16 1.2 Conjuntos convexos 3 Definición Un producto interno en R n es una función, : R n R n R (x, y) x, y que asigna a cada par de vectores x, y R n un escalar (número real) denotado por x, y o x y, que satisface las siguientes propiedades: (PI.1) x, x 0 x R n (PI.2) x, x = 0 x = 0 (PI.3) x, y = y, x x, y R n (PI.4) x + y, z = x, z + y, z x, y, z R n (PI.5) λx, y = λ x, y λ R, x, y R n. El producto interno estándar en R n, se define por n x, y = x i y i El espacio vectorial R n con este producto interno se llama espacio Euclideano n-dimensional. i= Conjuntos convexos Definición Sean x, y R n. El segmento de recta que une x e y, denotado por [x, y], es el conjunto de todo los puntos de la forma z = λx + (1 λ)y donde λ [0, 1], es decir, [x, y] = {z R n, z = λx + (1 λ)y, λ [0, 1]} Los puntos del segmento de recta [x, y] se llaman combinaciones convexas de x e y. Si x = y, el segmento [x, y] se reduce a un solo punto. Si λ = 1 ( ) ( ) 1 1 2, z = x+ y 2 2 es el punto medio de [x, y]. Para λ = 1 3, 2 se obtienen los puntos de trisección del 3 segmento [x, y].

17 1.2 Conjuntos convexos 4 Figura 1.1: El segmento [x, y] Ejemplo. Si x = (6, 2), y = (1, 4) son dos puntos del plano, entonces el punto z = λx + (1 λ)y = λ(6, 2) + (1 λ)(1, 4) = (6λ + (1 λ)1, 2λ + (1 λ)4) = (5λ + 1, 2λ + 4), λ [0, 1]. Notemos que si λ = 0, entonces el punto z coincide con el extremo y; si λ = 1, el punto z coincide con x. Para 0 < λ < 1 el punto z describe todos los puntos entre x e y. Si λ = 1 2 obtenemos el punto ( 7 2, 3 ) que es el punto medio del segmento [x, y]. Definición Un conjunto C R n se llama convexo, si y sólo si, el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de C está contenido en C, es decir, C es convexo [x, y] C definición. x, y C. El conjunto vacio se supone que es convexo por

18 1.2 Conjuntos convexos 5 Figura 1.2: El segmento de extremos x = (6, 2) y y = (1, 4) Figura 1.3: Conjunto convexo y no convexo

19 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos Propiedades de los conjuntos convexos Propiedades algebraicas de los conjuntos convexos Sean A y B subconjuntos de R n y α R. Definimos a) La suma de A y B, A + B, como el conjunto A + B = {x + y / x A, y B} b) El múltiplo escalar de A, αa, como el conjunto αa = {αx/ x A} Teorema Si C 1 y C 2 son conjuntos convexos, entonces su suma C 1 + C 2 = {x 1 + x 2 / x 1 C 1, x 2 C 2 } es también un conjunto convexo. Demostración. Sean x, y C 1 +C 2. Entonces existen x 1, y 1 C 1, x 2, y 2 C 2 tales que x = x 1 +x 2, y = y 1 + y 2. Si λ [0, 1] y z = λx + (1 λ)y, entonces z = λx + (1 λ)y = [λx 1 + (1 λ)y 1 ] + [λx 2 + (1 λ)y 2 ]. Como C 1 y C 2 son convexos, λx 1 + (1 λ)y 1 C 1, λx 2 + (1 λ)y 2 C 2. Por tanto, z C 1 + C 2 y, asi C 1 + C 2 es convexo. (ver figura 1.4) Observación Del teorema anterior, si C es un conjunto convexo en R n y a R n, entonces la traslación de C por el vector a C + {a} = C + a es un conjunto convexo (ver figura 1.5). Notemos también que C 1 + C 2 = (C 1 + a) = (C 2 + b) (1.1) a C 2 b C 1

20 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos 7 Figura 1.4: Figura 1.5:

