Técnicas de reducción de circuitos

Transcripción

1 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS aíuo 4 écca e reuccó e crcuo 4. rouccó a écca cooca coo baace aróco e rouo aeroree ara reover a fcuae que reeaba ora écca baaa e raoro e e oo e eo a raar co grae crcuo o eae. a ea rca erá e baace aróco e que a fora e oa e u crcuo o ea erócaee excao o eróca y or ao uee er rereeaa e e oo e a frecueca coo ere fa e ourer. E efeco eo rafora a ecuacoe ferecae que ecrbe e crcuo e u couo e ecuacoe agebraca o eae que uee reovere recaee uao écca erava coo e éoo e ewo-aho. S ebargo e rca robea que o ecorao a reover ea ecuacoe o eae e e rohbvo coe couacoa requero ara aacear y facorzar a arz acobaa e a ecuacoe o eae. Deaforuaaee ara crcuo egrao grae e co fuere o eaae ea arz acobaa ega a er eore y ea y u facorzacó uee coaro ucho cuo ara crcuo e u aaño eo. Aeá coo e reo e éoo ocaee covergee e éoo e ewo abé eía robea e covergeca coo ya vo. a covergeca uee ograre óo ecorao vaore cae ufceeee cercao a a oucó o cuá e fíc obre oo e cao e ao vee e excacó. o éoo aao e couacó e rouero ara evar o robea e covergeca aocao co e éoo reco e ewo. E eo éoo e couo e ecuacoe o eae orga e reeazao or u ea auxar e 5

2 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS o aaño cuya oucó e rva y uego uar agú aráero e barro ara razar a rayecora e a oucó e vuea a ea ca. Pero eo éoo co couacoaee uy cooo ya que requere a facorzacó e a arz acobaa ara ucho vaore e aráero e barro. Ora écca eae erava baaa e ubeaco e Kryov abé e ha uao ara raar e reucr e ao coe e facorzar y aacear a arz acobaa. S ebargo eo éoo requere e uo e cocoaore revo ara eorar u covergeca. Aeá aú ecea oerar co e aaño coeo e a arz acobaa. Por ao e ee caíuo e reea vara fora e auear a efceca e éoo Haroc ewo. ereo e eae a erucura e acobao y e ará a fora e exoar ea erucura. E rer ugar vereo e fora breve a écca baaa ao e éoo exaco coo e éoo exaco e ewo. Poeroree e orará eeaee cóo e a foracó e acobao. Y or úo e aará a ver e ayor eae agua e a écca rouca caee. 4.. éoo e ewo exaco Ya abeo que a are á cara e agoro e éro e eo e PU y uo e eora e a foruacó veró y oucó e a arz acobaa. a 3 veró e acobao e ua oeracó e ore O co e úero e oo. Hay vara fora e reucr e aco e ee cooo roceo. E rer ugar oríao car e éoo e e que e acobao e ve e boque oe óo e ua boque a o argo e a agoa e acobao. uero Hero hag y Seer o que rouero ee éoo [9]. Eo ere que ea o boque vuae o que e vera referbe a verr a arz acobaa coea. Debo a a erucura e a arz acobaa oa a corbucoe eae eá ocazaa ero e eo boque. abé uaro e éoo e Saa que ca e uo e o acobao vero e á e ua eracó. Eo o o éoo que e aua eor a ea geraee o eae. ue zzo que uó écca e are arx arz foraa obre oo or cero ara eorar a uacó. uao e aacea y aua e e oreaor arce e ee o a euo e ecearo ofcar o agoro eáare y arovechare e a erucura are e a arz. Por u auraeza ea arce o fácee corbe o que rovoca u gra ahorro e e uo e eora. E a écca e zzo aguo eeeo e acobao e eabecía auoácaee a cero. Se aacea óo o eeeo o e cero co e íce e u fa y coua. Aí e reuce a caa e eora eceara e cacuar e acobao y eora a veoca e cácuo. o e reaza oeracoe obre o cooee e a arz que vae cero ya que o exe e a eora. Para raar uacoe e crcuo e aa oeca hay vara écca rouea ere a que eaca a e reuccó e ora que aua a reccó e acuazacó e éoo e ewo e oo que a eracó reuae ea óa. zzo uó ea écca e couo co e oeao araérco e ovo o 5

