D-O USO DE ALGORITMOS GENETICOS PARA RESOLVER EL MODELO DETERMINISTA Y ESTOCASTICO PARA EL DISENO DE UNA RED DE RECOGIDA DE RESIDUOS

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1 D-O 2 USO DE ALGORITMOS GENETICOS PARA RESOLVER EL MODELO DETERMINISTA Y ESTOCASTICO PARA EL DISENO DE UNA RED DE RECOGIDA DE RESIDUOS XI Congreo de Ingeniería de Organización International Conference on Indutrial Engineering and Indutrial Management Madrid. September 5th-7th 2007 MIGUEL ORTEGA-MIER JOAQUIN DELGADO HIPOLITO ALVARO GARCIA-SANCHEZ DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE ORGANIZACION, ADMINISTRACION DE EMPRESAS Y ESTADISTICA ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID Reumen: Uno de lo problema que aparecen en la getión de la cadena de uminitro invera e el de la deciione relativa a la localización de planta de tratamiento, centro de recogida y de tranferencia. En eta comunicación e preentan un modelo determinita MIP y el modelo etocático derivado para ayudar a la deciión relativa a la localización de una planta de tratamiento y lo centro de tranferencia neceario para reducir lo cote totale de funcionamiento de un itema de recogida de reiduo. Eto modelo e intentan reolver de forma exacta con CPLEX 0.0 y dada la dificultad e plantea un enfoque ditinto utilizando algoritmo genético y programación lineal continua. Palabra clave: Recogida reiduo, logítica invera, algoritmo genético. I. Introducción Uno de lo problema que aparecen en la getión de la cadena de uminitro e la localización de la intalacione clave de dicha cadena (planta de producción, almacene, etc.) En el área de la logítica invera ete problema de dieño e traduce en la deciione acerca de la localización de lo diferente centro de recogida, centro de tranferencia o planta de tratamiento. Exiten mucho modelo matemático que intentan facilitar la toma de eta deciione a ee repecto. Cuando la implicacione de eta deciione on a largo plazo e muy difícil de etimar, con preciión, la evolución de lo valore de todo lo parámetro y la variable de lo modelo correpondiente. Eta ituación e muy frecuente cuando e contruyen modelo de logítica invera. Ete e el cao por eemplo de la evolución de lo cote de lo combutible o la cantidad de reiduo generado a lo largo de lo año. En el iguiente apartado e preenta un problema de localización de intalacione de recogida y tratamiento de reiduo. En lo iguiente apartado e ofrece un modelo MIP determinita que reuelve el problema previamente anunciado y el modelo etocático aociado. Tra comentar la dificultad aociada a la reolución de dicho modelo para cao de gran tamaño, en el último apartado e preenta una metodología ditinta baada en lo algoritmo genético. 2. Preentación del problema El problema que e preenta, muy habitual cuando e quiere dieñar una red de recogida de reiduo (plático, RSU, etc.) e el iguiente. Dado una erie de municipio en lo que e genera reiduo, e trata Nº 35

2 de determinar en qué municipio colocar la planta de tratamiento a la cual enviar dicho reiduo y lo poible centro de tranferencia donde llevar el reiduo dede cada municipio que, una vez compactado, e tranportar hata la planta de tratamiento. El obetivo e incurrir en el menor cote poible durante un horizonte contemplado de vario periodo, pudiendo colocar la planta de tratamiento y lo centro de tranferencia en cualquier municipio. Se admite que en ee horizonte no tiene entido cambiar la localización de la planta pero quizá í el número o la localización de lo centro de tranferencia. Ete problema urge principalmente cuando la red de recogida no exite y, por lo tanto, e tiene que dieñar el itema de recogida partiendo de cero. La recogida del reiduo e realiza con uno camione recolectore que etán preparado para recoger el reiduo dede lo contenedore de la calle y que tranportan el reiduo in compactar al centro de tranferencia correpondiente. Una vez en el centro de tranferencia, el reiduo e compacta y, cuando un remolque etá lleno, e tranferido en trailer a la planta de tratamiento. En ete problema, cobra mucha importancia la relación entre lo cote de recogida del camión recolector y lo cote de tranferencia. La relación entre eto cote de tranporte y recogida, unto con lo cote fio de lo centro de tranferencia, llevarán a olucione en la que e utilizan má o meno centro de tranferencia. En la Figura (izda.) e muetra el conunto de municipio en lo que e genera reiduo. Una poible olución del problema e ofrece en la mima figura (dcha.); en ete cao ya e ha localizado la planta de tratamiento (cruz) y e ha utilizan tre centro de tranferencia (triángulo). 3. El modelo de localización de una planta de tratamiento y lo centro de tranferencia aociado: STPNTCLP (Single Treatment Plant and Neceary Tranfer Center Location Problem) Se ha dearrollado un modelo matemático de localización dinámica aociado al problema preentado en el apartado anterior, que e ha llamado «Single Treatment Plant and Neceary Tranfer Center Location Problem» (STPNTCLP). Por un lado, en la literatura exiten numeroo artículo que tratan de localización dinámica (Saldanha, 998; Antune, 2000; Hinooa, 2000; Boe, 2003) y; por otro, obre modelo de logítica invera (Fleichmann, 200). En el modelo STPNTCLP e admiten la iguiente hipótei: El modelo e dinámico. Se contempla un horizonte dividido en vario periodo (para ete problema, año). La localización de la planta de tratamiento e fia para todo el horizonte contemplado. El cote fio de la planta de tratamiento e upone independiente de dónde e localiza. Lo centro de tranferencia e pueden cambiar cada periodo i eo permite reducir lo cote totale de la getión. Tienen un cote fio por periodo aociado por u uo. Lo cote de apertura y cierre no on relevante.. No e tienen en cuenta cote de recogida del reiduo dentro de cada municipio, e admite que no tienen relevancia ya que pueden er lo mimo Figura Situación inicial del problema. La planta de tratamiento y lo centro etán por elegir (izda.). Solución del problema. La planta de tratamiento y lo centro de tranferencia etán elegido (dcha.) 6

