NUEVOS ÁBACOS ADIMENSIONALES DE ARMADO A FLEXIÓN COMPUESTA

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1 NUEVOS ÁBACOS ADIMENSIONALES DE ARMADO A FLEXIÓN COMPUESTA Juan Chiachío-Ruano Ingeniero e Camino SENER INGENIERÍA Y SISTEMAS Ingeniero e Proyecto Etructurale juan.chiachio@ener.e Manuel Chiachío-Ruano Ingeniero e Camino SENER INGENIERÍA Y SISTEMAS Ingeniero e Proyecto Etructurale manuel.chiachio@ener.e Enrique Hernánez-Monte Dr.Ingeniero e Camino UNIVERSIDAD DE GRANADA Caterático e Univeria emonte@ugr.e Reumen En ete trabajo e a un pao má en el métoo RSD (Reinforcement Sizing Diagram) propueto originalmente por Hernánez-Monte et al. [1] cuyo reultao ha io la obtención e una nueva formulación aimenional para el armao e eccione rectangulare a flexión compueta. Eta formulación ha io graficaa en uno nuevo ábaco o iagrama e armao únicamente epeniente el momento aimenional reucio y el recubrimiento aimenional aoptao, univeralmente válio para toa la eccione rectangulare. Aemá, meiante eta formulación e ha encontrao el punto óptimo e ieño para toa la ecione rectangulare ometia a flexión compueta, corroborano con ete reultao el Teorema e Armao Óptimo e Hernánez-Monte et al [4]. Por tanto e preenta reumiamente el planteamiento el métoo RSD para poteriormente entrar en la formulación aimenional conucente a lo iagrama e armao y lo reultao e optimización. Se han repreentao eto iagrama para itinto cao e momento aimenional reucio y e ha reuelto un ejemplo e aplicación. Palabra Clave: Hormigón armao, flexión compueta, eccione rectangulare, métoo RSD, optimización, formulación aimenional reucia. 1. Introucción El ieño a flexocompreión en eccione e hormigón armao con armaura e compreión e un problema e o ecuacione (ΣF=, ΣM=) y tre incóngita (A, A, x) [2]. Por tanto, exiten teóricamente infinita olucione que hacen poible el armao a flexión compueta e una ección cualquiera para uno efuerzo eterminao. Para olventar eta ineterminación, típicamente e han empleao carta o ábaco e interacción en lo que e fija a priori una relación A /A, o e elige armaura imétrica, o bien e aopta una eterminaa profunia e la fibra neutra (x), con objeto e reucir el número e incógnita e tre a o, y poer reolver aí el problema. La aopción e eta hipótei e manera irracional y itemática upone en too lo cao perer el campo e viión el calculita toa una gama e poible olucione etructuralmente vália para el nivel e eguria fijao, y en no poco cao también puee uponer la aopción e olucione batante alejaa el punto óptimo e ieño in aumento alguno el nivel o factor e eguria. Con ete mimo planteamiento, Hernánez-Monte et al. (23 y 25) propuieron reolver el cálculo a flexión compueta e forma paramétrica ejano la variable (x) como parámetro, ano lugar a lo que e conoce como Métoo RSD e armao a flexión (Reinforcement Sizing Diagram) [1]. La propueta que e realiza en ete trabajo e la aimenionalización el citao métoo RSD con un oble objetivo. En primer lugar implificar la formulación el métoo RSD eliminano el problema la epenencia e la geometría y el material. De eta manera e puee iponer e un olo iagrama RSD únicamente epeniente el momento aimenional reucio (μ ) y el recubrimiento aimenional (δ ), coniguieno aí que u aplicación ea má irecta y encilla. En eguno lugar encontrar e forma analítica y gráfica el punto óptimo e ieño, y por tanto la itribución armaura óptima, para la too lo cao e eccione rectangulare. 