DOCENTE: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA. Correo electrónico: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 1 CALCULO VECTORIAL

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1 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur DOCENTE: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA Correo electróico: lexiprrguirrepucp@hotil.co ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

2 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur MÓDULO DE APRENDIZAJE N FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERÍA AMBIENTAL ESCUELA DE INGENIERÍA DE MINAS Docete:Alex Iprrguirre Zvlet Asigtur : Clculo Vectoril CAPACIDAD: Resuelve ejercicios sore opercioes coids e R plicdo xios, leyes y cosecuecis de l propieddes, siguiedo u secueci lógic MOTIVACIÓN: LECTURA : PARA UNA PERSONA COMO TÚ El profesor Víctor le ecoied relizr u operció teátic su ejor lu Sofí Ferd co ls siguietes idiccioes: dees ultiplicr priero: x 9, y l resultdo que otegs lo ultiplicrás por 9 y otedrás coo resultdo u úero de cifrs tods igules por lo icreíle que prezc. Si tú fuers Sofí Ferd y te huier ddo el ejercicio pr resolver cuál serí tu respuest? RESOLUCIÓN: Multiplicdo: x 9 x 9 El sorpredete úero es: LECTURA : LOS SATÉLITES Estos stélites se sitú sore el ecudor e órit geoestciori kilóetros de distci del cetro de l Tierr. Esto sigific que cd stélite gir co l Tierr pereciedo siepre sore el iso puto. Los ps del tiepo que veos e televisió se reliz prtir de ls fotos que eví el Meteost. Co los stélites Meteost, Europ copletó su prier geerció de oservdores del tiepo, lo que cio rdiclete l predicció eteorológic; y sí coservr su edio iete.. Supogos que ls órits del Meteost so circuferecis, Cuál es l logitud de cd órit de Meteost? L r L, L logitud de cd órit es.k. Cuátos kilóetros se desplz u stélite Meteost e hors? Y, E, hors? Y, e ¾ de hor? Si ses el recorrido que hce el Meteost e hors, etoces puedes resolver este ejercicio. RESOLUCIÓN: Tiepo (e hors) Logitud (e K) x Los stélites so istruetos iprescidiles pr el teiieto y plició de l red de couiccioes; pr l elorció, cd vez ás detlld, de ps crtográficos, y pr el estudio del tiepo. ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

3 Uiversidd Als Perus NOCIONES PREVIAS RECORDANDO A LOS NÚMEROS RACIONALES(Q) El cojuto de úeros rcioles se represet por Q. Tod frcció / ( ) perteece l cojuto Q. Dos frccioes / y c/d so equivletes si d = c Ejeplo : es equivlete porque x = x e l práctic escriios = El cojuto N está icluido e el cojuto Z; el cojuto Z está icluido e el cojuto Q. Q Z N Fcultd de Igeierí y rquitectur E estos úero costituye u cojuto deoido cojuto de úeros irrcioles y se le represet sí : I Ejeplos : ),9 ), ),9 ), Alguos de estos úeros irrcioles so el resultdo de efectur cierts opercioes de rdicció, por ejeplo :,,, etc, tiee coo resultdo úeros irrcioles. Así : =, =, =,9 =,999. =,. Es decir, úeros coo ; -;, /, -/, /,,,,,,,, ; perteece l cojuto Q porque todos puede escriirse jo l for /. RECUERDA : Dd u frcció irreductile /, podeos oteer uchísis frccioes equivletes que cofor u cojuto l que se le ll clse de equivleci. Est clse de equivleci recie tié el ore de úero rciol. Pr o escriir tod l clse de equivleci podeos referiros ell escriiedo solo /. =,. =,. =,. =,. =,. CUIDADO : es u operció cuyo operdor RADICAL fect l úero y produce coo resultdo el úero irrciol, NUMEROS IRRACIONALES(I) Se ll sí todos quellos úeros que o puede ser escritos jo l for /. Cóo los recooceos? uy secillo : E su prte decil tiee ifiits cifrs si presetr período lguo. Otros úeros irrcioles so epledos e tes ás vzdos de Mteátic, sí por ejeplo : ; que se lee PI y equivle l siguiete úero irrciol : =,9 Los cojutos de úeros rcioles (Q) e irrcioles (I) o tiee eleetos coues. ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