3 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS eae o cua e ú cuao e eea a rouea e a varabe e eao. E vez e efr e ea e cóga ara er ercaee eoe o corree a cóga e ege que ea varabe e eao araérca que e aea e eoe o corree eeeo e u vaor. Oro robea e e coexo e o éoo e ewo y e baace aróco e a uacó e crcuo co u gra úero e eeeo o eae. So o éoo exaco e ewo o que arece aaare eor a ee robea. 4.. éoo e ewo exaco E rca coveee a a hora e uar e éoo e ewo eá e e coe e verr a arz e acobao. E reaa e acobao o uee verre o que e hace ua ecoocó U ara reover: Jy b 4. oe b e e vecor e error e a eracó aa. Ua vez que e hace a facorzacó U a a arz ecouea uee er reuaa aa vece coo e eee e e éoo e Saa. De oo oo auque a veró e acobao o e haga 3 exícaee a ecoocó e acobao gue eo u roceo O. Para raar e evar ee cueo e boea couacoa o varo o auore que ha roueo uar écca eae erava ara reover 4.. a veaa e uara e que óo e ecearo ucacoe vecor-arz or o que e eo e reoucó auea óo u oco á geraee e o que ocurre e e cao ea cofore e creee e úero e cóga. S ebargo e robea e o éoo eae e que o coverge fabeee. Para ayuar e a covergeca hay que uar agú o e recocoaor. eve fue e o rero e rooer ea écca y uó u recocoaor arx recoog ara ofcar a ecuacó 4. a: ~ ~ J Jx J b 4. a cua ee a a oucó. eaee e recocoaor J ~ ebería er ua buea aroxacó a J y abé ebería er fác e verr. E vez e reover 4. é reovó: ~ J z b 4.3 eve abé euó e uo e acobao eazao areeor e uo e fucoaeo D e crcuo. Eo uee ecorare fácee e a arz e aaca e crcuo que ebe forare a rco e a uacó e baace aróco ara e cácuo e a reuea ea. a arz acobaa e orgaza e fora que a corbucoe e crcuo ea e ocaza e boque a o argo e a agoa cuao e ua frecueca e aá. Por ao ee recocoaor ca veroe e boque o que e gfcavaee á cóoo que a 5

4 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS veró e a arz coea eecaee e crcuo co u gra úero e cóga. Ea écca e buea ara grae crcuo que oera e u rége geraee o ea. Ua e a faa e écca á eacaa o a e ubeaco e Kryov. Eo éoo e caracerza or o ubeaco e o que e ecuera a eracoe. E ubeaco e Kryov -éo ara ua arz aa J y u vecor b e b Jb J b... J b. S eezao co ua eacó x roorcoa a b a { } eracó rouce aroxacoe x que o cobacoe e o vecore e ubeaco. Hay a écca baaa e eo ubeaco coo ES reuo ío geerazao ES reuo ío graee cougao... ea y eve earroaro agoro baao e ubeaco e Kryov y ara raar e aear crcuo o eae á geerae hcero eora e a arce e recocoaeo. E vez e uar óo a corbucoe eae e acobao e uaba abé a corbucoe o eae que aarecía e o boque e a agoa e acobao. Auque o cero e que ara fuere o eaae abé ebe cure e e recocoaor agua foracó e boque e fuera e a agoa. zzo abé exoró e uo e éoo exaco e ewo ara grae crcuo e crooa. É coara o éoo exaco e exaco ecrbeo: 4.4 oe e a acuazacó e éoo exaco. Para u gra úero e cóga zzo rouo que uee er á efcee uar u éoo exaco co ua acuazacó e oo que: E J f E 4.5 y 4.6 oe f < cuao f a acuazacó e reuce a a acuazacó exaca. Y e oro cao f rve coo ua ea e cuáo fere a acuazacó exaca e a exaca. a eeccó e f e va acuazao e caa eracó. Se eeza co f. 5 y e cacua o guee eae: E E J f 4.7 E Ua vez e ege f e reueve aroxaaee a ecuacó e ewo haa que e aface 4.4. E a écca ES reuo ío geerazao a que e ua ara cacuar a oucó aroxaa. Y ara eorar a roeae e covergeca 53

5 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS abé hay que eeccoar u recocoaor aecuao. zzo reeaza a ecuacó exaca e ewo: J E 4.8 co J P P E 4.9 E orae que P ea ua aroxacó cercaa a J y que ea fác e verr. Ua vez que e efe u recocoaor a eacó ca ara e efe or: P E 4. y e efe u couo e vecore reae e ogu : K q [ J P ] E 4. q K J P K 4. q oe e a arz ea. E eaco vecora exeo or o vecore K q Q e aa ubeaco e Kryov e eó Q. a aroxacó e ore Q e vee aa or: Q P Q q α K 4.3 q q Q S a ecuacó 4.4 e aface e oa coo a acuazacó aroxaa e ewo o cua eá garazao ara Q ufceeee grae ya que Q. zzo rooe uar ua eó e eaco e Kryov á Q equeña e a rera acuazacoe e ra creeao grauaee cofore e acaza a oucó fa ara o que Q 5 e ufcee ara a ayoría e robea e baace aróco oracó e a arz acobaa oo e cuó e e aíuo 3 o rero que hay que hacer co e crcuo o ea e vro e u ubcrcuo ea y oro o ea. Eo reua e u ubcrcuo o ea e uero caa uo e eo coecao a u eeeo o ea. a oucó D uee ecorare rero y uare uego coo a eacó ca. Ya que o e requere cácuo e y que e úero e varabe e reuce aaee a oucó D e geeraee fác e ecorar a ravé e éoo e ewo. 54