2. Planteamiento aimenional el Métoo RSD El métoo RSD para el cálculo e eccione a flexión compueta conite báicamente en reolver la ecuacione e equilibrio interno e la ección e forma paramétrica en función e la profunia e la fibra neutra x, llegano a una

2 expreione que relacionan la cuantía e acero (A y A ) en función e x. Aí, conocieno lo efuerzo e cálculo, el material y la geometría e la ección pueen repreentare gráficamente eta expreione ano lugar a lo que e conoce como Reinforcement Sizing Diagram. [1]. Fig. 1 Ejemplo tomao e la publicación ACI-SP-17 [1] La ventaja e eto iagrama RSD e que permiten al calculita eciir el armao a flexocompreión e forma racional y riguroa pero como contrapartia preentan el oble inconveniente e que por un lao precian conocer a priori too lo ato el problema (por lo que erían peormente aplicable en fae e preieño) y por otro lao el tener que recurrir neceariamente a algoritmo informático para u reolución. En ete trabajo e eliminan lo inconveniente que hata ahora preentaban lo citao iagrama RSD e forma que no ólo no ea neceario tener que recurrir al cálculo computacional para u aplicación ino que aemá e iponga e un único iagrama RSD para toa una familia e eccione epeniente ólo el momento aimenional reucio (μ ) y el recubrimiento aimenional (δ ). Eto permite la aplicación irecta y rápia e ete métoo en la fae e preieño e la etructura, en la que a priori no e conoce la geometría e la ección. Aemá el análi e eto ábaco permite obervar gráficamente comportamiento y tenencia generale en toa la eccione rectangulare. La magnitue que eberán er aimenionalizaa erán lo efuerzo y la itancia. Se han convenio lo iguiente criterio para realizar la aimenionalización el problema: Tabla 1 Criterio e aimenionalización MAGNITUD A ADIMENSIONALIZAR CRITERIO DE ADIMENSIONALIZACIÓN FUERZAS DISTANCIAS MOMENTOS Diviir por (bf c ) Diviir por () Diviir por (b 2 f c ) 3. Dearrollo e la formulación aimenional el métoo RSD Para la formulación aimenional, e aopta la iguiente notación: M μ = (1) b ω 2 fc A σ = (4) b fc N ν = (2) b fc x = (5) ω A σ = (3) b fc δ = (6) Con eta notación aimenional, la metoología conitirá en plantear el equilibrio interno e la ección con la magnitue aimenionale, obtenieno un itema e o ecuacione con o incógnita, ω y ω :

3 1 A σ = ω b f c.85 fc.8 x =.68 bf c Fibra Neutra A σ = ω b f c ν μ Fig. 2 Equilibrio interno e la ección con la variable aimenionalizaa M = ω ( 1-δ ) +.68 ( 1-.4) = μ +.5 ν ( 1-δ ) (7) F = ω ω = ν (8) Reolvieno analíticamente ete itema formao por la ecuacione (7) y (8) y epejano ω y ω, e llega a la formulación aimenional bucaa: ( ) μ +.5 ν 1 δ ω ( ) = 1 δ ( ) ( ) μ +.5 ν δ 1.68 δ.4 ω = 1 δ (9) (1) 4. Dearrollo e una formulación aimenional reucia: Nuevo ábaco aimenionale e armao a flexión Si e pretene aplicar la formulación aimenional en fae e preimenionamiento en la que aún no e conocen la imenione e la ección, ería intereante