4 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur DESARROLLO DEL CONTENIDO NUMEROS REALES NÚMEROS REALES OPERACIONES I N Z Q R VALOR ABSOLUTO ADICIÓN PROPIEDADES SUSTRACCIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN LA RECTA NUMÉRICA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIACIÓN RADICACIÓN INTERVALOS LIMITADOS ILIMITADOS RELACIONES DE R EN R EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R) El cojuto de úeros rcioles está cofordo por todos quellos que dopt l for de u frcció, pero hy úeros que o se puede escriir sí. A estos últios los llos irrcioles. De odo que RACIONALES e IRRACIONALES cofor el CONJUNTO DE NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES L uió de los cojutos de úeros rcioles e irrcioles recie el ore de cojuto de úeros reles. Al cojuto de úeros reles se le represet sí : R es decir : Q I = R Ejeplos : Los siguietes úeros perteece l cojuto de úeros reles :,,,, +, +; -; -/, +, etc. LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA Si e l rect uéric, dode heos uicdo los úeros rcioles, uicos tié los úeros irrcioles tedreos etoces, represetdos los NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA. -, / / / ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

5 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur RECUERDA QUE : Todo úero que puede escriirse jo l for de u frcció, recie el ore de NÚMERO RACIONAL. Así : ;,; ½ ; - ; / ;,;, ;, IMPORTANTE! Cudo trzos u rect sore u ppel, estos grficdo ifiitos putos sore él. Si cd uo de esos putos le socios u úero, etoces teeos u RECTA NUMÉRICA. Acerc de est RECTA NUMÉRICA pr R, hgos ls siguietes oservcioes : Si sólo uicos los NATURALES o los ENTEROS e l RECTA NUMÉRICA, o todos sus putos les correspode u úero N o Z. Si uicos los REALES e l RECTA NUMÉRICA, cd uo de sus ifiitos putos está socidos co cd uo de los ifiitos úeros R. Los úeros N, Z, Q, I, R situdos l derech del CERO siepre so positivos. Los que se sitú l izquierd del CERO siepre so NEGATIVOS. Es decir, Si, etoces es positivo Si, etoces es egtivo dode R El cojuto R, represetdo e l rect uéric es u cojuto ordedo de eor yor, de izquierd derech lo lrgo de tod l rect. Si y R; si e l rect uéric, se uic l izquierd de / + Orde scedete e tod l rect uéric De odo que : - - / Etre dos úeros reles, por ás cerc que se ecuetre el uo del otro e l rect uéric, siepre hy otro úero rel. Esto os perite firr que etre dos úeros reles existe otros ifiitos úeros reles; est crcterístic os dice que el cojuto R es DENSO. Todo úero rel tiee u puto socido él e l rect uéric; por eso decios que el cojuto R es COMPLETO. Si deseos hllr u úero rel copredido etre otros dos, sólo teeos que sur dichos úeros y dividir l su por. Así : Etre, y, teeos, Etre y cetésio) CUIDADO! teeos, ( proxido l COMPARACIÓN DE NÚMEROS REALES Ddos dos úeros reles y uicdos e l rect uéric será eor el que se ecuetre l izquierd del otro. Si o los uicos e l rect uéric, es posile coprr dos úeros reles cosiderdo lo siguiete :,9 Si se dese proxir este úero l cetésio, deeos quedros sólo co dos cifrs deciles, pr lo cul tedreos e cuet lo siguiete : Si l tercer cifr decil es MENOR que, l segud cifr decil se dej coo está. Si l tercer cifr decil es MAYOR IGUAL que, uetos u uidd l segud cifr decil. Si los dos úeros reles so de sigo distito, será yor el de sigo positivo. ) porque :,9...,... -/ ) Coprr - y - ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