21 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos 8 Teorema Si C es un conjunto convexo en R n y α R, entonces el conjunto αc = {z R n / z = αx, x C} es convexo. Demostración. Si x, y αc, entonces existen x 1, y 1 C tales que x = αx 1, y = αy 1. Luego, si λ [0, 1], entonces z = λx + (1 λ)y = α[λx 1 + (1 λ)y 1 ]. Ya que C es convexo, λx 1 + (1 λ)y 1 C. Luego z αc y por lo tanto αc es convexo. (ver figura 1.6) Figura 1.6: Multiplos del conjunto convexo C Observación Del teorema anterior tenemos que: Si C es un conjunto convexo, entonces la reflexión simétrica de C respecto del origen, C = ( 1)C, es un conjunto convexo. También: Si cada C i, i = 1, 2,..., m es convexo entonces la m combinación lineal λ i C i también convexa. i=1 Dada una transformación linel T : R n R m, definimos

22 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos 9 T (A) = {T x/ x A} para A R n, T 1 (B) = {x/ T x B} para B R m. T (A) se llama la imagen de A bajo T y T 1 (B) se llama la imagen inversa de B bajo T. Teorema Sea T : R n R m una transformación lineal. Entonces (i) T (A) es un conjunto convexo en R m para todo conjunto convexo A en R n. (ii) T 1 (B) es un conjunto convexo en R n para todo conjunto convexo B en R m. Demostración. (i) Sea y, y T (A), λ [0, 1] y z = λy + (1 λ)y. Entonces existen x, x A tales que y = T (x), y = T (x ), y así z = λy + (1 λ)y = λt (x) + (1 λ)t (x ) = T (λx + (1 λ)x ) Ya que A es convexo, la combinación convexa λx + (1 λ)x A y entonces, z T (A). Por tanto T (A) es convexo. (ii) Sean x, x T 1 (B) y λ [0, 1] y z = λx + (1 λ)x. Entonces existen y, y B tales que T (x) = y y T (x ) = y. Entonces T (z) = T (λx+(1 λ)x ) = λt (x) + (1 λ)t (x ) = λy + (1 λ)y. Ya que B es convexo, T (z) B y asi, z T 1 (B). Por tanto T 1 (B) es convexo. Propiedades topologicas de los conjuntos convexos. Establecemos a continuación algunas propiedades topológicas importantes de los conjuntos convexos. Teorema (i) Si K es un conjunto convexo, su clausura K es también un conjunto convexo. (ii) Si a K y b K, entonces todo punto del segmento [a, b], excepto posiblemente b, es un punto interior de K.

23 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos 10 Demostración. (i) Sean x, y K. Entonces existen dos sucesiones (x k ) y (y k ) de puntos de K tales que lím k xk = x, lím y k = y. k Para cualquier α 0, β 0, con α + β = 1, la continuidad de las operaciones lineales implica que lím k (αxk + βy k ) = αx + βy. Ya que K es convexo, αx k + βy k K, k = 1, 2,..., de modo que αx + βy es el límite de la sucesión (αx k + βy k ) de puntos de K. Esto prueba (definición de clausura) que, αx + βy K. Por tanto K es convexo. (ii) Ya que a es un punto interior de K, existe una bola B(a, ε) K, para un ε > 0 adecuado. Por otra parte, todo punto del segmento [a, b], excepto b, puede escribirse en la forma c t = (1 t)a + tb, 0 t < 1. Debemos demostrar que c t K. En efecto, es suficiente demostrar que B(c t, (1 t)ε) K. Sea x B(c t, (1 t)ε). Entonces, por definición, x c t < (1 t)ε. Por otro lado, ya que b K, existe un punto d K suficientemente próximo a b, de modo que t b d < (1 t)ε x c t. Por tanto, x [(1 t)a + td] x c t + t b d < (1 t)ε. Dividiendo los extremos por (1 t) y arreglando términos, obtenemos 1 (x td) a 1 t < ε,