6 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS A fa e o que e raaba era e evauar a exreó 3.34 que rereea ua eracó e éoo e ewo. Para eo e ecearo cacuar y J. Exreeo a ecuacó e baace aróco e ee oo: ~ ~ ~ ~ S Y q 4.4 oe ~ e e íboo e a raforaa e ourer. Ee ea o ea e ecuacoe e reueve a que < ε ara agú ε ufceeee equeño efo or e uuaro. E a reuea ea e cacua recaee eae ucacoe e arce y vecore. Y ara evauar o éro o eae e o eecro oo e a frecueca e a eoe e o oo o raforao a oo e eo acao vera acao uego a o ovo o eae y a reuae fora e oa oo e eo e a corree e rafora a oo e a frecueca eae. E cabo e cácuo e a arz acobaa J e á cocao. E acobao coe e ervaa e a fucó e error co reeco a a eoe cóga. a ervaa e a are ea e e ecuera fácee y coe e a arz e aaca ea. Pero a corbucoe e a are o ea o o a fáce e cacuar. E are orque f v y v eá obgaa a er fucoe reae fora e oa e e oo e eo ee que ero y abé orque eeao o uar frecueca egava. Acar ea rerccoe reua e que J o ea rereeabe e e cao coeo. Para oucoar ee robea caa úero coeo e ecrbe coo u vecor equvaee e. De oo que eeo u úero coeo oeo efr úero reae y e y u vecor. Ua oacó ar a ea e a que uareo ara o vecore fucoe y arce. a que [ ] Segú o que acabao e ecr vao a evar uar a frecueca egava y graca a eo e acobao aará e er ua arz coea a ua arz rea auque ea e eó ayor. Ea coveró reuce a eora requera y e úero e oeracoe eceara. Ahora e acobao e efe aí: J Q Yx 4.5 J 4.6 Y Y Y 4.7 Y Y 55

7 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 56 ara { }.... w w 4.8 Aí a cooee rea e agara e a varabe coea o aaceaa e fora earaa coo úero reae requreo e cácuo e cuaro ervaa ara ecrbr a reacó ere corree y eó o carga y eó a cuaquer frecueca aa. Por ao ara e cácuo e y Q o o vae a exreoe que vo e Hay que reazar cuaro ervaa ara cacuar caa ua e ea. ao a ver cóo ería. E reo e éro e y o e Q e haría e fora ar. Pareo e a efcó e raforaa e ourer e ega a: P g co ω 4.9 A acar a rega e a caea: P g v v co ω 4. Ahora exreao v e éro e are rea e agara: co P P e v ω ω 4. Y eeo e cuea que ara : co w e w v v v P P 4. y ara : v 4.3

8 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 57 Para quea: P P g v co co ω ω [ ] P P g v co co ω ω 4.4 y ara : P g v co ω 4.5 Y eeo e cuea a efcó e que vo e 3.47 y e reo e ervaa eré ara : 4.6 y ara : 4.7 a ervaa erá ua arz foraa or boque coo eo. Y ara Q e ar ero co e vez e. Hay que eacar que e reco forzar que c ya que o faore ebe er reae e coua. oo a caae D o ercaee reae o requere ao eaco e aaceaeo e e acobao. Poría ocurrr que e ea arce e coveró hubee fa y coua coee óo e cero egua fa y egua coua. Eo coeva a que haya ua guara e a erucura e acobao y or ao a er guar o ee vera y o uee acare e éoo e ewo. S eo ocurree oríao ehacero e ea guara eao ea fa o coua o be haceo que e a arz orga ae e a coveró a agoa rca o ega cero [].

9 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 4. écca e aroxacoe e acobao y recocoaore o o vo e e aarao aeror y coo e ve e 4.6 e acobao e orgazao coo ua arz e boque. aa boque e ua arz e coveró que a u vez e ua arz e boque coee e boque x que reua e que o coefcee e ourer ereezca a e vez e a ao coeo. a arce e coveró o coea eá aocaa co u oo que ee coecao u ovo o ea. E cao coraro o agoae. E u crcuo hay ovo o eae coecao a a ayoría e o oo or o que a arce e coveró uee ear coea. araee e acobao aróco uee er uy grae y ucho á eo que a ayoría e arce e crcuo. Acar écca racoae e are arx o e ufcee ara reover efceeee a ecuacó e acuazacó e éoo e ewo. E ecearo abé reucr a ea e a arz. E acobao e ua óo ara geerar ueva eracoe; o e ua ara cofrar a covergeca or o que o errore e e acobao afeca óo a a aa y a a regó e covergeca o a a recó e a oucó fa. a aroxacoe e e acobao reuce ea aa e covergeca ero o que e gaa e efceca e á orae. Quzá a aroxacó á eca que uee hacere e eee reuar e acobao e ua eracó aeror. S e crcuo eá cooráoe ca eaee e acobao o varará ucho e ua eracó a ora. Ea ea que e arbuye a Saa uee reucr aaee e eo requero ara ua eracó orque ea coeaee a coruccó y ecoocó U e acobao. Por ao óo e ecea o ao e uucó haca eae y haca ará. a egua aroxacó e acobao reua e exoar a caraceríca aurae e a arce e coveró e o ovo o eae. Sabeo que o agoro uuae e ágebra ea ara arce geerae requere ua caa e oeracoe e ore cúbco e e aaño e a arz e coeracó. S ebargo e e cao e que cha arz ea erucuraa e agú eo a coea e u reoucó e reuce e fora ráca. Aí a arce e coveró uee vre e a ua e ua arz oez co a fora aa or a y ua arz Hae a. Por eeo: r oe r r r r 3 r r r r r r r r r 3 r r r S S