6 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur Escriiedo e deciles: - = -, - = -, Etoces : CUIDADO! -, -,, y que, -, Si os situos e l RECTA NUMÉRICA, tedreos por ejeplo: Mucho cuiddo l coprr úeros egtivos! VALOR ABSOLUTO + El vlor soluto de u úero rel es l distci del CERO dicho úero. Es decir : - + Es fácil otr que l distci de + is que de -, es l, etoces podeos firr que el vlor soluto de + es el iso que el de - Así : = = E geerl, si es u úero rel, el vlor soluto de se represet coo y está defiido sí : ATENCIÓN! = si = si = = - si Siedo u úero rel, etoces : sigific : es u úero rel positivo Adeás : sigific : es u úero rel egtivo Ejeplos : ) - = - (- ) = + ) = RECUERDA QUE EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS Defiició: Cojuto REALES R es quel provisto de dos opercioes: L dició ( + ) y ultiplicció ( x ) y u relció de iguldd ( = ) y u relció de orde o desiguldd ( > ), ls cules stisfce los xios correspodietes. AXIOMAS DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN I. AXIOMAS DE LA ADICIÓN: AXIOMA : CLAUSURA O EXISTENCIA: ; R R R, R ( ) R AXIOMA : CONMUTATIVIDAD: ; R R R, R R AXIOMA : ASOCIATIVIDAD: ; ; c R ( ) c ( c ) R ; ; R ( ) ( ) AXIOMA : EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIVO: EL VALOR ABSOLUTO es u distci. Tod distci es positiv. Etoces, el VALOR ABSOLUTO de culquier úero rel distito de CERO siepre es POSITIVO! R, R + = + = El cero o lter l dició ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

7 Uiversidd Als Perus AXIOMA : Existeci del Iverso Aditivo u Opuesto: R,!( - ) R, ( - ) ( - ) + ( - ) = ; ( - ) es el opuesto. CONSECUENCIAS:. L su de dos eleetos opuestos es cero.. Si : y R : TAL QUE + = y SON OPUESTOS. Si: x R Op ( x ) = -x Opuesto de Ejeplos: II. Op ( ) = - Op ( - ) = Op ( x + ) = - ( x + ) AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN: AXIOMA : CLAUSURA O EXISTENCIA: Si y R R R y R ( )( ) R AXIOMA : CONMUTATIVIDAD: Si, R = R y R x = x AXIOMA : ASOCIATIVIDAD: Si, y c R ( ) c = ( c ) R, R y R ( x ) = ( x ) AXIOMA : EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO:! R, R : ( ) = ( ) = L uidd o lter l ultiplicció Fcultd de Igeierí y rquitectur Si R { } es el iverso o recíproco CONSECUENCIAS:. El cero crece de recíproco.. Si y R { } tl que =. Si R { } Rec ( ) = Rec ( 9 ) = Rec y SON RECÍPROCOS Operdor recíproco de AXIOMA : AXIOMA DE DISTRIBUCIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA ADICIÓN: Si:,, c R ( + c ) = + c ( + 9 ) = ( x ) + ( x 9 ) AXIOMA : EXISTENCIA DEL ELEMENTO ABSORBENTE DE LA MULTIPLICACIÓN: R,! R : x = El eleeto cero es el eleeto sorete de l ultiplicció. x = ; ( - ) x = POTENCIACIÓN EN R Pr u úero rel y u úero etero positivo se defie l poteci eési de l úero que se otiee l ultiplicr veces el fctor fctores p AXIOMA : EXISTENCIA DEL INVERSO MULTIPLICATIVO O RECÍPROCO: R, - { },! R ; = Regl de los sigos: Si l se es positiv, culquier poteci es positiv Si l se es egtiv y el expoete pr, l poteci es positiv Si l se es egtiv y el expoete ipr, l poteci es egtiv. ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