iponer e uno iagrama o ábaco en lo que e relacione la cuantía aimenional e armaura con la profunia aimenional e la fibra neutra, para itinto valore e lo efuerzo aimenionale e cálculo. En efinitiva e trataría e repreentar gráficamente la ecuacione (9) y (1) con el objeto e conocer a priori el punto e ieño, puieno comprobar aemá i e etá imenionano cerca o lejo el óptimo. Para ello lo parámetro ν, μ, δ neceitan er eterminao previamente. E ecir, on parámetro e entraa en la formulación aimenional, ao que e la variable inepeniente. En el cao el recubrimiento aimenional, δ, on habituale valore en el intervalo [.5,.15] puiénoe aoptar el valor.1 para el preimenionamiento. Por tanto quearía por fijar el valor e lo parámetro μ y ν para poer repreentar un iagrama aimenional a partir e la ecuacione (9) y (1), o bien encontrar un parámetro que lo relacione entre í, con objeto e generar uno ábaco variano el valor el nuevo parámetro. Eta relación poría baare en el conocio Teorema e Ehler [2], egún el cual too problema e flexión compueta puee reucire a uno e flexión imple in má que tomar como momento ficticio el iguiente: M = N e 1 (11) ieno M e1 = N +.5 ( ) (12) Si aplicamo lo criterio e aimenionalización e la Tabla 1,e puee obtener la formulación aimenional el citao teorema:

4 ε μ = (13) ε1.5 ( 1 δ ) ν ν ε + ε = μ (15) = (14) 1 Planteano e nuevo la ecuacione e equilibrio (7) y (8) conjuntamente con la ecuacione (13), (14) y (15) e tenría: M= ω ( 1 δ ) +.68 ( 1.4) = ν ( ε + ε1) = μ (16) F = ω +.68 ω ν = ω +.68 ϖ = (17) ieno: ϖ = ω+ ν (18) Por tanto, reolvieno el itema e ecuacione (16) y (17), reulta: ω = μ δ ( ) μ.68 δ.4 ϖ( ) = 1 δ (19) (2) La ecuacione (19) y (2) contituyen la formulación reucia el métoo, ao que el único parámetro e entraa neceario en eta formulación e el momento aimenional reucio, μ. Gracia a eta nueva formulación, puee repreentare gráficamente toa la cauítica e eccione rectangulare ometia a flexión compueta con armaura e compreión, generano uno ábaco e armao con ólo variar el valor el parámetro μ. Se repreentan gráficamente eto iagrama, para el cao habitual e un recubrimiento aimenional e.1. ω,85,8,75,7,65,6,55,5,45,4,35,3,,2,4,6,8 1, μ =.55 μ =.5 μ =.45 μ =.4 μ =.35 μ =.3 Gráfica 1 Diagrama aimenionale para la armaura e tracción (δ =.1) ω,6,5,4,3,2,1, -,1 -,2,,2,4,6,8 1, μ =,55 μ =,5 μ =,45 μ =,4 μ =,35 μ =,3 Gráfica 2 Diagrama aimenionale para la armaura e compreión (δ =.1)

5 ω+ω 1,2 1,1 1, μ =,55,9 μ =,5,8 μ =,45,7,6,5 μ =,4 μ =,35,4 μ =,3,,2,4,6,8 1, Gráfica 3 Diagrama aimenionale para la armaura total (δ =.1) 5. Tranformación e lo reultao aimenionale A partir e lo reultao el análii aimenional pueen conocere, operano en entio invero, la cuantía reale e armaura para una eterminaa profunia aimenional e la fibra neutra ( ): ( ) A σ b f ϖ = ω+ ν = A = ϖ ν ( ) c b fc σ ( ) A σ b f ω = A = ω c b fc σ ( ) ( ) (22) b f ωtotal = ω + ϖ = ω + ω+ ν ATOTAL = ( ωtotal ν ) σ Como e oberva en la ecuacione (21), (22) y (23), e neceario conocer la tenión en la armaura para el valor fijao e la profunia aimenional e la fibra neutra, lo que a u vez epenerá el ominio e rotura que correpona a la profunia. En la ecuacione (24) y (26) e proporciona el valor e la tenione en la armaura, en función el valor e la profunia aimenional : ( ) c (21) (23) fy ; LIM 1 < 1.35 E ; LIM 1 σ = mín.35 E, fy ; 1< δ ieno: 1 mín E f + < < 7.2, y ; 1 3 δ ( δ ) (24)