10 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS r 4.9 oe e a ua e a ervaa e o eecro e reore o eae ere e oo y o ere y erra. Ee eecro ee a caraceríca e que cuao á eae e eá coorao o ovo que o geera á oa a cooee D a reo e aróco y á ráo ecae a agu a ao aróco. oo reuao o eeeo e a arz e coveró eo e a agoa erá equeño coarao a o e a agoa. Para reucr a ea e acobao eo equeño éro eao a a agoa e gorará []. aro auore ecoao e a rouccó ha uao recocoaore ara aroxar e acobao e écca eae erava. a eeccó e recocoaor o e a aroxacó e acobao equvae a a eeccó e qué eeeo e acobao ear ae e a ecoocó e a arz. Hay vara ocoe eeaa ero oa ea afeca óo a a corbucoe o eae e acobao ya que a corbucoe eae o eceara ara a covergeca y o e ea e gua e a écca e recocoaeo. Ua écca ería uar óo a corbucoe eae e acobao. Ya que a corbucoe eae o coae co reeco a o vaore e a cóga e acobao e cacuaría y ecooría óo ua vez a rco e a uacó. a corbucó o ea e e acobao o ería que cacuare y cóo e cacua eae a ear a ecea e ee cácuo eora e eo e uacó. a arz ecouea uee reuare e caa eracó e éoo e ewo gueo a ea e Saa. Aeá ebo a que oa a foracó e acobao e aacea e boque a o argo e a agoa o boque uee ecooere vuaee ahorrao eo. Ea écca e eea fácee y uee fucoar e ea ébee o eae ero o e robua. rcuo co o eaae á fuere requere agua foracó o ea e e acobao ara ograr a covergeca e éoo e ewo. Ora écca e aroxar e acobao ería uar óo a corbucoe o eae que ocurre e a agoa e a arz. E ee éoo o e coera eraccoe ere caae e crcuo a a frecueca a o oo or eeo a reacó ere y v e u E o e coera ya que o g ereece a o oo. Añar óo corbucoe o eae e a agoa a acobao ea o añae coea a roceo e ecooer a arz ya que oo o eeeo e a agoa coerá ya corbucoe e crcuo ea. o egavo e que ebo a o eeeo o eae e acobao ería que vover a er recacuao. o ovo e que coo a foracó e acobao gue eao e boque e a agoa eo ere ua ráa ecoocó U. Aí era que ee éoo e á robuo que o uar gua corbucó o ea aú o e ufcee ara crcuo fuereee o eae ya que o e eá coerao foracó ere a frecueca. E éoo aao oc Jacoba exae e rago e corbucoe o eae coeraa e e acobao. E aaño e boque uee varare e oo que 59

11 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 6 á reacoe ere frecueca ea coeraa ereo ua rereeacó á reca e acobao ero aeeo a erucura e boque que reuce e eo e ecoocó U. E a erucura e acobao a corbucoe e eeeo eae ocurre óo ere varabe a a a frecueca. Sóo o eeeo o eae uee roucr corree a frecueca a e a e a eoe e excacó. S e acobao e erucura e oo que a reacoe ere o aráero e crcuo ea agruaa or frecueca oa a corbucoe eae e acobao eará e boque a o argo e a arz agoa. o úco boque fuera e a agoa erá o e corbucoe o eae. Por eeo u crcuo co oo y K frecueca e aá erá ua arz co a guee erucura: K K K K K J 4.3 oo e excó ae a arz e aaca ea corbuye óo a o h oe h. Eo eeeo ocurre óo e boque a o argo e a agoa e a arz. Poeo recrbr a arz e éro e boque e a frecueca: K K K K J 4.3 oe caa boque coee oa a ervaa e a fucoe a a frecueca - éa co reeco a a varabe e eao a a frecueca -éa. Ea écca e acobao e boque uee vre e o ubcaegoría e boque e a agoa y e boque fuera e a agoa. a rera e cuao óo e

12 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS ua o boque e a agoa. o eeeo uao e caa coua y caa fa rereea óo u boque. eo o eeo e a gura 4.. gura 4.: a 6 boque e a agoa; b 4 boque e a agoa. aa boque equeño e b rereea oa a ervaa e ua fucó a ua frecueca reeco a oa a varabe e eao a ora frecueca aa. E ee éoo e boque e a agoa e úero e boque uao uee varar ee o haa e úero e frecueca e aá creeao e oeca e o. aa boque coee foracó reacoaa co e o úero e cooee e frecueca. Por eeo hay 8 frecueca e aá oeo eer 4 u 8 boque obe. S e ege 8 caa boque erá foracó referee a ua óo frecueca era que e ege 4 boque caa uo erá foracó obre frecueca. a écca co boque fuera e a agoa e baa e a roxa e u boque ao a o boque e a agoa cuao e eá uao e ayor ve e boque e a agoa. E ee cao hay K boque agoae ara u crcuo co K frecueca e aá. S o íce e a fa y coua e boque o y reecvaee ua écca co ve q e boque fuera e a agoa curía oo o boque ara o que q. E a gura 4. e ve aguo eeo. gura 4.: a ve e boque fuera e a agoa; b ve 3. 6