24 1.3 Propiedades de los conjuntos convexos 11 de modo que el punto e = 1 (x td) B(a, ε) K. Esto implica que 1 t x = (1 t)e + td [e, d] K. Por tanto, B(c t, (1 t)) K. A partir de este teorema se pueden obtener algunos corolarios importantes. Corolario Si K es un conjunto convexo, entonces su interior, un conjunto convexo. K, es también Demostración. Sean a,b K. Ya que K K K, podemos considerar que b K. Luego por (ii) del teorema anterio, todos los puntos del segmento [a, b] sin excepción, son puntos interiores de K, es decir, [a, b] K. Por tanto, K es convexo. Corolario Si K es un conjunto convexo y a es un punto interior de K (a K), entonces todo rayo que parte de a interseca a la frontera en un único punto. Demostración. Supongamos que un rayo que parte de a corta a la frontera de K en dos puntos, digamos b y c, de los cuales c, es el más cercano al punto a. Entonces c [a, b], y c a y c b. Puesto que a K y b F r(k) = K K c K, por (ii) del teorema anterior, c debe ser un punto interior de K, lo que contradice la hipótesis de que c es un punto frontera de K. Corolario Si K es un conjunto convexo con K, entonces K = K. Demostración. Ya que K K, entonces claramente K K. Recíprocamente elijamos un punto interior fijo a de K. Entonces para cualquier b K, todo punto del segmento [a, b], excepto posiblemente b, pertenece a K, de modo que podemos elegir puntos en K arbitrariamente próximos a b. Asi b K y K K.

25 1.4 Funciones convexas 12 Ejemplo. Sea C 1 = {(x, y) R 2 / x 2 + y 2 1} y C 2 = {(x, y) R 2 / x 0, y 0}. Ya que C 1 y C 2 son convexos, C 1 + C 2 es convexo ( ver figura 1.7) Figura 1.7: 1.4. Funciones convexas Definición Sea C R n un conjunto convexo y f : C R una función. Se dice que f es convexa si verifica la siguiente condición: x, y C, λ [0, 1], f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y) (1.2) Conviene resaltar que en 1.2 aparecen tres variables x, y, λ, y la desigualdad debe de verificarse para todos los valores indicados de dicha variables: x, y C, λ [0, 1]. Se dice que la función f : C R es cóncava si f es convexa, es decir, si se verifica que f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y) x, y C con, λ [0, 1]. Observación Si f es una función definida en un intervalo I de la recta real, entonces geométricamente la definición de función convexa significa que la cuerda que une dos puntos cualesquiera (x 1, f(x 1 )) y (x 2, f(x 2 )) de la gráfica de f se encuentra arriba de la gráfica de f. (Ver figura 1.8)

26 1.5 Funciones Cuasiconvexas 13 Figura 1.8: Gráfica de una función convexa f 1.5. Funciones Cuasiconvexas Definición Sea C R n, un conjunto convexo. Una función Φ : C R se llama cuasiconvexa (cuasicóncava) en C si Φ(x) máx{φ(x 1 ), Φ(x 2 )}, x [x 1, x 2 ], x 1, x 2 C (Φ(x) mín{φ(x 1 ), Φ(x 2 )}, x [x 1, x 2 ], x 1, x 2 C) Si Φ es convexa (cóncava) en C, entonces Φ es cuasiconvexa (cuasicóncava) en C. Φ es cuasiconvexa en C N α = {x C/Φ(x) α} es convexa, α R (N α se llama conjunto de nivel α de Φ)

27 1.5 Funciones Cuasiconvexas 14 Definición Sea C R n, convexo. Una función f : C R, se llama cuasiconvexa en C si f(λx + (1 λ)y) máx{f(x), f(y)}, x, y C, λ [0, 1]. Figura 1.9: Gráfica de una función cuasiconvexa