3 independiente de la deciión que e tome. Eta hipótei e aceptable cuando lo municipio on urbano, y no tanto cuando un municipio eté compueto por poblacione o barrio dipero. Figura 2 Significado de la variable del modelo Lo cote de tranporte del reiduo y lo de tranferencia on proporcionale a la ditancia exitente entre el lugar de origen y detino de lo mimo. Eto upone que no e tienen en cuenta ruta, lo cual e puede admitir, dado que ete problema e conidera etratégico. Una vez decidida la localizacione í e pueden calcular la ruta correpondiente. z k = h kt y t = xit En la iguiente tabla, e puede obervar cuále on lo índice, parámetro y variable utilizado en el modelo. En la Figura 2 e reflea claramente el ignificado de cada una de la variable utilizada en el modelo. El modelo matemático correpondiente al STPNTCLP e exprea de la iguiente forma: ueto a: i, x it = A it, i, t x it y t * CAP, i,, t x it y t * CAP, t [2] [3] [4] min F y t + h kt d k ctr + x it d i cre,t,k,t i,,t [] k h kt = x,, t it i [5] Tabla Índice del problema STPNTCLP h kt z k * CAPplanta, k, t [6] Índice Decripción Rango i Municipio productore de reiduo M z = k k [7] Poible centro de tranferencia M k Municipio candidato para la M planta de tratamiento t Período T 3.. Solución exacta Ete problema e NP-HARD (Garey, 979) y reulta difícil reolverlo de forma exacta. Se han intentado reolver vario cao de compleidad creciente Tabla 2 Parámetro del problema STPNTCLP Parámetro A it CAP ctr cre Decripción Producción de reiduo de cada municipio en el año t (en Tm) Capacidad anual de un centro de tranferencia (en Tm) Cote medio de tranferencia del reiduo compactado entre un centro de tranferencia y la planta de tratamiento (en /km Tm) Cote medio de tranporte del reiduo recogido en cada municipio y llevado al centro de tranferencia (en /km Tm) F Cote fio del centro de tranferencia por período (en ) 7