13 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS Para crcuo co o eaae oeraa e éoo e acobao co boque e a agoa uera geeraee a reo e éoo. uao e úero e boque e gua a úero e frecueca e aá a corbucoe exra o eae uoe ua equeña fereca e e eo oa e eecucó y e requereo e aaceaeo e eora coarao co a arz ea. uao ayore ea a o eaae ayore eberá er o boque ara que e obega covergeca y e creeo e e eo ecearo ara a eecucó e roorcoa a creeo e aaño e boque. Uar a écca e boque fuera e a agoa e ea uacoe uee ayuar a a obecó e covergeca co ua eora e e eo ecearo co reeco a cuao e ua a arz acobaa eera auque a éra e a erucura co boque e a agoa a ea eora [8]. 4.3 écca baaa e ubeaco e Kryov 4.3. rouccó aro agoro o o que e ha roueo e a eraura écca recee ara hacer free a aguo aeco e o robea e uacó. éoo híbro eo-frecueca e ha rouco ara aear raoro y eñae gaee ouaa. o ea écca e aá e rége eraee e crooa e eacoa e aá e evovee baa bae e oo que a uacó e reuce a a oucó earaa e ua ecueca e robea e uoo caa uo aocao co uo e o ae e uereo e a evovee. o robea e aá uoo co u gra úero e ovo o eae ha o efreao efceeee co agoro e baace aróco ae coo ES reuo ío geerazao. Ea écca ure a ecea e aacear y facorzar a arz acobaa y reuce a ayor are e roceo e reover e ea a ua ecueca e ucacoe arz-vecor que uee eecuare efceeee co a. éoo e ewo exaco y e baace aróco a rozo abé e ha cobao ara zar efceeee e úero e eracoe y e e cóga. Para acacoe AD e roóo geera e robabe que a exoacó óa e o recuro obe e oreaor e ogre co a egracó e aá oreao a evovee co éoo e ubeaco e Kryov. E eo o que e va a reeer u agoro ara a acacó e u éoo e ewo exaco baao e ES a u aá oreao a evovee e grae ubea e crooa o eae. Ea écca fue rouea or oro zzo e a. [] 4.3. a écca H ao a ver u agoro que reaza aá e baace aróco oreao a ouacó que ua éoo exaco e ewo ara reover e ea o ea. Ea aroxacó e aará or brevea écca H ouao-oree 6

14 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS exac ewo haroc-baace y eá eecaee acoeaa ara a uacó e grae crcuo o eae forzao or oraora e /crooa eaee ouaa. oruacó e robea ao a aur que a eoe e a fuee o eñae ouaa e au y e fae cuaeróca: f e 4.3 oe e ua erouacó geérca rouco e u couo e frecueca fuaeae w h H : h H h h w h 4.33 a o eaae e crcuo raferrá a ouacó a oa a fora e oa e eña ooraa or e crcuo y e arcuar a a varabe e eao. E vecor e eao x erá a guee exreó: x e 4.34 a caa coea e aará ouacó coea o evovee o faor eeee e eo e rouco e erouacó -éo. abé erá refero coo e -éo aróco e x eeee e eo. E couo e oo o aróco e aará eecro e x. Aureo que o fucoe arbrara aa e baa ara o que a rereeacó egra e ourer ere exe: w w e w 4.35 w w e w 4.36 oe w w o o eeee e eo. E couo e oa a caae coea w rereea e eecro fíco e x. rereea e ayor e o acho e baa e ouacó e oa a eñae e eré. E aá e a écca H a earroar e oee obre a bae e que a fucoe e ouacó o baa bae. E ecr e íe e a baa or arrba ebe er equeño co reeco a o rouco e erouacó e a fuaeae a coerar e e aá: 63

15 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS << 4.37 E reacó a ea úa exreó hay que rearcar u ar e coa. a rera e que e aguo cao e agoro couará fucoao e e eo uérco cuo cuao ea exreó o ea ercaee cera ara oo ero e reuao oría egar a er cueoabe ee e uo e va fíco. a egua e que ea ecuacó o e cue ógcaee ara. Eo ca que a cooee D requere u raaeo eeca coo vereo á aeae. H ua o aróco eeee e eo coo a cóga e robea. Seo á reco e uerea a u úero e ae e eo uforeee eacao y a caae coea o a eega coo cóga. o ae e eo e uereo ebe eegre e oo que afaga e eorea e uereo: π < 4.38 Aureo que a foracó e eraa coe excuvaee e o vaore coeo. Ecuacoe e a ubree ea y o ea De acuero a a écca e baace aróco a rozo e crcuo o ea e ve e ua ubre ea y ora o ea ercoecaa a ravé e D uero coo e uera e a gura 4.3. Por ca e aue que a ubre o ea uee er ecra or e guee couo e ecuacoe araérca: x x v ux x 4.39 x x ux x 4.4 oe v e o vecore e eoe y corree e o uero y x e u vecor e varabe e eao e rerao e eo x x τ co τ ua coae. oo o vecore e ea exreoe ee aaño D. A ua frecueca aguar geérca a ubre ea uee ecrbre or ua ecuacó e e oo e a frecueca e a guee fora: Y Y

16 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS oe Y e a arz e aaca e o uero e ovo cuao oo o uero exero eá corocrcuao Y e a arz e raaaca e a ubre ea aaa cuyeo reeca e fuee y carga ee o uero exero haa o e ovo y e e vecor e faore coeo e a fuee e eó uoa e frecueca aguar coecaa a uero exero. S o hay fuee coecaa a u uero exero ao a eraa correoee e e cero y e uero eá corocrcuao. a corree erao e o uero e crcuo e a ubre ea erá e ubíce y e aará coveeeee corree eae. e aí u vecor D e faore e corree ea a a frecueca. gura 4.3: ereeacó equeáca e a ubre ea aaa E aá H ebe reover uáeaee a ecuacoe y 4.4 e a ubree o ea y ea bao u couo e excacoe e a fora caa or