28 Capítulo II Correspondencias 2.1. Conceptos sobre correspondencias Nuestro punto de partida es el concepto de correspondencia el cual generaliza el concepto de función. Sean X e Y conjuntos. Una correspondencia 1 Γ de X en Y denotada por Γ : X Y es una regla (ley) que asigna a cada x X un subconjunto Γ(x) de Y. Notemos que Γ(x) = es un valor permitido. Si Γ(x) consiste de un solo punto para todo x X, Γ es una aplicación (función) en el sentido usual. El conjunto {x/ Γ(x) } se llama el Dominio efectivo de Γ. Definimos la gráfica de la correspondencia Γ : X Y como el conjunto Graf(Γ) = {(x, y) X Y/ y Γ(x)} X Y Si A X, definimos la Γ-imagen de A, Γ(A), como el conjunto Γ(A) = x A Γ(x). Definición Si Γ : X Y es una correspondencia, definimos la correspondencia Γ : Y X por Γ (y) = {x X/ y Γ(x)} La correspondencia Γ se llama inversa inferior de Γ. 1 Multifunción, aplicación multivoca, aplicación punto a conjunto

29 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias 16 Observación se tiene que 1. Si B Y, entonces se cumple: Γ (B) = {x X/ Γ(x) B } 2. Es claro que se cumple: (Γ ) = Γ Definición La correspondencia Γ + : P (X) X, definida por Γ + (B) = {x X/ Γ(x) B} B Y, se llama inversa superior de Γ. Notemos que si Γ es una aplicación, se cumple evidentemente que Γ = Γ + = Γ 1 Usaremos la siguiente propiedad de Γ y Γ + : Para todo B Y se cumple: (i) X Γ + (B) = Γ (Y B) (ii) X Γ (B) = Γ + (Y B) 2.2. Conceptos de convexidad para correspondencias Sean X, Y espacios lineales, C X convexo y Γ : C Y una correspondencia Definición La correspondencia Γ se llama convexa si Graf(Γ) es un conjunto convexo. Es fácil ver que: Γ es convexa si y sólo si λγ(x 1 ) + (1 λ)γ(x 2 ) Γ(λx 1 + (1 λ)x 2 ) x 1, x 2 C λ [0, 1]. Si Γ : C Y es convexa, entonces Γ(x) es convexo para todo x C y Γ(C) es un conjunto convexo. Definición a) La correspondencia Γ : C Y se llama cuasiconvexa si Γ(x) Γ(y) Γ(λx + (1 λ)y), x, y C, λ [0, 1].

30 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias 17 b) La correspondencia Γ se llama cuasicóncava si Γ(λx + (1 λ)y) Γ(x) Γ(y), x, y C, λ [0, 1]. c) La correspondencia Γ c : C Y se define por Γ c (x) = Y Γ(x), (Γ c se llama correspondencia complemento de Γ) Lema Γ es cuasiconvexa Γ c es cuasiconcava. Demostración. Sean x, y C y λ [0, 1]. Entonces: Γ(x) Γ(y) Γ(λx + (1 λ)y) Γ c (λx + (1 λ)y) Y (Γ(x) Γ(y)) = Γ c (x) Γ c (y) Lema Si Γ : C Y es convexa en C, entonces Γ es cuasiconvexa en C. Demostración. Sean x, y C, λ [0, 1]. Podemos asumir que: Γ(x) Γ(y). Como Γ es convexa, Γ(z) es convexo, z C. Por consiguiente Γ(x) Γ(y) es convexo. Luego, por ser Γ convexa se cumple: Γ(x) Γ(y) = λ(γ(x) Γ(y))+(1 λ)(γ(x) Γ(y)) λγ(x)+(1 λ)γ(y) Γ(λx+(1 λ)y) Γ es cuasiconvexa en C. Lema Γ : C Y es cuasiconvexa Γ (u) es convexo u Y. Demostración. ] Sean x, y Γ (u), λ [0, 1]. Entonces: u Γ(x) Γ(y) Γ(λx + (1 λ)y) puesto que Γ es cuasiconvexa. Entonces λx + (1 λ)y Γ (u). Por tanto, Γ (u) es convexo, u Y. ] Sean x, y C, λ [0, 1], u Γ(x) Γ(y). Entonces: x, y Γ (u), y como Γ (u) es convexo: λx+(1 λ)y Γ (u) o lo que lo mismo u Γ(λx+(1 λ)y). Por tanto, Γ es cuasiconvexa.

