Transformaciones Geométricas

Transcripción

1 Tranformacione Geométrica

2 Definición Concepto báico referente a la tranformacione geométrica afine en 2D 3D Tralación Ecalamiento Rotación La tranformacione e utilizan en la aplicacione o como ubrutina gráfica 2

3 3 Tranformacione 2D Tralación Caa punto P(, e tralaa uniae paralela al eje uniae paralela al eje, e obtiene un nuevo punto P'(',' K La ecuacione e la tranformación on: Vectorialmente: ' ',, ' ' ', T P P T P P '

4 Tranformacione 2D Tralación Se puee aplicar la fórmula e tralación a too lo punto e un objeto Se puee aplicar a lo punto etremo (válio también para rotacione ecalao (4,5 (7,5 (7, (, 4

5 Tranformacione 2D Ecalao Afecta a la imenione e lo objeto Un vector paralelo al eje e ecala una cantia paralelo al eje una cantia Cuano = entonce e un ecalao uniforme Matricialmente ' ' ' ' P' S P 5

6 Tranformacione 2D Ecalao Ejemplo Se ecala /2 en el eje /4 en el eje El ecalao e efectúa con repecto al origen (4,5 (7,5 (2, 5 4 ( 7, Ante el ecalamiento Depué el ecalamiento 6

7 Tranformacione 2D Rotación Giro e lo punto, un ángulo repecto el origen ' co en ' en co Matricialmente ' ' co en en co P' R P 7

8 Tranformacione 2D Rotación Ejemplo; rotar 45º repecto el origen (4.9, 7.8 (5,2 (9,2 (2., 4.9 8

9 Tranformacione 2D Rotación Ecuacione e tranformación: Sea el punto P(, el tranformao P (, rcof renf ' r co( f r co f co r enf en ' r en( f r co f en r enf co r r f r co ( + f P (, P(, r co f ' co en ' en co ' co en ' en co 9

10 Tranformacione 2D PovRa cone { <,, >,., <, -, >,. pigment { color rgb <.2,.6,.9> } } Tralación tranlate <-2.,., -.5> // <X, Y, Z> tranlate * Ecalao cale <., 2., 3.> // <X, Y, Z> cale 2. Rotación rotate <3,, -45> // <X, Y, Z> (grao rotate 3*

11 Tranformacione 2D PovRa Sitema e coorenaa

12 Tranformacione 2D Coorenaa homogénea La repreentacione matriciale obtenia hata ahora on: Tralación Ecala Rotación P' T P P' S P P' R P Problema: La tralación e trataa e forma iferente Solución: Utilizar un itema e coorenaa homogénea Caa punto e repreenta iguieno la forma (,,W Do conjunto e coorenaa homogénea (,,W (',',W' repreentan al mimo punto i ólo i una e múltiplo e la otra Para W e obtiene lo punto /W, /W a lo cuale e le llama coorenaa Carteiana el punto homogéneo 2

13 3 Tranformacione 2D Homogénea La ecuacione e tralación paan a er una matriz 33 en coorenaa homogénea Eta ecuación puee er repreentaa e la iguiente forma: Done ' ', ( T ' (, P T P

14 4 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tralacione Supóngae que un punto P e tralaao por T(, al punto P' luego e tralaao por T( 2, 2 al punto P'' Sutitueno e obtiene: El proucto matricial e: P T T P T T P, (, (, (, ( ' ' ,, ( ' P T P ', ( ' ' 2 2 P T P, (, ( 2 2 T T

15 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tralacione Por lo tanto la tralación neta e T( + 2, + 2. El proucto matricial efectuao no e má que la compoición e T(, T( 2, 2 Por otro lao, puee verificare con facilia que la tranformación invera e una tralación T(, no e má que T - (, = T(-,- 5

16 6 Tranformacione 2D Homogénea Ecalao en coorenaa homogénea Un proceimiento imilar al efectuao con la tralación puee aplicare al ecalao, obtenieno una nueva repreentación matricial: El ecalao reulta: ' ', ( S P S P, ( '

17 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e ecalao Supóngae que un punto P e ecalao por S(, al punto P' luego e tralaao por S( 2, 2 al punto P'' P' S(, P, 2 2 Sutitueno e obtiene: P'' S(, P' P'' S(, S(, P S(, S(, P El proucto matricial S (, (, 2 2 S e:

18 8 Tranformacione 2D Homogénea Rotación en coorenaa homogénea Si La rotación reulta: Y la compoición e rotacione e realiza: co co ' ' en en co co ( en en R P R P ( '. ( ( ( 2 2 R R R

19 Tranformacione 2D Homogénea Tranformacione invera De una tralación T(, no e má que: T - (, = T(-,- De un ecalao S(, e: S - (, = S(/,/ De una rotación R( e: R - ( = R(- 9