17 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS ácuo e a reuea e a ubre o ea Para ecorar a reuea e x e a ubre o ea H hace uo e ua aroxacó cuaeacoara. a exreó 4.37 ca que o uy ea e coaracó a a eñae e crooa. a coae e eo e crcuo o ae que ara caa uee acazare u rége eraee e u eo ucho á coro que. Aí e rége eécrco e crcuo bao ua ouacó uee ecrbre coo ua ecueca e regíee eraee e crooa caa uo aocao a u couo e vaore que a evovee y u ervaa oa e uo e o ae e eo e uereo. Para earroar ee coceo cuaavaee hay que reorgazar a exreoe 4.39 y 4.4: x e 4.4 x e 4.43 Aí e vecor e varabe e eao e rerao e eo uee ecrbre: x w w e e w e w e 4.44 oe e a arz agoa e o rerao e eo τ. o rerao e fae aocao co a coae e eo τ erá oraee uy equeña e baa bae τ << or o que ara ua frecueca geérca w baa bae w eeo: e w w 4.45 a ecuacoe aerore quea: x e e 4.46 Para cacuar y 4.46 hay que coocer a ervaa e a guee fora:. Ea ervaa uee er evauaa e u ae e eo e uero y a

18 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS b 4.48 oe o coefcee aeáco. a y b uee ecorae exícaee e ucho bro E rco a recó e a ervaa y e aá ebería creear ara u úero ao e uo e uereo. E a rácca o e oberva cabo arecabe e o reuao ara >. oo e eo couo or a PU e ua fucó que creeará co 3 erá e vaor ecogo or efeco ara e aá H. a reuea e a ubre o ea uee cacuare ahora co ua D ueoa. roucreo a varabe e eo orazaa: z w z h wh H 4.49 Obeeo: hzh h e 4.5 x H Por ao quea: w z e w 4.5 Debo a 4.37 z caba uy eaee co reeco a caa z h y ee que aure que eraece vruaee coae e cuaquer ervao e ogu π / w h h H. Aí areeor e u ae e uereo geérco e a ecuacoe e a ubre o ea oeo a exreoe que eee e eo a ravé óo e a z h : hzh h x e 4.5 x x h y a e H H z h h 4.53 hzh x h y a b e 4.54 H 67

19 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS h zh h e a e 4.55 x Y ahora exreeo a eoe y corree e o uero e a ubre o ea v e coo ere e ourer rouceo o coceo e eecro eeee e eo U y W : v U e 4.56 W e 4.57 Y areeor e u ae e uereo geérco eeo: e H z h h v U e h 4.58 h W e H z h h 4.59 oo veo e ea exreoe a eeeca co e eo e óo a ravé z aí que U y W uee er cacuaa co D e eó H h baao e agoro co reeco a úcaee z h. Para hacer eo rero a varabe z h o uereaa uforeee ere [ π ] y o vaore uereao e x y y y e cacua eae. a ueoa co reeco a a z h a recaee U y W. H ácuo e a reuea e e a ubre ea E vecor e corree eae erao e o uero uee ecrbre aí: De a ecuacó 4.4 e a re ea obeeo: e 4.6 [ Y w U w Y w w ] e w w 4.6 Ea exreó o arece ú orque e eecro fíco U w o e cooco. S ebargo bao a a reucoe e aarao aeror w e ua frecueca e baa bae que aface w oeo hacer a guee aroxacoe ara oo o e cero: 68

20 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 69 w Y w Y Y w Y 4.6 w Y w Y Y w Y 4.63 Suuyeo: Y U Y U Y U Y Y Y 4.64 Y o cacuao ara e ae e uereo y haceo uo e a aroxacoe e a ervaa que vo aeroree quea: U b Y U a Y U Y b Y a Y Y 4.65 ácuo e a reuea e D e a ubre ea a exreó 4.65 fucoa co ufcee recó ara oo. Para a uacó uee er baae feree orque a coae e eo e crcuo D o oraee grae e coaracó a a e crcuo. Eo uee hacer que agua e a aroxacoe aerore ea erróea. Para oucoar eo a cooee D e a reuea e a ubre ea e cacua eae oro éoo. Defao a fucó ecaó : < 4.66 uao ua excacó e eó exreaa or e aca a uero e a ubre ea aaa a reuea e crcuo efa coo a corree e e oo e eo erao e e uero e eoará coo. oereo ahora ua excacó e eó geérca e baa bae g acaa a uero que aface: g g 4.67

21 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS E e coexo e aá H óo o e eré o vaore que g oa e o ae e eo e uereo. Aí g uee aroxare or: [ ] g [ ] g [ ]... g g g [ g g ] 4.68 E e uero a reuea a a excacó e a ubre ea aueaa erá ua corree e baa bae e a fora: o Y A g [ g g ] S 4.69 oe Y e e vaor correoee e a arz e aaca e a ubre ea A aaa e D. a uera e e ae e uereo -éo e ea corree verá ao or: o Y A g oe e uaoro e cero ara. [ g g ] S 4.7 E e cao geera a excacó coe e o o acao a o uero e oarzacó á o U acao a o uero e ovo. Aueo que e íce efca a o uero e ovo ara oarzacó ara b quea: o y a o uero e D o Y U o [ U o U o ] D D D S Y o [ o o ] S 4.7 Se aue que eraece coae a ara <. a exreó 4.7 e a que uuye a 4.65 ara. oruacó e ea e reoucó H a corree ea y o ea e o uero e ovo cue: 4.7 O equvaeeee: 7