31 2.2 Conceptos de convexidad para correspondencias 18 Existe una estrecha relación entre las funciones convexas, cuasiconvexas y cuasicóncavas y las correspondencias convexas, cuasiconvexas y cuasicóncavas. Sea F : C R una función. Asociadas a F existen dos correspondencias Γ F, F : C R definidas por: Γ F (x) = (, F (x)], F (x) = [F (x), + ) Lema a) La función F es cuasiconvexa (cuasicóncava) F es cuasiconvexa (Γ F es cuasiconvexa). b) F es convexa (cóncava) F es convexa (Γ F es convexa) Demostración. a) Sean x, y C, λ [0, 1]. Entonces se cumple: F es cuasiconvexa F (λx + (1 λ)y) máx{f (x), F (y)} F (λx + (1 λ)y) = [F (λx + (1 λ)y), + ) [máx{f (x), F (y)}, + ] = [F (x), + ) [F (y), + ) = F (x) F (y) F es cuasiconvexa. Similarmente se prueban las demás afirmaciones.

32 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias Conceptos de continuidad para correspondencias Sean X, Y espacios topológicos, Γ : X Y una correspondencia y x X. Definición a) Γ se llama semicontinua superiormente (s.c.s) en x, si para todo abierto G Y con Γ( x) G, existe una vecindad U de x, tal que, Γ(x) G, x U.

33 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 20 Figura 2.1: b) Γ se llama semicontinua inferiormente (s.c.i) en x, si para todo abierto G Y con Γ( x) G, existe una vecindad V de x tal que Γ(x) G, x V.

34 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 21 Figura 2.2: c) Γ se llama continua en x, si Γ es s.c.s. y s.c.i. en x. Ejemplos de Gráficas de correspondencias Ejemplo 1. Γ(x ) es un conjunto unitario. Γ(x ) es un intervalo. Γ es continua en x, x x.

35 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 22 Ejemplo 2. Figura 2.3: Figura 2.4: Γ(x ) es un conjunto unitario.

36 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 23 Γ no es s.c.s. en x ni s.c.i. en x Γ(x ) es un conjunto de dos elementos.

37 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 24 Ejemplo 3. Sea Γ : R + R la correspondencia definida por Γ(x) = [a, b] x R +. Su gráfica es Figura 2.5: Γ se llama correspondencia constante. Γ es continua en R +.

38 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 25 Ejemplo 4. Sea Γ la correspondencia cuya gráfica es: Figura 2.6: Entonces: Γ es s.c.s. pero no s.c.i. en x 1. En x 2 Γ no es s.c.s. pero si es s.c.i. Γ es continua en x [a, b] x x 1, x 2. Los diferentes conceptos globales de semicontinuidad se definen de manera natural. Los siguientes teoremas proporcionan caracterizaciones de la semicontinuidad superior e inferior. Teorema Las siguientes proposiciones (i),(ii) y (iii) son equivalentes: (i) Γ : X Y es semicontinua superiormente. (ii) Γ + (G) es abierto G Y abierto. (iii) Γ (F ) es cerrado F Y cerrado.