8 Uiversidd Als Perus PROPIEDADES: ). Multiplicció de potecis de igul se. ). Divisió de potecis de igul se c). Expoete ulo (o cero) d). Expoete egtivo pero e). Poteci de poteci. f). Poteci de u ultiplicció.. g). Poteci de u divisió ; RADICACIÓN EN R. L ríz eési de, que se deot por es el úero r tl que r, es decir: r r Regl de los sigos: Si l ctidd surdicl es positiv, l ríz de ídice pr o ipr es tié positiv. pr ó ipr Fcultd de Igeierí y rquitectur ). Ríz de u divisió c). Ríz de ríz. d). Ríz de u poteci / e). Poteci de expoete frcciorio / OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Al efectur ls opercioes co úeros reles se os preset u prole, de que ls cifrs deciles de los úeros que iterviee e l operció so ifiits; es por eso ecesrio restrigir el úero de ests cifrs edite el redodeo. Si est cifr es o yor que, etoces l cifr terior uet e uo. Si est cifr oservd es eor que, etoces l cifr terior se escrie igul.. ADICIÓN DE NÚMEROS REALES: L dició de úeros reles es l operció que hce correspoder cd pr ordedo (;) del producto crtesio RxR u tercer úero rel lldo su.. Hllr l su de y co proxició l cetésio. Rpt:, Si l ctidd surdicl es egtiv sólo tiee ríz de ídice ipr; l ríz de ídice pr o perteece l cpo de los úeros reles. ipr PROPIEDADES: ). Ríz de u ultiplicció.. pr y R. Efectur co proxició ls ilésis:, Rpt:,. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES: L difereci de dos úeros reles y, deotdo por -, se otiee sudo l iuedo el opuesto del sustredo. Es decir: Etoces, l sustrcció es u cso prticulr de l dició de úeros reles: ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

9 Uiversidd Als Perus. Efectur co proxició ls ilésis: Rpt:-, Fcultd de Igeierí y rquitectur Ejeplos:. Hllr el cociete co proxició l ilésio:. De restr co proxició l cetésio. Rpt:,. Efectur co proxició l cetésio:.. Redoder el vlor de cetésio.. Restr de co proxició ls ilésio Rpt:-,9. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES: L ultiplicció e R es u operció que hce correspoder cd pr de úeros reles (;) lldos fctores, u tercer úero rel úico lldo producto de y. El producto de y se puede escriir de culquier de ls siguietes fors:... Efectur co proxició l cetésio`,. Rpt:-,9. Efectur co proxició ls ilésis:,9..., Rpt:,9. DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES: L divisió de úeros reles es l operció que hce correspoder cd pr ordedo (;) del producto crtesio RxR, u tercer úero rel ( ) lldo cociete; siepre que se diferete de cero: c REGLAS PARA DESARROLLAR OPERACIONES COMBINADAS: Pr desrrollr opercioes coids e R se dee hcer respetdo ls siguietes regls:. Priero se reliz ls opercioes detro de los sigos de grupció, de detro hci fuer.. luego l potecició y l rdicció e el orde que se ecuetr.. A cotiució ls ultipliccioes y divisioes, ests e el orde que se presete (de izquierd derech).. Por últio ls dicioes y sustrccioes e el orde que se presete. * Ls proxicioes se efectú e cd etp de ls opercioes PRÁCTICA DE CLASE. Cuál de los siguietes resultdos o es u úero rciol? ) d), ), c), 999 e) N.A.. Clculr : y dr l respuest co proxició los cetésios. ), ), c), d), e) N.A. ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA 9 CALCULO VECTORIAL