22 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS Oberveo que a guaae: [ W ] e 4.73 W E 4.74 oe o vecore E o o errore coeo H e aface ara oo y y e eaco ere o ae e uero e ufceeee equeño ara que e cua e eorea e uereo eoce 4.74 e ua cocó ufcee ara De 4.74 e ea e reoucó quea: E o e E [ ] [ ] E : > ; S eoao P a úero e rouco e erouacó e eré 4.75 e u ea e D P ecuacoe reae. ovo Soucó e ea H Eraega geera Debo a a ecuar auraeza e o errore H ua aroxacó ráa a a oucó e 4.75 uee ecorare e egua. Para u ao y oo que cua vao a coocar a are rea e agara e o errore H e u vecor e error rea E y a are rea e agara e o aróco coeo e u vecor a que o referreo coo e vecor e eao rea e ae e uereo -éo uee recrbre e a guee fora: [ S ; S... S ] E 4.76 Para u ao 4.76 uee vere coo u ea rea e D P ecuacoe. Aí 4.76 uee reovere coo ua ecueca e ea eeee ofcao e baace aróco e aaño D P. S ebargo ara a foracó requera ara cacuar a ervaa e a evovee a ravé e 4.47 y 4.48 o eá coeaee obe co o que a ervaa e eo ae e cacua co u vaor reuco e '. E arcuar e o hay foracó obe obre o eao e crcuo e ae e uereo aerore ya que e eo ae o e cooce a evovee. Aí a e eva a cabo u aá e baace aróco eezao ee cero aróco e ecr e crcuo co fuee uraee uoae efa or 4.3 co faore coae. Eo eva a a eeracó e rer vecor e eao rea S. E o 7

23 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS guee ao > e ea ofcao e baace aróco e reueve uao e eao cooco S coo uo e ara ara a eracó. Soucó e ea or éoo exaco e ewo J a arz acobaa aocaa a ae e uereo -éo e efe or E y e ua arz cuaraa e eó D P. S Segú a cuó aeror e agoro que vao a ver e uará ara cacuar J ara oo exceo. Para e eva a cabo u aá e baace aróco covecoa referbe a H. Por o ao e o guee óo e coerará e cao >. ecorao que E coee a are rea e agara e o errore H E y que S coee a are rea e agara e o aróco uee ubvre e ubarce reae e a fora: J e E e E e J 4.77 E E e oe a egua fa e ea ara y a egua coua e ea ara. Y óo e coera o vaore e y ae que y. De a exreó 4.74: E W 4.78 oe eoa a are rea o a agara. Por oro ao ara haceo uo e 4.65 ara obeer: Y a Y Y b U 4.79 Y ara y > obeeo e 4.7: D S U 4.8 Aí ara evauar a arz acobaa 4.77 a ravé e 4.78 óo hay que cacuar a ervaa e U y W. 7

24 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS 73 oo vo U e e -éo aróco e a fucó cuaeróca efa or a rera ecuacó e 4.58 y 4.59 a ravé e Ahora vao a cacuar a ervaa arcae e ee aróco co reeco a a are reae e agara e. Prero rouco a exaoe ueoae e ourer: e x u e y u e y u e u 4.8 Acáoo eeo: [ ] [ ] e U [ ] [ ] e e [ ] [ ] b a [ ] [ ] e e a a 4.8 [ ] [ ] U [ ] [ ] e e [ ] [ ] b a [ ] [ ] e e a a 4.83 E cuao a a ervaa e W que aarece e 4.78 e cacua e oo ar. S a ervaa e a evovee o aarece e y e reucría a ua ecueca e ea e baace aróco covecoae. Ea

25 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS uacó ería equvaee a ear a b ara oo. o cuaro rero éro e 4.8 y 4.83 o a exreoe que ería a ervaa e hcee u aá covecoa e baace aróco e u ae. E reo e éro o a correccoe requera ara excar o acoaeo ere o ae e uereo que o geerao or a ouacó e a evovee. Para reover e ea o ea 4.76 ua ecueca e eracoe e e vecor e eao cóga e geera a r reoveo a ecuacó e ewo e caa ao eae u éoo e ubeaco e Kryov ae coo ES. E ee roceo a gra are e coe couacoa uao e ebe a a ucacó e a arz acobaa or ua ecueca e vecore reae ara corur o vecore bae e ubeaco e Kryov. Eo ca ebo a 4.78 y 4.79 que a oeracó báca a evar a cabo e a evauacó e u gra úero e uaoro e a fora: U e f U g 4.84 e guaee co W e vez e U oe f y g o vecore reae e eó D. E íe ueror ca que e uaoro e exeo óo a o vecore aróco ara o que. Oberveo ahora que 4.8 y 4.83 uee er reecro e a fora ezaa: U Q Q e U [ Q Q ] oe a exreoe coea e Q y Q uee obeere fácee or eccó e 4.8 y S rouco a efcoe: z f g : < z f z f g : > 4.87 Eoce 4.84 oa a fora: U e f U g Q z 4.88 oe e úo uaoro eá ahora exeo a oo o vaore e y ee a erucura e ua covoucó crea or o que uee er cacuaa efceeee or a. 74