39 2.3 Conceptos de continuidad para correspondencias 26 Demostración. (i) (ii) Sea G Y abierto y x Γ + (G). Entonces Γ(x) G y como por hipótesis, Γ es semicontinua superiormente en x, entonces existe una vecindad U de x tal que Γ(z) G z U. Entonces z Γ + (G) z U, es decir, U Γ + (G). Por tanto, Γ + (G) es abierto. (ii) (iii) Sea F Y cerrado, entonces Y F y Γ + (Y F ) son abiertos. Ya que Γ + (Y F ) = X Γ (F ), entonces Γ (F ) es cerrado. (iii) (i) Sea x X y G Y abierto con Γ(x) G. Entonces x Γ + (G) y los conjuntos Y G y Γ (Y G) son cerrados. Como Γ (Y G) = X Γ + (G), entonces Γ + (G) es abierto. Ya que x Γ + (G), existe una vecindad U de x, tal que, U Γ + (G) o Γ(U) G. Por tanto, Γ es semicontinua superiormente. De manera similar se demuestra el siguiente teorema Teorema Las siguientes proposiciones (i*),(ii*) y (iii*) son equivalentes: (i*) Γ : X Y es semicontinua superiormente. (ii*) Γ (G) es abierto G Y abierto. (iii*) Γ + (F ) es cerrado F Y cerrado. Necesitamos todavía otro concepto más de continuidad para una correspondencia: el concepto de correspondencia cerrada. Definición a) La correspondencia Γ : X Y se llama cerrada si Graf(Γ) es un conjunto cerrado en X Y. b) Γ es cerrada en x X si para todo ȳ / Γ( x), existen vecindades U de x y V de ȳ, tales que Γ(U) V =.

40 2.4 Correspondencias de producción 27 Es fácil comprobar que: Γ es cerrada (en X) Γ es cerrada en todo punto x X. A continuación enunciamos algunos teoremas sobre correspondencias continua y cerrada. Teorema Sea X compacto y Γ : X Y una correspondencia semicontinua superiormente, tal que, Γ(x) es compacto x X. Entonces Γ(X) es compacto. Demostración. (Ver. [7]) Teorema Sea Γ : X Y semicontinua superiormente en x y Γ( x) compacto. Entonces Γ es cerrada en x. Demostración. (Ver. [7]) Teorema Sea Y compacto, Γ : X Y una correspondencia y sea Γ( x) cerrado. Entonces: Γ es cerrada en x Γ es semicontinua superiormente en x. Demostración. (Ver. [7]) Teorema Sea Γ : X Y una correspondencia. Entonces se cumple: a) Γ aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados Γ es semicontinua superiormente. b) Γ aplica conjuntos abiertos en conjuntos abiertos Γ es semicontinua inferiormente. Demostración. (Ver. [7]) 2.4. Correspondencias de producción Las clásicas funciones de producción solamente tienen sentido en un contexto macroeconómico pero no sirven para planificar la producción en el caso en que haya toda una gama de insumos, para esto es conveniente que en lugar de trabajar con funciones se trabaje con correspondencias de producción.

41 2.4 Correspondencias de producción 28 La tecnología que esté disponible a una empresa se puede representar en una variedad de formas. Las más generales son aquellas basadas en correspondencias y conjuntos. Consideramos dada una tecnología de producción, que usa n factores de producción (insumos) externos y produce m productos finales. Sea x i = cantidad del insumo i usada en la producción por unidad de tiempo. u j = cantidad del producto j producida por unidad de tiempo. Llamamos a x = (x 1, x 2,..., x n ) R n + un vector de insumos, y u = (u 1, u 2,..., u m ) R m + un vector de productos. Sea X R n + el conjunto de todos los vectores de insumos disponibles a priori para la producción. Supondremos que X es compacto y, con frecuencia que sea convexo. Notación. Para x = (x 1, x 2,..., x n ) escribimos: x 0 x i 0 i = 1, n x 0 x 0 (x i > 0 para algún i) Observación El hecho de suponer que X es cerrado significa que, si un insumo dado x es arbitrariamente cercano a un insumo posible, entonces el insumo x es también posible. 2. El suponer que X es convexo es un supuesto mucho más restrictivo. Está relacionado a un supuesto más elemental de aditividad y retornos decrecientes a escala. Definamos una correspondencia P : X R m + = {u R m / u 0} = ortante no negativo de R m que asigna a cada vector de insumos x X el conjunto de productos P (x) = {u R m +/ u se deja producir usando el vector de insumos x}.