6 LÍM 1 = (25) f y δ mín E.1, fy ; δ < δ σ ( ) = mín E.35, fy ;.259 < δ δ mín E.2, fy ; δ < < ( δ 7 ) (26) La repreentación gráfica e la ecuacione (24) y (26), para el cao habitual e un recubrimiento aimenional e.1, e ajunta en la gráfica 4 y 5: σ B -4-S B-5- S -45-5,,2,4,6,8 1, Gráfica 4 Tenión (N/mm 2 ) en la armaura e tracción σ B-5-S B-4-S ,,2,4,6,8 1, Gráfica 5 Tenión (N/mm 2 ) en la armaura e compreión 6. Reultao e optimización meiante el análii aimenional Como e oberva en lo iagrama aimenionale que e ajuntan en la gráfica 1 y 2, la función ϖ ( ) preenta un mínimo para [,1] mientra que la función ω ( ) e ecreciente en ete mimo intervalo. Por lo tanto puee enunciare que habrá un mínimo e cuantía e armaura total para el valor e e ee mimo intervalo que haga ω + ϖ i para ete valor e, la tenión en la armaura e tracción y e compreión e mínima la función máxima. Aplicano el enunciao anterior: ( ϖ ω ) μ.68 ( δ.4 ) μ.68 ( 1.4 ) + = + = MIN = δ 1 δ Para ete valor e que hace mínima la función ω ( ) + ϖ ( ),( ) ( δ ), la tenión en la armaura e compreión erá f y, como puee vere en la gráfica 5. Por otro lao, la tenión en la armaura e tracción para erá máxima para recubrimiento aimenionale no mayore e.1, que uelen er lo normale. Aí, egún la ecuación (25) para (27)

7 un acero B-4-S e tiene que =.67 mientra que i e aopta típicamente un recubrimiento aimenional e LÍM.1 e tiene que =.68. Por tanto, puee enunciare que la cuantía mínima e armaura e ará para =.625 ( δ ) que coincie aproximaamente con LÍM corroboráoe el Teorema e Armao a Flexión, e Hernánez-Monte et al [4]. Por otro lao i e utituye en la función umaω + ϖ el valor e obtenio, poemo encontrar la expreione e la cuantía mínima necearia e armaura (aimenionale) en función únicamente el momento aimenional reucio, para un valor eterminao e recubrimiento aimenional: δ δ μ ϖ = ϖ(.625 ( δ )) = δ δ.1625 δ μ ω = ω (.625 ( δ )) = δ 1 2 TOTAL δ ( δ ) 2 μ ω = ϖ(.625 ( δ ) ) + ω (.625 ( δ )) = (3) δ 1 Por tanto, i e etablece un recubrimiento aimenional e.1, pueen repreentare gráficamente la cuantía mínima e armaura necearia: (28) (29) 1,,8 ω+ω,6 ω,4,2 ω, -,2,2,3,4,5,6 μ Gráfica 6 Cuantía mínima en función el momento aimenional reucio 7. Ejemplo e aplicación Reolver el armao a flexocompreión, ano la cantia mínima e armaura necearia, e una ección rectangular e 6mm x 3mm (bxh). El hormigón empleao erá HA-25 y el acero B-4-S. Lo coeficiente e eguria erán 1.5 para el hormigón y 1.15 para el acero.lo efuerzo e cálculo mayorao on M=25 knxm y N= 5kN y el recubrimiento nominal e la armaura erá e 3mm. Para reolver ete ejemplo e utilizará en primer lugar el métoo RSD y poteriormente la formulación aimenional propueta en ete trabajo. Lo ato el material y la geometría e reumen en la iguiente tabla: Dato el material E (N/mm 2 ) 21 f ck (N/mm 2 ) 25 f c (N/mm 2 ) 16,67 f yk (N/mm 2 ) 4 f y (N/mm 2 ) 347,83 Geometría e la ección (mm) 27 p (mm) 3 b (mm) 6 h (mm) 3 Efuerzo M (Nmm) 25 N (N) 5