26 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS a cocuó e que ara cuaquer ae e eo e uereo ao e ea H 4.76 uee er reueo or éoo e ubeaco e Kryov co a a efceca uérca que ara aá e baace aróco covecoa. 4.4 écca aerava 4.4. rouccó o eeca e agoro roueo e reucr rácaee e aaño e a arz acobaa eceara e a oucó e baace aróco a ravé e a rouccó e u uevo coceo e a reuccó e crcuo o eae. Eo ere que e gra ea e ecuacoe o eae que rereea a oucó e baace aróco e uuya or u ea ucho á equeño e ecuacoe o eae. Ea écca fue rouea or Ea a e a. [] a rca caraceríca e ea reuco e que coare co e orga a rera ervaa co reeco a ve e excacó e e uo e oeracó D. Deué e ua ua écca ara razar a oucó e a ecuacoe reuca y aeara e vuea a eaco e a ecuacoe e crcuo orga. Eo rouce ua gfcava veaa couacoa orque e aaño e a arz acobaa que ecea er facorzaa e ícaee ucho eor que e e acobao orga. ecoreo breveee a uacó e ara. Por u ao eíao a ecuacó e baace aróco ecra e e oo e a frecueca e guee oo: S Y Q 4.89 Y a acar e éoo e ewo-aho vo que e vecor oucó e o aróco e ba acuazao eravaee e guee oo: J 4.9 Y e vez e ee éoo e ua éoo e couacó e raa e auear e ea e a ecuacó co agú aráero que oeo aar α ara obeer u ea auxar ψ α. Aquíα e eego e oo que ψ ee oucó rva y ψ. E uero cao ee ea aao oeo foruaro veo e vecor S e o vecore: oe crcuo era que ψ α α Y Q 4.9 D e u vecor que rereea o aróco ebo a a fuee e e D rereea a fuee e oarzacó D. U éoo e 75

27 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS couacó íco coría e r oao equeño creeo e α y reover e ea ψ α haa α. Auque eo éoo eva aguo robea e covergeca o couacoaee caro Agoro roueo E obevo e reucr e aaño e crcuo orga ecro or a ecuacó E couo e ecuacoe reuco e obee efecuao e cabo e varabe Uˆ e a ecuacó 4.9 y uego reucar or U ara obeer e uevo ea: ˆ ˆ ˆ ˆ ψ ˆ α α Y U Q Uˆ U Uˆ 4.9 D oe Y ˆ U YU ˆ D U ˆ D U 4.93 H xq E ea ecuacó U e ua bae oroora ara e ubeaco exao or o q rero coefcee e ere e ayor e co reeco a α co q << H. E ora aabra a exaó e ere e ayor e co reeco a α vee ao or: eoce A α α 4.94 coaucoa A A... A q 4.95 E ea reuco obeo co ea raforacó aee o rero q coefcee e a ere e ayor e ea orga. Seo á reco ˆ e exao e ere e ayor: eoce A ˆ UAˆ...q-. Aˆ α α 4.96 E ee cao acar e éoo e couacó a ea e a ecuacó 4.9 ara razar a rayecora e a oucó requere a facorzacó e a arz acobaa e eoe qxq: Q J ˆ U Y U 4.97 Eo uoe ua veaa couacoa gfcava ya que e aaño e ee acobao e ícaee ucho eor que e orga. a oucoe e e eaco e 76

28 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS a ecuacoe e baace aróco e crcuo orga e obee uao e aeao e a exreó Uˆ ácuo e a ervaa Para cacuar a ervaa vao a ecrbr 4.9 e a guee fora: D α Y Φ 4.98 oe Φ Q. Y ahora exao y Φ e ere e ayor: α A α Φ araee e α eeo Φ D Φ A eabeceo α eeo: α D α Suuyeo e 4.98 y D YA Φ A 4. oe A veo que e eee a oucó D. Para α : Ahora efo J α coo: YA D 4. Φ J α J J α α 4. oo D φ α α φ A a uur obeeo a guee reacó ara A : Y J A 4.3 Para cacuar A... A exao J α coo ua ere e ayor e α : J α α 4.4 J y uao ea exaó ara ecrbr φ e guee oo: α φ J 4.5 α α 77

29 4. ÉAS DE EDUÓ DE UOS Dα J α Aα 4.6 ogeo a ervaa -éa co reeco a α y haceo α obeeo a guee reacó recurva: A D J J A 4.7 Aí eeo: Y J J A 4.8 A De a exreoe 4.3 y 4.8 quea caro que e cácuo e A... A óo requere ua ecoocó U e a arz acobaa y caa ervaa uee obeere co ua uucó haca eae y haca ará eue e agoro o rcae ao e agoro roueo e reue coo gue: Eezao ee e uo e oeracó D e cacua a ervaa e o aróco reeco a α coo e exca e e aarao e cácuo e ervaa. Uao facorzacó Q e coruye ua bae oroora H xq U ara a coua e a arz e ervaa e a exreó o ea bae e forua u ea reuco e ecuacoe o eae coo e a exreoe 4.9 y Se reueve a ecuacoe 4.9 y 4.93 ara ˆ creeao oco a oco e vaor e α. 5 a oucó e ea orga e obee e éro e ˆ uao Uˆ y e cacua e error reua. E ore e a reuccó q e auea e error reua e ayor que ua oeraca reeecfcaa. 78