42 2.4 Correspondencias de producción 29 La correspondencia P se llama una correspondencia de producción de salida. La correspondencia inversa inferior de P, P : P (X) R n + se llama una correspondencia de producción de entrada. Así, P (u) = {x X/ u P (x)} es entonces el conjunto de los vectores de insumos x X que se pueden usar para producir al menos el vector de productos u. P (u) se llama el conjunto de nivel para el vector de productos u.

43 2.5 Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X R m + 30 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT 2.5. Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X R m + P 1. 0 X, P (0) = {0}, 0 P (x), x X. Para un u > 0 existe un x X, tal que, u P (x). P 2. P (x), es compacto x X. P 3. P (x) P (λx) x X y λ 1 con λx X. P 4. Si x X y existe un ū R m + y un λ > 0 tal que ū P ( λx), entonces para todo θ > 0 con θū P (X), existe un λ θ > 0, tal que θū P (λ θ x). P 5. θp (x) P (x), x X, θ [0, 1]. P 6. P es continua. En muchos casos se pide además que se cumpla una de las siguientes propiedades de convexidad: P 7. a) P (x) es convexo, x X. b) X es convexo y P : X R m + es cuasiconvexa. c) X es convexo y P : X R m + es convexa. Observación La interpretación económica de P 1, P 2 y P 3 es evidente. P 4 significa: si ū se deja producir adaptando proporcionalmente el vector de insumos x y si, a priori, es posible producir θū, θ > 0, entonces θū se deja producir también adaptando x proporcionalmente. P 4 se llama axioma de la alcanzabilidad de los productos. P 5 se llama el axioma débil de la disponibilidad de los productos.

44 2.5 Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X R m + 31 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Figura 2.7: Ilustración de P 4 Figura 2.8: Ilustración de P 5

45 2.5 Propiedades de la correspondencia de producción de salida P : X R m + 32 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Figura 2.9: Ilustración de P 3 Figura 2.10: Ilustración de P 4

46 2.6 Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X 33 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT NOTA. En lugar de P 5 se pide a veces el axioma fuerte de la disponibilidad de los productos: P 5. x X se cumple: ū P (x), 0 u ū u P (x). Figura 2.11: Se cumple P 5 Figura 2.12: Se cumple P 5 pero no P 5 P 5 implica evidentemente P 5 P 5 parece económicamente aceptable, mientras que P 5 es poco realista. De P 1 a P 7 se deducen las siguientes: 2.6. Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X P 1. P (0) = X y 0 / P (u) u P (X), u 0. P 2. El dominio de definición P (X) de P es compacto. Si X y P : X R n + son convexos, entonces P (X) es convexo. P 3. x P (u), implica que λx P (u), para todo λ 1 tal que λx X

47 2.6 Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X 34 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT Figura 2.13: Ilustración de P 3 P 4. Si x X y λx P (ū) para un ū P (X) y un λ > 0, entonces para todo θ > 0 con θū P (X), existe un λ θ > 0 tal que λ θ x P (θū). P 5. P (θu) P (u), θ 1 con θu P (X) P 6. P : P (X) R n + es cerrada y semicontinua superiormente. P (u) es compacto, u P (X). Demostración. P 1: 0 P (x) x X, implica que x P (0), x X o P (0) = X. Si fuese 0 P (u) para algún u 0, u P (X), se tendría P (0) {0} lo que contradice a P 1. P 2: Esto es una consecuencia de P 2, P 6 y del teorema P 3: Sea x P (u). Entonces de acuerdo a P 3 se cumple: u P (X) P (λx), λ 1 con λx X. Esto implica: λx P (u), λ 1 con λx X.