4 Tabla 3 Definición de la variable del problema STPNTCLP Variable Decripción Tipo z k Valor 0 () i la planta de tratamiento etá cerrada (no etá cerrada) en el municipio k Binaria y t Valor 0 () i la intalación etá cerrada (abierta) en el periodo t Binaria x it Cantidad de reiduo llevado del municipio i al centro de tranferencia el año t Continua h klt Cantidad de reiduo compactado llevado del centro de tranferencia a la planta Continua de tratamiento ituada en el municipio k utilizando CPLEX 0.0. En la Tabla 4 e puede obervar que, i bien para pequeño problema e llega pronto a la olución óptima, cuando lo problema tienen mayor dimenión crece el tiempo de reolución y llega un momento en el que no e pueden reolver. 4. Modelo STPNTCLP etocático El modelo de localización dinámica, planteado primero de forma determinita, e preenta ahora en u variante etocática para ditinto ecenario poible. En cualquier modelo etocático exiten parámetro con incertidumbre, muy uuale cuando exiten deciione de dieño cuya implicacione on de vario año. En ete problema lo parámetro con incertidumbre on: la cantidad de reiduo generado en el futuro en cada municipio y el cote del combutible, que influyen en lo cote de recogida y tranferencia. El problema etocático e reuelve con un enfoque bi-etápico. En la primera fae, (con incertidumbre) e obtienen lo valore de la variable de deciión de dieño («dónde» y «cuándo», dónde colocar la planta de tratamiento, dónde colocar lo centro de tranferencia y cuándo utilizarlo). El reto de variable (operativa) dependen para cada ecenario (e decir de la egunda etapa). Tabla 4 Tiempo de reolución y cercanía al óptimo de vario eemplo del problema STPNTCLP Problema Tamaño Tiempo Óptimo ,23 min Sí ,6 eg Sí eg Sí < eg Sí En la tre tabla iguiente e preentan lo índice, parámetro y variable del modelo. El modelo matemático e exprea de la iguiente forma: min F y,t + ueto a: x it i, k x it y t * CAP, i,, t, x it h kt h kt,t + p h kt d k ctr + x d it i cre,k,t i,,t = A it, i, t, = x,, t, it i y t * CAP, t, z k * CAPplanta, k, t, Tabla 5 Índice del problema STPNTCLP etocático [8] [9] [0] [] [2] [3] Índice Decripción Rango i Municipio productore de reiduo M Poible centro de tranferencia M k Municipio candidato para la M planta de tratamiento t Período T Ecenario S 8

5 Tabla 6 Parámetro del problema STPNTCLP etocático Parámetro A it CAP ctr cre Decripción Producción de reiduo de cada municipio en el año t (en Tm) Capacidad anual de un centro de tranferencia (en Tm) Cote medio de tranferencia del reiduo compactado entre un centro de tranferencia y la planta de tratamiento (en /km Tm) Cote medio de tranporte del reiduo recogido en cada municipio y llevado al centro de tranferencia (en /km Tm) F Cote fio del centro de tranferencia (en ) p Probabilidad del ecenario Tabla 7 Definición de la variable del problema STPNTCLP etocático Variable Decripción Tipo Etapa z k Valor 0 () i la planta de tratamiento etá (no etá) en el municipio k Binaria Primera y t Valor 0 () i la intalación etá cerrada (abierta) en el periodo t en el ecenario Binaria xit Cantidad de reiduo llevado del municipio i al centro de tranferencia Continua Segunda en el periodo t en el ecenario h klt Cantidad de reiduo compactado llevado del centro de tranferencia Continua a la planta de tratamiento ituada en el municipio k en el periodo t z = k k [4] 5.. Variante del enfoque mediante AG. Función de upervivencia calculada con un modelo LP Si el problema determinita e de difícil olución, el etocático aociado e todavía má difícil ya que u compleidad e aún mayor. 5. Enfoque algoritmo genético Debido a la dificultad de reolución de la variante deteriminita y etocática del problema STPNTCLP (como e ha comentado en lo apartado anteriore), y también a que, generalmente, para problema reale con incertidumbre hablar de óptimo e un poco arriegado y que e aceptable llegar a olucione buena, e ha planteado la reolución del problema utilizando algoritmo genético. Ete enfoque mediante algoritmo genético, que e puede utilizar tanto para el problema determinita como para el etocático del STPNTCLP, e preenta en eta comunicación aplicado al determinita (má encillo). A u vez ete mimo enfoque deriva en do variante. Amba e preentan a continuación. En ete enfoque baado en lo algoritmo genético e van a preentar ólo aquello apecto epecífico y má relevante para ete problema concreto (individuo, cálculo de la función de upervivencia, cruce, mutacione, olucione no factible). El reto de apecto on análogo a lo que aparecen en cualquier enfoque baado en algoritmo genético. 5 Individuo Un individuo etá compueto de do cromooma (ver Figura 3). El primer cromooma (la matriz binaria) exprea i un centro de tranferencia que eté en el municipio i ( fila i) e abre () o no (0) en el periodo t (columna t). El egundo cromooma e un número entre ( y N) que indica en qué municipio etá la planta de tratamiento (en la figura el número 23). Como e puede obervar, el individuo contiene toda la información relativa a la variable de deciión de dieño (dónde ubicar la intalacione y cuándo abrirla). 9