20 Tranformacione 2D Homogénea Tranformacione afine Proucto e una ecuencia arbitraria e matrice e rotación, tralación ecalamiento Tenieno la propiea e conervar el paralelimo e la línea, pero no longitue ni ángulo Rotacione, ecalamiento tralacione ubiguiente no porían hacer que la línea ejen e er paralela Rotación Ecalao no uniforme 2

21 Tranformacione 2D Homogénea Etiramiento (Shear El etiramiento puee realizare repecto e cualquier eje Etiramiento en Etiramiento en La matriz para el etiramiento en caa eje e: SH a SH b 2

22 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione Objetivo: ganar eficiencia aplicano una ola tranformación compueta a un punto, en vez e aplicar una erie e tranformacione, una tra otra. La rotación e un objeto con repecto a un punto arbitrario P, puee ubiviire aplicano tre tranformacione:. Tralaar e forma que P coincia con el origen 2. Rotar 3. Tralaar e forma que el punto en el origen retorne a P La ecuencia propueta e ilutra en la iguiente figura, en one el objeto e rotao con repecto al punto P (,. La primera tralación e T(-,-, haciénoe por último la tralación invera T(, 22

23 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione Ejemplo: Rotación repecto el punto P P Tralación Rotación Tralación invera P 23

24 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione Ejemplo: Rotación repecto el punto P La tranformación neta aplicaa e: co en T (, R( T (, en co co en en co ( co en ( co en 24

25 25 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione Ejemplo: Ecalao repecto el punto P La tranformación neta aplicaa e:, (, (, ( T S T ( (

26 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione Para ecalar, rotar luego poicionar un objeto, con P centro e rotación ecalao Tralaar P al origen, efectuar el ecalao la rotación, luego tralaar ee el origen a la nueva poición P La matriz que repreenta icha tranformacione correpone a: T( 2, 2 R( S(, T(, 26

27 Tranformacione 2D Homogénea Compoición e tranformacione En general, la multiplicación e matrice no e conmutativa Sin embargo, al aplicar tranformacione e tralación, ecalamiento rotación e an cao epeciale one el proucto e matrice e conmutativo Una matriz e tralación eguia e otra matriz e tralación pueen conmutare Una matriz e ecalamiento eguia e otra matriz e ecalamiento Una matriz e rotación eguia e otra matriz e rotación Otro cao one la multiplicación e ete tipo e matrice e conmutativa correpone a tener una matriz e rotación otra e ecalao uniforme ( = 27

28 Tranformacione 3D Coorenaa homogénea La repreentación e la tranformacione en 3D on repreentaa como matrice e 44 El punto (,,z erá repreentao en coorenaa homogénea como (W., W., W.z, W, con W Si W, entonce W e iviio entro e la tre primera coorenaa homogénea para aí obtener el punto carteiano 3D (,,z Eto implica, que o punto homogéneo H H 2 repreentan el mimo punto 3D í olo í H =ch 2, para cualquier contante c 28

29 Tranformacione 3D Tralación en coorenaa homogénea D T ( D, D, Dz D Dz Al multiplicar eta matriz por el vector e punto,,z, quea: D T ( D, D, Dz z D z Dz 29

30 Tranformacione 3D Ecalao en coorenaa homogénea S( S, S, Sz S S Sz Al multiplicar eta matriz por el vector e punto,,z, quea: S S S( S, S, Sz z z Sz 3

31 Tranformacione 3D Rotación en coorenaa homogénea Repecto el eje z Rz( co in in co Repecto el eje R( co in in co Repecto el eje R( co in in co 3

32 Tranformacione 3D Rotación en coorenaa homogénea La compoición e una ecuencia arbitraria e rotacione con repecto a lo eje,, z r r2 r3 A r2 r3 r22 r32 r23 r33 La ubmatriz 33 e ortogonal Su columna on vectore unitario ortogonale En cao e no erlo, aemá e la rotación e proucirían eformacione (no ería una tranformación afín La invera e una matriz ortogonal e u tranpueta 32

33 Tranformacione 3D Un arbitrario número e matrice e rotación, ecalao tralación pueen er multiplicaa en conjunto El reultao iempre erá e la forma: r r2 r3 t r2 r22 r23 t r3 r32 r33 tz z 33

34 Tranformacione 3D PovRa Matriz e tranformación 3D cone { <,, >,., <, -, >,. pigment { color rgb <.2,.6,.9> } matri <.886,-.5,.5, //the firt 3 line form a rotation matri,,, // ince it i not orthogonal, hearing occur.5,, -.886,,.8, // the lat 3 value contain the tranlation > } 34