ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES SIN TENDENCIA CON ONDELETAS APLICADO A IMÁGENES PARA DETECTAR PROPIEDADES DE ESCALA EN SU TEXTURA

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1 ANÁLISIS DE FLUCTUACIONES SIN TENDENCIA CON ONDELETAS APLICADO A IMÁGENES PARA DETECTAR PROPIEDADES DE ESCALA EN SU TEXTURA C. Varga Olmo a, J. S. Murguía a,b a Intituto de Invetigación en Comunicación Óptica, UASLP, Av. Karakorum 1470, Loma 4a , San Lui Potoí, SLP, México, cv_olmo@cactu.iico.ualp.mx b Depto. Fíico-Matemática, UASLP, San Lui Potoí, SLP, México, ondeleto@.ualp.mx RESUMEN En diferente área, tale como enado remoto, detección de objetivo, diagnótico médico, etc., el análii de textura de la imágene juega un papel clave, pue al lograr caracterizar la textura de la imágene e logra obtener información relevante de la mima con el fin de comprenderla o claificarla. El análii de textura e ha llevado a cabo de divera forma y una herramienta que ha ido utilizada para detectar propiedade de ecala en la imágene e el Análii de Fluctuacione in Tendencia [1]. En ete trabajo e preenta dicho método pero implementado por medio de ondeleta [5], coniderando un exponente de ecala de manera global, y aplicado olamente a do orientacione en la imágene de prueba. 1. INTRODUCCIÓN Como e decribe en [1], exiten diferente enfoque para analizar, caracterizar, claificar y tener un entendimiento de imágene obtenida en diferente aplicacione, pero la aplicación del análii de fluctuacione in tendencia, denominado como DFA por u igla en inglé ``Detrended Fluctuation Analyi'', a imágene ha reultado favorable al caracterizar y detectar propiedade de ecala para diferente orientacione en imágene. El DFA e un método que e utiliza para analizar la propiedade de ecala de la fluctuacione preente en erie temporale proveniente de divero fenómeno. Con ete método uno puede calcular la fluctuacione promedio de la información coniderada a diferente ecala depué de haber removido la tendencia locale. Tal método e utilizó por primera vez en 1994 por Peng et al [6] en un etudio pionero de la caracterítica de largo alcance de regione codificada y no codificada de la ecuencia de nucleótido del ADN. En 2002, Kantelhardt et al [2] proporcionaron una generalización del DFA para el cao de erie temporale de carácter multifractal. Poteriormente, tal generalización ha ido empleada en diferente trabajo de invetigación y e le denominó como Multifractal Detrended Fluctuation Analyi (MF-DFA). En particular, en la referencia [3], Kantelhardt preenta una reviión de la técnica empleada para analizar o procear caracterítica fractale o multifractale de erie temporale. 2. TEORÍA El enfoque del MF-DFA con ondeleta fue inicialmente coniderado en la referencia [4] y ha ido utilizado en diferente aplicacione, ver por ejemplo [5]. La idea general reide en explotar el hecho de que la verión de aproximación o de paa-baja en la decompoición dicreta de la tranformada ondeleta tiene un gran parecido de la eñal original de manera promediada en diferente reolucione. Por tanto, e puede calcular la tendencia ``local'' de la información a partir de lo coeficiente de la verión de aproximación, a diferencia del cao tradicional en el que e utiliza un ajute polinomial. De manera general, el enfoque coniderado igue lo iguiente pao: 1

2 Sea una ecuencia o erie temporal xt k xk, donde t k 1) Calcular el perfil Yk [ ] de la erie temporal: donde e el promedio de xk. k k t y k 1,2,, N. (2.1) Y[ k] x[ i] 2) Calcular la decompoición multi-nivel de ondeleta del perfil mediante la TRO, en cada nivel m. 3) Para cada nivel m extraemo la fluctuacione del perfil de la erie temporal depué de utraer la tendencia ``local' de la información, e decir, Y[ k; m] Y[ k] Y[ k; m], (2.2) donde k;m i1 Y e el perfil recontruido depué de la remoción uceiva de lo coeficiente de detalle en cada uno de lo nivele m. 4) La fluctuacione Y[ k; m] en el nivel m e dividen en M egmento in tralapar de tamaño, donde el ímbolo. N ventana o calcula la parte entera del argumento correpondiente. Debido a que la longitud de N puede no er un múltiplo de, la diviión e realiza empezando con el inicio y el final del perfil, e decir, e tienen 2N egmento. Poteriormente e calculan la varianza locale aociada a cada ventana, F 2 [, ; m] var( Y[( 1) j; m], (2.3) donde j1,,, y 1,,2M. 5) Promediar obre todo lo egmento para obtener la función de fluctuación 1/2 2M 1 2 1/2 [ ; ] [, ; ]. 2M 1 F m F m (2.4) 6) Repetir lo pao 4 a 5 para egmento de diferente longitud. Para determinar i la ecuencia o erie temporal bajo análii tiene correlacione a rango amplio o un comportamiento de ecala fractal, la función de fluctuación F[ ; m ] debe obervar la ley de potencia F[ ; m] ~, (2.5) donde e denomina como el exponente de ecala, el cual repreenta la propiedade de correlación de ley de ecala de rango amplio. Para calcular de (2.5) e conidera como el valor de la pendiente de gráfica logarítmica de F[ ; m ] en término de, e decir, log F[ ; m] contra log. Si 0.5 indica que no e tienen correlacione o que éta on de rango corto como en el ruido blanco. Cuando 0.5 la correlacione en la eñal on antiperitente (incremento eguido comúnmente por decremento y vicevera) y i 0.5 la correlacione en la eñal on peritente (incremento eguido por incremento y vicevera). Lo valore de 1.0 y 1.5 correponden repectivamente a ruido 1/ f y movimiento Browniano, mientra que 2