6 Figura 3 Individuo (izda.) y método de cálculo de la función de upervivencia y t y z k parámetro fio FS Problema de tranporte (PL) 0 0 (2 cromooma) Función de upervivencia Cálculo de la función de upervivencia Con la información de un individuo e encillo calcular el cote aociado a dicha olución. Habría que reolver el modelo STPNTCLP repreentado en la ecuacione [-7], pero teniendo en cuenta que la variable y t y z k ahora on parámetro de un modelo que ya no tiene variable binaria (LP). Ete modelo e de fácil y rápida reolución. Una vez obtenido el cote de la olución e encillo calcular la función de upervivencia haciendo el invero del cote corte en la matrice de cero y uno (primer cromooma) y e contruyen lo individuo hio a partir del egundo cromooma y la primera parte del primer cromooma de un padre unto con la información correpondiente a la otra mitad del primer cromooma del otro padre. De forma análoga e contruye el otro hio. Figura 5 Cruce de do individuo compartiendo información relativa a lo centro de tranferencia Cruce Se han definido tre tipo de cruce, en función de la información que intercambian la olucione:. Intercambio de la información relativa a lo periodo (columna). Aleatoriamente e hace un Figura 4 Cruce de do individuo compartiendo información relativa a lo periodo Figura 6 Cruce de do individuo compartiendo información relativa a la localización de la planta 20

7 2. Intercambio de la información relativa a lo centro de tranferencia. Ahora, análogamente al cruce anterior, el corte de la matrice e hace horizontal provocando un intercambio de la información relativa al uo de lo centro de tranferencia (fila). 3. Intercambio de la información relativa a la localización de la planta de tratamiento. En ete cao, lo padre cruzan el egundo cromooma, in tocar el primero. Eto tre cruce on independiente, y ólo e puede realizar un cruce en el mimo momento. Aleatoriamente en cada intante e decide qué tipo de cruce realizar Mutacione La mutacione e producen cambiando un cero por un uno (o vicevera) en el primer cromooma; o aleatoriamente cambiando el valor del egundo cromooma Solucione no factible Al realizar lo cruce entre individuo y la mutacione, que e realizan de forma aleatoria, e pueden generar olucione no factible. Para convertir eto nuevo individuo en factible e tiene que implementar un procedimiento que «arregle» la infactibilidad abriendo centro de tranferencia (cambiando cero por uno en el primer cromooma) Variante 2 del enfoque mediante AG. Función de upervivencia calculada con un modelo MIP Se plantea una variante al enfoque preentado en el apartado anterior. La diferencia on la iguiente: Lo individuo etán formado ólo por un único cromooma, el relativo a lo centro de tranferencia (matriz binaria). La función de upervivencia e calcula reolviendo un modelo aociado que en ete cao e un modelo MIP en el que exiten variable K variable binaria (z k ). En eta variante e buca aprovechar la ventaa relativa a la exitencia de un único cromooma y la implificación del algoritmo, a conta de la deventaa relativa a la complicación del cálculo de la función de upervivencia (ahora un modelo MIP, aunque de «poca» variable binaria). 6. Concluione En ete artículo e ha preentado un problema de localización de la intalacione de tranferencia y tratamiento en un itema de recogida de reiduo. Junto al problema también e han preentado lo modelo MIP determinita y etocático correpondiente (STPNTCLP) que ayuda a la toma de deciione en el problema anterior. Ademá e ha planteado un enfoque baado en algoritmo genético que intenta reolver lo mode- Figura 7 Variante 2 del enfoque AG (individuo y procedimiento de cálculo de la función de upervivencia) Parámetro fio: y t 0 FS Fixed cot Problema MIP con k variable binaria Función de upervivencia + Localización planta 23 2

8 lo anteriore dada la dificultad de la reolución de forma exacta. 7. Referencia ANTUNES, A., y PEETERS, D. (2000). A dynamic optimization model for chool network planning. Socio- Economic Planning Science, vol. 34, pp BOOKER, L. B.; GOLDBERG, D. E., y HOLLAND, J. H. (989). Claifier ytem and genetic algorithm. Artificial Intelligence, vol 40, Iue -3, pp BOSE, I.; ERYARSOY, E., y HE, L., (2003). Multi-period deign of urvivable wirele acce network under capacity contraint. Deciion Support Sytem. HINOJOSA, Y.; PUERTO, J., y FERNANDEZ, F. R., (2000). A multiperiod two-echelon multicommodity capacitated plant location problem. European Journal of Operational Reearch, vol. 23, pp FLEISCHMANN, M., et al. (200). The impact of product recovery on logitic network deign. Production and Operation Management, vol 0, pp SALDANHA, F., y CAPTIVO, M. E. (998). A heuritic approach for the dicrete dynamic location problem. Location Science, vol. 6, pp GAREY, M. R., y JOHNSON, D. S. (979). Computer and Intractability: A Guide to the Theory of NP- Completene. W.H. Freeman and Company. 22