10 Uiversidd Als Perus. Efectur :..... y dr coo respuest l ríz cudrd del resultdo oteido ) ) c) d) e) N.A.. Clculr :... ) ) c) d) e) N.A.. Efectur :,, x x x, x 9 ), ), c), d), e),.evlur : 9 9 l respuest coo úero decil. x (, )(, ) y dr ), ), c), d) e) N.A..Multiplicr los rdicles hoogéeos :,, ) ) c) d) e) N.A.. Sur los rdicles seejtes :,, p x ) ) c) d) e) N.A. 9. Efectur : + - ) ) c) d) e) N.A. Resuelve ls siguietes opercioes co proxició: ) decio:,,,,,,, e) Milésio: ) Cetésio:, ) ilésio: d) Cetésio:. Efectú cd u de ls opercioes co proxició l cetésio e lguos csos. Fcultd de Igeierí y rquitectur ) De rest l su de - co + ), ) -, c) -, d), e) N.A. ) Resuelv: x ), ), c), d),9 e) N.A. ) Resolver: (, -, ), ) ) - c), d) -, e), x. Si : x es u eleeto de R, cuyo correspodiete reflexivo es: x.clculr x: ) / ) / c) / d) / e) N.A. Si:. So eleetos y iversos ditivos. Clculr : ) -/9 ) -/ c) / d) -/ e) N.A. Si: y ; x x x R. So eleetos iversos ultiplictivos. Hllr x : ) ) c) d) e) N.A. Siplificr: K Op x Rec Op Rec x x ) K x 9 ) K x c) F.D d) K x 9 e) N:A 9. Si: 9x so eleetos Op x y Rec iversos ultiplictivos. Hllr x : ) - ) c) d) 9 e). Si: M y N so eleetos recíprocos. Siedo: M x ; N x x Clculr: M y N. ) y / ) c) d) y / e) N:A ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

11 Uiversidd Als Perus. Si: x, siedo: ) M N y so eleetos recíprocos, clculr ) x M, N x c) d). Resolver el siste: Op x Rec ( y ) Op ( x ) Rec ( y ) ) d) ), Op ( ) e) N.A Rec ( c), e) N.A,. Siplificr e térios de. ), K = ( ) ( ) ( ) ( ) -9 Siedo que y so recíprocos. ) - ) - c) - d) - e) N.A. Si: x y z so eleetos R de opuestos, siplificr e térios de x : E = ( x + z ) + ( x + z ) + ( x z ) Fcultd de Igeierí y rquitectur PRÁCTICA DOMICILIARIA. Si: - y - eutros ditivos. Clculr y.. So eleetos ) y - ) - C) - d) y - e) N.A. Si: x x represet l eleeto eutro de l Hllr el vlor de x. x 9 dició. ) / ) / c) / d) / e)/. Oteer el cojuto solució de l siguiete ecució: K Op x - Opx Opx ) ) / c) { / } d) 9 e) N.A. Hllr el cojuto solució de l ecució siguiete: Rec Rec x x x Rec ) { } ) c) { / } d) / e) N.A ) d) 9x ) E x E e) N.A 9x E c) 9x E. Hllr el vlor de x de er que K y / Q se recíprocos etre sí, siedo que: x Op( K ) - x y Rec Q ) / ) / c) / d) e) N.A. Hllr el vlor de x pr el cul los eleetos y so opuestos. Siedo que: Rec Op x x x ) 9 ) c) d) e) N.A. Si los eleetos de R :So iversos ditivos. Hllr el vlor de x : x x Rec Rec x x y Rec Op x ) ) 9 c) d) e). Si los eleetos de R so: Hllr el vlor de que les perite ser opuestos: ) / ) /9 c) / d) / e) /. Si P/ y Q so opuestos. Siedo: Clculr x : x P x - Q ) / ) c) d) 9/9 e) N.A ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL,