3 1.5 correponde a correlacione de rango amplio que no etán neceariamente relacionada a proceo etocático. Cabe mencionar que en el análii con la TRO e utilizó la función ondeleta de Daubechie Db-4, la cual e compone de cuatro coeficiente de filtro. Ademá de que una de la ventaja de lo momento de devanecimiento de la ondeleta e la de auxiliar para la remoción de la tendencia de la eñal de información. DFA CON ONDELETAS PARA IMÁGENES La aplicación del DFA para el cao bidimenional e muy imilar al cao uni-dimenional, alvo que e conidera lo iguiente: Se toma en conideración una ub-imagen I de la imagen a analizar I con orientación. En ete trabajo el ángulo ólo toma la orientación de norte a ur ( 0) o de ete a oete ( 90). La ub-imagen I e repreenta como un arreglo p ( a, b), donde la fila e repreentan por a1,, N y la columna b1,, M. Para cada ub-imagen el análii de ecala e puede realizar por la orientacione correpondiente a la fila y columna. Por ejemplo, para el cao de la columna e le aplica el DFA a p ( a, b) a cada una de la fila a1,, N, y e obtiene una función de fluctuación F [ b; ; m] para cada b1,, M. Para determinar el exponente de ecala e toma en cuenta el promedio geométrico: 1/ M M Fprom [ j; ; m] F [ b; ; m], b1 (2.6) donde e conidera el análii para diferente valore del tamaño de ventana y el exponente de ecala e calcula como la pendiente de la gráfica de log F [ j; ; m] en término log. El análii del DFA in el enfoque de ondeleta aplicado a imágene e realiza en [1] donde e decribe el exponente de ecala de manera local, en vez del cao global, como e realiza en ete trabajo. prom 3. RESULTADOS Y CONCLUSIONES En la figura 1 e muetran la imágene a la cuale e le aplicó el procedimiento decrito anteriormente. El tamaño de la imágene e de pixele y la tre primera forman parte de la bae de dato USC-SIPI ( y preentan una textura aparentemente homogénea e iotrópica, mientra que la otra e del itio ( y preenta una etructura fracturada. En la figura 2 e muetran lo reultado obtenido para cada una de la imágene de prueba. En ella e puede apreciar que la función de fluctuación preenta un comportamiento batante imilar independientemente de la orientación lo cual indica una textura iotrópica, a excepción del último reultado, ubfigura (d), donde e ve claramente una diferencia en el comportamiento de la función de fluctuación repecto al ángulo e indica aniotropía en la textura. 3

4 (a) (b) (c) (d) Figura 1. Imágene de prueba para aplicar el DFA con ondeleta. Se determinaron do exponente de ecala: uno para ecala pequeña y otro para ecala má grande. En la tre primera imágene de prueba a ecala pequeña e tienen valore de 0.5 lo cual habla de correlacione peritente a eta ecala; in embargo a ecala mayore el exponente de ecala aumenta a valore mayore que 1.5 indicando correlacione de rango amplio. En cuanto a la última imagen, el exponente de ecala varía de 0.5 para ecala pequeña a 1.5 para ecala grande lo cual indica un cambio en el comportamiento dede correlacione peritente hata correlacione de rango amplio. Aunque el análii de fluctuacione in tendencia con ondeleta realizado aquí e hizo olamente para do orientacione, 0 y 90, puede decire que dicho reultado e acorde al preentado en [1]. En bae a lo reultado obtenido, donde el exponente varía con repecto a la ecala, e conidera que la aplicación del análii multifractal ería una opción para obtener información adicional de la textura de la imágene. Ademá de tomar en cuenta má orientacione de la imagen en etudio. 4

5 (a) DFA de la imagen Céped (b) DFA de la imagen Arena (c) DFA de la imagen Burbuja (c) DFA de la imagen Marte Figura 2. Reultado de aplicar el DFA a la imágene de prueba. BIBLIOGRAFÍA 1. Alvarez-Ramírez J., Rodríguez E., Cervante I., Echeverría J.C., "Scaling propertie of image texture: A detrending fluctuation analyi approach", Phyica A, Vol. 361, 2006, pp Kantelhardt, J. W., Zchinegner, S. A., Kocielny-Bunde, E., Havlin, S., Bunde, A., Stanley, H. E., Phyica A, Vol. 316, 2002, pp Kantelhardt, J. W., Encyclopedia of Complexity and Sytem Science, Manimaran P., Panigrahi P., Parikh J. Wavelet analyi and caling propertie of time erie, Phy. Rev. E Vol 72, 2005, Murguía J. S., Terraza J., Rou H., "Multifractal propertie of elementary cellular automata in a dicrete wavelet approach of MF-DFA", EuroPhyic Letter, Vol. 87, 2009, p1- p5. 6. Peng, C.K. Buldyrev, S.V., Havlin, S., Simon, M., Stanley, H.E. and Goldberger, A.L. Phy. Rev. E, Vol. 49, 1994,