48 2.6 Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X 35 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT P 4: Sean ū P (X), λ > 0, λx P (ū) y θ > 0 tal que θū P (X). Entonces λx X, ū P ( λx) y, de acuerdo a P 4, existe un λ θ > 0, tal que θū P (λ θ x) o λ θ x P (θū). P 5: Sean u P (X), θu P (x), θ 1, y x P (θu). Entonces θu P (x) y P 5 implica que u 1P (x) P (x) o x P (u). θ P 6: Como P : X R m + es continua y todos los P (x), x X, son compactos, se deduce del teorema que P es cerrado. Entonces P también es cerrada. Como además X es compacto, el teorema implica que P aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Entonces, de acuerdo al teorema 2.3.1, P es también semicontinua superiormente (recordar que (P ) = P ). Si P tiene una de las propiedades de convexidad P 7, P también tiene al menos una de estas propiedades. Esto se deduce en vista del lema y de la siguiente propiedad: P es convexa P es convexa La propiedad P 3 se llama disponibilidad débil de los factores de producción. La propiedad P 3 siguiente se llama disponibilidad fuerte de los factores de producción. P 3. x P (u), x X, x x implica que x P (u). NOTA. P 3 implica evidentemente P 3. Se puede esperar que para la mayor parte de las tecnologías de producción la propiedad P 3 sea aproximadamente satisfecha. Sin embargo, la propiedad P 3 no se cumple para muchas tecnologías, como por ejemplo, para la agricultura. Si se aumenta un factor de producción dejando constante los otros factores, la producción puede disminuir. La propiedad P 4 significa lo siguiente: si el vector de producción ū se deja producir adaptando proporcionalmente los factores x i, 1 i n, entonces todos los

49 2.6 Propiedades de la correspondencia de producción de entrada P : P (X) X 36 Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT vectores de productos θū P (X), θ > 0, se dejan también producir adaptando proporcionalmente los factores x i No todos los puntos de P (x) y P (u) interesan desde el punto de vista de la eficiencia. Por esto definimos las llamadas isocuantas de P (x) y P (u): IP (x) = {u/ u P (x), θu / P (x), θ > 1}, si P (x) {0}. IP (x) = {0}, si P (x) = {0}. IP (u) = {x/ x P (u), λx / P (u), λ / [0, 1)}, si u 0. IP (0) = {0}. IP (x) y IP (u) son entonces los subconjunto de los puntos de P (x) y P (u) que, en un sentido bien definido son eficientes. Pedimos adicionalmente que IP (x) y IP (u) sean compactos para todo x X y todo u P (X). Figura 2.14: isocuantas de P (x) Figura 2.15: isocuantas de P (u)

50 Conclusiones Al término del presente trabajo, se llega a las siguientes conclusiones: 1. Dada una tecnología de producción es posible modelar el proceso de producción económica cuando existe todo una gama de insumos, mediante la teoria de conjuntos y de correspondencias (semi continuas superior e inferior, convexas, cuasiconvexas, cerradas, etc). 2. Las llamadas correspondencias de producción de entrada y salida, permiten la descripción analítica y la interpretación económica del proceso de producción en el que a un vector de insumos le corresponde todo un conjunto de vectores de producctos.

51 Referencias Bibliográficas [1] Aubin, Jean-Pierre., Optima and Equilibria. Springer. Verlag.Berlin- Heilldelberg, [2] Aubin, Jean-Pierre y Frankowska, H., Set-valued Analysis. Birkhauser, Berlin, [3] Berge, C., Espaces Topologiques et fonctions multivoques. Dunod - Paris, [4] Ferguson.C. E., Teoría neoclásica de la producción y la distribución. Trillas S. A., [5] Hildebrand, Kirman. Core and Equilibria of a Large Economy [6] Ramírez Lara, Guillermo. Conceptos básicos sobre convexidad. UNT, [7] Ramírez Lara, Guillermo. Correspondencias. UNT, [8] Rockafellar, Tyrrell y Wets, Roger. Variational Analysis. Springer- Verlag, Berlin. Heildelberg, New York, [9] Shephard, R, Cost and Production Functions.Princeton University Press, 1970.