12 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur. Si: Op ( x ) Rec ( ) Op ( x ) Rec ( ) Hllr x si; el opuesto de ás el recíproco de (/) es igul que. ) - / ) - / c) - / d) - /9 e) 9. Si, y c so eleetos de R idicr cuál de ls fircioes result verdder: I) = + c = + c II) = c = c III) = /c = /c ) I y II so flsos. ) II y III so flsos c) Sólo I es verddero d) Sólo II es verddero e) Sólo I y II so verdderos.. Si, y c so reles: I) + c = + c = II) c = c = III) /c = /c = So verdderos: ) Sólo I ) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) Sólo III. Se ls fircioes: I) Si R,! x R /.x = II) Si R,! x R / + x = III) Si, x R ( + x ) = + x ) VFV ) FFV c) VVV d) FVF e) VVF. Si y x so eleetos de R oteer el vlor de verdd e cd firció: I) R,! x R / + x = II) R,! x R /. x = III) x x R x ) VVV ) FFV c) VVF d) VFF e) FFF. E relció ls siguietes fircioes: III), R ) VFV ) FVV c) VVV d) VVF e) FVF. Idicr el vlor de verdd de cd firció: I) ( ) = R II) ( ) = III) x R R,.x = x. ) VVV ) VFV c) FFV d) FVF e) FFF. Efectú co proxició l:, 9 )., ( cetésio ) ). ( Decio ) c)., ( Milésio ) d).,, e). De restr (Decio) (Diez Milésios) f). De l su de co restr ( cetésio ) g). E cuáto es yor l su de. co, l dole del cudrdo de,... ( cetésio ). Efectú ls siguietes opercioes co proxició l : ). ). ( decio) ( ilésio) c).,,, (Cetésio) I) R II) = + ( - ), R. d)., (Diez ilésio) ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

13 Uiversidd Als Perus. Ddo el cojuto: ;,; ; ; ; cuátos de los eleetos so úeros irrcioles? ) ) c) d) e). Si > y < -; se deduce que + es siepre: )positivo )egtivo c)puede ser cero d)positivo o egtivo e)o se puede firr d. 9. Si : Z, Z, y deás:, ; vlor de: será: )positivo si > el )siepre positivo c)siepre egtivo d)egtivo si > e)na.. Si suos los posiles vlores de e:, oteeos: )- )- c) d) e)-. Efectur: 9 ) ) c) d) e). A que es igul veces P? P, 9 ) ) c) d) e)9,,.... Efectur:, )/9 )/ c)/ d)/ e)/. El resultdo de: 9 / ) ) c) d) e). El resultdo de : x :, ) ) c) d) e). efectur: M = -,, ot ) / ) / c) d) / e) Fcultd de Igeierí y rquitectur.-al efectur: 9 A = x, - 9,, result: ) ) c) d) e).- Al siplificr K =, x, x, ) ) c) d) e) N. A 9.- Hllr P l evlur:,,, P = ) ) c) d) e) N. A.- Si : A =, 9. B =,9. Hllr: A + B +, ) ) c) d) e) N. A.-Efectur: : ) / ) / c) / d) / e) N. A.-Siedo: - 9 c. Hllr, ; c ) ) / c) d) / e) N. A. ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL

14 Uiversidd Als Perus Fcultd de Igeierí y rquitectur.-clculr: E... ) / ) / c) /9 d) / e) N. A.- Efectur: ) ) c) d) e) N. A.- Efectur:, 9, ) / ) / c) / d) / e) N. A.- Efectur: : ) ) c) d) e) N. A.-Efectur:,, - x 9 ) ) c) d) e) N. A ) De rest l su de - co + ), )-, c) -, d), e) N.A. 9. Reducir: (,),9 x ), ), c), d),9 e), )Reducir: M ) ) Reducir:,,, ) (,) c) R d) e) N.A. ) ) c) d) e) PROBLEMA RETO Roocop fue ecotrdo uerto de u lzo e el cetro de Chiote. L policí detuvo tres sospechosos: Spider, Superá y Bt; los tres fuero iterrogdos y declrro lo siguiete: Spider: * Yo o lo té * Yo uc hí visto superá * Es cierto, yo coocí Roocop Superá: * Yo o lo té Btá: * Spider y Btá so is igos * Spider uc tdo die * Yo o lo té * Spider iete cudo dice que o lo cooce Superá * No sé quié lo to Si u sol iforció de cd sospechoso es fls y solo uo es culple Quié es el sesio? ) Spider ) Btá c) Superá d) Spider o Btá e) Superá o Spider MADRE NO SÓLO HAY UNA ES ÚNICA! Proverio Hidú ALEX IPARRAGUIRRE ZAVALETA CALCULO VECTORIAL