8 Sutituyeno lo valore el material y geometría, y calculano el valor e C c, σ y σ para caa valor e x en el intervalo x [,], e obtiene, meiante ayua computacional, el iguiente litao e reultao: Tabla 2 Reultao por el métoo RSD X (mm) Dominio e rotura(ehe) σ (N/mm 2 ) σ (N/mm 2 ) C c (N) A (mm 2 ) A (mm 2 ) A total (mm 2 ) 5 Dominio 2 174, , , , ,748 6 Dominio 2 283, , , , ,54 7 Dominio 3 331, , , , ,723 8 Dominio 3 331, , , , ,489 9 Dominio 3 331, , ,29 298, ,616 1 Dominio 3 331, , ,5 1932,64 429,14 11 Dominio 3 331, , , , , Dominio 3 331, , , , , Dominio 3 331, , , , , Dominio 3 331, , , ,12 399,67 15 Dominio 3 331, , ,64 125, , Dominio 3 331, , ,175 18, , Dominio 3 331, , , , , Dominio 3 331, , , , ,18 19 Dominio 4 331,159 39, , ,77 415,52 2 Dominio 4 331, , , , ,49 21 Dominio 4 331,159 21, , , , Dominio 4 331, , ,51 474, ,26 23 Dominio 4 331, , , , ,89 24 Dominio 4 331,159 91, , , , Dominio 4 331,159 58, , , , Dominio 4 331,159 28, ,164 27, ,919 Gráficamente: 1 A( mm2) 1 1 Tracción Compreión Total X (mm) Gráfica 7 Reultao por el métoo RSD Se oberva tanto el iagrama RSD como e la lita e reultao que la cantia mínima e armaura necearia e e 37.4 cm 2 (A=28.9 cm 2, A =8.51 cm 2 ).

9 Utilizano la nueva formulación aimenional, aplicano la ecuacione (28) y (29), para ( δ ) e tiene que: =.625 =.694, Tabla 3 Dato aimenionale Variable aimenionale μ.343 ν.185 δ.111 ε ε ε μ.425 ϖ = = = = ω ω = =.67 TOTAL (Eto reultao pueen obtenere aí mimo entrano en la gráfica 6 con el valor e μ =.425) Conocio lo valore e ϖ y ω, y aplicano la ecuacione (21), (22) y (23), para σ = fy = σ, e obtiene la cuantía real e armaura bucaa: ϖ ν A = = = mm 28.34cm fy b f c ω.12 A = = = mm 9.29cm fy b f c 2 2 ωtotal ν ATOTAL = = = mm 37.63cm fy b f c 2 2 Se oberva que lo reultao obtenio con la nueva formulación coincien eniblemente con lo obtenio por el métoo RSD. En ete ejemplo porían habere utilizao aimimo la gráfica 1, 2 y 3 con olo bucar el mínimo e la gráfica en cuetión para el momento aimenional reucio conierao. 8. Concluione De manera inóptica pueen enunciare la iguiente concluione: Cualquier problema e flexión compueta, en el que ea neceario iponer armaura e compreión, e un problema ineterminao con un grao e liberta, por lo que lo iagrama RSD e preentan como una alternativa para aborar el imenionamiento, in neceia e aoptar itemáticamente ninguna hipótei implificaora. La aimenionalización que e propone para lo RSD permite la aplicación e lo mimo e forma rápia y irecta, evitano aí tener que recurrir al cálculo computacional para caa cao epecífico; haciénolo muy útile en fae e preieño. El earrollo e una formulación aimenional reucia ha permitio, para itinto valore el recubrimiento aimenional, la confección e ábaco e ieño integrao por itinto iagrama aimenionale. De eta forma, e tiene e manera viual toa la gama e poibiliae e ieño. La cuantía óptima e armaura en eccione rectangulare flexocomprimia e obtienen aoptano una profunia e la fibra neutra aproximaamente igual a x LIM. [4] La confección e eto iagrama aimenionale e armao a flexión ha permitio obervar la exitencia e un mínimo en concorancia con el Teorema e Armao a Flexión [4].

10 Ete etuio e extenible a too aquello elemento flexocomprimio e hormigón armao con ección rectangular: viga, oporte, muro e etribo, etc. La aopción e eta mima metoología, permitirá en earrollo futuro la confección e ábaco univerale para un catálogo e eccione tipo; contituyeno la alternativa racional e lo ya conocio ábaco o carta e interacción. Notación A = Cuantía e armaura e tracción A = Cuantía e armaura e compreión b = Ancho e la ección = Canto útil e la ección h = Canto total e la ección = Recubrimiento mecánico e la ección f f c y C c = Reitencia e cálculo el hormigón (egún EHE) = Reitencia e cálculo el acero (egún EHE) = Reultante e compreione en el hormigón M N = Momento e cálculo = Axil e cálculo δ = Recubrimiento aimenional μ = Momento aimenional e cálculo μ = Momento aimenional reucio e cálculo ν = Axil aimenional e cálculo ω = Fuerza aimenional en la armaura e tracción ω = Fuerza aimenional en la armaura e compreión = Profunia aimenional e la fibra neutra Referencia [1] HERNÁNDEZ-MONTES E., GIL-MARTÍN L.M..,an ASCHHEIM M., Deign of Concrete Member Subjecte to Uniaxial Bening an Compreion Uing Reinforcement Sizing Diagram, ACI Structural Journal. January- February 25, pp [2] JIMÉNEZ MONTOYA P., GARCÍA MESEGUER A..,an MORAN CABRÉ F., Hormigón Armao, 14ª Eición, 2. [3] Intrucción e Hormigón Etructural EHE. (21). Miniterio e Fomento. [4] HERNANDEZ-MONTES E., GIL-MARTÍN L.M., PASADAS M. y ASCHHEIM M., "Theorem of Optimal Section Reinforcement". Structural an Multiiciplinary Optimization. [5] CHAKRABARTY, B. K., Moel for Optimal Deign of Concrete Beam, Journal of Structural Engineering, ASCE, V. 118, No. 11, Nov. 1992, pp [6] WHITNEY, C. S, an COHEN, E., Guie for Ultimate Strength Deign of Reinforce Concrete, ACI JOURNAL, Proceeing V. 53, No. 11, Nov. 1956, pp [7] ACI Committee 318, Builing Coe Requirement for Structural Concrete (ACI 318-2) an Commentary (318R- 2), American Concrete Intitute, Farmington Hill, Mich., 22, 443 pp. [8] WHITNEY, CHARLES S, COHEN, EDWARD. Guie for Ultimate Strength Deign of Reinforce Concrete. ACI Journal, v 28, No, 5, Nov (Proceing V.53), pp [9] HERNÁNDEZ-MONTES E., GIL MARTÍN, L.M. y LÓPEZ ARAGÓN J.A. (23). Diagrama e imenionamiento en flexión para eccione e hormigón. Hormigón y Acero, nº 277, pp [1] HERNÁNDEZ-MONTES, E., ASCHHEIM, M an GIL-MARTÍN, L.M. (24). The impact of optimal longituinal reinforcement on the curvature uctility capacity of reinforcement concrete column ection. Magazine of Concrete Reearch, 56, No. 9, Nov, [11] HERNÁNDEZ-MONTES E. GIL-MARTÍN L.M. an ASCHHEIM M. (25). Deign of Concrete Member Subjecte to Uniaxial Bening an Compreion Uing Reinforcement Sizing Diagram. ACI Structural Journal. January-February 25, pp [12] ACI Committee 34, ACI Deign Hanbook: Deign of Structural Reinforce Concrete Element in Accorance with the Strength Deign Metho of ACI (ACI 34R-97), SP-17(97), American Concrete Intitute, Farmington Hill, Mich., 1997, 482 pp.